Nombre

Un nombre est un objet abstrait, jetons dont sont Symboles utilis??s dans comptage et mesure . Un symbole qui repr??sente un nombre est appel?? num??rique, mais dans l'usage courant le nombre de mot est utilis?? ?? la fois pour l'objet abstrait et le symbole. En plus de leur utilisation en comptage et de mesure, les chiffres sont souvent utilis??s pour des ??tiquettes ( les num??ros de t??l??phone), pour la commande ( num??ros de s??rie) et des codes ( ISBN). En math??matiques , la d??finition du nombre a ??t?? ??tendu au fil des ans pour inclure ces num??ros que z??ro , les nombres n??gatifs , des nombres rationnels , nombres irrationnels et nombres complexes .

Certaines proc??dures d'entr??e un ou plusieurs num??ros et la production d'un certain nombre sont appel??s num??rique op??rations. Entr??e des op??rations unaire un num??ro unique et la sortie d'un num??ro unique. Par exemple, l'op??ration successeur ajoute un ?? un entier: le successeur de quatre est 5. sont plus fr??quents op??rations binaires d'entr??e et de sortie deux num??ros un num??ro unique. Exemples d'op??rations binaires comprennent outre , la soustraction , la multiplication , la division et exponentiation . L'??tude des op??rations num??riques est appel??e arithm??tique .

La branche des math??matiques qui ??tudie les syst??mes de num??ration abstraits tels que les groupes , anneaux et champs se appelle alg??bre abstraite .

Types de num??ros

Les nombres peuvent ??tre class??s en ensembles, appel??s syst??mes de num??ration . (Pour diff??rentes m??thodes d'exprimer les nombres avec des symboles, comme les chiffres romains , voir syst??mes de num??ration .)

Nombres naturels

Les num??ros les plus connus sont les nombres naturels ou des num??ros de comptage: une, deux, trois, .... Certaines personnes comprennent ??galement z??ro dans les nombres naturels; Toutefois, d'autres pas.

Dans le fond de dix syst??me num??rique, en usage aujourd'hui presque universelle pour les op??rations arithm??tiques, les symboles des nombres naturels sont ??crits en utilisant dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Dans ce syst??me de base dix, le chiffre le plus ?? droite d'un nombre naturel a une valeur de position de l'un, et tous les autres chiffres a une valeur de lieu dix fois celle de la valeur de position du chiffre ?? sa droite. Le symbole de l'ensemble des nombres naturels est N, ??galement ??crit .

Entiers

Les nombres n??gatifs sont des nombres qui sont inf??rieurs ?? z??ro. Ils sont ?? l'oppos?? des nombres positifs. Par exemple, si un nombre positif indique un d??p??t bancaire, puis un nombre n??gatif indique un retrait du m??me montant. Les nombres n??gatifs sont g??n??ralement ??crites en ??crivant un signe n??gatif devant le nombre, ils sont ?? l'oppos?? de. Ainsi, ?? l'oppos?? de 7 est ??crit -7. Quand le jeu des contraires des nombres naturels est combin?? avec les nombres naturels et z??ro, on obtient les nombres entiers Z (allemand Zahl, pluriel Zahlen), ??galement ??crites .

Nombres rationnels

Un nombre rationnel est un nombre qui peut ??tre exprim??e comme une fraction d'un nombre entier num??rateur et un nombre entier naturel non nul d??nominateur . La fraction m / n ou

repr??sente m parties ??gales, o?? les pi??ces n ??gales de cette taille constituent un tout. Deux fractions diff??rentes peuvent correspondre au m??me nombre rationnel; par exemple 1/2 et 2/4 sont ??gaux, ?? savoir:

.

Si la valeur absolue de m est sup??rieur ?? n, alors la valeur absolue de la fraction est sup??rieure ?? 1. Les fractions peut ??tre sup??rieure, inf??rieure ou ??gale ?? 1 et peut ??galement ??tre positif, n??gatif ou nul. L'ensemble de toutes les fractions comprend les nombres entiers, puisque tout entier peut ??tre ??crit comme une fraction de d??nominateur 1. Par exemple -7 peut ??tre ??crit -7/1. Le symbole pour les nombres rationnels est Q (pour quotient), ??galement ??crit .

Nombres r??els

Les nombres r??els comprennent tous les num??ros de mesure. Les nombres r??els sont g??n??ralement ??crits en utilisant d??cimales chiffres, dans lequel un point d??cimal est plac?? ?? la droite de la position avec une valeur de position. Apr??s la virgule, chaque chiffre a une valeur de position un dixi??me de la valeur de position du chiffre ?? sa gauche. Ainsi

repr??sente une centaine, deux dizaines, trois petits, 4/10, 5/100 et 6/1000. En disant le nombre, la virgule est lu "point", ainsi: "un deux trois quatre cinq six points". Dans, par exemple, aux ??tats-Unis et au Royaume-Uni, la d??cimale est repr??sent??e par un p??riode, en Europe continentale par un virgule. Z??ro est souvent ??crit que 0,0 et n??gatifs nombres r??els sont ??crits avec une pr??c??dente signe moins:

.

Chaque nombre rationnel est aussi un nombre r??el. Pour ??crire une fraction sous forme d??cimale, divisez le num??rateur par le d??nominateur. Ce ne est pas le cas, cependant, que tout nombre r??el est rationnel. Si un nombre r??el ne peut pas ??tre ??crit comme une fraction de deux nombres entiers, elle est appel??e irrationnelle . Une d??cimal qui peut ??tre ??crit comme une fraction soit extr??mit??s (se termine) ou pour toujours r??p??te, parce que ce est la r??ponse ?? un probl??me dans la division. Ainsi, le nombre r??el de 0,5 peut ??tre ??crite comme 1/2 et le nombre r??el de 0,333 ... (trois, jamais r??p??t??s) peut ??tre ??crit comme un tiers. D'autre part, (π du nombre r??el pi ), le rapport de la circonf??rence de ne importe quel cercle ?? son diam??tre , est

.

Depuis la d??cimale ne finit jamais, ni r??p??te, il ne peut pas ??tre ??crit comme une fraction, et est un exemple d'un nombre irrationnel. Autres nombres irrationnels comprennent

(Le racine carr??e de 2, ce est le nombre positif dont le carr?? est 2).

Tout comme fractions peuvent ??tre ??crits dans plus d'un titre, le peuvent aussi d??cimales. Par exemple, si l'on multiplie les deux c??t??s de l'??quation

par trois, nous d??couvrons que

.

Ainsi 1,0 et 0,999 ... sont deux nombres d??cimaux diff??rentes repr??sentant le nombre naturel 1. Il ya une infinit?? de nombreuses autres fa??ons de repr??senter le num??ro 1, par exemple 2/2, 3/3, 1,00, 1,000, et ainsi de suite.

Chaque nombre r??el est rationnel ou irrationnel. Chaque nombre r??el correspond ?? un point sur la num??ro de ligne. Les nombres r??els ont aussi une propri??t?? importante, mais tr??s technique appel??e propri??t?? limite sup??rieure moins. Le symbole pour les nombres r??els est R ou .

Quand un nombre r??el repr??sente une mesure , il ya toujours une marge d'erreur . Ce est souvent indiqu??e par arrondis ou tronquer un nombre d??cimal, de sorte que les chiffres qui sugg??rent une plus grande pr??cision que la mesure se sont retir??s. Les chiffres restants se appellent les chiffres significatifs. Par exemple, les mesures avec une r??gle peuvent rarement ??tre effectu??s sans une marge d'erreur d'au moins 0,01 m??tres. Si les c??t??s d'un rectangle sont mesur??s que 1,23 m??tres et 4,56 m??tres, puis la multiplication donne un espace pour le rectangle de 5,6088 m??tres carr??s. ??tant donn?? que seuls les deux premiers chiffres apr??s la virgule sont importants, ce est souvent arrondie ?? 5,61.

En alg??bre abstraite , les chiffres r??els sont caract??ris??s unique en ??tant le seul compl??tement ordonn?? domaine. Ils ne sont pas, cependant, un corps alg??briquement clos.

Les nombres complexes

Le passage ?? un plus grand niveau d'abstraction, les nombres r??els peuvent ??tre ??tendus aux nombres complexes . Cette s??rie de chiffres se leva, historiquement, de la question de savoir si un nombre n??gatif peut avoir une racine carr??e . Cela a conduit ?? l'invention d'un nouveau num??ro: la racine carr??e d'un n??gatif, d??sign?? par i , un symbole attribu?? par Leonhard Euler , et a appel?? l' unit?? imaginaire . Les nombres complexes sont constitu??s de tous les nombres de la forme

o?? a et b sont des nombres r??els. Dans l'expression a + bi, le nombre r??el a est appel?? la partie r??elle et bi est appel?? la partie imaginaire. Si la partie r??elle d'un nombre complexe est ??gal ?? z??ro, alors le nombre est appel?? ou nombre imaginaire est d??sign?? comme purement imaginaire; si la partie imaginaire est nul, alors le nombre est un nombre r??el. Ainsi, les nombres r??els sont un sous-ensemble des nombres complexes. Si les parties r??elle et imaginaire d'un nombre complexe sont tous deux des nombres entiers, le nombre est appel?? Nombre entier de Gauss. Le symbole pour les nombres complexes est C ou .

En r??sum?? alg??bre , les nombres complexes sont un exemple d'un corps alg??briquement clos, ce qui signifie que chaque polyn??me avec le complexe coefficients peuvent ??tre pris en compte dans les facteurs lin??aires. Comme le syst??me de nombre r??el, le syst??me num??rique est un complexe terrain et est compl??ter, mais contrairement aux vrais chiffres, il ne est pas ordonn??e. Autrement dit, il n'y a aucun sens ?? dire que i est sup??rieur ?? 1, il ne existe aucune signification en disant que que i est inf??rieur ?? 1. En termes techniques, les nombres complexes ne ont pas la propri??t?? trichotomie .

Les nombres complexes correspondent ?? des points sur le plan complexe , parfois appel?? le plan d'Argand.

Chacun des syst??mes num??riques mentionn??es ci-dessus est un sous-ensemble appropri?? de l'autre syst??me de num??ration. Symboliquement, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

D'autres types

Superreal, hyperr??aliste et num??ros surr??alistes se ??tendent les nombres r??els en ajoutant infiniment petits nombres et infiniment grand nombre, mais forment encore domaines.

L'id??e derri??re p-adique chiffres est la suivante: Bien que les chiffres r??els peuvent avoir infiniment longues expansions ?? la droite de la virgule, ces chiffres permettre infiniment longues expansions vers la gauche. Le syst??me de num??rotation qui r??sulte d??pend de ce que base est utilis??e pour les chiffres: ne importe quelle base est possible, mais un syst??me avec les meilleures propri??t??s math??matiques est obtenue lorsque la base est un nombre premier .

Pour le traitement des collections infinies, les nombres naturels ont ??t?? g??n??ralis??es pour les nombres ordinaux et les nombres cardinaux . Le premier donne l'ordre de la collection, tandis que la seconde donne sa taille. Pour l'ensemble fini, les num??ros de ordinales et cardinales sont ??quivalents, mais ils diff??rent dans le cas infini.

Il ya aussi d'autres ensembles de nombres avec des utilisations sp??cialis??es. Certains sont sous-ensembles des nombres complexes. Par exemple, nombres alg??briques sont les racines de polyn??mes avec rationnelle coefficients. Les nombres complexes qui ne sont pas alg??briques sont appel??s nombres transcendants.

S??ries de chiffres qui ne sont pas des sous-ensembles des nombres complexes sont parfois appel??s num??ros hypercomplexes. Ils comprennent le quaternions H, invent?? par Sir William Rowan Hamilton, dans lequel multiplication ne est pas commutative , et de la octonions, dans lequel la multiplication ne est pas associative . ??l??ments de domaines de la non-nulle fonction se comportent caract??ristique ?? certains ??gards comme des num??ros et sont souvent consid??r??s comme les num??ros par les th??oriciens des nombres.

Chiffres

Num??ros doivent ??tre distingu??s des les chiffres, les symboles utilis??s pour repr??senter des nombres. Le nombre cinq peut ??tre repr??sent?? par dix fois la base chiffre ??5?? et par le chiffre romain "V". Notations utilis??es pour repr??senter les nombres sont abord??es dans l'article syst??mes de num??ration . Un d??veloppement important dans l'histoire de chiffres a ??t?? le d??veloppement d'un syst??me de positionnement, comme d??cimales modernes, qui peuvent repr??senter un tr??s grand nombre. Les chiffres romains exigent symboles suppl??mentaires pour un plus grand nombre.

Histoire

Histoire de entiers

Les premiers nombres

Il est sp??cul?? que la premi??re utilisation connue de num??ros remonte aux alentours de 30 000 BC, les os ou d'autres objets ont ??t?? d??couverts avec des marques coup??s en eux qui sont souvent consid??r??s marques de pointage. L'utilisation de ces marques de pointage ont ??t?? sugg??r??es ?? ??tre quelque chose de compter le temps ??coul??, comme le nombre de jours, ou la tenue de registres des montants.

Syst??mes de d??pouillement ont aucune id??e de la valeur de position (comme dans la notation d??cimale utilis??e actuellement), ce qui limite sa repr??sentation des grands nombres et en tant que telle est souvent consid??r?? que ce est le premier type de syst??me abstrait qui serait utilis??e, et pourrait ??tre consid??r?? comme un Syst??me num??rique.

Le premier syst??me connu avec de valeur de l'est M??sopotamienne syst??me en base 60 (ca. 3400 BC) et le syst??me de base connue plus t??t 10 dates pour 3100 avant JC en Egypte .

Histoire de z??ro

L'utilisation de z??ro comme un certain nombre doit ??tre distingu?? de son utilisation comme un chiffre d'espace r??serv?? dans place des syst??mes de valeur. Beaucoup de textes indiens anciens utilisent un sanscrit mot Shunya de se r??f??rer ?? la notion de vide; dans les textes de math??matiques ce mot serait souvent utilis?? pour d??signer le nombre z??ro. . Dans la m??me veine, Pāṇini ( 5??me si??cle avant JC) a utilis?? le nul (z??ro) op??rateur (soit un production lambda) dans la Ashtadhyayi, son grammaire alg??brique pour le sanscrit langue. (Voir aussi Pingala)

Les dossiers montrent que les Grecs de l'Antiquit?? semblait incertain au sujet de l'??tat de z??ro comme un nombre: ils se demandaient ??comment peut?? rien ??quelque chose?" conduisant ?? int??ressante philosophique et, par la p??riode m??di??vale, des arguments religieux sur la nature et l'existence de z??ro et le vide. Le paradoxes de Z??non d'El??e d??pend en grande partie sur l'interpr??tation incertaine de z??ro. (Les anciens Grecs m??me demand?? si une ??tait un nombre.)

La fin des olm??ques gens du centre-sud du Mexique ont commenc?? ?? utiliser un vrai z??ro (un glyphe de coquille) dans le Nouveau Monde ??ventuellement par le 4??me si??cle avant JC, mais certainement par 40 BC, qui est devenu une partie int??grante de Num??ration maya et la Calendrier maya, mais n'a pas influenc?? anciens syst??mes de num??ration monde.

Par 130, Ptol??m??e , influenc??e par Hipparque et les Babyloniens, utilisait un symbole pour z??ro (un petit cercle avec une longue barre sup??rieure) dans un syst??me de num??ration sexag??simal utilisant autrement alphab??tique Chiffres grecs. Parce qu'il a ??t?? utilis?? seul, et pas seulement comme un espace r??serv?? ce, Z??ro hell??nistique ??tait la premi??re utilisation document??e d'un v??ritable z??ro dans le Vieux Monde. En plus tard byzantines manuscrits de son Syntaxis Mathematica (Almageste), le z??ro hell??nistique avait transform?? dans la lettre grecque omicron (sinon ce qui signifie 70).

Un autre z??ro absolu a ??t?? utilis?? dans les tableaux aux c??t??s de chiffres romains par 525 (premi??re utilisation connue par Denys le Petit), mais comme un mot, nulla signifie rien, pas comme un symbole. Lorsque la division produit z??ro comme un reste, nihil, ce qui signifie ??galement rien, a ??t?? utilis??. Ces z??ros m??di??vales ont ??t?? utilis??s par tous les futurs m??di??vale computists (calculatrices de P??ques ). Une utilisation isol??e de leur initiale, N, a ??t?? utilis?? dans un tableau de chiffres romains par Bede ou un coll??gue 725, un v??ritable symbole z??ro.

Une utilisation document??e d??but du z??ro Brahmagupta (dans le Brahmasphutasiddhanta) remonte ?? 628. Il trait??s z??ro comme un nombre et des op??rations impliquant Il a discut??, y compris division. En ce moment (7??me si??cle) le concept avait clairement atteint le Cambodge , et de la documentation montre l'id??e se diffuse ensuite ?? la Chine et l' islamique monde.

Histoire des nombres n??gatifs

Le concept abstrait des nombres n??gatifs a ??t?? reconnu d??s 100 BC - 50 avant JC. Les chinoise " Neuf chapitres sur l'art math??matique ??(Jiu-zhang suanshu) contient m??thodes pour trouver les zones de chiffres; tiges rouges ont ??t?? utilis??s pour d??signer positif coefficients, noir pour le n??gatif. Ce est la plus ancienne mention connue des nombres n??gatifs dans l'Est; la premi??re r??f??rence dans un ouvrage ouest ??tait dans le 3??me si??cle en Gr??ce . Diophante vis??e ?? l'??quivalent d'??quation pour (La solution serait n??gative) Arithmetica, en disant que l'??quation a donn?? un r??sultat absurde.

Pendant le 600s, les nombres n??gatifs ??taient en usage dans l'Inde pour repr??senter dettes. R??f??rence pr??c??dente de Diophante a ??t?? discut?? de fa??on plus explicite par le math??maticien indien Brahmagupta, dans Brahma-Sphuta-Siddhanta 628, qui a utilis?? des nombres n??gatifs pour produire la forme g??n??rale formule quadratique qui reste en usage aujourd'hui. Toutefois, dans le 12??me si??cle en Inde, Bhaskara donne racines n??gatives pour les ??quations du second degr??, mais dit la valeur n??gative "est dans ce cas de ne pas ??tre pris, car il est insuffisant, les gens ne approuvent pas de racines n??gatives."

Europ??ennes math??maticiens, pour la plupart, ont r??sist?? ?? la notion de nombres n??gatifs jusqu'?? ce que le 17??me si??cle , bien que Fibonacci permis solutions n??gatives dans les probl??mes financiers o?? ils pourraient ??tre interpr??t??s comme des d??bits (chapitre 13 Liber Abaci, 1202) et plus tard comme des pertes (en Flos). Dans le m??me temps, les Chinois ont ??t?? indiquant les nombres n??gatifs en dessinant un trait diagonal par le chiffre le plus ?? droite du chiffre non nul du nombre positif correspondant. La premi??re utilisation de nombres n??gatifs dans une ??uvre europ??enne ??tait par CHUQUET pendant le 15??me si??cle . Il les utilise comme exposants , mais les a qualifi??s de "num??ros absurdes".

Aussi r??cemment que le 18??me si??cle , le Swiss math??maticien Leonhard Euler croit que les nombres n??gatifs ??taient sup??rieures ?? l'infini , et ce ??tait pratique courante pour ignorer les r??sultats n??gatifs retourn??s par des ??quations sur l'hypoth??se qu'ils ??taient de sens, tout comme Ren?? Descartes a fait avec des solutions n??gatives dans un syst??me de coordonn??es cart??siennes .

Histoire des nombres rationnels, irrationnels et r??els

Histoire des nombres rationnels

Il est probable que la notion de date de nombres fractionnaires la pr??histoire. M??me le Les anciens Egyptiens ont ??crit des textes math??matiques d??crivant comment convertir g??n??rales fractions dans leur notation sp??ciale. Math??maticiens grecs et indiens classiques faites des ??tudes sur la th??orie des nombres rationnels, dans le cadre de l'??tude g??n??rale de la th??orie des nombres . Le plus connu d'entre eux est ??l??ments d'Euclide , datant ?? environ 300 BC. Parmi les textes indiens, le plus pertinent est le Sthananga Sutra, qui couvre ??galement la th??orie des nombres dans le cadre d'une ??tude g??n??rale des math??matiques.

Le concept de fractions d??cimales est ??troitement li??e ?? la notation lieu de valeur d??cimale; les deux semblent avoir d??velopp?? en tandem. Par exemple, il est fr??quent que les sutras math??matiques Jain ?? comprennent les calculs de approximations d??cimal fraction de PI ou de la racine carr??e de deux. De m??me, les textes math??matiques babyloniennes avaient toujours utilis?? fractions sexag??simaux avec une grande fr??quence.

Histoire de nombres irrationnels

La premi??re utilisation connue des nombres irrationnels ??tait dans l' Indien Sulba soutras compos??es entre 800 500 av. Les premi??res preuves de l'existence de nombres irrationnels est g??n??ralement attribu??e ?? Pythagore , plus sp??cifiquement ?? la Pythagoricien Hippasus de M??taponte, qui a produit un (g??om??trique plus probable) la preuve de l'irrationalit?? de la racine carr??e de 2. L'histoire raconte que Hippasus d??couvert nombres irrationnels en essayant de d??fendre la racine carr??e de 2, comme une fraction. Cependant Pythagore croyait en l'absolu de num??ros, et ne pouvait pas accepter l'existence de nombres irrationnels. Il ne pouvait pas infirmer leur existence ?? travers la logique, mais ses convictions ne serait pas accepter l'existence de nombres irrationnels et donc il condamn?? ?? mort Hippasus par noyade.

Le XVIe si??cle a vu l'acceptation d??finitive par les Europ??ens de n??gatifs , int??grales et fractions num??ros. Le XVIIe si??cle a vu fractions d??cimales avec la notation moderne assez g??n??ralement utilis?? par les math??maticiens. Mais ce ne ??tait pas jusqu'?? ce que le XIXe si??cle que les irrationnels ont ??t?? s??par??s en pi??ces alg??briques et transcendantes, et une ??tude scientifique de la th??orie des irrationnels a ??t?? une fois de plus. Il ??tait rest?? en sommeil depuis pr??s de Euclid . L'ann??e 1872 a vu la publication des th??ories de Karl Weierstrass (par son ??l??ve Kossak), Heine ( Crelle, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), et Richard Dedekind. M??ray avait pris en 1869 le m??me point de d??part que Heine, mais la th??orie est g??n??ralement appel?? ?? l'ann??e 1872. La m??thode de Weierstrass a ??t?? compl??tement ??nonc??e par Salvatore Pincherle (1880), et a re??u de Dedekind importance suppl??mentaire par le travail de l'auteur plus tard (1888) et l'approbation r??cente par Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor et Heine fondent leurs th??ories sur la s??rie infinie, alors que Dedekind fonde son sur l'id??e d'un couper (Schnitt) dans le syst??me des nombres r??els , en s??parant tous les nombres rationnels en deux groupes ayant certaines propri??t??s caract??ristiques. Le sujet a re??u des contributions ult??rieures aux mains de Weierstrass, Kronecker (Crelle, 101), et M??ray.

Fractions continues, ??troitement li??s ?? des nombres irrationnels (et en raison de Cataldi, 1613), ont re??u une attention aux mains de Euler , et ?? l'ouverture de la dix-neuvi??me si??cle ont ??t?? mis en ??vidence ?? travers les ??crits de Joseph Louis Lagrange . Autres contributions remarquables ont ??t?? r??alis??s par Druckenm??ller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), et G??nther (1872). Ramus (1855) d'abord connect?? le sujet avec les d??terminants , r??sultant, avec les contributions ult??rieures de Heine, M??bius, et G??nther, dans la th??orie de Kettenbruchdeterminanten. Dirichlet ??galement ajout?? ?? la th??orie g??n??rale, de m??me que de nombreux contributeurs aux applications de l'objet.

Nombres transcendants et reals

Les premiers r??sultats concernant les num??ros de transcendantales ??taient 1761 la preuve de Lambert que π ne peut pas ??tre rationnel, et que e ⁿ est irrationnel si n est rationnel (sauf si n = 0). (La constante e a ??t?? mentionn??e en premier 1618 travaux de Napier sur logarithmes .) Legendre a ??tendu cette preuve a montr?? que π ne est pas la racine carr??e d'un nombre rationnel. La recherche des racines de quintique et les ??quations de degr?? plus ??lev?? ??tait un d??veloppement important, le Th??or??me d'Abel ( Ruffini 1799, Abel 1824) a montr?? qu'ils ne pouvaient pas ??tre r??solus par radicaux (formule impliquant uniquement des op??rations arithm??tiques et racines). Par cons??quent, il ??tait n??cessaire de consid??rer l'ensemble plus large de nombres alg??briques (toutes les solutions aux ??quations polynomiales). Galois (1832) li??e ??quations polynomiales ?? la th??orie des groupes donnant lieu au domaine de la th??orie de Galois .

M??me l'ensemble des nombres alg??briques ne ??tait pas suffisante et l'ensemble des nombres r??els comprend nombres transcendants. L'existence de ce qui a ??t?? constitu??e en Liouville (1844, 1851). Hermite prouv?? en 1873 que e est transcendantale et Lindemann a prouv?? en 1882 que π est transcendant. Enfin Cantor montre que l'ensemble de tous les nombres r??els est ind??nombrablement infini, mais l'ensemble de tous nombres alg??briques est infini d??nombrable, donc il ya un nombre infini de ind??nombrablement nombres transcendants.

Infini

La conception plus ancienne connue de math??matique l'infini appara??t dans la Yajur Veda, qui ?? un moment donn?? d??clare "si vous retirez une partie de l'infini ou d'ajouter une partie ?? l'infini, ce qui reste encore est l'infini". Infinity est un sujet populaire d'??tude philosophique parmi les Jain math??maticiens circa 400 BC. Ils distinguent cinq types de l'infini: infinies dans une et deux directions, infini dans la zone, infini partout, et infini perp??tuellement.

Dans l'Ouest, la notion traditionnelle de l'infini math??matique a ??t?? d??fini par Aristote , qui fait la distinction entre infini actuel et infinit?? potentielle; le consensus g??n??ral est que seul ce dernier avait vraie valeur. Galileo s ' Deux nouvelles sciences ont discut?? de l'id??e de one-to-one correspondance entre ensembles infinis. Mais la prochaine avanc??e majeure dans la th??orie a ??t?? faite par Georg Cantor ; en 1895 , il a publi?? un livre sur sa nouvelle th??orie des ensembles , introduisant, entre autres choses, le hypoth??se continuum.

Une version moderne de l'infini g??om??trique est donn??e par la g??om??trie projective, qui introduit "points id??aux ?? l'infini??, un pour chaque direction spatiale. Chaque famille de lignes parall??les dans une direction donn??e est postul?? ?? converger vers le point id??al correspondant. Ceci est ??troitement li?? ?? l'id??e de points de fuite dans dessin en perspective.

Les nombres complexes

La premi??re r??f??rence ??ph??m??re aux racines carr??es de nombres n??gatifs se est produite dans le travail du math??maticien et inventeur H??ron d'Alexandrie dans le 1er si??cle apr??s JC, quand il a examin?? le volume d'un impossible un tronc de pyramide . Ils sont devenus plus importants lorsque dans le 16??me si??cle formules ferm?? pour les racines des polyn??mes troisi??me et quatri??me degr?? ont ??t?? d??couverts par les math??maticiens italiens (voir Niccolo Fontana Tartaglia, J??r??me Cardan). Il est vite rendu compte que ces formules, m??me si l'on ??tait seulement int??ress?? par des solutions r??elles, parfois n??cessaires la manipulation des racines carr??es des nombres n??gatifs.

Ce ??tait doublement troublante, car ils ne ont m??me pas envisager les nombres n??gatifs d'??tre sur la terre ferme ?? l'??poque. Le terme ??imaginaire?? pour ces quantit??s a ??t?? invent?? par Ren?? Descartes 1637 et qui devait ??tre d??rogatoire (voir nombre imaginaire pour une discussion sur la ??r??alit???? des nombres complexes). Une autre source de confusion est que l'??quation

semblait ??tre capricieusement incompatible avec l'identit?? alg??brique

,

qui est valable pour r??el positif nombres a et b, et qui a ??galement ??t?? utilis?? dans les calculs de nombres complexes avec l'un des a, b positif et l'autre n??gatif. L'utilisation incorrecte de cette identit??, et l'identit?? li??es

dans le cas o?? a et b sont n??gatifs, m??me tourment?? Euler . Cette difficult?? a conduit par la suite ?? la convention d'utiliser le symbole sp??cial i ?? la place de √-1 pour se pr??munir contre cette erreur.

Le 18??me si??cle a vu les travaux de Abraham de Moivre et Leonhard Euler . Pour De Moivre est due (1730) la formule bien connue qui porte son nom, la formule de de Moivre:

et ?? Euler (1748) La formule d'Euler de analyse complexe:

L'existence de nombres complexes ne ??tait pas compl??tement accept?? jusqu'?? ce que le interpr??tation g??om??trique avait ??t?? d??crit par Caspar Wessel en 1799 ; il a ??t?? red??couvert quelques ann??es plus tard et popularis?? par Carl Friedrich Gauss , et par cons??quent la th??orie des nombres complexes a re??u une expansion notable. L'id??e de la repr??sentation graphique des nombres complexes ??tait apparu, cependant, d??s 1685, dans Le Tractatus de l'alg??bre de Wallis.

Aussi en 1799, Gauss a fourni la premi??re preuve g??n??ralement reconnus du th??or??me fondamental de l'alg??bre, montrant que tout polyn??me sur les nombres complexes a un ensemble complet de solutions dans ce domaine. L'acceptation g??n??rale de la th??orie des nombres complexes ne est pas un peu en raison de travaux de Augustin Louis Cauchy et Niels Henrik Abel, et surtout ce dernier, qui ??tait le premier ?? utiliser hardiment nombres complexes avec un succ??s qui est bien connu.

Gauss ??tudi?? nombres complexes de la forme a + bi, o?? a et b sont solidaires, ou rationnelle (et i est l'un des deux racines de x ² + 1 = 0). Son ??l??ve, Ferdinand Eisenstein, a ??tudi?? le type a + bω, o?? ω est une racine complexe de x ^3-1 = 0. D'autres ces classes (appel?? corps cyclotomiques) de nombres complexes sont d??riv??es de la racines de l'unit?? x ^k - 1 = 0 pour des valeurs plus ??lev??es de k. Cette g??n??ralisation est largement d?? ?? Ernst Kummer, qui a aussi invent?? num??ros id??ales, qui ont ??t?? exprim??s comme des entit??s g??om??triques par Felix Klein en 1893. La th??orie g??n??rale des champs a ??t?? cr???? par ??variste Galois, qui a ??tudi?? les champs g??n??r??s par les racines de toute ??quation polynomiale F (x) = 0.

En 1850 Victor Puiseux Alexandre a pris l'??tape cl?? de distinguer entre les p??les et les points de branchement, et introduit le concept de points singuliers essentielles; ce serait ??ventuellement conduire ?? la notion de ??tendue plan complexe.

Nombres premiers

Les nombres premiers ont ??t?? ??tudi??s ?? travers l'histoire enregistr??e. Euclid consacr?? un livre des ??l??ments ?? la th??orie des nombres premiers; en elle il a prouv?? l'infinit?? des nombres premiers et le th??or??me fondamental de l'arithm??tique , et a pr??sent?? le Algorithme d'Euclide pour trouver le plus grand commun diviseur des deux nombres.

En 240 BC, Eratosth??ne a utilis?? le Crible d'??ratosth??ne d'isoler rapidement les nombres premiers. Mais plus la poursuite du d??veloppement de la th??orie des nombres premiers en Europe remonte ?? la Renaissance et des ??poques ult??rieures.

En 1796 , Adrien-Marie Legendre conjectur?? le th??or??me des nombres premiers, d??crivant la distribution asymptotique des nombres premiers. Autres r??sultats concernant la r??partition des nombres premiers comprennent la preuve de Euler que la somme des inverses des nombres premiers diverge et la conjecture de Goldbach qui pr??tend que toute assez grand nombre pair est la somme de deux nombres premiers. Une autre hypoth??se relative ?? la r??partition des nombres premiers est le Hypoth??se de Riemann, formul??e par Bernhard Riemann dans 1859 . Le th??or??me des nombres premiers a finalement ??t?? prouv?? par Jacques Hadamard et Charles de la Vall??e-Poussin en 1896 .