Nombre r??el

Renseignements g??n??raux

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En math??matiques , les nombres r??els peuvent ??tre d??crits de mani??re informelle que les num??ros qui peuvent ??tre donn??s par une infinie repr??sentation d??cimale, comme 2,4871773339 .... Les nombres r??els comprennent ?? la fois des nombres rationnels , tels que 42 et -23 / 129, et nombres irrationnels , tels que π et de la racine carr??e de 2, et peut ??tre repr??sent?? comme points le long d'une longueur infinie num??ro de ligne.

Une d??finition plus rigoureuse des nombres r??els a ??t?? l'un des d??veloppements les plus importants de la 19??me si??cle math??matiques. D??finitions populaires en usage aujourd'hui comprennent classes d'??quivalence de Suites de Cauchy de nombres rationnels, Coupures de Dedekind, une version plus sophistiqu??e de ??repr??sentation d??cimale", et une d??finition axiomatique des nombres r??els comme uniques complet Archim??de ordonn?? domaine.

Les chiffres r??els de noms se lev??rent pour les distinguer de ce qu'on appelait alors nombres imaginaires (et maintenant des nombres complexes ).

Propri??t??s de base

Un nombre r??el peut ??tre soit rationnelle ou irrationnelle ; non plus alg??brique ou transcendantale; et soit positif, n??gatif , ou z??ro .

Mesure des nombres r??els les quantit??s continues. Ils peuvent, en th??orie, ??tre exprim??es par repr??sentations d??cimales qui ont une suite infinie de chiffres ?? la droite de la virgule; ceux-ci sont souvent repr??sent??s dans la m??me forme que 324,823211247 ... Le points de suspension (trois points) indiquent qu'il y aurait encore plus de chiffres ?? venir.

Plus formellement, nombres r??els ont les deux propri??t??s de base d'??tre un corps ordonn??, et ayant la propri??t?? limite sup??rieure moins. Le premier dit que les nombres r??els comprennent un terrain, avec l'addition et la multiplication ainsi que la division par des nombres diff??rents de z??ro, ce qui peut ??tre totalement ordonn?? sur un num??ro de ligne d'une mani??re compatible avec l'addition et la multiplication. Le second dit que si un ensemble non vide de nombres r??els a un limite sup??rieure, alors il a une borne sup??rieure. Ces deux d??finissent ensemble les nombres r??els compl??tement, et permettre ?? ses autres propri??t??s pour ??tre d??duites. Par exemple, nous pouvons prouver ?? partir de ces propri??t??s que chaque polyn??me de degr?? impair ?? coefficients r??els a une racine r??elle, et que si vous ajoutez la racine carr??e de -1 aux nombres r??els, obtenir les nombres complexes , le r??sultat est alg??briquement clos.

Utilisations

Mesures dans les sciences physiques sont presque toujours con??ues comme des approximations de nombres r??els. Bien que les chiffres utilis??s ?? cette fin sont g??n??ralement fractions d??cimales repr??sentant des nombres rationnels, les ??crire en termes d??cimaux sugg??re qu'ils sont une approximation d'un nombre r??el sous-jacent th??orique.

Un nombre r??el est dit ??tre calculable se il existe un algorithme qui donne ses chiffres. Parce qu'il ya seulement d??nombrable de nombreux algorithmes, mais un nombre incalculable de reals, la plupart des nombres r??els ne sont pas calculable. Certains constructivistes acceptent l'existence des seuls r??els qui sont calculables. L'ensemble des num??ros d??finissables est plus large, mais encore que d??nombrable.

Ordinateurs ne peuvent approcher la plupart des nombres r??els. Le plus souvent, ils peuvent repr??senter un certain sous-ensemble des rationnels exactement, soit par nombres ?? virgule flottante ou Les nombres ?? virgule fixe, et ces rationnels sont utilis??s comme une approximation pour d'autres valeurs r??elles ?? proximit??. Arithm??tique multipr??cision est une m??thode pour repr??senter des nombres rationnels arbitraires, limit?? uniquement par la la m??moire, mais le plus souvent on utilise un nombre fixe de bits de pr??cision d??termin??es par la taille de la registres du processeur. En plus de ces valeurs rationnelles, syst??mes de calcul formel sont en mesure de traiter de nombreux (d??nombrables) nombres irrationnels exactement en stockant une description alg??brique (comme "sqrt (2)??) plut??t que leur approximation rationnelle. Notez que quelques langages de programmation utilisent ??r??el?? pour d??crire leur principale num??rique type de donn??es, tel que AppleScript.

Les math??maticiens utilisent le symbole R (ou encore, $\ Bbb {R}$ , La lettre " R " tableau noir gras, Unicode ℝ) pour repr??senter le ensemble des nombres r??els. Le R ⁿ notation fait r??f??rence ?? une n - l'espace de dimension avec des coordonn??es r??elles; par exemple, une valeur de R ³ est constitu??e de trois nombres r??els et sp??cifie un emplacement dans l'espace ?? 3 dimensions.

En math??matiques, r??el est utilis?? comme un adjectif, ce qui signifie que le champ sous-jacent est le domaine des nombres r??els. Par exemple r??el matrice , v??ritable polynomiale et r??elle Alg??bre de Lie. En fond, le terme est utilis?? presque strictement r??f??rence aux nombres r??els, eux-m??mes (par exemple, L '??ensemble de tous les r??els??).

Histoire

Fractions vulgaires avaient ??t?? utilis??s par le Egyptiens autour 1000 BC; la V??dique " Sulba Sutras "(" r??gle d'accords "en sanscrit ), ca. 600 BC, comprennent ce que peut ??tre la premi??re ??utilisation?? des nombres irrationnels .

Autour 500 avant JC, les grecs math??maticiens dirig??s par Pythagore a r??alis?? la n??cessit?? pour les nombres irrationnels , en particulier l'irrationalit?? de la racine carr??e de deux.

Dans les 18e et 19e si??cles, il y avait beaucoup de travail sur irrationnelle et nombres transcendants. Lambert (1761) a donn?? la premi??re preuve vici?? que π ne peut pas ??tre rationnel, Legendre (1794) a compl??t?? la preuve, et a montr?? que π ne est pas la racine carr??e d'un nombre rationnel. Ruffini (1799) et Preuves Abel (1842), tous deux construits de Th??or??me d'Abel: que le g??n??ral ??quations quintiques ou plus ne peuvent pas ??tre r??solus par une formule g??n??rale ne impliquant que des op??rations arithm??tiques et les racines.

??variste Galois (1832) a d??velopp?? des techniques pour d??terminer si une ??quation donn??e pourrait ??tre r??solu par les radicaux qui ont donn?? lieu au domaine de la th??orie de Galois . Joseph Liouville (1840) a montr?? que ni ni e e ² peuvent ??tre une racine d'un nombre entier ??quation quadratique , et de l'existence alors ??tabli des nombres transcendants, la preuve ??tant ensuite d??plac??e par Georg Cantor (1873). Charles Hermite (1873) a prouv?? que la premi??re e est transcendantale, et Ferdinand von Lindemann (1882), a montr?? que π est transcendant. La preuve de Lindemann a ??t?? beaucoup simplifi??e par Weierstrass (1885), encore par David Hilbert (1893), et a finalement ??t?? fait ??l??mentaire par Hurwitz et Paul Albert Gordan.

Le d??veloppement de calcul dans les ann??es 1700 utilis?? l'ensemble des nombres r??els sans les avoir d??fini proprement. La premi??re d??finition rigoureuse a ??t?? donn??e par Georg Cantor en 1871 . En 1874, il a montr?? que l'ensemble des nombres r??els est ind??nombrablement infini, mais l'ensemble de tous nombres alg??briques est infini d??nombrable. Contrairement ?? des croyances largement r??pandues, sa m??thode ne ??tait pas son c??l??bre argument de la diagonale, qu'il publia en 1891.

D??finition

Construction des nombres rationnels

Les nombres r??els peuvent ??tre construits comme un ach??vement des nombres rationnels de telle sorte qu'une s??quence d??finie par une virgule ou une expansion binaire comme {3, 3,1, 3,14, 3,141, 3,1415, ...} converge vers un nombre r??el unique. Pour plus de d??tails et d'autres constructions de nombres r??els, voir construction des nombres r??els.

Approche axiomatique

Soit R le ensemble des nombres r??els. Puis:

L'ensemble R est un terrain, ce qui signifie que plus et la multiplication sont d??finis et poss??dent les propri??t??s habituelles.
Le champ R est ordonn??, ce qui signifie qu'il existe un ≥ total de la commande de telle sorte que, pour tous les nombres r??els x, y et z:
- si x ≥ y, alors x + z ≥ y + z;
- si x ≥ 0 et y ≥ 0, alors xy ≥ 0.
L'ordre est Dedekind-compl??te; ce est, tous les non vide sous-ensemble S de R avec un borne sup??rieure dans la R a une borne sup??rieure (??galement appel??e borne sup??rieure) dans la R.

La derni??re propri??t?? est ce qui diff??rencie les r??els des rationnels . Par exemple, l'ensemble des rationnels avec carr?? ?? moins de 2 a une limite sup??rieure rationnelle (par exemple, 1,5), mais pas moins rationnelle borne sup??rieure, parce que la racine carr??e de 2 ne est pas rationnel.

Les nombres r??els sont sp??cifi??s uniquement par les propri??t??s ci-dessus. Plus pr??cis??ment, donn?? aucun deux champs command??s Dedekind-complets R ₁ et R _2, il existe un champ unique isomorphisme de R ₁ ?? R _2, qui nous permet de les consid??rer comme essentiellement le m??me objet math??matique.

Pour un autre axiomatisation de R, voir L'axiomatisation de Tarski des r??els.

Propri??t??s

??tat complet

La principale raison pour introduire les r??els est que les r??els contiennent toutes les limites . Plus techniquement, les r??els sont complet (au sens de espaces m??triques ou espaces uniformes, ce qui est un sens diff??rent de l'exhaustivit?? Dedekind de l'ordre dans la section pr??c??dente). Cela signifie ce qui suit:

Une s??quence (x _n) de nombres r??els est appel??e Cauchy si pour tout ε> 0, il existe un entier N (??ventuellement en fonction de ε) de telle sorte que la distance de | x _n - x _m | est inf??rieure ?? ε pour tout n et m qui sont ?? la fois sup??rieur ?? N. En d'autres termes, une s??quence est un Cauchy si les ??l??ments x et _n sont ??ventuellement arbitrairement restent proches les uns des autres.

Une s??quence (x _n) converge vers la limite x si pour tout ε> 0, il existe un entier N (??ventuellement en fonction de ε) de telle sorte que la distance | x _n - x | est inf??rieure ?? ε pour autant que n est sup??rieur ?? N. En d'autres termes, une s??quence a la limite x si ses ??l??ments ??ventuellement viennent et restent arbitrairement proche de x.

Il est facile de voir que chaque suite convergente est une suite de Cauchy. Un fait important sur les nombres r??els, ce est que l'inverse est ??galement vrai:

Chaque suite de Cauchy de nombres r??els est convergente.

Ce est, les r??els sont complets.

Notez que les rationnels ne sont pas compl??tes. Par exemple, la s??quence (1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, 1,41421, ...) mais il est de Cauchy ne converge pas vers un nombre rationnel. (Dans les nombres r??els, en revanche, elle converge vers la racine carr??e de 2.)

L'existence de limites de suites de Cauchy est ce qui rend le calcul travail et est d'une grande utilit?? pratique. Le test num??rique standard pour d??terminer si une s??quence a une limite est de tester si ce est une suite de Cauchy, que la limite est g??n??ralement pas connue ?? l'avance.

Par exemple, la s??rie standard de la fonction exponentielle

$\ Mathrm {e} ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n!}$

converge vers un nombre r??el parce que pour chaque x sommes

$\ Sum_ {n = N} ^ {M} \ frac {x ^ n} {n!}$

peut ??tre faite en choisissant arbitrairement petit N suffisamment grand. Cela prouve que la s??quence est Cauchy, donc nous savons que la suite converge m??me si la limite ne est pas connue ?? l'avance.

"Le champ compl??te ordonn????

Les nombres r??els sont souvent d??crits comme ??le champ compl??te ordonn????, une phrase qui peut ??tre interpr??t?? de plusieurs fa??ons.

Tout d'abord, un ordre peut ??tre treillis complet. Il est facile de voir que pas de champ peut ??tre command?? treillis compl??te, car elle peut avoir aucun ??l??ment plus grand (donn?? aucun ??l??ment z, z + 1 est plus grand), donc ce ne est pas le sens que l'on entend.

En outre, une ordonnance peut ??tre Dedekind-compl??te, telle que d??finie dans les axiomes de la section. Le r??sultat d'unicit??, ?? la fin de cet article justifie l'utilisation du mot "le" "complet de la rubrique ordonn??e" dans la phrase lorsque ce est le sens de ??complet?? qui est destin??. Ce sentiment de compl??tude est le plus ??troitement li??e ?? la construction des r??els de coupures de Dedekind, depuis que la construction commence ?? partir d'un corps ordonn?? (les rationnels) et constitue la Dedekind-ach??vement de celui-ci d'une mani??re standard.

Ces deux notions de compl??tude ignorent la structure sur le terrain. Cependant, un groupe ordonn?? (dans ce cas, le groupe d'additifs du champ) d??finit un structure uniforme, et des structures uniformes ont une notion de exhaustivit?? (topologie); la description dans la section Exhaustivit?? ci-dessus est un cas particulier. (Nous nous r??f??rons ?? la notion de compl??tude dans les espaces uniformes plut??t que la notion apparent??e et mieux connu pour espaces m??triques, depuis la d??finition de l'espace m??trique repose sur ayant d??j?? une caract??risation des nombres r??els.) Ce ne est pas vrai que R est le domaine ordonn??e que uniforme complet, mais ce est la seule mani??re uniforme compl??te Champ d'Archim??de, et en effet on entend souvent l'expression ??champ d'Archim??de compl??te" au lieu de "remplir le champ ordonn??". Comme il peut ??tre prouv?? que ne importe quel domaine d'Archim??de uniforme complet doit ??galement ??tre Dedekind-compl??te (et vice versa, bien s??r), cela justifie en utilisant ??la?? dans la phrase ??le champ d'Archim??de compl??te". Ce sentiment de compl??tude est le plus ??troitement li??e ?? la construction des r??els de suites de Cauchy (la construction r??alis??e en plein dans cet article), car il commence avec un champ d'Archim??de (les rationnels) et forme l'ach??vement uniforme dans une norme fa??on.

Mais l'utilisation originale de l'expression ??sur le terrain d'Archim??de compl??te" ??tait par David Hilbert , qui voulait encore dire quelque chose par elle. Il voulait dire que les nombres r??els forment le plus grand champ d'Archim??de dans le sens que tous les autres domaines d'Archim??de est un sous-corps de R. Ainsi R est "complet" en ce sens que plus rien ne peut y ??tre ajout?? sans en faire plus un champ d'Archim??de. Ce sentiment de compl??tude est le plus ??troitement li??e ?? la construction des r??els de num??ros surr??alistes, depuis que la construction commence par une classe appropri??e qui contient tous les corps ordonn?? (les surreals) puis s??lectionne de lui le plus grand sous-champ d'Archim??de.

Propri??t??s avanc??es

Les r??els sont incalculable; ce est, il ya strictement plus nombres r??els que nombres naturels , m??me si les deux ensembles sont infinies . En fait, la cardinalit?? des r??els est ??gale ?? celle de l'ensemble des sous-ensembles des nombres naturels, et Argument de la diagonale de Cantor affirme que le cardinal de ce dernier ensemble est strictement plus grand que le cardinal de N. Puisque seulement un ensemble d??nombrable de nombres r??els peut ??tre alg??brique, presque tous les nombres r??els sont transcendantale. Le non-existence d'un sous-ensemble des nombres r??els avec cardinalit?? strictement entre celle des nombres entiers et les nombres r??els est connu comme le hypoth??se continuum. L'hypoth??se de continuum ne peut ??tre ni prouv??e ni ??tre r??fut??e; il est ind??pendante des axiomes de la th??orie des ensembles .

Les nombres r??els forment un espace m??trique la distance entre X et Y est d??fini comme ??tant la valeur absolue | x - y |. En vertu d'??tre un totalement ordonn?? ensemble, ils portent aussi un commander topologie; la topologie d??coulant de la m??trique et celui r??sultant de l'ordre sont identiques. Les r??els sont un contractile (d'o?? et reli?? simplement connexe), espace m??trique s??parable dimension 1, et sont partout dense. Les nombres r??els sont localement compact mais pas compacte . Il existe diff??rentes propri??t??s qui sp??cifient uniquement eux; par exemple, toutes les bornes, connect??, et s??parable ordre topologies sont n??cessairement hom??omorphe aux r??els.

Tout nombre r??el positif poss??de une racine carr??e dans R, et aucun nombre n??gatif fait. Cela montre que l'ordre de R est d??termin??e par sa structure alg??brique. En outre, chaque polyn??me de degr?? impair admet au moins une racine: ces deux propri??t??s en font R le premier exemple d'un corps r??el clos. Prouver ce est la premi??re moiti?? d'une preuve de la th??or??me fondamental de l'alg??bre.

Les r??els portent une canonique mesurer, le Mesure de Lebesgue, qui est la Mesure de Haar sur leur structure en tant que groupe topologique normalis?? de telle sorte que le intervalle unit?? [0,1] a mesure 1.

L'axiome de supremum des r??els se r??f??re ?? des sous-ensembles des reals et est donc une instruction logique de second ordre. Il ne est pas possible de caract??riser les r??els avec logique du premier ordre seul: le L??wenheim-Skolem implique qu'il existe un sous-ensemble d??nombrable dense des nombres r??els satisfaisant exactement les m??mes phrases en logique du premier ordre que les nombres r??els eux-m??mes. L'ensemble des num??ros hyperr??els remplit les m??mes premi??res phrases d'ordre que R. Champs command??s qui satisfont les m??mes phrases de premier ordre que sont appel??s R mod??les non standard de R. Ce est ce qui rend travail d'analyse non standard; en prouvant une d??claration du premier ordre en quelque mod??le standard (qui peut ??tre plus facile que de prouver dans R), nous savons que la m??me d??claration doit ??tre ??galement vrai de R.

G??n??ralisations et extensions

Les nombres r??els peuvent ??tre g??n??ralis??s et ??tendus dans plusieurs directions diff??rentes:

Les nombres complexes contiennent des solutions ?? tous les polyn??mes ??quations et sont donc un alg??briquement champ clos contrairement aux nombres r??els. Cependant, les nombres complexes ne sont pas un corps ordonn??.
Le affine ??tendu syst??me de nombre r??el ajoute deux ??l??ments + ∞ et -∞. Ce est un espace compact . Il ne est plus un champ, m??me pas un groupe additif; il a encore un total de la commande; en outre, ce est un treillis complet.
Le droite projective r??elle ajoute seule ∞ de valeur. Ce est aussi un espace compact. Encore une fois, il ne est plus un champ, m??me pas un groupe additif. Toutefois, il permet de division d'un ??l??ment non nul par z??ro. Il ne est plus ordonn??.
Le longue lign??e r??elle colle ensemble ℵ ₁ * + ℵ _une copie de la ligne r??elle plus un seul point (ici ℵ ₁ * d??signe l'ordre inverse de ℵ ₁₎ pour cr??er un ensemble ordonn?? qui est ??localement?? identiques aux nombres r??els, mais en quelque sorte plus; par exemple, il est un plongement de pr??servant l'ordre de ₁ ℵ dans la longue lign??e r??el, mais pas dans les nombres r??els. La longue ligne r??elle est le plus grand ensemble ordonn?? qui est archim??dien compl??te et localement. Comme avec les deux exemples pr??c??dents, cet ensemble ne est plus un champ ou d'un additif groupe.
Champs command??s ??tendant les r??els sont les et le nombre hyperr??els num??ros surr??alistes; deux d'entre eux contiennent num??ros infinit??simales et infiniment grandes et donc ne sont pas Archim??de.
Op??rateurs auto-adjoints sur un Espace de Hilbert (par exemple, carr??s complexes auto-adjoints matrices ) g??n??raliser les r??els ?? bien des ??gards: ils peuvent ??tre command??s (mais pas totalement ordonn??), ils sont complets, toutes leurs valeurs propres sont r??elles et elles forment une v??ritable alg??bre associative. Op??rateurs d??finies positives correspondent aux r??els positifs et op??rateurs normaux correspondent aux nombres complexes.

"Reals" dans la th??orie des ensembles

En th??orie des ensembles , sp??cifiquement la th??orie des ensembles descriptive du Espace de Baire est utilis?? comme substitut pour les nombres r??els depuis ces derniers ont certaines propri??t??s topologiques (de la connectivit??) qui sont un inconv??nient technique. ??l??ments de l'espace de Baire sont appel??s ??r??els??.

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