Associativit??

Saviez-vous ...

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En math??matiques , l'associativit?? est une propri??t?? qui a op??ration binaire peut avoir. Cela signifie que, dans une expression contenant deux ou plusieurs des m??mes op??rateurs associatifs dans une rang??e, l'ordre des op??rations n'a pas d'importance tant que la s??quence de la op??randes ne est pas modifi??e. Autrement dit, le r??arrangement parenth??ses dans une telle expression ne changera pas sa valeur. Consid??rons par exemple l'??quation

$(5 + 2) + 1 = 5 + (2 + 1) = 8$

M??me si les parenth??ses ont ??t?? r??arrang??es, la valeur de l'expression ne ??tait pas modifi??e. Comme ce est vrai lors de l'ex??cution plus sur les nombres r??els , nous disons que "plus des nombres r??els est une op??ration associative."

Associativit?? ne doit pas ??tre confondue avec la commutativit?? . Commutativit?? justifie de modifier l'ordre ou la s??quence des op??randes dans une expression tout associativit?? ne est pas. Par exemple,

$(5 + 2) + 1 = 5 + (2 + 1)$

est un exemple de l'associativit?? parce que les parenth??ses ont ??t?? modifi??es (et par cons??quent l'ordre des op??rations au cours de l'??valuation), tandis que les op??randes 5, 2 et 1 apparaissent dans le m??me ordre de gauche ?? droite dans l'expression.

$(5 + 2) + 1 = (2 + 5) 1$

ne est pas un exemple de l'associativit?? parce que la s??quence d'op??rande modifi?? lorsque le 2 5 et chang?? de place.

Op??rations associatives sont abondants en math??matiques, et en fait la plupart des structures alg??briques exigent explicitement leurs op??rations binaires d'??tre associative. Cependant, de nombreuses op??rations importantes et int??ressantes sont non-associative; un exemple commun serait le produit vecteur de croix .

D??finition

Formellement, une op??ration binaire $* \! \! \!$ sur un ensemble S est appel?? associative se il satisfait ?? la loi associative:

$(X * y) z = * x * (y * z) \ qquad \ mbox {} pour tout x, y, z \ in S.$

L'ordre d'??valuation ne affecte pas la valeur de ces expressions, et il peut ??tre d??montr?? que la m??me chose pour les expressions contenant un certain nombre de $* \! \! \!$ op??rations. Ainsi, lorsque $* \! \! \!$ est associative, l'ordre d'??valuation peut donc ??tre omis sans causer ambigu??t??, en omettant les parenth??ses et ??crire simplement:

$x * y * z. \,$

Cependant, il est important de se rappeler que changer l'ordre des op??rations ne implique pas ou permettre la modification des op??rations proprement dites en d??pla??ant les op??randes autour dans l'expression.

Exemples

Certains exemples d'op??rations associatifs sont les suivantes.

En arithm??tique , plus et la multiplication des nombres r??els sont associative; ce est ?? dire,

$\ Left. \ Begin {matrix} (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z \ quad \\ (x \, y) z = x (y \, z) = x \, y \ , z \ qquad \ qquad \ qquad \ quad \ \ \, \ end {matrix} \ right \} \ mbox {} pour tous x, y, z \ in \ mathbb {R}.$

L'addition et la multiplication des nombres complexes et quaternions est associative. L'addition de octonions est ??galement associatif, mais de multiplication octonions est non associatif.

Le plus grand commun diviseur et multiples fonctions moins communes agissent associative.

$\ Left. \ Begin {matrix} \ {operatorname pgcd} (\ operatorname {} pgcd (x, y), z) = \ operatorname {} pgcd (x, \ operatorname {} pgcd (y, z)) = \ operatorname {} GCD (x, y, z) \ \ quad \\ \ operatorname {} LCM (\ operatorname {} LCM (x, y), z) = \ operatorname {} LCM (x, \ operatorname {} LCM (y, z) ) = \ operatorname {} LCM (x, y, z) \ quad \ end {matrix} \ right \} \ mbox {} pour tous x, y, z \ in \ mathbb {Z}.$

Parce que transformations lin??aires sont des fonctions qui peuvent ??tre repr??sent??es par des matrices de multiplication matricielle ??tant la repr??sentation fonctionnelle de la composition, on peut conclure que la matrice imm??diatement multiplication est associative.

Prendre le intersection ou le union de ensembles:

$\ Left. \ Begin {matrix} (A \ cap B) \ cap C = A \ cap (B \ cap C) = A \ cap B \ cap C \ quad \\ (A \ cup B) \ cup C = A \ tasse ( B \ cup C) = A \ cup B \ cup C \ quad \ end {matrix} \ right \} \ mbox {} pour tous les ensembles A, B, C.$

Si M est un certain ensemble et S d??signe l'ensemble de toutes les fonctions de M ?? M, alors l'op??ration de composition fonctionnelle sur S est associative:

$(F \ circ g) \ circ h = f \ circ (g \ circ h) = f \ circ g \ circ h \ qquad \ mbox {} pour tous f, g, h \ S.$

Un peu plus g??n??ralement, compte tenu de quatre s??ries M, N, P et Q, avec h: M ?? N, g: P ?? N, et f: P ?? Q, puis

$(F \ circ g) \ circ h = f \ circ (g \ circ h) = f \ circ g \ circ h$

comme avant. En bref, la composition de cartes est toujours associative.

Consid??rons un ensemble de trois ??l??ments, A, B, et C. L'op??ration suivante:

??	Un	B	C
+
Un	Un	Un	Un
B	Un	B	C
C	Un	Un	Un

est associatif. Ainsi, par exemple, A (BC) = (AB) C. Cette cartographie ne est pas commutative.

Non-associativit??

Une op??ration binaire $*$ sur un ensemble S qui ne satisfait pas ?? la loi associative est appel?? non-associative. Symboliquement,

$(X * y) * z \ ne x * (y * z) \ qquad \ mbox {} pour un certain x, y, z \ in S.$

Pour une telle op??ration l'ordre d'??valuation de l'importance. soustraction , division et exponentiation sont des exemples bien connus des op??rations non associatifs:

$\ Begin {matrix} (5-3) -2 \ ne 5- (3-2) \ quad \\ (4/2) / 2 \ ne 4 / (2/2) \ qquad \ qquad \\ 2 ^ { (1 ^ 2)} \ ne (2 ^ 1) ^ 2. \ quad \ qquad \ qquad \ end {matrix}$

En g??n??ral, les parenth??ses doivent ??tre utilis??s pour indiquer le ordre d'??valuation si une op??ration non-associative appara??t plus d'une fois dans une expression. Cependant, les math??maticiens se accordent sur un ordre particulier de l'??valuation pour plusieurs op??rations non associatifs communs. Ce est tout simplement une convention syntaxique pour ??viter parenth??ses.

Une op??ration de gauche est une op??ration associative non associatif qui est classiquement ??valu??e de gauche ?? droite, ce est ?? dire,

$\ Left. \ Begin {matrix} x * y * z = (x * y) * z \ qquad \ qquad \ quad \, \\ w * x * y * z = ((w * x) * y) * z \ quad \ \ \ mbox {etc.} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ \ \, \ end {matrix} \ right \} \ mbox {} pour tous les w, x, y, z \ in S$

pendant qu'une op??ration associatif ?? droite est classiquement ??valu??e de droite ?? gauche:

$\ Left. \ Begin {matrix} x * y * z = x * (y * z) \ qquad \ qquad \ quad \, \\ w * x * y * z = w * (x * (y * z)) \ quad \ \ \ mbox {etc.} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ \ \, \ end {matrix} \ right \} \ mbox {} pour tous les w, x, y, z \ in S$

Les deux op??rations gauche associatifs et ?? droite associatifs se produisent; des exemples sont donn??s ci-dessous.

Plus d'exemples

Left-associatif op??rations sont les suivantes.

Soustraction et la division des nombres r??els:

$xyz = (xy) z \ qquad \ mbox {} pour tous x, y, z \ in \ mathbb {R};$

$x / y / z = (x / y) / z \ qquad \ qquad \ quad \ mbox {} pour tous x, y, z \ in \ mathbb {R} \ mbox {} avec y \ ne0, z \ ne0.$

Op??rations droit associatifs sont les suivantes.

Exponentiation des nombres r??els:

$x ^ {y ^ z} = x ^ {(y ^ z)}. \,$

La raison en est exponentiation de droit associatif est qu'une op??ration d'exponentiation gauche associative r??p??t??e serait moins utile. Apparences multiples pourraient (et devraient) ??tre r????crites avec la multiplication:

$(X ^ y) ^ z = x ^ {(yz)}. \,$

Op??rations non associatifs pour lesquels aucun ordre d'??valuation conventionnelle est d??finie sont les suivantes.

Prenant la paire moyenne des nombres r??els:

${(X + y) / 2 + z \ over2} \ ne {x + (y + z) / 2 \ over2} \ ne {x + y + z \ over3} \ qquad \ mbox {pour certains} x, y, z \ in \ mathbb {R}.$

Prendre le compl??ment relative des ensembles:

$(A \ barre oblique inverse B) \ barre oblique inverse C \ ne A \ barre oblique inverse (B \ barre oblique inverse C) \ qquad \ mbox {} pour certaines s??ries A, B, C.$

$Diagramme de Venn des compl??ments relatifs (A \ B) \ C et A \ (B \ C)$

La partie verte de la gauche diagramme de Venn repr??sente (A \ B) \ C. La partie verte dans le diagramme de Venn droite repr??sente A \ (B \ C).

En utilisant la notation associatif ?? droite pour Implication peut ??tre motiv?? par exemple par Curry-Howard correspondance: voir par exemple comparaison des deux premiers axiomes du syst??me de d??duction Hilbert-style avec combinateurs base de la logique combinatoire.

R??cup??r?? ?? partir de " http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Associative_property&oldid=202029355 "