Nombre cardinal

Aleph-0, le plus petit cardinal infini

En math??matiques , les nombres cardinaux, cardinaux ou pour faire court, sont une sorte g??n??ralis?? de nombre utilis?? pour d??signer la taille d'un d??finir, connu sous le nom de son cardinalit??. Pour ensembles finis le cardinal est donn??e par un nombre naturel , ??tant simplement le nombre d'??l??ments dans l'ensemble. Il y a aussi nombres cardinaux transfinis pour d??crire la taille des ensembles infinis. D'une part, un sous-ensemble A d'une ensemble infini S peut avoir le m??me cardinal S. D'autre part, peut-??tre aussi contre-intuitivement, tous les ensembles infinis ont la m??me cardinalit??. Il est une caract??risation formelle qui explique comment certains ensembles infinis ont cardinalit??s qui sont strictement inf??rieure ?? d'autres ensembles infinis.

Les nombres cardinaux sont: . Autrement dit, ce sont des nombres naturels (les cardinaux finis), suivie par la aleph (num??ros de cardinaux infinis). Les num??ros de aleph sont index??s par les nombres ordinaux . Les nombres naturels et les num??ros de aleph sont sous-classes des nombres ordinaux. Si le axiome du choix ??choue, la situation devient plus compliqu??e - il ya cardinaux infinis suppl??mentaires qui ne sont pas alephs.

Concepts de cardinalit?? sont int??gr??s dans la plupart des branches des math??matiques et sont essentiels ?? leur ??tude. Cardinalit?? est aussi une zone ??tudi??e pour elle-m??me dans le cadre de la th??orie des ensembles , notamment en essayant de d??crire les propri??t??s de grands cardinaux.

Histoire

La notion de cardinal, comme maintenant compris, a ??t?? formul??e par Georg Cantor , ?? l'origine de la th??orie des ensembles , en 1874-1884.

Cantor abord ??tabli cardinal comme un instrument de comparer des ensembles finis; par exemple, les ensembles {1,2,3} et {2,3,4} ne sont pas ??gaux, mais ont la m??me cardinalit??, ?? savoir trois.

Cantor a identifi?? le fait que one-to-one correspondance est la fa??on de dire que deux ensembles ont la m??me taille, appel?? "cardinal", dans le cas d'ensembles finis. En utilisant cette correspondance un-??-un, il a appliqu?? le concept d'ensembles infinis; par exemple, l'ensemble des nombres naturels N = {0, 1, 2, 3, ...}. Il a appel?? ces nombres cardinaux nombres cardinaux transfinis, et d??finis tous les jeux ayant un one-to-one correspondance avec N d'??tre d??nombrables (d??nombrable) ensembles.

Nommer ce num??ro de cardinal , aleph-nulle, Cantor prouv?? que tout sous-ensemble sans limite de N a le m??me cardinal que le N, m??me si cela peut sembler ?? premi??re vue contraire ?? l'intuition. Il se est av??r?? ??galement que l'ensemble de tous paires ordonn??es de nombres naturels est d??nombrable (ce qui implique que l'ensemble des nombres rationnels est d??nombrable), et plus tard ont prouv?? que l'ensemble de tous nombres alg??briques est aussi d??nombrable. Chaque nombre alg??brique z peut ??tre cod?? comme une suite finie de nombres entiers qui sont les coefficients de l'??quation polynomiale de laquelle ce est la solution, ?? savoir le n-tuple ordonn?? avec une paire de nombres rationnels de telle sorte que z est la racine unique du polyn??me avec des coefficients qui se situe dans l'intervalle .

Dans son article de 1874, Cantor a prouv?? qu'il existe des nombres cardinaux d'ordre sup??rieur en montrant que l'ensemble des nombres r??els est de cardinal sup??rieur ?? celui de N. Son pr??sentation originale utilis?? un argument complexe avec intervalles imbriqu??, mais dans un document de 1891, il se est av??r?? le m??me r??sultat en utilisant son ing??nieuse, mais simple argument de la diagonale. Ce nouveau num??ro de cardinal, appel?? cardinalit?? du continuum, a ??t?? appel?? par Cantor c.

Cantor a ??galement d??velopp?? une grande partie de la th??orie g??n??rale des nombres cardinaux; il a prouv?? qu'il ya un plus petit nombre cardinal transfini ( , Aleph-nulle) et que pour chaque nombre cardinal, il est un cardinal de la prochaine grande .

Son continuum hypoth??se est la proposition selon laquelle c est la m??me que , Mais cela a ??t?? jug??e ind??pendante des axiomes standard de la th??orie math??matique des ensembles; il ne peut ??tre ni prouv??e ni r??fut??e selon les hypoth??ses standard.

Motivation

Lors de l'utilisation informelle, un nombre cardinal est ce qui est normalement appel?? un num??ro de comptage , ?? condition que 0 est inclus: 0, 1, 2, .... Ils peuvent ??tre identifi??s par les nombres naturels ?? partir de 0. Les num??ros de comptage sont exactement ce qui peut ??tre d??fini officiellement comme le nombres cardinaux finis. Cardinaux infinis se produisent seulement en math??matiques de niveau sup??rieur et de la logique.

Plus formellement, un nombre diff??rent de z??ro peut ??tre utilis?? ?? deux fins: pour d??crire la taille d'un ensemble, ou pour d??crire la position d'un ??l??ment dans une s??quence. Pour les jeux et suites finies, il est facile de voir que ces deux notions co??ncident, puisque pour chaque num??ro d??crivant une position dans une s??quence nous pouvons construire un ensemble qui a exactement la bonne taille, par exemple 3 d??crit la position de ??c?? dans la s??quence <'a', 'b', 'c', 'd', ...>, et nous pouvons construire l'ensemble {a, b, c} qui a trois ??l??ments. Cependant lorsqu'il se agit de ensembles infinis, il est essentiel de faire la distinction entre les deux - les deux notions sont en fait diff??rent pour les ensembles infinis. Compte tenu de l'aspect de position conduit ?? des nombres ordinaux, tandis que l'aspect de la taille est g??n??ralis??e par les nombres cardinaux d??crites ici.

L'intuition de la d??finition formelle de cardinal est la construction d'une notion de la taille relative ou ??grandeur?? d'un ensemble sans r??f??rence au genre de membres dont il dispose. Pour ensembles finis ce est facile; on compte simplement le nombre d'??l??ments d'un ensemble a. Afin de comparer les tailles de plus grands ensembles, il est n??cessaire de faire appel ?? des notions plus subtiles.

Un ensemble Y est au moins aussi grand que, ou ??gal ou sup??rieur ?? un ensemble X se il existe une injective (one-to-one) la cartographie des ??l??ments de X ?? Y ??l??ments de. Une cartographie one-to-one identifie chaque ??l??ment de l'ensemble X avec un ??l??ment unique de l'ensemble Y. Ce est plus facile ?? comprendre par un exemple; supposons que nous avons les ensembles X = {1,2,3} et Y = {a, b, c, d}, puis en utilisant cette notion de taille, nous ne observer qu'il existe une cartographie:

1 → a

2 → b

→ 3 c

qui est l'un-??-un, et donc conclure que Y est de cardinal sup??rieur ou ??gal ?? X. Remarque l'??l??ment d a aucun ??l??ment ?? la cartographie, mais cela est permis car nous ne avons besoin d'un mappage un-??-un, et pas n??cessairement un one-to-one et sur la cartographie. L'avantage de cette notion est que cela peut ??tre ??tendu ?? des ensembles infinis.

Nous pouvons ensuite l'??tendre ?? une relation d'??galit?? de style. Deux ensembles sont dit X et Y pour avoir le m??me cardinal se il existe une bijection entre X et Y. Par le Schroeder-Bernstein th??or??me, ce est l'??quivalent d'y ??tre ?? la fois un mappage un-??-un de X ?? Y et un mappage un-??-un de Y ?? X. Nous ??crivons alors | X | = | Y |. Le cardinal de X lui-m??me est souvent d??finie comme le moins un ordinal avec | a | = | X |. Ceci est appel?? le von Neumann Affectation cardinal; cette d??finition ?? donner un sens, il doit ??tre prouv?? que chaque ensemble a le m??me cardinal que certains ordinale; cette d??claration est le principe bien commander. Il est cependant possible de discuter de la cardinalit?? relative des ensembles sans attribuer explicitement les noms aux objets.

L'exemple classique utilis??e est celle de l'h??tel infinie paradoxe, ??galement appel??e H??tel de Hilbert. Supposons que vous ??tes un aubergiste dans un h??tel avec un nombre infini de chambres. L'h??tel est plein, puis un nouveau client arrive. Il est possible de se adapter ?? la personne suppl??mentaire en demandant ?? l'invit?? qui ??tait dans la chambre 1 pour passer ?? la salle 2, l'invit?? dans la salle 2 de se d??placer ?? la salle 3, et ainsi de suite, laissant la place une vacants. Nous pouvons ??crire explicitement un segment de cette cartographie:

1 ↔ 2

2 ↔ 3

3 ↔ 4

...

n ↔ n + 1

...

De cette fa??on, nous pouvons voir que l'ensemble {1,2,3, ...} a le m??me cardinal que l'ensemble {2,3,4, ...} depuis une bijection entre le premier et le second a ??t?? montr?? . Ce qui motive la d??finition d'un ensemble infini ??tant tout ensemble qui a un sous-ensemble de la m??me cardinal; dans ce cas, {2,3,4, ...} est un sous-ensemble de {1,2,3, ...}.

Lors de l'examen de ces grands objets, nous pourrions ??galement voir si la notion d'ordre de comptage co??ncide avec celle du cardinal d??fini ci-dessus pour ces ensembles infinis. Il se trouve que ce ne est pas; en consid??rant l'exemple ci-dessus, nous pouvons voir que si un objet "de plus grand que l'infini" existe, alors il doit avoir le m??me cardinal que l'ensemble infini nous avons commenc?? avec. Il est possible d'utiliser une notion formelle diff??rente pour le nombre, appel?? ordinaux, bas??e sur les id??es de compter et compte tenu de chaque num??ro ?? son tour, et nous d??couvrons que les notions de cardinal et ordinal sont divergents une fois que nous sortons des nombres finis.

Il peut ??tre prouv?? que la cardinalit?? des nombres r??els est sup??rieure ?? celle des nombres naturels viennent d'??tre d??crits. Ceci peut ??tre visualis?? en utilisant Argument de la diagonale de Cantor; questions classiques de cardinal (par exemple la continuum hypoth??se) sont concern??s par d??couvrir si il ya une certaine cardinal entre certains autres paire de cardinaux infinis. Dans une ??poque plus r??cente math??maticiens ont d??crit les propri??t??s des cardinaux plus en plus grandes.

Depuis cardinal est un tel concept commun en math??matiques, une vari??t?? de noms sont en cours d'utilisation. Similitude de cardinal est parfois appel?? ??quipotence, ??quipollence ou ??quipotence. Il est donc dit que deux ensembles avec le m??me cardinal sont, respectivement, ??quipotente isosth??nique ou equinumerous.

D??finition formelle

Formellement, en supposant que le axiome de choix, la cardinalit?? d'un ensemble X α est le moins ordinal tel qu'il existe une bijection entre X et α. Cette d??finition est connue comme la von Neumann Affectation de cardinal. Si l'axiome du choix ne est pas suppos?? que nous devons faire quelque chose de diff??rent. La d??finition la plus ancienne de la cardinalit?? d'un ensemble X (implicite dans Cantor et explicite dans Frege et Principia Mathematica) est comme l'ensemble de tous les ensembles qui sont equinumerous avec X: cela ne fonctionne pas dans ZFC ou d'autres syst??mes connexes de la th??orie des ensembles axiomatique parce que cette collection est trop grand pour ??tre un ensemble, mais il ne fonctionne dans tapez th??orie et en Nouvelles fondations et des syst??mes connexes. Toutefois, si nous limitons de cette classe ?? ces equinumerous avec X qui ont le moins rang, alors il fonctionne (ce est un truc en raison de Dana Scott: cela fonctionne parce que la collection d'objets avec ne importe quel rang donn?? est un ensemble).

Formellement, l'ordre entre les nombres cardinaux est d??fini comme suit: | X | ≤ | Y | signifie qu'il existe un fonction injective de X ?? Y. Le Th??or??me de Cantor-Bernstein indique que si | X | ≤ | Y | et | Y | ≤ | X | puis | X | = | Y |. Le axiome du choix est ??quivalente ?? l'instruction que, ??tant donn?? deux ensembles X et Y, soit | X | ≤ | Y | ou | Y | ≤ | X |.

Un ensemble X est Dedekind-infini se il existe un sous-ensemble appropri?? de X avec Y | X | = | Y |, et Dedekind-finis se il ne existe pas un tel sous-ensemble. Le cardinaux finis sont seulement les nombres naturels , ce est ?? dire, un ensemble X est fini si et seulement si | X | = | n | = n pour un nombre naturel n. Toute autre ensemble est infinie. En supposant que l'axiome du choix, il peut ??tre prouv?? que les notions de Dedekind correspondent aux standards. Il peut ??galement ??tre prouv?? que le cardinal (Aleph-0, o?? aleph est la premi??re lettre dans le Alphabet h??breu, repr??sent??e ) De l'ensemble des nombres naturels est le plus petit cardinal infini, ce est ?? dire que tout ensemble infini a un sous-ensemble de cardinal Le prochain grand cardinal est d??sign?? par et ainsi de suite. Pour chaque ordinal α il ya un nombre cardinal et cette liste ??puise tous les num??ros de cardinal infini.

Cardinal arithm??tique

Nous pouvons d??finir arithm??tiques op??rations sur les nombres cardinaux qui g??n??ralisent les op??rations ordinaires pour les nombres naturels. Il peut ??tre d??montr?? que, pour les cardinaux finis ces op??rations co??ncident avec les op??rations habituelles de nombres naturels. En outre, ces op??rations part de nombreuses propri??t??s avec l'arithm??tique ordinaire.

Successeur cardinal

Si l'axiome du choix tient, chaque cardinal κ a un successeur κ ^+> κ, et il n'y a pas entre cardinaux κ et son successeur. Pour cardinaux finis, le successeur est tout simplement κ + 1. Pour cardinaux infinis, le cardinal successeur diff??re de la successeur ordinale.

Cardinal plus

Si X et Y sont disjoints, l'addition est donn??e par la union de X et Y. Si les deux ensembles ne sont pas d??j?? disjoints, ils peuvent ??tre remplac??s par des ensembles disjoints, ce est ?? dire remplacer X par X ?? {0} et Y par Y ?? {1}.

Z??ro est une identit?? additif κ + 0 = 0 + κ = κ.

L'addition est associative (κ + μ) + ν = κ + (μ + ν).

L'addition est commutative κ + μ = μ + κ.

L'addition est non d??croissante dans les deux arguments:

Si l'axiome du choix d??tient, outre des num??ros de cardinal infini est facile. Si l'une ou est infini, alors

Soustraction

Si l'axiome du choix d??tient et donn?? un σ de cardinal infini et un μ cardinal, il y aura un cardinal κ telle que μ + κ = σ si et seulement si μ ≤ σ. Il sera unique (et ??gal ?? σ) si et seulement si μ <σ.

Cardinal multiplication

Le produit des cardinaux vient du produit cart??sien.

κ ?? 0 = 0 ?? κ = 0.

κ ?? μ = 0 (Κ = 0 ou μ = 0).

L'un est un κ identit?? multiplicatif ?? 1 = 1 ?? κ = κ.

La multiplication est associative (κ ?? μ) ?? ν = κ ?? (μ ?? ν).

La multiplication est commutative κ ?? μ = μ ?? κ.

La multiplication est non d??croissante dans les deux arguments: κ ≤ μ (Κ ?? ν ≤ μ ν et ν ?? ?? ?? κ ≤ ν μ).

Multiplication distribue sur l'addition: κ ?? (μ + ν) = κ ?? μ + κ ?? ν et (μ + ν) ?? κ = μ ?? κ + ν ?? κ.

Si l'axiome du choix d??tient, multiplication des nombres cardinaux infinis est ??galement facile. Si l'une ou κ μ est infinie et les deux sont non-z??ro,

Division

Si l'axiome du choix d??tient et donn?? un π cardinal infini et un cardinal μ non nul, il y aura un cardinal κ telle que μ ?? κ = π si et seulement si μ ≤ π. Il sera unique (et ??gale ?? π) si et seulement si μ <π.

Cardinal exponentiation

Exponentiation est donn??e par

^Y o?? X est l'ensemble de toutes les fonctions de Y ?? X.

κ ⁰ = 1 (en particulier ⁰ 0 = 1), voir fonction vide.

Si une ≤ μ, puis 0 ^μ = 0.

1 ^μ = 1.

κ = κ ^1.

^κ μ ^{+ ν} = ^κ μ ?? κ ^ν.

^κ μ ^{?? ν} = ^(κ μ) ^ν.

(Κ ?? μ) ^ν = κ ^ν ?? μ ^ν.

Si κ et μ sont ?? la fois fini et sup??rieur ?? 1, et ν est infini, alors κ ^ν = μ ^ν.

Si κ est infini et μ est finie et non nulle, alors κ = κ ^μ.

Exponentiation est non d??croissante dans les deux arguments:

(1 ≤ μ ν et κ ≤) ^(Ν κ ≤ ν μ) et

(Κ ≤ μ) ^(Κ ν ≤ μ ν).

Notez que 2 ^{| X |} est la cardinalit?? de la ensemble de l'ensemble X de puissance et Argument de la diagonale de Cantor montre que 2 ^{| X |>} | X | X pour tout ensemble. Cela prouve que pas grand cardinal existe (car pour tout κ cardinaux, nous pouvons toujours trouver un plus grand cardinal ^κ 2). En fait, la classe de cardinaux est un classe appropri??e.

Si l'axiome du choix et d??tient 2 ≤ κ et une ≤ μ et au moins un d'entre eux est infini, alors:

Max (κ, ^μ 2) ≤ κ ^μ ≤ max (2 ^{κ, μ} 2).

Utilisation Th??or??me de K??nig, peut prouver κ <κ ^{cf (κ)} et κ <cf (2 ^κ) pour toute κ cardinaux infinis, o?? cf (κ) est le cofinalit?? de κ.

Sans racines ni logarithmes peuvent ??tre d??finis uniquement pour cardinaux infinis.

Le logarithme d'un nombre cardinal infini κ est d??fini comme ??tant le nombre minimum de cardinal μ tel que κ ≤ 2 ^μ. Logarithmes des cardinaux infinis sont utiles dans certains domaines des math??matiques, par exemple dans l'??tude des invariants cardinaux d'espaces topologiques, se ils ne ont pas certaines des propri??t??s que logarithmes des nombres r??els positifs poss??dent.

L'hypoth??se de continuum

Le continuum hypoth??se (CH) affirme qu'il n'y a pas strictement entre cardinaux et Ce dernier nombre cardinal est ??galement souvent d??sign?? par c; c'est le cardinalit?? du continuum (l'ensemble des nombres r??els ). Dans ce cas Le continuum g??n??ralis??e hypoth??se (GCH) stipule que pour chaque ensemble infini X, il n'y a pas strictement entre cardinaux | X | et 2 ^{| X |.} L'hypoth??se de continuum est ind??pendante des axiomes habituels de la th??orie des ensembles, le Zermelo-Fraenkel axiomes avec l'axiome du choix ( ZFC).