Addition

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3 + 2 = 5 avec des pommes , un choix populaire dans les manuels scolaires

L'addition est un op??ration math??matique qui repr??sente la quantit?? totale d'objets entre eux dans une collection. Il est signifi?? par le signe plus (+). Par exemple, dans l'image sur la droite, il ya 3 + 2 pommes intentionn??s trois pommes et deux pommes ensemble, ce qui est un total de 5 pommes. Par cons??quent, 3 + 2 = 5. Outre les fruits de comptage, plus peut ??galement repr??senter combinant d'autres grandeurs physiques et abstraites utilisant diff??rents types de nombres: nombres n??gatifs , des fractions , des nombres irrationnels , des vecteurs , des d??cimales et plus.

Outre suit plusieurs tendances importantes. Il est commutative , ce qui signifie que l'ordre n'a pas d'importance, et il est associative , ce qui signifie que lorsque l'on ajoute plus de deux chiffres, ordre dans lequel addition est effectu??e n'a pas d'importance (voir Sommation). Addition r??p??t??e de 1 est la m??me que compter; plus de 0 ne change pas un num??ro. Outre ob??it aussi ?? des r??gles pr??visibles concernant des op??rations connexes telles que la soustraction et la multiplication . Toutes ces r??gles peut ??tre prouv?? , ?? commencer par l'ajout de nombres naturels et la g??n??ralisation ?? travers les nombres r??els et au-del??. G??n??ral op??rations binaires qui continuent ces mod??les sont ??tudi??s dans l'alg??bre abstraite .

Ex??cution plus est l'une des t??ches les plus simples num??riques. L'addition d'un tr??s petit nombre est accessible ?? tout-petits; la t??che la plus fondamentale, 1 + 1, peut ??tre r??alis??e par des enfants aussi jeunes que cinq mois et m??me quelques animaux. Dans l'enseignement primaire , les ??l??ves ont appris ?? ajouter des num??ros dans la d??cimale syst??me, en commen??ant par un seul chiffre et de se attaquer progressivement des probl??mes plus difficiles. Les aides m??caniques vont de l'ancien abaque au moderne ordinateur , o?? la recherche sur les impl??mentations les plus efficaces de l'addition continue ?? ce jour.

Notation et la terminologie

L'addition est ??crit en utilisant la signe plus ??+?? entre les termes; ce est-?? notation infix??e. Le r??sultat est exprim?? avec une signe ??gal. Par exemple,

$1 + 1 = 2$ (Verbalement, "un plus un ??gale deux")

$2 + 2 = 4$ (Verbalement, ??deux plus deux font quatre??)

$3 + 3 = 6$ (Verbalement, "trois plus trois ??galent six")

$5 + 4 + 2 = 11$ (Voir ??associativit???? ci-dessous )

$3 + 3 + 3 + 3 = 12$ (Voir ??multiplication?? ci-dessous )

Il ya aussi des situations o?? l'addition est "entendu" m??me si aucun symbole ne appara??t:

Outre Colonnes:
5 + 12 = 17

Une colonne de chiffres, avec le dernier num??ro dans la colonne soulign??e, indique g??n??ralement que les chiffres de la colonne doivent ??tre ajout??s, avec la somme ??crite en dessous du num??ro soulign??.
Un nombre entier imm??diatement suivie par une fraction indique la somme des deux, appel?? un nombre fractionnaire. Par exemple,
3?? = 3 + ?? = 3,5.
Cette notation peut causer de la confusion puisque dans la plupart des autres contextes juxtaposition repr??sente multiplication place.

La somme de a s??rie de chiffres connexes peut ??tre exprim??e ?? travers notation sigma capital, ce qui d??note compacte it??ration. Par exemple,

$\ Sum_ {k = 1} ^ 5 k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 4 ^ 2 + 5 = 55 ^ 2.$

Les num??ros ou les objets ?? ajouter en plus g??n??rale sont appel??s les termes, les op??randes, ou les op??randes; cette terminologie se r??percute sur la somme de plusieurs termes. Ceci est ?? distinguer de facteurs, qui sont multipli??es . Certains auteurs appellent le premier terme cumulande. En fait, au cours de la Renaissance , de nombreux auteurs ne ont pas consid??r?? le premier terme un ??addend" du tout. Aujourd'hui, en raison de la propri??t?? commutative de l'addition, "cumulande" est rarement utilis??, et les deux termes sont g??n??ralement appel?? op??randes.

Tout cela d??coule de la terminologie latine . " Addition "et" ajouter "sont Anglais mots d??riv??s du latin addere verbe, qui est ?? son tour un compos?? de l'annonce "pour" et oser ??donner??, de la Proto-racine indo-europ??enne * deh₃- ??donner??; donc ?? ajouter est de donner ??. En utilisant le adjectif verbal Les r??sultats de suffixe en "addend", "chose ?? ajouter". De m??me ?? partir augere "pour augmenter", on obtient "cumulande", "chose ?? ??tre augment??e".

Redessin?? illustration de l'art de Nombryng, l'un des premiers textes arithm??tiques Anglais, au 15??me si??cle

"Somme" et "summand" d??rivent du latin substantif summa "le plus haut, le haut?? et summare verbe associ??. Ceci est appropri?? non seulement parce que la somme de deux nombres positifs est sup??rieur soit, mais parce qu'il ??tait autrefois courant d'ajouter ?? la hausse, contrairement ?? la pratique moderne de l'ajout ?? la baisse, de sorte que la somme ??tait litt??ralement plus ??lev?? que les op??randes. Addere et summare remontent au moins ?? Bo??ce, si ce ne est aux ??crivains romains ant??rieurs, tels que Vitruve et Frontin; Boethius ??galement utilis?? plusieurs autres conditions pour l'op??ration d'addition. Le plus tard Moyen terme anglais "adden" et "ajouter" ont ??t?? popularis??e par Chaucer .

Interpr??tations

L'addition est utilis??e pour mod??liser innombrables processus physiques. M??me pour le cas simple d'ajouter des nombres naturels , il ya beaucoup d'interpr??tations possibles et m??me des repr??sentations plus visuels.

Combinant ensembles

Peut-??tre l'interpr??tation la plus fondamentale de l'addition r??side dans la combinaison des ensembles:

Lorsque deux ou plusieurs collections disjoints sont combin??s en une seule collection, le nombre d'objets de la collection unique est la somme du nombre d'objets dans les collections originales.

Cette interpr??tation est facile de visualiser, avec peu de risque d'ambigu??t??. Il est ??galement utile dans les math??matiques sup??rieures; pour le d??finition rigoureuse qu'elle inspire, voir num??ros naturelles ci-dessous. Cependant, il ne est pas ??vident de savoir comment il faut ??tendre cette version de plus d'inclure des nombres fractionnaires ou nombres n??gatifs.

Une solution possible est de consid??rer des collections d'objets qui peuvent ??tre facilement divis??s, tels que tartes ou, mieux encore, segment?? tiges. Plut??t que de simplement combiner des collections de segments, les tiges peuvent ??tre reli??es bout-??-bout, qui illustre une autre conception de plus: l'addition, mais non les tiges les longueurs des tiges.

??tendant sur une longueur

Une deuxi??me interpr??tation de plus vient d'??tendre une longueur initiale par une longueur donn??e:

Lorsque la dur??e d'origine est prolong??e par une quantit?? donn??e, la longueur finale est la somme de la longueur d'origine et la longueur de l'extension.

Une visualisation num??ro en ligne de l'addition alg??brique 2 + 4 = 6. Une traduction de 2 suivi par une traduction de 4 est le m??me que la traduction par six.

Une visualisation num??ro en ligne de la plus unaire 2 + 4 = 6. Une traduction par 4 est ??quivalente ?? quatre traductions par une.

La somme a + b peut ??tre interpr??t?? comme un op??ration binaire qui combine a et b, dans un sens alg??brique, ou il peut ??tre interpr??t?? comme l'ajout de b plusieurs unit??s ?? un. En vertu de la seconde interpr??tation, les parties d'une somme a + b jouent des r??les asym??triques, et l'op??ration a + b est consid??r??e comme l'application de la op??ration unaire + b ?? un. Au lieu d'appeler ?? la fois un et op??randes b, il est plus appropri?? d'appeler un cumulande dans ce cas, car un joue un r??le passif. La vue unaire est ??galement utile lors de l'examen de soustraction , car chaque op??ration d'addition unaire a une op??ration de soustraction unaire inverse, et vice versa.

Propri??t??s

Commutativit??

4 + 2 = 2 + 4 avec des blocs

L'addition est commutative , ce qui signifie que l'on peut inverser les termes dans une somme de gauche ?? droite, et le r??sultat est le m??me que la derni??re. Symboliquement, si a et b sont deux nombres, puis

a + b = b + a.

Le fait que l'addition est commutative est connue comme la "loi commutative de l'addition". Cette phrase sugg??re qu'il existe d'autres lois commutatives: par exemple, il ya une loi commutative de la multiplication. Cependant, beaucoup op??rations binaires ne sont pas commutative, comme soustraction et la division, il est trompeur de parler d'une "loi commutative" sans r??serve.

Associativit??

2 + (1 + 3) = (2 + 1) 3 avec des tiges segment??es

Une propri??t?? peu subtile de l'addition est associativit?? , qui arrive quand on essaie de d??finir addition r??p??t??e. Si l'expression

"A + b + c"

??tre d??fini comme signifiant (a + b) + c ou + (b + c)? Que l'addition est associative nous dit que le choix de la d??finition ne est pas pertinent. Pour toutes les trois nombres a, b et c, il est vrai que

(A + b) + c = a + (b + c).

Par exemple, (1 + 2) + 3 + 3 = 3 = 6 + 1 = 5 + 1 = (2 + 3). Toutes les op??rations ne sont pas associatives, donc dans les expressions avec d'autres op??rations comme la soustraction, il est important de sp??cifier le ordre des op??rations.

??l??ment d'identit??

5 + 0 = 5 avec des sacs de points

Lors de l'ajout de z??ro ?? un nombre quelconque, la quantit?? ne change pas; z??ro est le ??l??ment neutre pour l'addition, ??galement connu sous le nom identit?? additive. En symboles, pour tout un,

a + 0 = 0 + a = a.

Cette loi a ??t?? identifi?? en Brahmagupta de Brahmasphutasiddhanta en 628 AD, mais il l'a ??crit que trois lois distinctes, selon que A est n??gatif, positif, ou z??ro lui-m??me, et il a utilis?? des mots plut??t que des symboles alg??briques. Plus tard Math??maticiens indiens raffin??s du concept; autour de l'an 830, Mahavira a ??crit, ??z??ro devient le m??me que ce qui est ajout?? ?? elle", correspondant ?? la d??claration unaire 0 + a = a. Au 12??me si??cle, Bhaskara a ??crit: ??Dans l'ajout de chiffrement, ou la soustraction de celui-ci, la quantit??, positif ou n??gatif, reste la m??me", correspondant ?? la d??claration unaire a + 0 = a.

Successeur

Dans le contexte d'entiers, l'addition d' une joue ??galement un r??le particulier: pour tout entier a, le nombre entier (a + 1) est le plus petit entier sup??rieur ?? un, ??galement connu comme le successeur d'un. Du fait de cette succession, la valeur de a + b certains peut ??galement ??tre consid??r??e comme la $b ^ {e}$ successeur d'un, ce qui rend plus succession r??it??r??.

Unit??s

Pour ajouter num??riquement grandeurs physiques avec unit??s, ils doivent d'abord ??tre exprim??es avec des unit??s communes. Par exemple, si une mesure de 5 pieds est prolong??e par deux pouces, la somme est de 62 pouces, 60 pouces depuis est synonyme de 5 pieds. D'autre part, il est g??n??ralement inutile d'essayer d'ajouter trois m??tres et 4 m??tres carr??s, puisque ces unit??s sont incomparables; ce genre de consid??ration est fondamental dans analyse dimensionnelle.

Outre Performing

Capacit?? inn??e

Les ??tudes sur le d??veloppement des math??matiques ?? partir autour des ann??es 1980 ont exploit?? le ph??nom??ne de accoutumance: nourrissons regardent plus ?? des situations qui sont inattendus. Une exp??rience s??minale par Karen Wynn en 1992 dans Mickey Mouse poup??es manipul??es derri??re un ??cran d??montr?? que cinq mois nourrissons ??g??s attendent 1 + 1 ?? 2, et ils sont relativement surpris quand une situation physique semble impliquer que 1 + 1 est soit 1 ou 3. Ce r??sultat a ??t?? confirm?? depuis par divers laboratoires utilisant des m??thodologies diff??rentes. Une autre exp??rience 1992 avec les anciens les tout-petits, de 18 ?? 35 mois, exploit??es leur d??veloppement du contr??le moteur en leur permettant de r??cup??rer de ping-pong balles d'une case; le plus jeune a r??pondu bien pour un petit nombre, alors que les sujets ??g??s ??taient en mesure de calculer les sommes jusqu'?? cinq.

M??me certains animaux non humains montrent une capacit?? limit??e d'ajouter, en particulier primates. Dans une exp??rience imitant 1995 1992 R??sultat de Wynn (mais en utilisant aubergines au lieu de poup??es), macaques rh??sus et tamarins linaigrette une performance similaire ?? des nourrissons humains. Plus spectaculaire, apr??s avoir appris la signification des chiffres arabes de 0 ?? 4, une chimpanz?? ??tait en mesure de calculer la somme des deux chiffres sans autre formation.

D??couvrir plus que les enfants

Typiquement, les enfants d'abord ma??triser compter. Quand donn?? un probl??me qui n??cessite que deux points et trois points soient combin??s, les jeunes enfants mod??liser la situation avec des objets physiques, souvent les doigts ou un dessin, puis comptent total. Comme ils acqui??rent de l'exp??rience, ils apprennent ou d??couvrir la strat??gie de ??compter sur??: a demand?? de trouver deux plus trois, les enfants comptent 02h03, en disant "trois, quatre, cinq" (g??n??ralement cochant doigts), et d'arriver ?? cinq . Cette strat??gie semble presque universelle; les enfants peuvent facilement ramasser des pairs ou des enseignants. La plupart d??couvrent ind??pendamment. Avec une exp??rience suppl??mentaire, les enfants apprennent ?? ajouter plus rapidement en exploitant la commutativit?? de l'addition en comptant ?? partir du plus grand nombre, dans ce cas, ?? partir de trois ans et compter "quatre, cinq." Finalement, les enfants commencent ?? rappeler certains faits d'addition (" obligations num??riques "), soit par l'exp??rience ou la m??morisation. Une fois que certains faits sont commis ?? la m??moire, les enfants commencent ?? tirer des faits inconnus de ceux connus. Par exemple, un enfant a demand?? d'ajouter six et sept peuvent savoir que 6 + 6 = 12 et alors la raison que 6 + 7 est un de plus, ou 13. Ces faits d??riv??s peuvent ??tre trouv??s tr??s rapidement et ??l??ve de l'??cole la plus ??l??mentaire ??ventuellement se appuient sur un m??lange de faits m??moris??s et d??riv??s pour ajouter couramment.

Syst??me d??cimal

La condition pr??alable ?? l'addition dans la d??cimale syst??me est couramment le rappel ou la d??rivation des ??faits d'addition" 100 ?? un seul chiffre. On pourrait m??moriser tous les faits par strat??gies rote, mais bas??e sur des mod??les sont plus instructif et, pour la plupart des gens, plus efficace:

Commutativit??: mentionn??s ci-dessus, en utilisant le mod??le a + b = b + a r??duit le nombre de ??faits d'addition" 100-55.
Un ou deux de plus: Ajout de 1 ou 2 est une t??che de base, et il peut ??tre accompli par comptage ou, finalement, intuition.
Zero: Depuis z??ro est l'identit?? d'additif, ajoutant z??ro est trivial. N??anmoins, dans l'enseignement de l'arithm??tique, certains ??l??ves sont initi??s ?? plus comme un processus qui augmente toujours les op??randes; probl??mes de mots peuvent aider ?? rationaliser l '??exception?? de z??ro.
Doubles: Ajout d'un num??ro ?? lui-m??me est li??e ?? compter par deux et de multiplication . Doubles faits forment une ??pine dorsale pour de nombreux faits connexes, et les ??tudiants les trouvent relativement facile ?? saisir.
Proche-doubles: Sommes tels que 6 + 7 = 13 peuvent ??tre rapidement origine dans le fait doubles 6 + 6 = 12 en ajoutant un de plus, ou ?? partir de 7 + 7 = 14, mais une soustraction.
Cinq et dix: Les sommes de la forme 5 + 10 + x et x sont g??n??ralement m??moris?? d??but et peut ??tre utilis?? pour d??river d'autres faits. Par exemple, 6 + 7 = 13 peut ??tre d??riv?? de 5 + 7 = 12 par addition d'une plus.
Faire dix: Une strat??gie avanc??e utilise 10 comme interm??diaire pour des sommes impliquant 8 ou 9; par exemple, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 + 4 = 10 = 14.

Comme les ??l??ves grandissent, ils commettent plus de faits ?? la m??moire, et apprennent ?? tirer rapidement et couramment d'autres faits. Beaucoup d'??tudiants ne se engagent tous les faits ?? la m??moire, mais peuvent encore trouver un fait de base rapidement.

L'algorithme standard pour ajouter des num??ros de plusieurs chiffres est d'aligner les op??randes verticalement et ajouter les colonnes, ?? partir de la colonne des unit??s sur la droite. Si une colonne d??passe dix, le chiffre suppl??mentaire est " r??alis??e ??dans la colonne suivante Une autre strat??gie commence ajoutant du chiffre le plus significatif sur la gauche;.. cette route permet de transporter un peu maladroit, mais il est plus rapide ?? obtenir une estimation approximative de la somme Il ya beaucoup d'autres m??thodes alternatives.

Fraction: Addition
La notation scientifique: Op??rations

Ordinateurs

Addition avec un ampli-op. Voir Amplificateur de sommation pour plus de d??tails.

Les ordinateurs analogiques travaillent directement avec des quantit??s physiques, de sorte que leurs m??canismes d'addition d??pendent de la forme des op??randes. Une extension de m??canique pourrait repr??senter deux op??randes que les positions des blocs coulissants, auquel cas ils peuvent ??tre ajout??s avec une moyenne levier. Si les op??randes sont les vitesses de rotation des deux arbres, ils peuvent ??tre ajout??s avec un diff??rentiel. Une extension hydraulique peut ajouter le les pressions dans les deux chambres par l'exploitation de la seconde loi de Newton pour ??quilibrer les forces sur un assemblage de pistons. La situation la plus courante pour un ordinateur ?? usage g??n??ral analogique consiste ?? ajouter deux tensions (par rapport ?? sol); ceci peut ??tre r??alis?? avec une plus ou moins r??sistance r??seau, mais une meilleure conception exploite une amplificateur op??rationnel.

L'addition est ??galement fondamentale pour le fonctionnement des calculateurs num??riques , o?? l'efficacit?? de l'addition, en particulier le effectuer m??canisme, est une limitation importante ?? la performance globale.

Partie de Charles Babbage Difference Engine y compris l'ajout et de mener des m??canismes

Ajout de machines, calculatrices m??caniques dont la fonction premi??re ??tait plus, ont ??t?? les premiers, les ordinateurs num??riques automatiques. 1623 Horloge Calcul de Wilhelm Schickard pourrait additionner et soustraire, mais il a ??t?? s??v??rement limit??e par un m??canisme de report maladroit. Br??l?? lors de sa construction en 1624 et inconnu dans le monde pendant plus de trois si??cles, il a ??t?? red??couvert en 1957 et ne avait donc pas d'impact sur le d??veloppement des calculatrices m??caniques. Blaise Pascal a invent?? la calculatrice m??canique en 1642 avec un m??canisme de report Assisted Gravity-ing??nieuse . Pascaline a ??t?? limit??e par son m??canisme de report dans un sens diff??rent: ses roues tourn?? qu'une seule fa??on, il pourrait ajouter mais pas soustraire, sauf par le Proc??d?? de compl??ments. En 1674 Gottfried Leibniz a fait le premier multiplicateur m??canique; il a ??t?? toujours sous tension, si ce ne est motiv??, par addition.

" Circuit additionneur complet "logique qui ajoute deux chiffres binaires A et B, avec une entr??e de report _en C, produisant le bit de somme, S, et une sortie de report, C _out.

Additionneurs ex??cutent plus entier dans les ordinateurs num??riques ??lectroniques, g??n??ralement en utilisant l'arithm??tique binaire . L'architecture la plus simple est l'additionneur de report en cascade, qui suit l'algorithme ?? plusieurs chiffres standard. Une l??g??re am??lioration est le transporter Conception saut, de nouveau apr??s l'intuition humaine; on ne effectue pas tous les porte dans le calcul de 999 + 1, mais on contourne le groupe de 9s et saute ?? la r??ponse.

Comme ils calculent chiffres un par un, les proc??d??s ci-dessus sont trop lentes pour la plupart des applications modernes. Dans les ordinateurs num??riques modernes, plus entier est g??n??ralement l'instruction la plus rapide de l'arithm??tique, mais il a le plus grand impact sur les performances, car elle sous-tend tous les op??rations en virgule flottante ainsi que des t??ches aussi fondamentales que r??pondre g??n??ration cours acc??s ?? la m??moire et la r??cup??ration l'instruction, pendant ramification. Pour augmenter la vitesse, des conceptions modernes calculent en chiffres parall??le; ces r??gimes vont par des noms tels que mener s??lectionnez, effectuer anticipation et le Pseudocarry Ling. Presque toutes les impl??mentations modernes sont, en fait, des hybrides de ces trois derni??res conceptions.

Contrairement plus sur papier, outre sur un ordinateur change souvent les op??randes. Sur l'ancienne boulier et carte ajoutant, les deux op??randes sont d??truites, laissant seulement la somme. L'influence de l'abaque sur la pens??e math??matique ??tait assez fort que les premiers latine textes souvent affirm?? que dans le processus d'ajouter "un certain nombre ?? un chiffre", les deux num??ros disparaissent. Dans les temps modernes, l'instruction ADD d'un microprocesseur remplace la cumulande avec la somme mais conserve le cumulateur. Dans un langage de programmation de haut niveau, l'??valuation a + b ne change pas a ou b; si le but est de remplacer un ?? la somme doit ??tre explicitement cette demande, typiquement avec l'??nonc?? a = a + b. Certains langages tels que C ou C ++ permettent de porter un abr??g?? en a + b =.

Addition des nombres naturels et r??els

Pour prouver les propri??t??s habituelles de plus, il faut d'abord d??finir plus pour le contexte en question. L'addition est d'abord d??fini sur les nombres naturels . En th??orie des ensembles , plus est ensuite progressivement ??tendu ?? de plus grands ensembles qui comprennent les nombres naturels: les nombres entiers , les nombres rationnels et les nombres r??els . (Dans l'enseignement des math??matiques, des fractions positives sont ajout??s avant les nombres n??gatifs sont m??me consid??r??es; ce est aussi la route historique)

Nombres naturels

Il ya deux fa??ons populaires pour d??finir la somme de deux nombres naturels a et b. Si l'on d??finit des nombres naturels pour ??tre les cardinalit??s des ensembles finis, (le cardinal d'un ensemble est le nombre d'??l??ments de l'ensemble), il convient de d??finir leur somme comme suit:

Soit N (S) le cardinal d'un ensemble S. Prendre deux ensembles disjoints A et B, avec N (A) = A et N (B) = b. Ensuite, a + b est d??finie comme $N (A \ cup B)$ .

Ici, A U B est le union de A et B. Une autre version de cette d??finition permet A et B se chevauchent ??ventuellement et prend alors leur union disjointe, un m??canisme qui permet aux ??l??ments communs ?? ??tre s??par??es et donc compt??s deux fois.

L'autre d??finition populaire est r??cursive:

Soit n ⁺ ??tre le successeur de n, ce est le nombre n dans la suite des nombres naturels, de sorte que 0 = ⁺ 1, ⁺ 1 = 2. D??finir un + 0 = a. D??finir la somme r??cursive en g??n??ral a + (b ⁺⁾ = (a + b) ^+. D'o?? 1 + 1 = 1 + 0 ⁺ = (1 + 0) ⁺ = ⁺ 1 = 2.

Encore une fois, il existe des variations mineures sur cette d??finition dans la litt??rature. Pris ?? la lettre, la d??finition ci-dessus est une application de la Recursion th??or??me sur le poset N ^2. D'autre part, certaines sources pr??f??rent utiliser un th??or??me Recursion restreint qui se applique uniquement ?? l'ensemble des nombres naturels. On consid??re alors d'??tre temporairement "fixe", se applique r??currence sur b pour d??finir une fonction "a +", et p??tes de ces op??rations unaires pour tous un ensemble pour former l'op??ration binaire complet.

Cette formulation r??cursive de plus a ??t?? d??velopp?? par Dedekind d??s 1854, et il serait ??largir dans les d??cennies suivantes. Il a prouv?? les propri??t??s associatives et commutatives, entre autres, par le biais induction math??matique; des exemples de ces d??monstrations inductives, voir Addition des nombres naturels .

Entiers

D??finition (-2) + 1 en utilisant seulement l'addition de nombres positifs: (2-4) + (3-2) = 5-6.

La conception la plus simple d'un nombre entier, ce est qu'il se compose d'une valeur absolue (qui est un nombre naturel) et un signer (g??n??ralement soit positive ou n??gative ). Le nombre entier z??ro est un troisi??me cas particulier, ne ??tant ni positif ni n??gatif. La d??finition correspondante de l'addition doit proc??der par cas:

Pour un entier n, soit | n | ??tre sa valeur absolue. Soient a et b des entiers. Si a ou b est ??gal ?? z??ro, le traiter comme une identit??. Si A et B sont tous deux positifs, de d??finir a + b = | a | + | b |. Si a et b sont tous deux n??gatifs, d??finir un + b = - (| a | + | b |). Si A et B ont des signes diff??rents, a + b d??finie comme ??tant la diff??rence entre | a | et | b |, avec le signe du terme dont la valeur absolue est plus grande.

Bien que cette d??finition peut ??tre utile pour des probl??mes concrets, il est beaucoup trop compliqu?? ?? produire des ??preuves g??n??rales ??l??gantes; il ya trop de cas ?? consid??rer.

Une conception beaucoup plus pratique des entiers est le La construction de groupe de Grothendieck. L'observation essentielle est que tout entier peut ??tre exprim?? (non unique) comme la diff??rence de deux nombres naturels, alors on peut ainsi d??finir un nombre entier comme la diff??rence de deux nombres naturels. L'addition est alors d??finie pour ??tre compatible avec la soustraction:

Etant donn?? deux nombres entiers a - b et c - d, o?? a, b, c, et d sont des nombres naturels, d??finir (a - b) + (c - d) = (a + c) - (b + d).

Nombres rationnels (fractions)

L'addition de nombres rationnels peut ??tre calcul??e en utilisant la d??nominateur commun moins, mais une d??finition conceptuellement plus simple implique que plus enti??re et la multiplication:

D??finir $\ Frac ab + \ frac cd = \ frac {ad + bc} {} bd.$

La commutativit?? et l'associativit?? des plus rationnelle est une cons??quence facile des lois de l'arithm??tique entier. Pour une discussion plus rigoureuse et plus g??n??ral, voir corps des fractions.

Nombres r??els

Ajout π ^2/6 e et en utilisant des coupes de Dedekind rationnels

Une construction commune de l'ensemble des nombres r??els est l'ach??vement Dedekind de l'ensemble des nombres rationnels. Un nombre r??el est d??fini comme ??tant un Dedekind coupe de rationnels: un ensemble non vide des rationnels qui est ferm??e ?? la baisse et n'a pas plus grand ??l??ment. La somme des nombres r??els a et b est d??fini ??l??ment par ??l??ment:

D??finir $a + b = \ {q + r \ mi q \ dans un, r \ en b \}.$

Cette d??finition a ??t?? publi??, sous une forme l??g??rement modifi??e, par Richard Dedekind en 1872. La commutativit?? et l'associativit?? de biens sont plus imm??diate; d??finir le nombre r??el de 0 ?? l'ensemble des rationnels n??gatifs, il est facile de voir que la d??nomination additif. Probablement la partie la plus d??licate de cette construction, relatifs ?? l'addition est la d??finition des inverses additifs.

Ajout π ^2/6 e et en utilisant des s??quences de Cauchy rationnels

Malheureusement, face ?? la multiplication des coupures de Dedekind est un cauchemar cas par cas similaire ?? l'addition des entiers sign??s. Une autre approche est l'ach??vement m??trique des nombres rationnels. Un nombre r??el est essentiellement d??fini comme la limite d'un Cauchy des rationnels, lim a _n. L'addition est d??finie terme ?? terme:

D??finir $\ Lim_na_n + \ lim_nb_n = \ lim_n (a_n + b_n).$

Cette d??finition a ??t?? publi?? par Georg Cantor , ??galement en 1872, bien que son formalisme ??tait l??g??rement diff??rente. Il faut prouver que cette op??ration est bien d??fini, traitant avec des s??quences co-Cauchy. Une fois cette t??che termin??e, toutes les propri??t??s de plus r??el suivent imm??diatement les propri??t??s des nombres rationnels. En outre, les autres op??rations arithm??tiques, y compris la multiplication, ont simples, des d??finitions analogues.

G??n??ralisations

Il ya beaucoup de choses qui peuvent ??tre ajout??s: des chiffres, des vecteurs, des matrices, des espaces, des formes, des ensembles, des fonctions, des ??quations, cordes, cha??nes ... - Alexander Bogomolny

Il ya de nombreuses op??rations binaires qui peuvent ??tre consid??r??s comme des g??n??ralisations de l'op??ration d'addition sur les nombres r??els. Le domaine de l'alg??bre abstraite telle importance ?? ces op??rations g??n??ralis??es, et ils apparaissent ??galement dans la th??orie des ensembles et th??orie des cat??gories.

Addition en alg??bre abstraite

En alg??bre lin??aire , un espace vectoriel est une structure alg??brique qui permet d'ajouter deux quelconques vecteurs et pour l'extension des vecteurs. Un espace vectoriel familier est l'ensemble de toutes les paires ordonn??es de nombres r??els; le couple (a, b) est interpr??t?? comme un vecteur partir de l'origine dans le plan euclidien au point (a, b) dans le plan. La somme des deux vecteurs est obtenu en ajoutant leurs coordonn??es individuelles:

(A, b) + (c, d) = (a + c, b + d).

Cette op??ration d'addition est au c??ur de la m??canique classique , dans lequel les vecteurs sont interpr??t??s comme des forces .

En arithm??tique modulaire , l'ensemble des entiers modulo 12 a douze ??l??ments; il h??rite une op??ration d'addition des nombres entiers qui est au c??ur de la th??orie des ensembles de musique. L'ensemble des entiers modulo 2 a seulement deux ??l??ments; l'op??ration d'addition, il est connu dans h??rite logique bool??enne comme le " exclusive ou de la fonction ". En g??om??trie , la somme de deux mesures d'angle est souvent consid??r?? comme leur somme comme des nombres r??els modulo 2π. Cela revient ?? une op??ration d'addition sur le cercle , qui ?? son tour se g??n??ralise ?? des op??rations d'addition sur plusieurs dimensions tori .

La th??orie g??n??rale de l'alg??bre abstraite permet une op??ration "ajout" d'??tre toute associative et commutative op??ration sur un ensemble. Base structures alg??briques avec une telle op??ration d'addition comprennent mono??des commutatifs et groupes ab??liens.

Outre la th??orie des ensembles et la th??orie des cat??gories

Une g??n??ralisation de grande envergure de plus des nombres naturels est l'addition de nombres ordinaux et nombres cardinaux dans la th??orie des ensembles. Ceux-ci donnent deux g??n??ralisations diff??rentes d'addition des nombres naturels ?? la transfinite. Contrairement ?? la plupart des op??rations d'addition, l'addition de nombres ordinaux ne est pas commutative. L'addition de nombres cardinaux, cependant, est une op??ration commutative ??troitement li??e ?? la op??ration d'union disjointe.

En la th??orie des cat??gories, union disjointe est consid??r?? comme un cas particulier de la op??ration de co-produit et co-produits g??n??raux sont peut-??tre la plus abstraite de toutes les g??n??ralisations de plus. Certains co-produits, tels que Somme directe et Bouquet, sont nomm??s pour ??voquer leur connexion avec l'addition.

Les op??rations connexes

Arithm??tique

Soustraction peut ??tre consid??r?? comme une sorte d'addition, ce est-addition d'un Oppos??. Soustraction est lui-m??me une sorte de inverse de plus, en ce que x et x ajoutant soustraction sont des fonctions inverses .

??tant donn?? un ensemble avec une op??ration d'addition, on ne peut pas toujours d??finir une op??ration de soustraction correspondante sur cet ensemble; l'ensemble des nombres naturels est un exemple simple. D'autre part, une op??ration de soustraction unique d??termine une op??ration d'addition, une op??ration inverse de l'additif, et une identit?? d'additif; pour cette raison, un groupe additif peut ??tre d??crit comme un ensemble qui est ferm?? sous la soustraction.

Multiplication peut ??tre consid??r?? comme plus r??p??t??e. Si un seul x terme appara??t dans une somme n fois, puis la somme est le produit de n et x. Si n ne est pas un nombre naturel , le produit peut encore un sens; par exemple, la multiplication par -1 Donne le inverse additif d'un nombre.

Une r??gle ?? calcul circulaire

Dans les nombres r??els et complexes, addition et la multiplication peuvent ??tre ??chang??s par la fonction exponentielle :

e ^{a + b} = e ^un e ^b.

Cette identit?? permet ?? la multiplication effectu??e par consultation d'un table des logarithmes et plus de calcul ?? la main; elle permet ??galement une multiplication sur glisser r??gle. La formule est toujours une bonne approximation de premier ordre dans le contexte plus large de groupes de Lie, o?? il concerne la multiplication des ??l??ments du groupe infinit??simales avec addition de vecteurs dans la associ?? Alg??bre de Lie.

Il ya encore plus de la multiplication des g??n??ralisations que l'addition. En g??n??ral, les op??rations de multiplication toujours distribuer sur l'addition; cette exigence est formalis??e dans la d??finition d'un anneau. Dans certains contextes, tels que les entiers, distributivit?? sur l'addition et l'existence d'une identit?? multiplicative est suffisant pour d??terminer de mani??re unique l'op??ration de multiplication. La propri??t?? distributive fournit ??galement des informations sur plus; en d??veloppant le produit (1 + 1) (a + b) dans les deux sens, on conclut que l'addition est forc?? d'??tre commutative. Pour cette raison, l'addition d'anneau est commutatif en g??n??ral.

Division est une op??ration arithm??tique ?? distance li??e ?? l'addition. Depuis a / b = a (b ^-1), la division est distributive droit sur l'addition: (a + b) / c = a / c + b / c. Toutefois, la division ne est pas laiss?? distributive sur l'addition; 1 / (2 + 2) ne est pas la m??me que 1/2 + 1/2.

Commande

D??connexion log de x + 1 et max (x, 1) de x = 0,001 ?? 1000

Le fonctionnement maximale "max (a, b)?? est une op??ration binaire similaire ?? l'addition. En fait, si deux nombres non n??gatifs a et b sont diff??rents de ordres de grandeur, puis leur somme est approximativement ??gale ?? leur maximum. Cette approximation est extr??mement utile dans les applications des math??matiques, par exemple dans tronquant s??rie de Taylor . Cependant, il pr??sente une difficult?? perp??tuelle analyse num??rique, essentiellement depuis "max" ne est pas inversible. Si b est beaucoup plus qu'un, puis un simple calcul de (a + b) - b peut accumuler une inacceptable erreur d'arrondi, peut-??tre m??me le retour ?? z??ro. Voir ??galement La perte de signification.

Le rapprochement devient exacte dans une sorte de limite infinie; si a ou b est un infini nombre cardinal , leur somme cardinale est exactement ??gal au plus ??lev?? des deux. En cons??quence, il n'y a pas d'op??ration de soustraction pour cardinaux infinis.

Maximisation est commutative et associative, comme l'addition. En outre, puisque l'addition conserve l'ordre des nombres r??els, outre distribue sur "max" de la m??me mani??re que la multiplication distribue sur l'addition:

a + max (b, c) = max (a + b, a + c).

Pour ces raisons, dans tropical g??om??trie remplace une multiplication par addition et addition avec maximisation. Dans ce contexte, plus est appel??e ??multiplication tropicale", la maximisation est appel?? "plus tropicale", et la zone tropicale ??identit?? additif?? est l'infini n??gatif. Certains auteurs pr??f??rent remplacer addition avec r??duction au minimum; puis l'identit?? additif est l'infini positif.

Lier ces observations ensemble, plus tropical est li??e ?? environ plus r??guli??re ?? travers le logarithme :

log (a + b) ≈ max (log a, log b),

qui devient plus précis que la base du logarithme augmente. Le rapprochement peut être fait exacte en extrayant une constante h , nommé par analogie avec la constante de Planck à partir de la mécanique quantique , et en prenant la " limite classique »comme h tend vers zéro:

$\max(a,b) = \lim_{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).$

En ce sens, le fonctionnement maximale est unedéquantifiéversion de l'addition.

Autres façons d'ajouter

Incrémentation, également connu sous le nomd'opération successeur, est l'addition d'uneforme de nombre.

Sommation décrit l'ajout d'un nombre arbitraire de chiffres, généralement plus que deux. Il comprend l'idée de la somme d'un nombre unique, lui-même, et la somme vide, qui est zéro . Une sommation infinie est une procédure délicate connue comme une série.

Compterun ensemble fini est équivalent à la somme 1 sur l'ensemble.

Intégration est une sorte de "sommation" sur un continuum, ou plus précisément et plus généralement, sur une différentiables collecteur . Intégration sur une variété de dimension zéro réduit à la somme.

Combinaisons linéaires se combinent multiplication et sommation; Ce sont les sommes dont chaque terme a un effet multiplicateur, habituellement un réel ou complexe numéro. Combinaisons linéaires sont particulièrement utiles dans des contextes où plus simple violerait une règle de normalisation, tels que le mélange de stratégies dans la théorie des jeux ou de superposition des états à la mécanique quantique .

Convolution est utilis?? pour ajouter deux ind??pendants des variables al??atoires d??termin??es par des fonctions de distribution . Sa d??finition habituelle combine int??gration, la soustraction, la multiplication et. En g??n??ral, la convolution est utile comme une sorte d'addition domaine ?? c??te; En revanche, l'addition de vecteur est un type de gamme addition ?? c??te.

Dans la littérature

Dans le chapitre 9 de Lewis Carroll De l'autre côté du miroir , la Reine Blanche demande Alice, "et vous ne Addition? ... Quel est un et un et un et un et un et un et un et un et un et un?" Alice avoue qu'elle a perdu le compte, et la Reine Rouge déclare, "Elle ne peut pas faire Addition".
En De George Orwell Nineteen Eighty-Four , la valeur de 2 + 2 est remis en question; l'État soutient que si elle déclare 2 + 2 = 5, alors il en est ainsi. Voir Deux plus deux font cinq pour l'histoire de cette idée.

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