Georg Cantor
Renseignements g??n??raux
SOS Enfants a fait cette s??lection Wikipedia aux c??t??s d'autres ??coles des ressources . Parrainage d'enfants aide les enfants du monde en d??veloppement ?? apprendre aussi.
| Georg Cantor | |
|---|---|
 | |
| N?? | Georg Philipp Ludwig Ferdinand Cantor Mars, 1845 Saint-P??tersbourg , Empire russe |
| Mort | 6 janvier 1918 (72 ans) Halle, Province de Saxe, Empire allemand |
| R??sidence | Empire russe (1845-1856), Empire allemand (1856-1918) |
| Nationalit?? | Allemand |
| Les champs | Math??matiques |
| Institutions | Universit?? de Halle |
| Alma mater | ETH Zurich, Universit?? de Berlin |
| Conseiller de doctorat | Ernst Kummer Karl Weierstrass |
| Doctorants | Alfred Barneck |
| Connu pour | La th??orie des ensembles |
Georg Philipp Ludwig Ferdinand Cantor (pron .: / k ?? n t ɔr / KAN -tor; allemande: [ɡeɔʁk fɛʁdinant luːtvɪ?? fɪlɪp kantɔʁ]; 3 mars [ OS F??vrier 19] 1845 - 6 Janvier, 1918) ??tait un Allemand math??maticien , mieux connu comme l'inventeur de la th??orie des ensembles , qui est devenu un th??orie fondamentale en math??matiques. Cantor ??tabli l'importance de one-to-one correspondance entre les membres de deux ensembles, d??fini infini et ensembles bien ordonn??s, et ont prouv?? que les nombres r??els sont ??plus nombreux?? que les nombres naturels . En fait, la m??thode de Cantor de la preuve de ce th??or??me implique l'existence d'un " d??bordement d'infinis ". Il a d??fini le cardinal et ordinal num??ros et leur arithm??tique. Le travail de Cantor est d'un grand int??r??t philosophique, un fait dont il ??tait bien conscient.
La th??orie de Cantor de nombres transfinis a ??t?? initialement consid??r??es comme autant de contre-intuitive - m??me choquante - qu'il a rencontr?? la r??sistance des contemporains math??matiques tels que Leopold Kronecker et Henri Poincar?? et plus tard de Hermann Weyl et LEJ Brouwer, tandis que Ludwig Wittgenstein a soulev?? objections philosophiques. Certains Th??ologiens chr??tiens (en particulier n??o-scolastiques) a vu le travail de Cantor comme un d??fi ?? l'unicit?? de l'infinit?? absolue dans la nature de Dieu - une fois assimiler la th??orie des nombres transfinis avec panth??isme - une proposition qui Cantor a rejet?? vigoureusement. Les objections ?? son travail ??taient parfois f??roce: Poincar?? fait r??f??rence aux id??es de Cantor comme une ??maladie grave?? infectant la discipline des math??matiques , et l'opposition publique de Kronecker et les attaques personnelles inclus d??crivant Cantor comme un ??charlatan scientifique??, un ??ren??gat?? et un ?? corrupteur de la jeunesse ". Kronecker m??me oppos?? ?? des preuves de Cantor que les nombres alg??briques sont d??nombrables, et que les nombres transcendants sont innombrables, les r??sultats maintenant inclus dans un programme de math??matiques standard. R??daction d??cennies apr??s la mort de Cantor, Wittgenstein a d??plor?? que les math??matiques est "mont?? travers et ?? travers avec les idiomes pernicieux de la th??orie des ensembles," dont il rejet?? comme "totalement absurde?? qui est ??risible?? et ??mauvais??. Des ??pisodes r??currents de Cantor de la d??pression de 1884 ?? la fin de sa vie ont ??t?? imput??e ?? l'attitude hostile de beaucoup de ses contemporains, m??me si certains ont expliqu?? ces ??pisodes comme des manifestations d'un probables trouble bipolaire.
La critique s??v??re a ??t?? compens??e par des accolades plus tard. En 1904, le Royal Society d??cern?? son Cantor M??daille Sylvester, le plus grand honneur, il peut conf??rer des travaux en math??matiques. Il a ??t?? sugg??r?? que Cantor croyait que sa th??orie des nombres transfinis avait ??t?? communiqu??e par Dieu. David Hilbert a d??fendu de ses critiques en d??clarant c??l??bre: ??Nul ne peut nous expulser du paradis que Cantor a cr????."
Vie
Jeunesse et ??tudes
Cantor est n?? en 1845 dans la colonie de l'Ouest en marchand de Saint-P??tersbourg , en Russie , et a grandi dans la ville jusqu'?? ce qu'il avait onze ans. Georg, l'a??n?? de six enfants, a ??t?? consid??r?? comme un remarquable violoniste . Son grand-p??re Franz B??hm (1788-1846) (le violoniste Le fr??re de Joseph B??hm) ??tait le musicien bien connu et le soliste dans l'empire russe dans un orchestre imp??rial. Le p??re de Cantor avait ??t?? un membre de la Saint-P??tersbourg de bourse; quand il est tomb?? malade, la famille se installe en Allemagne en 1856, d'abord ?? Wiesbaden puis de Francfort , ?? la recherche des hivers plus doux que ceux de Saint-P??tersbourg. En 1860, Cantor a obtenu avec distinction ?? la Realschule de Darmstadt; ses comp??tences exceptionnelles en math??matiques, la trigonom??trie en particulier, ont ??t?? not??es. En 1862, Cantor est entr?? dans la Universit?? de Z??rich. Apr??s avoir re??u un h??ritage important ?? la mort de son p??re en 1863, Cantor d??plac?? ses ??tudes ?? la Universit?? de Berlin, assister ?? des conf??rences par Leopold Kronecker, Karl Weierstrass et Ernst Kummer. Il a pass?? l'??t?? 1866 ?? la Universit?? de G??ttingen, alors et plus tard, un centre de recherche math??matique.
Enseignant et chercheur
En 1867, Cantor a achev?? son m??moire, sur la th??orie des nombres, ?? l'Universit?? de Berlin. Apr??s avoir enseign?? bri??vement dans une ??cole de filles Berlin, Cantor a pris une position au Universit?? de Halle, o?? il a pass?? toute sa carri??re. Il a re??u le requise habilitation pour sa th??se, ??galement sur la th??orie des nombres, qu'il a pr??sent?? en 1869 lors de sa nomination ?? Halle.
En 1874, Cantor mari?? Vally Guttmann. Ils eurent six enfants, la derni??re (Rudolph) n??s en 1886. Cantor a ??t?? en mesure de soutenir une famille modeste, malgr?? la r??mun??ration universitaire, gr??ce ?? son h??ritage de son p??re. Au cours de sa lune de miel dans la Montagnes du Harz, Cantor pass?? beaucoup de temps dans les discussions avec math??matiques Richard Dedekind, qu'il avait rencontr?? deux ans plus t??t tandis que sur Swiss vacances.
Cantor a ??t?? promu professeur extraordinaire en 1872 et a pleinement professeur en 1879. Pour atteindre ce dernier rang ?? l'??ge de 34 a ??t?? une r??alisation remarquable, mais Cantor voulait une pr??sident d'une universit?? plus prestigieuse, en particulier ?? Berlin, ?? l'??poque la premi??re universit?? allemande. Cependant, son travail a rencontr?? trop d'opposition pour que cela soit possible. Kronecker, qui a dirig?? les math??matiques ?? Berlin jusqu'?? sa mort en 1891, est devenu de plus en plus ?? l'aise avec la perspective d'avoir Cantor en tant que coll??gue, lui percevoir comme un ??corrupteur de la jeunesse" pour enseigner ses id??es ?? la jeune g??n??ration de math??maticiens. Pire encore, Kronecker, une figure bien ??tabli dans la communaut?? math??matique et ancien professeur de Cantor, en d??saccord fondamental avec la pouss??e des travaux de Cantor. Kronecker, d??sormais consid??r?? comme l'un des fondateurs de la point de vue constructif dans les math??matiques, ne aimait pas beaucoup de la th??orie des ensembles de Cantor car il a affirm?? l'existence d'ensembles satisfaisant certaines propri??t??s, sans donner d'exemples sp??cifiques de groupes dont les membres ne ont en effet satisfaire ?? ces propri??t??s. Cantor est venu ?? croire que la position de Kronecker, il serait impossible pour lui de quitter jamais Halle.
En 1881, Halle coll??gue Cantor Eduard Heine est mort, la cr??ation d'une chaise vide. Halle a accept?? la suggestion de Cantor qu'il soit offert ?? Dedekind, M. Heinrich Weber et Franz Mertens, dans cet ordre, mais chaque refus?? la chaise lorsqu'il a ??t?? offert. Friedrich Wangerin a finalement ??t?? nomm??, mais il n'a jamais ??t?? proche de Cantor.
En 1882, la correspondance math??matique entre Cantor et Dedekind a pris fin, apparemment en raison de la baisse de Dedekind la chaise ?? Halle. Cantor a ??galement commenc?? une autre correspondance importante, avec G??sta Mittag-Leffler en Su??de, et bient??t a commenc?? ?? publier dans le journal de Mittag-Leffler Acta Mathematica. Mais en 1885, Mittag-Leffler ??tait pr??occup?? par le caract??re philosophique et une nouvelle terminologie dans un document Cantor avait soumis ?? Acta. Il a demand?? Cantor de retirer le papier du Acta alors qu'il ??tait en preuve, ??crit qu'il ??tait ??... environ cent ans trop t??t." Cantor respect??, mais restreint sa relation et la correspondance avec Mittag-Leffler, ??crit ?? un tiers:
Eu Mittag-Leffler avait son chemin, je aurais ?? attendre l'ann??e 1984, ce qui pour moi semblait trop grande demande! ... Mais bien s??r, je ne veux rien savoir de nouveau sur les Acta Mathematica.
Cantor a subi son premier combat connu de d??pression en 1884. La critique de son travail pes?? sur son esprit: chacun des cinquante-deux lettres qu'il ??crivait ?? Mittag-Leffler en 1884 mentionn?? Kronecker. Un passage de l'une de ces lettres est r??v??lateur de l'atteinte ?? la confiance en soi de Cantor:
... Je ne sais pas quand je reviendrai ?? la poursuite de mon travail scientifique. Pour le moment je ne peux absolument rien faire avec elle, et me limiter ?? le devoir le plus besoin de mes conf??rences; combien je serais heureux d'??tre ?? activit?? scientifique, si seulement je avais la fra??cheur mentale n??cessaire.
Cette crise a amen?? ?? se appliquer ?? des conf??rences sur la philosophie plut??t que les math??matiques. Il a ??galement commenc?? une ??tude intense de ??lisab??thaine pens??e de la litt??rature il pourrait y avoir des preuves que Francis Bacon a ??crit les pi??ces attribu??es ?? Shakespeare (voir Shakespearien question de l'auteur); Cela a finalement abouti ?? deux brochures, publi?? en 1896 et 1897.
Cantor r??cup??r?? peu apr??s, et par la suite fait des contributions plus importantes, y compris son c??l??bre argument de la diagonale et th??or??me. Cependant, il n'a plus jamais atteint le niveau ??lev?? de ses papiers remarquables de 1874-1884. Il a finalement demand??, et obtenu, une r??conciliation avec Kronecker. N??anmoins, les d??saccords et les difficult??s philosophiques les divisant persist??.
En 1890, Cantor a contribu?? ?? la fondation de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung et pr??sid?? sa premi??re r??union ?? Halle en 1891, o?? il a pr??sent?? son argument de la diagonale; sa r??putation ??tait assez forte, malgr?? l'opposition de Kronecker ?? son travail, pour se assurer qu'il a ??t?? ??lu le premier pr??sident de cette soci??t??. Mettant de c??t?? l'animosit?? Kronecker avait affich?? vers lui, Cantor a invit?? ?? prendre la parole, mais Kronecker ??tait incapable de le faire parce que sa femme allait mourir de blessures subies dans un accident de ski ?? l'??poque.
Ans de retard
Apr??s 1884 hospitalisation de Cantor, il ne ya aucune trace qu'il ??tait en tout sanatorium ?? nouveau jusqu'en 1899. Peu de temps apr??s cette seconde hospitalisation, le plus jeune fils de Cantor Rudolph est d??c??d?? subitement (tout Cantor pronon??ait une conf??rence sur ses vues sur La th??orie de Bacon et William Shakespeare ), et cette trag??die drain?? Cantor de beaucoup de sa passion pour les math??matiques. Cantor a ??t?? de nouveau hospitalis?? en 1903. Un an plus tard, il ??tait outr?? et agit?? par un document pr??sent?? par Julius K??nig ?? la troisi??me Congr??s international des math??maticiens. Le document a tent?? de prouver que les principes de base de la th??orie des ensembles transfinite ??taient fausses. (Konig est maintenant dans les m??moires comme ayant seulement fait remarquer que certains jeux ne peuvent pas ??tre bien ordonn??, en d??saccord avec Cantor.) Depuis le papier avait ??t?? lu devant ses filles et ses coll??gues, Cantor lui per??u comme ayant ??t?? publiquement humili??e. Bien que Ernst Zermelo d??montr?? moins d'une journ??e plus tard que la preuve de K??nig avait ??chou??, Cantor restaient ??branl??s, m??me momentan??ment interroger Dieu. Cantor a souffert de d??pression chronique pour le reste de sa vie, pour lequel il a ??t?? dispens?? de l'enseignement ?? plusieurs reprises et ?? plusieurs reprises confin?? dans divers sanatoriums. Les ??v??nements de 1904 ont pr??c??d?? une s??rie d'hospitalisations ?? des intervalles de deux ou trois ans. Il n'a pas abandonn?? les math??matiques compl??tement, cependant, des conf??rences sur les paradoxes de la th??orie des ensembles ( Burali-Forti paradoxe, Paradoxe de Cantor, et Le paradoxe de Russell) ?? une r??union de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung en 1903, et assister au Congr??s international des math??maticiens ?? Heidelberg en 1904.
En 1911, Cantor a ??t?? l'un des chercheurs ??trangers distingu??s invit??s ?? assister ?? la 500e anniversaire de la fondation de l' Universit?? de St. Andrews en Ecosse . Cantor a assist??, en esp??rant rencontrer Bertrand Russell , dont r??cemment publi??s Principia Mathematica a cit?? ?? plusieurs reprises le travail de Cantor, mais cela ne est pas venu. L'ann??e suivante, St. Andrews a accord?? un Cantor doctorat honorifique, mais la maladie ont emp??ch?? son obtention du dipl??me en personne.
Cantor a pris sa retraite en 1913, vivant dans la pauvret?? et souffrant de malnutrition pendant la Premi??re Guerre mondiale . La c??l??bration publique de son 70e anniversaire a ??t?? annul??e en raison de la guerre. Il mourut le 6 Janvier 1918 ?? sanatorium o?? il avait pass?? la derni??re ann??e de sa vie.
Travail math??matique
Le travail de Cantor entre 1874 et 1884 est ?? l'origine de la th??orie des ensembles . Avant ces travaux, le concept d'un ensemble ??tait une assez ??l??mentaire qui avait ??t?? utilis?? implicitement depuis les d??buts de math??matiques, datant des id??es de Aristote . Personne ne avait r??alis?? que la th??orie des ensembles avait tout contenu non triviale. Avant Cantor, il n'y avait que des ensembles finis (qui sont faciles ?? comprendre) et "l'infini" (qui a ??t?? consid??r?? comme un sujet pour philosophique, plut??t que math??matique, la discussion). En prouvant qu'il ya (infiniment) plusieurs tailles possibles pour ensembles infinis, Cantor ??tabli que la th??orie des ensembles ne ??tait pas anodine, et il doit ??tre ??tudi??. La th??orie des ensembles est venu ?? jouer le r??le d'un la th??orie fondamentale en math??matiques modernes, dans le sens o?? il interpr??te propositions sur les objets math??matiques (par exemple, les num??ros et fonctions) de tous les domaines traditionnels des math??matiques (tels que l'alg??bre , l'analyse et la topologie ) en une seule th??orie, et fournit un ensemble standard d'axiomes pour prouver ou r??futer eux. Les concepts de base de la th??orie des ensembles sont maintenant utilis??s dans les math??matiques.
Dans un de ses premiers papiers, Cantor se est av??r?? que l'ensemble des nombres r??els est "plus nombreux" que l'ensemble des nombres naturels ; cette montre, pour la premi??re fois, qu'il existe des ensembles infinis de diff??rent tailles. Il a ??galement ??t?? le premier ?? appr??cier l'importance de one-to-one correspondances (ci-apr??s d??sign??es ??correspondance 1 ?? 1") dans la th??orie des ensembles. Il a utilis?? ce concept pour d??finir fini et ensembles infinis, subdivisant cette derni??re en ensembles d??nombrables (ou infini d??nombrable) et ensembles innombrables (ensembles infinis non d??nombrable).
Cantor a d??velopp?? des concepts importants en topologie et leur relation ?? cardinalit??. Par exemple, il a montr?? que le Ensemble de Cantor ne est nulle part dense, mais a le m??me cardinal que l'ensemble des nombres r??els, alors que les rationnels sont partout dense, mais d??nombrable.
Cantor introduit constructions fondamentales dans la th??orie des ensembles, comme le jeu de puissance d'un ensemble A, qui est l'ensemble de tous les possibles sous-ensembles de A. Il se est av??r?? plus tard que la taille de l'ensemble de A de puissance est strictement sup??rieure ?? la taille de A, m??me si A est un ensemble infini; ce r??sultat est vite devenu connu comme Th??or??me de Cantor. Cantor a d??velopp?? toute une th??orie et arithm??tique des ensembles infinis, appel??s cardinaux et ordinaux , qui se ??tendaient l'arithm??tique des nombres naturels. Sa notation pour les nombres cardinaux ??tait la lettre h??bra??que 
( aleph) avec un indice de nombre naturel; pour les ordinaux il employait la lettre grecque ω ( omega). Cette notation est encore en usage aujourd'hui.
Le Hypoth??se du continu, introduite par Cantor, a ??t?? pr??sent?? par David Hilbert comme le premier de son vingt-trois probl??mes ouverts dans son c??l??bre discours ?? la 1900 Congr??s international des math??maticiens ?? Paris . Le travail de Cantor a ??galement attir?? l'avis favorable del?? c??l??bre ??loge de Hilbert. Le philosophe am??ricain Charles Sanders Peirce a salu?? la th??orie des ensembles de Cantor, et, ?? la suite des conf??rences publiques d??livr??es par Cantor lors du premier Congr??s international des math??maticiens, tenue ?? Zurich en 1897, Hurwitz et Hadamard ??galement deux exprim?? leur admiration. A ce Congr??s, Cantor a renouvel?? son amiti?? et correspondance avec Dedekind. ?? partir de 1905, Cantor a correspondu avec son admirateur Colombie et traducteur Philippe Jourdain sur l'histoire de la th??orie des ensembles et sur les id??es religieuses de Cantor. Cela a ??t?? publi?? plus tard, tout comme plusieurs de ses ??uvres informatifs.
Nombre th??orie, des s??ries et ordinaux trigonom??trique
Dix premiers articles de Cantor ??taient sur la th??orie des nombres , son sujet de th??se. ?? la suggestion de Eduard Heine, le professeur ?? Halle, Cantor se est tourn?? vers l'analyse . Heine propos?? de r??soudre Cantor un probl??me ouvert qui avait ??chapp?? Dirichlet, Lipschitz, Bernhard Riemann , et Heine lui-m??me: l'unicit?? de la repr??sentation d'une fonction par s??ries trigonom??triques. Cantor a r??solu ce probl??me difficile en 1869. Ce est en travaillant sur ce probl??me qu'il a d??couvert ordinaux transfinis, qui se sont produits comme des indices n dans le n i??me d??riv??e ensemble S n d'un ensemble S de z??ros d'une s??rie trigonom??trique. Compte tenu d'une s??rie trigonom??trique f (x) avec S comme l'ensemble de ses z??ros, Cantor avait d??couvert une proc??dure qui a produit une autre s??rie trigonom??trique qui avait S 1 comme jeu de z??ros, o?? S 1 est l'ensemble des limiter points de S. Si S k + 1 est l'ensemble des points de S k limites, alors il pourrait construire une s??rie trigonom??trique dont les z??ros sont S k + 1. Parce que k des ensembles ont ??t?? ferm??es, ils contenaient leur points de limites, et l'intersection de la suite d??croissante infini d'ensembles S, S 1, S 2, S 3, ... forment un ensemble de limite, que nous appellerions aujourd'hui ω S, puis il a remarqu?? que S ω aurait ??galement d'avoir un ensemble de limites points S ω + 1, et ainsi de suite. Il avait exemples qui vont ?? l'infini, et alors voici ??tait une suite infinie naturelle de nombres infinis ω, ω + 1, ω + 2, ...
Entre 1870 et 1872, Cantor a publi?? plusieurs articles sur les s??ries trigonom??triques, et ??galement un document d??finissant les nombres irrationnels que suites convergentes de nombres rationnels . Dedekind, dont Cantor se lia d'amiti?? en 1872, a cit?? ce document plus tard cette ann??e, dans le document o?? il a ??tabli sa c??l??bre d??finition de nombres r??els par Coupures de Dedekind. Tout en ??tendant la notion de nombre au moyen de son concept r??volutionnaire de cardinal infini, Cantor ??tait paradoxalement oppos?? aux th??ories de infinit??simales de ses contemporains Otto Stolz et Paul du Bois-Reymond, les d??crivant comme ?? la fois ??une abomination?? et ??un bacille du chol??ra des math??matiques". Cantor a ??galement publi?? un ??preuve?? erron??e de l'incompatibilit?? des infinit??simaux.
La th??orie des ensembles
Le d??but de la th??orie des ensembles comme une branche des math??matiques est souvent marqu??e par la publication de l'article 1874 de Cantor, "??ber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen?? (??sur une propri??t?? de la collection de tous les nombres alg??briques r??els"). Cet article a ??t?? la premi??re ?? fournir une preuve rigoureuse qu'il y avait plus d'une sorte d'infini. Auparavant, toutes les collections infinies avaient ??t?? implicitement suppos?? ??tre equinumerous (ce est-?? ??la m??me taille?? ou ayant le m??me nombre d'??l??ments). Cantor a prouv?? que la collection de nombres r??els et la collecte de positifs entiers ne sont pas equinumerous. En d'autres termes, les nombres r??els ne sont pas d??nombrable. Sa preuve est plus complexe que le plus ??l??gant argument de la diagonale qu'il a donn?? en 1891. L'article de Cantor contient ??galement une nouvelle m??thode de construction nombres transcendants. Nombres transcendants ont d'abord ??t?? construits par Joseph Liouville en 1844.
Cantor a ??tabli ces r??sultats en utilisant deux constructions. Sa premi??re construction montre comment ??crire la vraie nombres alg??briques comme s??quence a 1, a 2, 3, .... En d'autres termes, les nombres r??els alg??briques sont d??nombrables. Cantor commence son deuxi??me construction avec ne importe quelle s??quence de nombres r??els. En utilisant cette s??quence, il construit imbriqu??s dont les intervalles intersection contient pas un nombre r??el dans la s??quence. ??tant donn?? que chaque s??quence de nombres r??els peut ??tre utilis?? pour construire un vrai pas dans la s??quence, les nombres r??els ne peuvent pas ??tre ??crites comme une s??quence - qui est, les chiffres r??els ne sont pas d??nombrable. En appliquant sa construction ?? la s??quence des nombres alg??briques r??els, Cantor produit un nombre transcendant. Cantor souligne que ses constructions se av??rent plus - ?? savoir, ils fournissent une nouvelle preuve du th??or??me de Liouville: Chaque intervalle contient une infinit?? de nombres transcendants. Prochain article de Cantor contient une construction qui prouve l'ensemble des nombres transcendants a la m??me ??pouvoir?? (voir ci-dessous) comme l'ensemble des nombres r??els.
Entre 1879 et 1884, Cantor a publi?? une s??rie de six articles dans Mathematische Annalen qu'ensemble form?? une introduction ?? sa th??orie des ensembles. Dans le m??me temps, il y avait une opposition croissante aux id??es de Cantor, dirig?? par Kronecker, qui a admis concepts math??matiques que se ils pourraient ??tre construits dans un nombre fini d'??tapes des nombres naturels, dont il a pris comme intuitivement donn??. Pour Kronecker, la hi??rarchie de Cantor d'infinis ??tait irrecevable, puisque l'acceptation de la notion de infini actuel serait ouvrir la porte ?? des paradoxes qui remettrait en cause la validit?? des math??matiques dans son ensemble. Cantor a ??galement pr??sent?? le Cantor r??gl?? au cours de cette p??riode.
Le cinqui??me article de cette s??rie, "Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre" ("Les fondements d'une th??orie g??n??rale de Granulats"), publi?? en 1883, ??tait le plus important des six et a ??galement ??t?? publi?? en tant qu'entit?? distincte monographie. Il contenait la r??ponse de Cantor ?? ses critiques et montr?? comment le nombres transfinis ??taient une extension syst??matique des nombres naturels. Il commence par d??finir ensembles bien ordonn??s. Les nombres ordinaux sont ensuite introduits comme les types d'ensembles bien ordonn??s ordre. Cantor d??finit ensuite l'addition et la multiplication du cardinal et nombres ordinaux. En 1885, Cantor ??tendu sa th??orie des types d'ordres afin que les nombres ordinaux sont devenus tout simplement un cas particulier de types d'ordres.
En 1891, il a publi?? un document contenant son ??l??gante "argument de la diagonale" de l'existence d'un ensemble non d??nombrable. Il a appliqu?? la m??me id??e de prouver Th??or??me de Cantor: la cardinal de l'ensemble d'un ensemble A de puissance est strictement plus grand que le cardinal de A. Ce ??tabli la richesse de la hi??rarchie des ensembles infinis, et du cardinal et arithm??tique ordinale que Cantor avait d??fini. Son argument est fondamental dans la solution de la Probl??me de l'arr??t et la preuve de Premier th??or??me d'incompl??tude de G??del. Cantor a ??crit sur la conjecture de Goldbach en 1894.
En 1895 et 1897, Cantor a publi?? un document en deux parties dans Mathematische Annalen sous La r??daction de Felix Klein; ce ??taient ses derniers articles importants sur la th??orie des ensembles. Le premier document commence par d??finir ensemble, sous-ensemble , etc., d'une mani??re qui serait largement acceptable aujourd'hui. Le cardinal et ordinal arithm??tique sont examin??s. Cantor voulu le deuxi??me document d'inclure une preuve de l'hypoth??se de continuum, mais a d?? se contenter de sa th??orie de expositing ensembles et les nombres ordinaux bien ordonn??e. Cantor tente de montrer que si A et B sont des ensembles avec un ??quivalent d'un sous-ensemble de B et B correspond ?? un sous-ensemble de A, alors A et B sont ??quivalentes. Ernst Schr??der avait d??clar?? ce th??or??me un peu plus t??t, mais sa d??monstration, ainsi que Cantor, ??tait erron??e. Felix Bernstein fourni une preuve correcte dans sa th??se de doctorat 1898; d'o?? le nom Th??or??me de Cantor-Bernstein-Schroeder.
One-to-one correspondance
1874 papier Crelle de Cantor a ??t?? le premier ?? invoquer la notion de 1-to-1 correspondance, se il n'a pas utilis?? cette expression. Il a ensuite commenc?? ?? la recherche d'une correspondance 1 ?? 1 entre les points de la carr?? unit?? et les points d'une unit?? segment de ligne. Dans une lettre de 1877 ?? Dedekind, Cantor se est av??r?? une bien r??sultat plus fort: pour tout entier positif n, il existe une correspondance une-??-une entre les points sur le segment de ligne de base et de tous les points dans un n l'espace de dimension. ?? propos de cette d??couverte Cantor c??l??bre ??crit ?? Dedekind: "Je le vois, Mais je ne le Crois pas!" (??Je le vois, mais je ne le crois pas!") Le r??sultat qu'il trouve si ??tonnant a des implications pour la g??om??trie et la notion de dimension.
En 1878, Cantor a pr??sent?? une autre papier Journal de Crelle, dans lequel il a d??fini pr??cis??ment le concept d'une correspondance une ?? une, et introduit la notion de " pouvoir ??(un terme qu'il a pris de Jakob Steiner) ou ??l'??quivalence?? des ensembles: deux ensembles sont ??quivalente (avoir le m??me pouvoir) se il existe une correspondance 1 ?? 1 entre eux. Cantor d??fini ensembles d??nombrables (ou ensembles d??nombrables) que les jeux qui peuvent ??tre mises en correspondance une ?? une avec les nombres naturels , et ont prouv?? que les nombres rationnels sont d??nombrable. Il a ??galement prouv?? que n de dimension espace euclidien R n a la m??me puissance que le nombre r??el R, comme le fait un infini d??nombrable produit des copies de R. Alors qu'il a fait usage libre de responsabilisation en tant que concept, il n'a pas ??crit le mot "d??nombrable" jusqu'en 1883. Cantor a ??galement discut?? de sa r??flexion sur dimension, soulignant que son la mise en correspondance entre intervalle unit?? et de la place de l'unit?? ne ??tait pas un une continu.
Ce document d??plut Kronecker, et Cantor voulait retirer; Toutefois, Dedekind le persuada de ne pas le faire et Weierstrass soutenu sa publication. N??anmoins, Cantor jamais quoi que ce soit soumis ?? Crelle.
Hypoth??se du continu
Cantor a ??t?? le premier ?? formuler ce qui plus tard est venu ?? ??tre connu sous le nom hypoth??se de continuum ou CH: il ne existe aucune s??rie dont la puissance est sup??rieure ?? celle des produits naturels et inf??rieure ?? celle des r??els (ou de mani??re ??quivalente, le cardinal de les r??els est exactement aleph-un, plut??t que de simplement au moins aleph-un). Cantor croit l'hypoth??se de continuum pour ??tre vrai et jug?? pour de nombreuses ann??es ?? prouver qu'il en vain. Son incapacit?? ?? prouver l'hypoth??se de continuum lui a caus?? beaucoup d'anxi??t??.
La difficult?? Cantor avait ?? prouver l'hypoth??se de continuum a ??t?? soulign??e par les d??veloppements ult??rieurs dans le domaine des math??matiques: un r??sultat 1940 par G??del 1963 et une par une Paul Cohen implique ainsi que l'hypoth??se de continuum ne peut ??tre ni prouv??e ni r??fut??e en utilisant la norme Th??orie des ensembles de Zermelo-Fraenkel plus le axiome du choix (la combinaison d??nomm?? ??ZFC").
Les paradoxes de la th??orie des ensembles
Discussions de la th??orie des ensembles paradoxes ont commenc?? ?? appara??tre vers la fin du XIXe si??cle. Certains de ces probl??mes fondamentaux impliqu??s avec le programme de la th??orie des ensembles de Cantor. Dans un article 1897 sur un autre sujet, Cesare Burali-Forti ??nonc?? le premier tel paradoxe, le Burali-Forti paradoxe: nombre ordinal de l'ensemble de tous les ordinaux doit ??tre un ordinal et cela conduit ?? une contradiction. Cantor a d??couvert ce paradoxe en 1895, et l'a d??crit dans une lettre de 1896 ?? Hilbert . Critique mont?? au point o?? Cantor lanc?? des contre-arguments en 1903, destin?? ?? d??fendre les principes de base de sa th??orie des ensembles.
En 1899, Cantor a d??couvert son ??ponyme paradoxe: ce est le nombre de cardinal de l'ensemble de tous les ensembles? En clair, il doit ??tre le plus grand cardinal possible. Pourtant, pour tout ensemble A, le nombre cardinal de l'ensemble des A de puissance est strictement plus grand que le nombre cardinal de A (ce fait est maintenant connu comme Th??or??me de Cantor). Ce paradoxe, avec Burali-Forti de, conduit Cantor de formuler un concept appel?? limitation de la taille, selon laquelle la collecte de tous les ordinaux, ou de tous les ensembles, ??tait une "multiplicit?? inconsistante" qui ??tait "trop grand" comme un ensemble. Ces collections a appel?? plus tard les classes appropri??es.
Une vision commune parmi les math??maticiens est que ces paradoxes, avec Le paradoxe de Russell, d??montrer qu'il ne est pas possible de prendre un ??na??f?? ou non axiomatique, approche de la th??orie des ensembles sans risquer la contradiction, et il est certain qu'ils ??taient parmi les motivations pour Zermelo et d'autres pour produire axiomatisations de la th??orie des ensembles. D'autres font remarquer, cependant, que les paradoxes ne obtiennent pas dans une vue informelle motiv??e par le hi??rarchie it??rative, qui peut ??tre consid??r?? comme expliquant l'id??e de limitation de taille. Certains se demandent ??galement si la La formulation de fr??g??en la th??orie des ensembles na??ve (qui ??tait le syst??me directement r??fut??e par le paradoxe Russell) est vraiment une interpr??tation fid??le de la conception cantorienne.
Philosophie, la religion, et les math??matiques de Cantor
Le concept de l'existence d'un infini actuel ??tait une pr??occupation partag??e importante dans les domaines des math??matiques, la philosophie et la religion. Pr??server le orthodoxie de la relation entre Dieu et les math??matiques, mais pas dans la m??me forme que tenu par ses d??tracteurs, fut longtemps un souci du Cantor. Il se est adress?? directement ?? cette intersection entre ces disciplines dans l'introduction ?? son Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, o?? il a soulign?? le lien entre sa vision de l'infini et le philosophique. Pour Cantor, ses vues math??matiques ont ??t?? intrins??quement li??s ?? leurs implications philosophiques et th??ologiques - il a identifi?? la Infini Absolu avec Dieu , et qu'il consid??rait comme son travail sur les nombres transfinis avoir ??t?? communiqu??es directement par Dieu, qui avait choisi Cantor de les r??v??ler au monde.
D??bat parmi les math??maticiens n?? de points de vue oppos??s dans le philosophie des math??matiques concernant la nature de l'infini actuel. Certains tenu ?? l'id??e que l'infini est une abstraction qui ne ??tait pas math??matiquement l??gitime, et a ni?? son existence. Math??maticiens de trois grandes ??coles de pens??e ( constructivisme et ses deux rejetons, intuitionnisme et finitisme) oppos?? aux th??ories de Cantor dans cette affaire. Pour constructivistes tels que Kronecker, ce rejet de l'infini actuel d??coule de d??saccord fondamental avec l'id??e que preuves non constructive tels que Argument de la diagonale de Cantor sont une preuve suffisante que quelque chose existe, tenant la place que preuves constructives sont n??cessaires. Intuitionism rejette ??galement l'id??e que l'infini actuel est l'expression d'une sorte de r??alit??, mais arriver ?? la d??cision par une autre voie que le constructivisme. Tout d'abord, l'argument de Cantor repose sur la logique de prouver l'existence de nombres transfinis comme une entit?? math??matique r??elle, alors que intuitionnistes soutiennent que les entit??s math??matiques ne peuvent ??tre r??duits ?? des propositions logiques, originaires place dans les intuitions de l'esprit. Deuxi??mement, la notion de l'infini comme une expression de la r??alit?? elle-m??me est rejet?? dans l'intuitionnisme, car l'esprit humain ne peut pas construire intuitivement un ensemble infini. Mathematicians tels que Brouwer et surtout Poincar?? a adopt?? un intuitionniste position contre le travail de Cantor. Citant les paradoxes de la th??orie des ensembles comme un exemple de sa nature fondamentalement vici??, Poincar?? a jug?? que "la plupart des id??es de la th??orie des ensembles cantorienne devrait ??tre banni de math??matiques une fois pour toutes." Enfin, Wittgenstein attaques s '??taient finitiste: il croyait que Argument de la diagonale de Cantor confondu la intension d'un ensemble de cardinal ou nombres r??els avec son extension, confondant ainsi le concept de r??gles pour g??n??rer un ensemble avec un ensemble r??el.
Certains th??ologiens chr??tiens ont vu le travail de Cantor comme un d??fi ?? l'unicit?? de l'infinit?? absolue dans la nature de Dieu. En particulier, Penseurs n??o-thomistes vu l'existence d'une infinit?? r??elle qui consistait d'autre chose que Dieu compromettre "revendication d'exclusivit?? de Dieu ?? l'infini supr??me??. Cantor croyait fermement que ce point de vue ??tait une mauvaise interpr??tation de l'infini, et a ??t?? convaincu que la th??orie des ensembles pourrait aider ?? corriger cette erreur:
... Les esp??ces transfinies sont tout autant ?? la disposition des intentions du Cr??ateur et Son infinie absolue seront comme le sont les nombres finis.
Cantor a ??galement estim?? que sa th??orie de nombres transfinis allait ?? l'encontre ?? la fois mat??rialisme et d??terminisme - et a ??t?? choqu?? quand il a r??alis?? qu'il ??tait le seul membre du corps professoral ?? Halle qui ne d??tenaient pas de croyances philosophiques d??terministes.
En 1888, Cantor a publi?? sa correspondance avec plusieurs philosophes sur les implications philosophiques de sa th??orie des ensembles. Dans une tentative vaste de persuader d'autres penseurs et les autorit??s chr??tiennes ?? adopter son point de vue, Cantor avait correspondu avec les philosophes chr??tiens tels que Tilman et Pesch Joseph Hontheim, ainsi que des th??ologiens comme Cardinal Johannes Franzelin, qui, une fois r??pondu en assimilant la th??orie des nombres de transfinies avec panth??isme. Cantor a m??me envoy?? une lettre directement ?? Le pape L??on XIII lui-m??me, et abord?? plusieurs brochures pour lui.
La philosophie de Cantor sur la nature des numéros a amené à affirmer une croyance dans la liberté des mathématiques à poser et prouver concepts en dehors de la sphère des phénomènes physiques, comme des expressions au sein d'une réalité interne. Les seules restrictions sur ce système métaphysique sont que tous les concepts mathématiques doivent être dépourvu de contradiction interne, et qu'ils suivent des définitions existantes, d'axiomes et de théorèmes. Cette croyance est résumée dans sa célèbre affirmation que "l'essence des mathématiques est sa liberté." Ces idées sont parallèles à ceux de Edmund Husserl.
Pendant ce temps, Cantor lui-même était farouchement opposé à infinitésimales, les décrivant comme à la fois une "abomination" et "le bacille du choléra des mathématiques".
1883 papier de Cantor révèle qu'il était bien conscient de l'opposition rencontraient ses idées:
... Je me rends compte que dans cette entreprise, je me mets dans une certaine opposition à des conceptions largement répandues concernant les opinions infinies et aux mathématiques fréquemment défendu sur la nature des numéros.
Ce est pourquoi il consacre beaucoup d'espace pour justifier son travail plus t??t, affirmant que les concepts math??matiques peuvent ??tre introduits librement tant qu'ils sont exempts de contradiction et défini en termes de concepts précédemment acceptées. Il cite aussi Aristote , Descartes, Berkeley, Leibniz , et Bolzano sur l'infini.
L'ascendance de Cantor
"Très peu est connu avec certitude sur l'origine et l'éducation de George Woldemar Cantor." Grands-parents paternels de Cantor étaient de Copenhague , et ont fui vers la Russie de la désorganisation des guerres napoléoniennes . Il ya très peu d'informations directes sur ses grands-parents. Cantor a été parfois appelé juive dans sa vie, mais a également été diversement appelé russe, allemand et danois ainsi.
Jakob Cantor, le grand-père de Cantor, a donné ses enfants chrétiens noms de saints. En outre, plusieurs membres de la famille de sa grand-mère étaient dans la fonction publique tsariste, qui ne serait pas accueillir les Juifs, sauf si elles sont convertis au christianisme. Le père de Cantor, Georg Cantor Waldemar, a fait ses études dans la mission luthérienne de Saint-Pétersbourg, et de sa correspondance avec son fils montre à la fois d'eux comme luthériens dévots. Sa mère, Maria Anna Böhm, était un austro-hongrois né à Saint-Pétersbourg et baptisé catholique romaine ; elle se convertit au protestantisme au moment du mariage. Cependant, il ya une lettre du frère de Louis Cantor à leur mère, en indiquant:
Mögen wir zehnmal von Juden und ich im abstammen Princip noch für so sehr Gleichberechtigung der Hebräer sein, im Leben sind socialen mir lieber Christen ...
Dans une lettre écrite par Georg Cantor Paul Tannery en 1896 (Paul Tannery, Mémoires Scientifique 13 Correspondance, Gauthier-Villars, Paris, 1934, p. 306), Cantor affirme que ses grands-parents paternels étaient des membres de la communauté juive sépharade de Copenhague. Plus précisément, Cantor affirme dans la description de son père: "Er ist aber dans geboren Kopenhagen, von israelitischen Eltern, die der dortigen portugisischen Judengemeinde ..." ("Il est né à Copenhague des juifs (lit:" les parents israélite ») du local communauté juive portugaise. ") En outre, le grand-oncle maternel de Cantor, un violoniste hongrois Josef Böhm, a été décrit comme juive, qui peuvent impliquer que la mère de Cantor était au moins en partie descendu de la communauté juive hongroise.
Dans une lettre à Bertrand Russell, Cantor a décrit son ascendance et la perception de soi comme suit:
Ni mon père, ni ma mère étaient de sang allemand, le premier étant un Danois, porté à Copenhague, ma mère autrichienne Hungar condescendance. Vous devez savoir, Monsieur, que je ne suis pas un régulier juste Germain , car je suis né le 3 Mars 1845 à Saint Peterborough, la capitale de la Russie, mais je suis allé avec mon père et mère et ses frères et s??ur, âge de onze ans dans l'année 1856 , en Allemagne.
Historiographie
Jusqu'aux années 1970, les principaux publications universitaires sur Cantor avait deux courtes monographies par Schönflies (1927) - en grande partie de la correspondance avec Mittag-Leffler - et Fraenkel (1930). Tous deux étaient en deuxième et troisième main; ni eu beaucoup sur sa vie personnelle. L'écart a été en grande partie comblé par Eric Bell Temple hommes de mathématiques (1937), dont l'un des biographes modernes de Cantor décrit comme «peut-être le livre moderne le plus lu sur l' histoire des mathématiques "; et comme «l'un des pires". De Bell présente la relation de Cantor avec son père ??dipien, les différences de Cantor avec Kronecker comme une querelle entre deux Juifs, et la folie de Cantor comme le désespoir romantique sur son manque d'acceptation pour ses mathématiques, et remplit le tableau avec les stéréotypes. Grattan-Guinness (1971) a constaté qu'aucune de ces allégations étaient vraies, mais elles peuvent être trouvés dans de nombreux livres de la période intermédiaire, en raison de l'absence de tout autre récit. Il ya d'autres légendes, indépendants de Bell - dont un qui marque le père de Cantor un enfant trouvé, livré à Saint-Pétersbourg par les parents inconnus. Une critique du livre de Bell est contenu dans la biographie de Joseph Dauben.
