Logarithme

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Graphique montrant une courbe du logarithme, qui traverse l'axe des x, o?? x est 1 et se ??tendent vers moins l'infini le long de l'axe y.

Le Le graphique du logarithme en base 2 de la traverse axe des x (axe horizontal) ?? 1 et passe par les points avec Les coordonn??es (2, 1), (4, 2) et (8, 3). Par exemple, log ₂ (8) = 3, parce que deux ³ = 8. Le graphique obtient arbitrairement proche de l'axe des y, mais ne r??pond pas ou se croisent il.

Le logarithme d'un nombre est l' exposant par lequel une autre valeur fixe, la de base, doit ??tre soulev??e pour produire ce nombre. Par exemple, le logarithme de base 10 de 1000 est 3, car 1000 est 10 ?? la puissance trois:. 1.000 = 10 x 10 x 10 = ³ 10 Plus g??n??ralement, si x = b ^y, alors y est le logarithme de x ?? base b, et est ??crit y = log _b (x), donc log ₁₀ (1000) = 3.

Le logarithme en base b = 10 est appel?? logarithme commun et a de nombreuses applications en sciences et en g??nie. Le logarithme naturel a le e constante (≈ 2,718) que sa base; son utilisation est largement r??pandue dans math??matiques pures, en particulier le calcul . Le logarithme binaire utilise base b = 2 et est important dans la science informatique .

Logarithmes ont ??t?? introduites par John Napier dans le d??but du 17??me si??cle comme un moyen de simplifier les calculs. Ils ont ??t?? rapidement adopt??s par navigateurs, des scientifiques, des ing??nieurs et d'autres pour effectuer des calculs plus facilement, ?? l'aide r??gles ?? calcul et tables de logarithmes. ??tapes de multiplication ?? plusieurs chiffres fastidieuses peuvent ??tre remplac??s par consultation de tables hauts et plus simple en raison du fait - important dans son propre droit - que le logarithme d'un produit est le somme des logarithmes des facteurs:

$\ Log_b (xy) = \ log_b (x) + \ log_b (y). \,$

La notion actuelle de logarithmes vient de Leonhard Euler , qui les reli??e ?? la fonction exponentielle dans le 18??me si??cle.

Les ??chelles logarithmiques r??duire les quantit??s de vaste port??e pour les petits t??lescopes. Par exemple, le d??cibel est une unit?? de quantification logarithmique les rapports de pression et de tension sonores. En chimie, Le pH est une mesure logarithmique de la acidit?? d'un solution aqueuse. Logarithmes sont monnaie courante dans scientifiques formules , et des mesures de la complexit?? des algorithmes et des objets g??om??triques appel?? fractales . Ils d??crivent intervalles musicaux, apparaissent dans les formules de comptage des nombres premiers , informer certains mod??les psychophysique, et peuvent aider ?? juricomptabilit??.

De la m??me mani??re que le logarithme inverse exponentiation , la logarithme complexe est la fonction inverse de la fonction exponentielle appliqu??e sur les nombres complexes . Le logarithme discret est une autre variante; elle trouve des applications dans cryptographie ?? cl?? publique.

Motivation et d??finition

L'id??e de logarithmes est d'inverser le fonctionnement de exponentiation , qui soul??ve un certain nombre ?? une puissance. Par exemple, la troisi??me puissance (ou cube) de 2 est 8, parce que 8 est le produit de trois facteurs de 2:

$2 ^ 3 = 2 \ fois 2 \ times 2 = 8. \,$

Il se ensuit que le logarithme de 8 par rapport ?? la base 2 est 3, donc log ₂ 8 = 3.

Exponentiation

La troisi??me puissance de certains nombre b est le produit de trois facteurs de b. Plus g??n??ralement, b ??lever ?? la puissance n-i??me de, o?? n est un nombre naturel , est effectu??e en multipliant n facteurs de b. La puissance n i??me de de b est ??crit b ^n, de sorte que

$b ^ n = \ {underbrace b \ times b \ times \ cdots \ times b} _ {n \ text {}} facteurs.$

Exponentation peut ??tre ??tendue ?? ^y b, o?? b est un nombre positif et l'exposant y est tout nombre r??el . Par exemple, b ^-1 est le inverse de b, ce est-1 / b.

D??finition

Le logarithme d'un nombre x par rapport ?? la base b est l'exposant par lequel b doit ??tre soulev??e pour obtenir x. En d'autres termes, le logarithme de base b de x est la solution de l'??quation y

$b ^ y = x. \,$

Le logarithme est not??e "log _b (x)" (prononc?? comme "le logarithme de x ?? la base b?? ou ??la base-b logarithme de x"). Dans l'??quation y = log _b (x), la valeur y est la r??ponse ?? la question ??Pour quelle puissance doit ??tre soulev??e B, afin de produire x?". Pour d??finir le logarithme, la base doit ??tre un b nombre r??el positif pas ??gal ?? 1 et x doit ??tre un nombre positif.

Exemples

Par exemple, log ₂ (16) = 4, depuis le 2 ⁴ = 2 ?? 2 ?? 2 ?? 2 = 16. logarithmes peuvent aussi ??tre n??gatif:

$\ Log_2 \! \ Left (\ frac {1} {2} \ right) = -1, \,$

depuis

$2 ^ {- 1} = \ frac {1 2 ^ 1} = \ frac 1 2.$

Un troisi??me exemple:. Log ₁₀ (150) est d'environ 2.176, qui se situe entre 2 et 3, tout comme 150 se situe entre 10 100 et ² = 10 ³ = 1,000 Enfin, pour ne importe quelle base b, _b log (b) = 1 et log _b (1) = 0, puisque b ¹ = b et b = ⁰ 1, respectivement.

Identit??s logarithmiques

Plusieurs formules importantes, parfois appel??s identit??s logarithmiques ou connectez lois, concernent logarithmes ?? l'autre.

Produit, du quotient, la puissance et la racine

Le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes des nombres ??tant affect??; le logarithme du rapport de deux nombres est la diff??rence des logarithmes. Le logarithme de la puissance p-i??me d'un certain nombre de fois p est le logarithme du nombre lui-m??me; le logarithme d'une racine p i??me d'est le logarithme du nombre divis?? par p. Le tableau suivant r??pertorie ces identit??s avec des exemples:

	Formule	Exemple
produit	$\ Log_b (x y) = \ log_b (x) + \ log_b (y) \,$	$\ Log_3 (243) = \ log_3 (9 \ cdot 27) = \ log_3 (9) + \ log_3 (27) = 2 + 3 = 5 \,$
quotient	$! \ Log_b \ \ left (\ frac xy \ right) = \ log_b (x) - \ log_b (y) \,$	$\ Log_2 (16) = \ log_2 \ \ left (\ frac {64} {4} \ right) = \ log_2 (64) -! \ Log_2 (4) = 6-2 = 4$
puissance	$\ Log_b (x ^ p) = p \ log_b (x) \,$	$\ Log_2 (64) = \ log_2 (2 ^ 6) = 6 \ log_2 (2) = 6 \,$
racine	$\ Log_b \ sqrt [p] {x} = \ frac {\ log_b (x)} p \,$	$\ Log_ {10} \ sqrt {1000} = \ frac {1} {2} \ log_ {10} 1000 = \ frac {3} {2} = 1,5$

Changement de base

Le logarithme log _b (x) peut ??tre calcul??e ?? partir des logarithmes de x et b par rapport ?? un k arbitraire de base en utilisant la formule suivante:

$\ Log_b (x) = \ frac {\ log_k (x)} {\ log_k (b)}. \,$

Typique calculatrices scientifiques de calculer les logarithmes aux bases 10 et e. Logarithmes ?? l'??gard de ne importe quelle base b peuvent ??tre d??termin??es en utilisant l'une de ces deux logarithmes par la formule pr??c??dente:

$\ Log_b (x) = \ frac {\ log_ {10} (x)} {\ log_ {10} (b)} = \ frac {\ log_ {e} (x)} {\ log_ {e} (b) }. \,$

??tant donn?? un nombre x et son journal de logarithme _b (x) ?? une base inconnue b, la base est donn??e par:

$b = x ^ \ frac {1} {\ log_b (x)}.$

Bases particuli??res

Parmi tous les choix de la base b, trois sont particuli??rement fr??quents. Ce sont b = 10, b = e (l' irrationnel constante math??matique ≈ 2,71828), et b = 2. Dans l'analyse math??matique , le logarithme en base e est tr??s r??pandue en raison de ses propri??t??s analytiques particuliers expliqu?? ci-dessous. D'autre part, base 10 logarithmes sont faciles ?? utiliser dans les calculs manuels dans la d??cimale syst??me de nombre:

$\ Log_ {10} (10 x) = \ {10} log_ (10) + \ log_ {10} (x) = 1 + \ log_ {10} (x). \$

Ainsi, log ₁₀ (x) est en relation avec le nombre de chiffres d??cimaux des x un nombre entier positif: le nombre de chiffres est le plus petit entier strictement plus grande que log ₁₀ (x). Par exemple, _connectez-10 (1430) est d'environ 3,15. Le prochain nombre entier est 4, qui est le nombre de chiffres de 1430. Le logarithme en base deux est utilis??e en informatique , o?? le syst??me binaire est omnipr??sente.

Le tableau suivant r??pertorie notations communes pour logarithmes ?? ces bases et les domaines o?? ils sont utilis??s. Beaucoup de disciplines ??crivent log (x) au lieu de log _b (x), lorsque la base pr??vue peut ??tre d??termin??e ?? partir du contexte. Le journal ^{notation b} (x) produit ??galement. Les ??ISO notation" listes de colonnes d??signations propos??es par le Organisation internationale de normalisation ( ISO 31-11).

Base de b	Nom log _b (x)	Notation ISO	Autres notations	Utilis?? dans
2	logarithme binaire	lb (x)	ld (x), log (x), lg (x)	informatique, th??orie de l'information, les math??matiques
e	logarithme naturel	ln (x)	log (x) (En math??matiques et de nombreux langages de programmation )	analyse math??matique, physique, chimie, statistiques , ??conomie , et certains domaines de l'ing??nierie
10	logarithme d??cimal	lg (x)	log (x) (Dans l'ing??nierie, la biologie, l'astronomie),	divers ing??nierie champs (voir Decibel voir ci-dessous), logarithme tables, ordinateur de poche calculatrices, spectroscopie

Histoire

Pr??d??cesseurs

Le Babyloniens dans le courant de 2000-1600 BC ont peut-??tre invent?? le trimestre carr?? algorithme de multiplication pour multiplier deux nombres en utilisant seulement l'addition, la soustraction et une table de carr??s. Toutefois, il ne pouvait pas ??tre utilis?? pour la division sans une table suppl??mentaire de inverses. Grandes tables de carr??s trimestre ont ??t?? utilis??s pour simplifier la multiplication des grands nombres exacts partir de 1817 jusqu'?? ce que cela a ??t?? remplac??e par l'utilisation des ordinateurs.

Michael Stifel publi?? Arithmetica Integra ?? Nuremberg en 1544, qui contient un tableau de nombres entiers et des puissances de 2 qui a ??t?? consid??r?? comme une premi??re version d'une table logarithmique.

Dans les 16e et d??but du 17e si??cle un algorithme appel?? prosthaphaeresis a ??t?? utilis??e pour calculer la multiplication et la division. Ceci permet l'identit?? trigonom??trique

$\ Cos \, \ alpha \, \ cos \, \ beta = \ frac12 [\ cos (\ alpha + \ beta) + \ cos (\ alpha \ b??ta)]$

ou similaire pour convertir les multiplications des ajouts et les recherches de table. Cependant logarithmes sont plus simples et n??cessitent moins de travail. Il peut ??tre montr?? en utilisant des nombres complexes que ce est essentiellement la m??me technique.

De Napier ?? Euler

Une image baroque d'un homme assis avec une barbe.

John Napier (1550-1617), l'inventeur des logarithmes

La m??thode des logarithmes a ??t?? publiquement mis en avant par John Napier en 1614, dans un livre intitul?? Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Description de la r??gle merveilleux de logarithmes). Joost B??rgi invent?? ind??pendamment logarithmes mais publi?? six ans apr??s Napier.

Johannes Kepler , qui a utilis?? les tables de logarithmes beaucoup de compiler son ??ph??m??rides et donc d??di?? ?? Napier, a fait remarquer:

... L'accent dans le calcul conduit Justus Byrgius [Joost B??rgi] sur le chemin de ces ann??es tr??s logarithmes nombre avant l'apparition du syst??me de Napier; mais ... au lieu d'??lever son enfant pour le bien public, il avait d??sert?? dans la naissance.
-Johannes Kepler, Tables rudolphines (1627)

Par soustractions r??p??t??es Napier calcul??e (1 - 10 ^{-7) L} L allant de 1 ?? 100. Le r??sultat pour L = 100 est d'environ 0,99999 = 1 - 10 ^-5. Napier calcule ensuite les produits de ces nombres avec 10 ⁷ (1 - 10 ^{-5) L} L de 1 ?? 50, et a fait similaire ?? 0,9998 ≈ (1 - 10 ^{-5) 20} 0,995 ≈ 0,9 et ^20. Ces calculs, qui occupaient 20 ann??es, lui a permis de donner, pour un nombre N de 5 ?? 10 millions, le nombre L qui r??sout l'??quation

$N = 10 ^ {7 (1-10 ^ {- 7})} ^ L. \,$

Napier d'abord appel?? L "un nombre artificiel", mais plus tard, a introduit le mot ??logarithme?? pour d??signer un nombre qui indique un rapport: λόγος ( logos) proportion signifie, et ἀριθμός (arithmos) Num??ro sens. En notation moderne, la relation ?? logarithmes naturels est:

$L = \ log _ {(1-10 ^ {- 7})}! \ \ Left (\ frac {N} {10 ^ 7} \ right) \ environ 10 ^ 7 \ log_ {\ frac {1} {e} } \! \ left (\ frac {N} {10 ^ 7} \ right) = -10 ^ 7 \ log_e \! \ left (\ frac {N} {10 ^ 7} \ right),$

o?? le rapprochement tr??s proche correspond ?? l'observation que

${(1-10 ^ {- 7})} ^ {10 ^ 7} \ approx \ frac {1} {e}. \,$

L'invention a ??t?? rapidement et largement salu?? par la. Les travaux de Bonaventura Cavalieri (Italie), Edmund Wingate (France), Xue Fengzuo (Chine), et Johannes Kepler de CHILIAS logarithmorum (Allemagne) ont contribu?? ?? r??pandre le concept encore plus loin.

L'hyperbole y = 1 / x (courbe rouge) et la zone de x = 1-6 (ombr??e en orange).

En 1647, Gr??goire de Saint-Vincent logarithmes li??e ?? la quadrature de l'hyperbole, en soulignant que la zone f (t) sous l'hyperbole de x = 1 ?? x = t satisfait

$f (tu) = f (t) + f (u). \,$

Le logarithme naturel a ??t?? d??crite par Nicholas Mercator dans son travail Logarithmotechnia publi?? en 1668, bien que les professeur de math??matiques John Speidell avait d??j?? en 1619 compil?? une table sur le logarithme naturel. Autour de 1730, Leonhard Euler d??fini la fonction exponentielle et le logarithme naturel

$e ^ x = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} (1 + x / n) ^ n,$

$\ Ln (x) = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} n (x ^ {1 / n} - 1).$

Euler a ??galement montr?? que les deux fonctions sont inverses l'une de l'autre.

tables de logarithmes, r??gles ?? calcul et les applications historiques

Le 1797 Encyclop??dia Britannica explication de logarithmes

En simplifiant les calculs difficiles, logarithmes contribu?? ?? l'avancement de la science, et surtout de l'astronomie . Ils ont critiqu?? aux progr??s arpentage, navigation c??leste, et d'autres domaines. Pierre-Simon Laplace appel??s logarithmes

"... [A] n artifice admirable qui, en r??duisant ?? quelques jours le travail de plusieurs mois, double la dur??e de vie de l'astronome et lui ??pargne les erreurs et d??go??t ins??parables de longs calculs."

Un outil cl?? qui a permis l'utilisation pratique des logarithmes avant calculatrices et les ordinateurs ??tait la table de logarithmes. Le premier tableau a ??t?? dress?? par Henry Briggs en 1617, imm??diatement apr??s l'invention de Napier. Par la suite, des tables avec l'augmentation de la port??e et la pr??cision ont ??t?? ??crits. Ces tableaux figurent les valeurs de log _b (x) et b ^x pour tout nombre x dans une certaine gamme, ?? une certaine pr??cision, pour une certaine base b (g??n??ralement b = 10). Par exemple, premi??re table de Briggs contenait les logarithmes communs de tous les entiers dans la plage de 1 ?? 1000, avec une pr??cision de 8 chiffres. Comme la fonction f (x) = ^x b est la fonction inverse de log _b (x), il a ??t?? appel?? l'antilogarithme. Le produit et le quotient de deux nombres c et d ont ??t?? syst??matiquement positifs correspondent ?? la somme et de la diff??rence de leurs logarithmes. Le CD du produit ou le quotient c / d est venu de regarder le logarithme de la somme ou la diff??rence, aussi par la m??me table:

$cd = b ^ {\ log_b (c)} \, b ^ {\ log_b (d)} = b ^ {\ log_b (c) + \ log_b (d)} \,$

$\ Frac cd cd = ^ {- 1} = b ^ {\ log_b (c) - \ log_b (d)}. \,$

Pour les calculs manuels qui exigent pr??cision appr??ciable, qui effectuent les recherches des deux logarithmes, calcul de leur somme ou la diff??rence, et en regardant le logarithme est beaucoup plus rapide que d'effectuer la multiplication par les m??thodes ant??rieures telles que prosthaphaeresis, qui repose sur identit??s trigonom??triques. Calculs des pouvoirs et racines sont r??duits ?? des multiplications ou des divisions et look-ups par

$c ^ d = (b ^ {\ log_b (c)}) ^ d = b ^ {d \ log_b (c)} \,$

$\ Sqrt [d] {c} = c ^ {\ frac 1 d} = b ^ {\ frac {1} {d} \ log_b (c)}. \,$

Beaucoup de tables de logarithmes donnent logarithmes en fournissant s??par??ment la caract??ristique et mantisse de x, ce est-??-dire le la partie enti??re et la partie fractionnaire de log ₁₀ (x). La caract??ristique de 10 ?? x est un avantage de la caract??ristique X, et leur mantisses sont les m??mes. Cela ??tend la port??e de tables de logarithmes: ??tant donn?? un journal table de la liste ₁₀ (x) pour tout entier x allant de 1 ?? 1000, le logarithme de 3542 est approch??e par

$\ Log_ {10} (3542) = \ log_ {10} (10 \ cdot 354,2) = 1 + \ log_ {10} (354,2) \ environ 1 + \ log_ {10} (354). \,$

Une autre application critique ??tait la r??gle ?? calcul, une balance logarithmique divis??es utilis??es pour le calcul, comme illustr?? ici:

Une r??gle ?? calcul: deux rectangles avec des axes logarithmique coch??es, arrangement pour ajouter la distance de 1 ?? 2 ?? la distance de 1 ?? 3, indiquant que le produit 6.

Repr??sentation sch??matique d'une r??gle ?? calcul. A partir de 2 sur l'??chelle inf??rieure, ajouter la distance ?? 3 sur l'??chelle sup??rieure pour atteindre le produit 6. La r??gle ?? calcul fonctionne parce qu'il est marqu?? de telle sorte que la distance de 1 ?? x est proportionnel au logarithme de x.

L'??chelle logarithmique non coulissant, La r??gle de Gunter, a ??t?? invent?? peu apr??s l'invention de Napier. William Oughtred renforc??e pour cr??er la diapositive r??gle-une paire de ??chelles logarithmiques mobiles par rapport ?? l'autre. Les nombres sont plac??s sur des ??chelles coulissantes ?? des distances proportionnelles aux diff??rences entre leurs logarithmes. Coulissante l'??chelle sup??rieure se ??l??ve de mani??re appropri??e ?? l'ajout de m??canique logarithmes. Par exemple, en ajoutant la distance de 1 ?? 2 sur l'??chelle inf??rieure ?? la distance de 1 ?? 3 sur l'??chelle sup??rieure donne un produit de 6, qui est lue ?? la partie inf??rieure. La r??gle ?? calcul ??tait un outil de calcul essentielle pour les ing??nieurs et les scientifiques jusqu'?? ce que les ann??es 1970, car elle permet, au d??triment de la pr??cision, de calcul beaucoup plus rapide que les techniques bas??es sur les tables.

Propri??t??s analytiques

Une ??tude plus approfondie des logarithmes n??cessite le concept d'une fonction . Une fonction est une r??gle qui, ??tant donn?? un num??ro, produit un autre num??ro. Un exemple est la production de la fonction x-i??me puissance de b ?? partir de ne importe quel nombre r??el x, o?? b est la base d'un nombre fixe. Cette fonction est ??crit

$f (x) = b ^ x. \,$

Fonction logarithmique

Pour justifier la d??finition de logarithmes, il est n??cessaire de montrer que l'??quation

$b ^ x = y \,$

a une solution x et que cette solution est unique, ?? condition que y est positif et que b est positif et in??gal ?? 1. Une preuve de ce fait n??cessite la th??or??me de la valeur interm??diaire du primaire calcul . Ce th??or??me affirme qu'un fonction continue qui produit deux valeurs m et n donne ??galement une valeur qui se situe entre m et n. Une fonction est continue si ce ne est pas "saut", qui est, si sa repr??sentation graphique peut ??tre ??tabli sans soulever le stylet.

Cette propri??t?? peut ??tre montr?? ?? tenir pour la fonction f (x) = ^x b. Parce f prend arbitrairement grandes et petites arbitrairement des valeurs positives, ne importe quel nombre y> 0 est comprise entre f (x ₀₎ et f (x ₁₎ adapt?? pour x ₀ et x _1. Par cons??quent, le th??or??me de la valeur interm??diaire est garanti que l'??quation f (x) = y a une solution. De plus, il n'y a qu'une solution de cette ??quation, parce que la fonction f est strictement croissante (pour b 1>), ou strictement d??croissante (de 0 <b <1).

La solution unique x est le logarithme de y ?? la base b, _b log (y). La fonction qui affecte ?? son logarithme y est appel??e fonction logarithme ou une fonction logarithmique (ou juste logarithme).

Fonction inverse

Le graphique du logarithme de la fonction de logarithme _b (x) (bleu) est obtenu par refl??tant le graphe de la fonction b ^x (rouge) ?? la diagonale (x = y).

La formule pour le logarithme d'une puissance indique en particulier que, pour tout nombre x,

$\ Log_b \ left (b ^ x \ right) = x \ log_b (b) = x.$

En prose, en prenant la x-i??me puissance de b, puis le base-b logarithme redonne x. Inversement, ??tant donn?? un nombre positif y, la formule

$b ^ {\ log_b (y)} = y$

dit que la premi??re prenant le logarithme et exponentielle puis redonne y. Ainsi, les deux possibilit??s de combinaison (ou composer ) logarithmes et exponentiation redonner le nombre original. Par cons??quent, le logarithme de base b est la fonction inverse de f (x) = ^x b.

Fonctions inverses sont ??troitement li??s aux fonctions originales. Leur graphiques correspondent ?? l'autre lors de l'??change de la x - et les -coordinates de Y (ou ?? la r??flexion sur la ligne diagonale x = y), comme indiqu?? ?? la droite: un point (t, u = b ^t) sur le graphique des rendements f un point (u, t = log _b u) sur le graphique du logarithme et vice versa. En cons??quence, _connectez-b (x) diverge ?? l'infini (re??oit plus grand que ne importe quel nombre donn??) si x tend vers l'infini, ?? condition que b est sup??rieur ?? un. Dans ce cas, _connectez-b (x) est un fonction croissante. Pour b <1, log _b (x) tend ?? moins l'infini ?? la place. Lorsque x tend vers z??ro, _connectez-b (x) va ?? moins l'infini pour b> 1 (plus l'infini pour b <1, respectivement).

D??riv??e et primitive

Un graphique de la fonction logarithme et une ligne toucher en un point.

Le graphique du logarithme naturel (vert) et sa tangente en x = 1,5 (noir)

Propri??t??s analytiques de fonctions passent ?? leurs inverses. Ainsi, en tant que f (x) = ^x b est une constante et fonction diff??rentiable, est tellement journal _b (y). En gros, une fonction continue est diff??rentiable si son graphe n'a pas de "coins" pointus. En outre, comme le d??riv?? de f (x) est ??valu??e ?? ln (b) ^x b par les propri??t??s de la fonction exponentielle , la r??gle de la cha??ne implique que la d??riv??e de log _b (x) est donn??e par

$\ Frac {d} {dx} \ log_b (x) = \ frac {1} {x \ ln (b)}.$

Autrement dit, le pente de la tangente toucher le graphique de la base-b logarithme au point (x, _connectez-b (x)) est ??gale ?? 1 / (x ln (b)). En particulier, le d??riv?? de ln (x) est de 1 / x, ce qui implique que le primitive de 1 / x est ln (x) + C. Le d??riv?? avec un g??n??ralis??e fonctionnelle argument de f (x) est

$\ Frac {d} {dx} \ ln (f (x)) = \ frac {f '(x)} {f (x)}.$

Le quotient au c??t?? droit est appel?? d??riv??e logarithmique de f. Informatique f '(x) au moyen de la d??riv??e de ln (f (x)) est connu comme diff??renciation logarithmique. La primitive de la ln logarithme naturel (x) est:

$\ Int \ ln (x) \, dx = x \ ln (x) - x + C.$

Formules connexes, comme primitives de logarithmes ?? d'autres bases peuvent ??tre tir??es de cette ??quation en utilisant le changement de bases.

Repr??sentation int??grale du logarithme naturel

Une hyperbole avec une partie de la zone sous en gris??.

Le logarithme naturel de t est la zone hachur??e sous la courbe de la fonction f (x) = 1 / x (inverse de x).

Le logarithme n??p??rien de t accord avec la int??grante de 1 / dx x de 1 ?? t:

$\ Ln (t) = \ ^ int_1 t \ frac {1} {x} \, dx.$

En d'autres termes, ln (t) est ??gale ?? la zone situ??e entre l'axe x et le graphe de la fonction 1 / x allant de x = 1 pour x = t (figure de droite). Ceci est une cons??quence du th??or??me fondamental du calcul et le fait que d??riv?? de ln (x) est de 1 / x. Le c??t?? droit de cette ??quation peut servir de d??finition du logarithme naturel. formules de produit et de puissance logarithmiques peuvent ??tre tir??s de cette d??finition. Par exemple, la formule du produit ln (tu) = ln (t) + ln (u) on d??duit que:

$\ Ln (tu) = \ ^ {int_1 tu} \ frac {1} {x} \, dx \ \ stackrel {(1)} = \ int_1 ^ {t} \ frac {1} {x} \, dx + \ int_t ^ {} tu \ frac {1} {x} \, dx \ \ stackrel {(2)} = \ ln (t) + \ ^ u int_1 \ frac {1} {w} \, ps = \ ln (t) + \ ln (u).$

L'??galit?? (1) divise l'int??grale en deux parties, tandis que l'??galit?? (2) est un changement de variable (w = x / t). Dans l'illustration ci-dessous, la division correspond ?? diviser la zone dans les pi??ces jaunes et bleus. Redimensionner la zone bleue de la main gauche ?? la verticale par le facteur t et le r??tr??cissement par le m??me facteur horizontalement ne change pas sa taille. D??placement de fa??on appropri??e, la zone correspond ?? la courbe de la fonction f (x) = 1 / x fois. Par cons??quent, la zone bleue de la main gauche, qui est l'int??grale de f (x) ?? partir de t tu est la m??me que l'int??grale de 1 ?? u. Cela justifie l'??galit?? (2) avec une preuve plus g??om??trique.

L'hyperbole repr??sent?? deux fois. La zone est sous divis?? en diff??rentes parties.

Une preuve visuelle de la formule du produit du logarithme naturel

La formule de pouvoir ln (t ^r) r = ln (t) peut ??tre obtenue d'une mani??re similaire:

$\ Ln (t ^ r) = \ ^ {int_1 t ^ r} \ frac {1} {x} dx = \ ^ int_1 t \ frac {1} {w ^ r} \ left (rw ^ {r - 1} \, dw \ right) = r \ int_1 ^ t \ frac {1} {w} \, ps = r \ ln (t).$

La seconde utilise une ??galit?? changement de variables ( l'int??gration par substitution), w = x ^{1 / r.}

La somme sur les inverses des nombres naturels,

$1 + \ frac 1 2 + \ frac 1 + 3 \ cdots + \ frac 1 n = \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {k},$

est appel?? le s??rie harmonique. Elle est ??troitement li??e au logarithme naturel: quand n tend vers l'infini , la diff??rence,

$\ Sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {k} - \ ln (n),$

converge (ce est ?? dire, obtient arbitrairement proche) ?? un certain nombre connu sous le nom Constante d'Euler-Mascheroni. Ce aides de relation dans l'analyse de la performance des algorithmes tels que tri rapide.

Il existe ??galement une autre repr??sentation int??grale du logarithme qui est utile dans certaines situations.

$\ Ln (x) = - \ lim _ {\ epsilon \ 0} \ int_ \ epsilon ^ \ infty \ frac {dt} {t} \ left (e ^ {- xt} - e ^ {- t} \ right)$

Cela peut ??tre v??rifi?? en montrant qu'elle a la m??me valeur ?? x = 1 et le m??me d??riv??.

Transcendance du logarithme

Le logarithme est un exemple d'un fonction transcendantale et d'un point de vue th??orique, le Gelfond-Schneider th??or??me affirme que logarithmes prennent g??n??ralement des valeurs ??difficiles??. La d??claration officielle se appuie sur la notion de nombres alg??briques, qui comprend tous les nombres rationnels , mais aussi des valeurs telles que la racine carr??e de 2 ou

$\ Sqrt {-5+ \ sqrt [3] {3/13}}.$

Les nombres complexes qui ne sont pas alg??briques sont appel??s transcendantale; par exemple, π et e sont ces num??ros. Presque tous les nombres complexes sont transcendantale. L'utilisation de ces notions, le th??or??me ??tats Gelfond-Scheider qu'??tant donn?? deux nombres alg??briques a et b, connectez-vous _b (a) est soit un nombre transcendant ou un nombre rationnel p / q (auquel cas un ^q = b ^p, donc a et b ??taient ??troitement li??es pour commencer).

Calcul

Logarithmes sont faciles ?? calculer, dans certains cas, comme log ₁₀ (1000) = 3. En g??n??ral, les logarithmes peuvent ??tre calcul??es en utilisant la s??rie de puissance ou de la arithm??tique moyenne g??om??trique, ou ??tre extraites d'un pr??calcul??e table de logarithme qui fournit une pr??cision fixe. la m??thode de Newton , une m??thode it??rative pour la r??solution d'??quations environ, peut ??galement ??tre utilis?? pour calculer le logarithme, parce que sa fonction inverse de la fonction exponentielle, peut ??tre calcul??e de mani??re efficace. Utilisation de tables de consultation, CORDIC m??thodes analogues peuvent ??tre utilis??es pour calculer les logarithmes si les seules op??rations disponibles sont ajout et d??calages de bits. En outre, le algorithme de logarithme binaire calcule lb (x) de fa??on r??cursive en fonction des ??l??vations au carr?? r??p??t??es de x, en tirant parti de la relation

$\ Log_2 (x ^ 2) = 2 \ log_2 (x). \,$

s??rie Power

S??rie de Taylor

Une animation montrant de plus en plus de bonnes approximations du graphe logarithmique.

La s??rie de Taylor de ln (z) centr?? ?? z = 1. L'animation montre les 10 premi??res approximations ainsi que le 99e et le 100e. Les approximations ne convergent pas au-del?? d'une distance de 1 du centre.

Pour tout nombre r??el z qui satisfait 0 <z <2, la formule suivante est v??rifi??e:

$\ Ln (z) = (z-1) - \ frac {(z-1) ^ 2} {2} + \ frac {(z-1) ^ 3} {3} - \ frac {(z-1) ^ 4} {4} + \ cdots$

Ce est un raccourci pour dire que ln (z) peut ??tre approch??e ?? une valeur de plus en plus pr??cise par les expressions suivantes:

$\ Begin {array} {} lllll (z-1) & & \\ (z-1) et - & \ frac {(z-1) ^ 2} {2} \\ & (z-1) et - & \ frac {(z-1) ^ 2} {2} & + & \ frac {(z-1) ^ 3} {3} \\ \ vdots & \ end {array}$

Par exemple, avec z = 1,5 on obtient la troisi??me approximation 0,4167, qui est d'environ 0,011 sup??rieure ?? ln (1,5) = 0,405465. Cette s??rie se rapproche de ln (z) avec une pr??cision arbitraire, ?? condition que le nombre de termes de la somme est assez grand. Dans le calcul ??l??mentaire, ln (z) est donc la limite de cette s??rie. Ce est la s??rie de Taylor du logarithme naturel ?? z = 1 La s??rie de Taylor de ln z fournit une approximation utile en particulier pour ln (1 + z) o?? z est petit, |. z | << 1, depuis lors,

$\ Ln (1 + z) = z - \ frac {z ^ 2} {2} + \ cdots \ environ z.$

Par exemple, avec z = 0,1 l'approximation de premier ordre donne ln (1,1) ≈ 0,1, ce qui est inf??rieur ?? 5% sur la valeur correcte 0,0953.

S??rie plus efficace

Une autre s??rie est bas?? sur la zone fonction tangente hyperbolique:

$\ Ln (z) = 2 \ cdot \ {operatorname artanh} \, \ frac {z-1} {z + 1 = 2} \ left (\ frac {z-1} {z + 1} + \ frac {1 } {3} {\ left (\ frac {z-1} {z + 1} \ right)} ^ 3 + \ frac {1} {5} {\ left (\ frac {z-1} {z + 1 } \ right)} ^ 5 + \ \ cdots droite),$

pour tout nombre r??el z> 0. Utilisation de la Sigma notation, ce est aussi ??crit que

$\ Ln (z) = 2 \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {2n + 1} \ left (\ frac {z-1} {z + 1} \ right) ^ {2n + 1 }.$

Cette s??rie peut ??tre d??riv?? de la s??rie de Taylor ci-dessus. Elle converge plus rapidement que la s??rie de Taylor, en particulier si z est proche de 1. Par exemple, pour z = 1,5, les trois premiers termes de la deuxi??me ln approximatif de s??rie (1.5) avec une erreur d'environ 3 ?? 10 ^-6. La convergence rapide pour z proche de 1 peut ??tre mis ?? profit de la mani??re suivante: ??tant donn?? un ln faible pr??cision rapprochement y ≈ (z) et la mise

$A = \ frac {z \ exp (y)}, \,$

le logarithme de z est:

$\ Ln (z) = y + \ ln (A). \,$

Le meilleur de la premi??re approximation y est, plus A est ?? 1, de sorte que son logarithme peut ??tre calcul?? de mani??re efficace. A peut ??tre calcul?? en utilisant la s??rie exponentielle , qui converge rapidement fourni y ne est pas trop grand. Le calcul du logarithme de la plus grande z peut ??tre r??duit ?? de plus petites valeurs de z en ??crivant z = a ?? 10 ^b, de sorte que ln (z) = ln (a) + b ?? ln (10).

Proc??d?? ??troitement li??e peut ??tre utilis?? pour calculer le logarithme de nombres entiers. De la s??rie ci-dessus, il se ensuit que:

$\ Ln (n + 1) = \ ln (n) + 2 \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {1} {2k + 1} \ left (\ frac {1} {2 n + 1} \ droite) ^ {2k + 1}.$

Si le logarithme d'un grand entier n est connue, cette s??rie donne une s??rie convergente rapide pour log (n + 1).

Rapprochement moyenne arithm??tique-g??om??trique

Le rendements moyens arithm??tiques-g??om??triques approximations de haute pr??cision du logarithme naturel. ln (x) est approch??e avec une pr??cision de 2 ^{- p} (ou p bits de pr??cision) par la formule suivante (en raison de Carl Friedrich Gauss ):

$\ Ln (x) \ approx \ frac {\ pi} {2 M (1,2 ^ {2} m / x)} - m \ ln (2).$

Ici, M repr??sente la moyenne arithm??tique-g??om??trique. Il est obtenu en calculant de mani??re r??p??t??e le moyen ( moyenne arithm??tique ) et la racine carr??e du produit de deux nombres ( moyenne g??om??trique). De plus, m est choisi de telle sorte que

$x \, 2 ^ m> 2 ^ {p / 2}. \,$

Tant le moyen arithm??tique-g??om??trique et les constantes π et ln (2) peut ??tre calcul?? avec convergeant rapidement s??rie.

Applications

Un nautilus afficher une spirale logarithmique

Logarithmes ont de nombreuses applications ?? l'int??rieur et en dehors de math??matiques. Certains de ces ??v??nements sont li??s ?? la notion de invariance d'??chelle. Par exemple, chaque chambre de l'enveloppe d'un Nautilus est une copie approximative de la suivante, r??duite par un facteur constant. Cela donne lieu ?? une spirale logarithmique. La loi de Benford sur la distribution des premiers chiffres peut ??galement se expliquer par l'invariance d'??chelle. Logarithmes sont ??galement li??s ?? auto-similarit??. Par exemple, logarithmes apparaissent dans l'analyse d'algorithmes qui permettent de r??soudre un probl??me en le divisant en deux petits probl??mes similaires et de correction de leurs solutions. Les dimensions de formes g??om??triques auto-similaires, ce est-formes dont les parties ressembler ?? l'image globale sont ??galement bas??s sur les logarithmes. Les ??chelles logarithmiques sont utiles pour quantifier la variation relative d'une valeur par opposition ?? sa diff??rence absolue. En outre, parce que le journal de la fonction logarithmique (x) cro??t tr??s lentement pour les grandes x, ??chelles logarithmiques sont utilis??s pour compresser les donn??es scientifiques de grande envergure. Logarithmes se produisent ??galement dans de nombreuses formules scientifiques, tels que le ??quation de Tsiolkovski, le ??quation Fenske, ou la ??quation de Nernst.

??chelle logarithmique

Un graphique logarithmique repr??sentant la valeur d'un Goldmark dans Au cours de la Papiermarks Hyperinflation allemande dans les ann??es 1920

Des quantit??s scientifiques sont souvent exprim??s en logarithmes d'autres grandeurs, en utilisant une ??chelle logarithmique. Par exemple, le d??cibel est une unit?? de mesure logarithmique. Il est bas?? sur le logarithme d??cimal de ratios - 10 fois le logarithme d??cimal d'un rapport de puissance ou 20 fois le logarithme d??cimal d'un rapport de tension. Il est utilis?? pour quantifier la perte de niveaux de tension en des signaux ??lectriques d'??mission, pour d??crire les niveaux de bruits ??lectriques dans acoustique, et les absorbance de la lumi??re dans les domaines de spectrom??trie et optiques . Le rapport signal sur bruit d??crivant la quantit?? de ind??sirables bruit par rapport ?? un (significatif) signal est ??galement mesur?? en d??cibels. Dans la m??me veine, le Peak Signal to Noise Ratio est couramment utilis?? pour ??valuer la qualit?? du son et de m??thodes de compression d'image en utilisant le logarithme.

La force d'un tremblement de terre est mesur??e en prenant le logarithme d??cimal de l'??nergie ??mise au tremblement de terre. Il est utilis?? dans le ??chelle de magnitude de moment ou de la ??chelle de Richter. Par exemple, un s??isme de 5,0 lib??re 10 fois et 6,0 lib??re 100 fois l'??nergie d'un 4.0. Un autre ??chelle logarithmique est magnitude apparente. Il mesure la brillance des ??toiles logarithmique. Encore un autre exemple est pH en chimie ; Le pH est le logarithme n??gatif de la commune de activit?? de ions hydronium (la forme hydrog??ne ions H ⁺ prennent dans l'eau). L'activit?? des ions hydronium dans l'eau neutre est de 10 ^-7 mol.L ^-1, d'o?? un pH de 7. Le vinaigre a typiquement un pH d'environ 3. La diff??rence de 4 correspond ?? un rapport de ⁴ 10 de l'activit??, ce est l'activit?? des ions hydronium de vinaigre est d'environ 10 ^-3 mol ?? L ^-1.

(Log-linéaires) semilog graphiques utilisent le concept d'échelle logarithmique pour la visualisation: un axe, généralement l'une verticale, est échelle logarithmique. Par exemple, le graphique à droite comprime la forte augmentation 1-1000000 million au même espace (sur l'axe vertical) que l'augmentation du 1 au 1 million. Dans ces graphiques, fonctions exponentielles de la forme f ( x ) = a · b ^X apparaissent en lignes droites avec pente égale au logarithme de b . Log-Log graphiques échelle logarithmique deux axes, ce qui provoque fonctions de la forme f ( x ) = un · x ^k soient dépeints comme des lignes droites avec une pente égale à l'exposant k . Cette méthode est appliquée dans la visualisation et l'analyse des lois de puissance.

Psychologie

Logarithmes se produisent dans plusieurs lois décrivant la perception humaine: . la loi de Hick propose une relation logarithmique entre le moment où les individus prennent pour choisir une alternative et le nombre de choix qu'ils ont la loi de Fitts prédit que le temps nécessaire pour se déplacer rapidement vers une zone cible est une fonction logarithmique de la distance et de la taille de la cible. En psychophysique, la loi de Weber-Fechner propose une relation logarithmique entre stimulus et la sensation comme la réelle contre le poids perçu d'un article une personne est porteur. (Cette «loi», cependant, est moins précise que les modèles plus récents, comme la loi de puissance de Stevens.)

Des études psychologiques ont trouvé que les individus ont tendance mathématiquement peu sophistiqués pour estimer les quantités logarithmique, ce qui signifie qu'ils positionnent un numéro sur une ligne banalisée selon son logarithme, de sorte que 10 se positionne comme près de 20 100 est à 200. L'augmentation de la compréhension mathématique décale cela une estimation linéaire (positionnement 100 10x plus loin).

La théorie des probabilités et des statistiques

Trois fonctions de densité de probabilité (PDF) de variables aléatoires avec distributions log-normale. L'emplacement paramètre

??

, qui est égale à zéro pour tous les trois à consulter les PDF, est la moyenne du logarithme de la variable aléatoire, et non la moyenne de la variable elle-même.

A bar chart and a superimposed second chart. The two differ slightly, but both decrease in a similar fashion.

Répartition des premiers chiffres (en%, barres rouges) dans la population des 237 pays du monde. Les points noirs indiquent la répartition prévue par la loi de Benford.

Logarithmes se posent dans la théorie des probabilités : la loi des grands nombres dicte que, pour une pièce de monnaie, comme le nombre de pièces de monnaie-lancers augmente à l'infini, la proportion observée des chefs approche de la moitié . Les fluctuations de cette proportion d'environ un demi-sont décrits par la loi du logarithme itéré.

Logarithmes se produisent également dans les distributions log-normale. Lorsque le logarithme d'une variable aléatoire a une distribution normale , la variable est dit avoir une distribution log-normale. Distributions log-normale sont rencontrées dans de nombreux domaines, où une variable est formé comme le produit de nombreuses variables aléatoires positives indépendants, par exemple dans l'étude de la turbulence.

Logarithmes sont utilisés pour l'estimation du maximum de vraisemblance des paramétriques des modèles statistiques. Pour un tel modèle, la fonction de vraisemblance dépend d'au moins un paramètre qui doit être estimée. Un maximum de la fonction de vraisemblance se produit au même paramètre-valeur en tant que maximum du logarithme de la probabilité (la « de vraisemblance logarithmique »), parce que le logarithme est une fonction croissante. La log-vraisemblance est plus facile de maximiser, en particulier pour les probabilités multipliées pour des variables aléatoires indépendantes.

La loi de Benford décrit l'apparition de chiffres dans de nombreux ensembles de données, telles que la hauteur des bâtiments. Selon la loi de Benford, la probabilité que la première décimale chiffres d'un élément dans l'échantillon de données est d (1-9) est égale à log ₁₀ ( d + 1) - log ₁₀ ( d ), indépendamment de l'unité de mesure. Ainsi, environ 30% des données peut être attendu d'avoir 1 comme premier chiffre, 18% début avec 2, etc. comptes examinent écarts par rapport à la loi de Benford pour détecter comptabilité frauduleuse.

La complexité du calcul

Analyse des algorithmes est une branche de la science informatique qui étudie la performance des algorithmes (des programmes informatiques de résoudre un certain problème). Logarithmes sont utiles pour décrire des algorithmes qui divisent un problème en plus petits, et rejoignent les solutions des sous-problèmes.

Par exemple, pour trouver un numéro dans une liste triée, l' algorithme de recherche binaire vérifie l'entrée du milieu et procède à la moitié avant ou après l'entrée du milieu, si le nombre est toujours pas trouvé. Cet algorithme nécessite, en moyenne, log ₂ ( N ), des comparaisons où N est la longueur de la liste. De m??me, la fusionner algorithme de tri trie une liste non triés en divisant la liste en deux moitiés et trier ces premiers avant de fusionner les résultats. Fusionner algorithmes de tri nécessitent généralement un temps approximativement proportionnelle à N · log ( N ) . La base du logarithme est pas spécifié ici, car le résultat ne change que d'un facteur constant lorsque l'autre base est utilisée. Un facteur constant, est généralement négligée dans l'analyse des algorithmes sous l'étendard modèle de coût uniforme.

Une fonction f ( x ) est dite à croître de façon logarithmique si f ( x ) est (exactement ou approximativement) proportionnelle au logarithme de x . (Descriptions biologiques de croissance de l'organisme, cependant, utilisent ce terme pour une fonction exponentielle.) Par exemple, tout nombre naturel N peut être représentée sous forme binaire dans pas plus de journal ₂ ( N ) + 1 bits. En d'autres termes, la quantité de mémoire nécessaire pour stocker N pousse logarithmique avec N .

Entropie et le chaos

An oval shape with the trajectories of two particles.

Billard sur un ovale table de billard. Deux particules, en commençant au centre avec un angle différent d'un degré, prennent des chemins qui divergent de manière chaotique en raison de réflexions au niveau de la limite.

L'entropie est une mesure générale de la maladie d'un système. En thermodynamique statistique , l'entropie S de quelque système physique est défini comme

$S = - k \sum_i p_i \ln(p_i).\,$

La somme est supérieure à tous les états possibles i du système en question, tel que les positions des particules de gaz dans un récipient. Par ailleurs, p _je est la probabilité que l'état i est atteint et k est la constante de Boltzmann. De m??me, entropie en théorie de l'information mesure la quantité d'informations. Si un destinataire du message peut s'attendre à une quelconque des N messages possibles avec une probabilité égale, la quantité d'information transmise par l'un quelconque tel message est quantifiée comme log ₂ ( N ) bits.

Exposants de Lyapunov utilisent logarithmes afin d'évaluer le degré de chaoticité d'un syst??me dynamique. Par exemple, pour une particule se déplaçant sur ??????une table de billard de forme ovale, même de petits changements des conditions initiales conduisent à des trajectoires très différentes de la particule. De tels systèmes sont chaotique dans une façon déterministe, parce que les petites erreurs de mesure de l'état initial mènent largement prévisible aux différents états finaux. Au moins un exposant de Lyapunov d'un système déterministe chaotique est positif.

Fractales

Le triangle de Sierpinski (à droite) est construit en remplaçant plusieurs reprisestriangles équilatéraux par trois petits.

Logarithmes se produisent dans les définitions de la dimension de fractales . Les fractales sont des objets géométriques qui sont auto-similaire: petites pièces reproduisent, au moins grossièrement, l'ensemble de la structure globale. Le triangle de Sierpinski (photo) peut être couvert par trois copies de lui-même, chacun ayant des côtés la moitié de la longueur d'origine. Cela rend la dimension de Hausdorff de cette structure log (3) / log (2) ??? 1,58 . Une autre notion basée logarithme-de dimension est obtenue en comptant le nombre de boîtes nécessaires pour couvrir la fractale en question.

Musique

Quatre octaves différentes représentées sur une échelle linéaire, puis affichés sur une échelle logarithmique (comme l'oreille les entend).

Logarithmes sont liés à des tons et musicales intervalles. En tempérament égal, le rapport de fréquence ne dépend que de l'intervalle entre deux tons, pas sur la fréquence spécifique, ou pas, des tons différents. Par exemple, le noter A a une fréquence de 440 Hz et B-plat a une fréquence de 466 Hz. L'intervalle entre A et B-flat est un demi-ton, tout comme celui entre bémol et B (fréquence 493 Hz). En conséquence, les ratios de fréquence d'accord:

$\frac{466}{440} \approx \frac{493}{466} \approx 1.059 \approx \sqrt[12]2.$

Par conséquent, les logarithmes peuvent être utilisés pour décrire les intervalles: un intervalle est mesurée en demi-tons en prenant la base 2 ^1/12 logarithme du rapport des fréquences, alors que la base 2 ^1/1200 logarithme du rapport de fréquence exprime l'intervalle en cents, centièmes de demi-ton. Ce dernier est utilisé pour le codage plus fin, comme il est nécessaire pour les tempéraments non égaux.

Intervalle (Les deux sonorités sont reproduites en même temps)	Jeu de tonalité 1/12	Jeu Semitone	Tierce majeure jeu	Troisième jeu Major	jeu de Tritone	jeu de Octave
Fréquence rapport r	$2^{\frac 1 {72}} \approx 1.0097$	$2^{\frac 1 {12}} \approx 1.0595$	$\tfrac 5 4 = 1.25$	$\begin{align} 2^{\frac 4 {12}} & = \sqrt[3] 2 \\ & \approx 1.2599 \end{align}$	$\begin{align} 2^{\frac 6 {12}} & = \sqrt 2 \\ & \approx 1.4142 \end{align}$	$2^{\frac {12} {12}} = 2$
Correspondant nombre de demi-tons $\log_{\sqrt[12] 2}(r) = 12 \log_2 (r)$	$\tfrac 1 6 \,$	$1 \,$	$\approx 3.8631 \,$	$4 \,$	$6 \,$	$12 \,$
Correspondant nombre de cents $\log_{\sqrt[1200] 2}(r) = 1200 \log_2 (r)$	$16 \tfrac 2 3 \,$	$100 \,$	$\approx 386.31 \,$	$400 \,$	$600 \,$	$1200 \,$

La th??orie des nombres

Logarithmes naturels sont étroitement liés au comptage des nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, ...), un sujet important dans la théorie des nombres . Pour tout entier x , la quantité de nombres premiers inférieurs ou égaux à x est notée ?? ( x ). Le théorème des nombres premiers affirme que ?? ( x ) est approximativement donnée par

$\frac{x}{\ln(x)},$

en ce sens que le rapport de ?? ( x ) et en ce que lorsque une fraction approches x tend vers l'infini. Par conséquent, la probabilité qu'un nombre choisi au hasard entre 1 et x est un nombre premier est inversement proportionnel au nombre de chiffres décimaux de x . Une bien meilleure estimation de ?? ( x ) est donnée par la fonction intégrale logarithmique compensé Li ( x ), défini par

$\mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac1{\ln(t)} \,dt.$

Le Hypothèse de Riemann, un des plus anciens mathématiques ouvertesconjectures, peut être déclaré en termes de comparaison ?? (x) et Li (x). Le Erd??s-Kac théorème décrivant le nombre de distinctesfacteurs premiers implique également le logarithme naturel.

Le logarithme de n factorielle , n ! = 1 · 2 · ... · n , est donnée par

$\ln (n!) = \ln (1) + \ln (2) + \cdots + \ln (n). \,$

Ceci peut être utilisé pour obtenir la formule de Stirling, une approximation de n ! pour les grands n .

G??n??ralisations

Logarithme complexe

An illustration of the polar form: a point is described by an arrow or equivalently by its length and angle to the x axis.

Polar forme de z = x + iy . Les deux ?? et ?? 'sont des arguments de z .

Lesnombres complexes d'unerésolution de l'équation

$e^a=z.\,$

sont appelés logarithmes complexes . Ici, z est un nombre complexe. Un nombre complexe est souvent représenté comme z = x + iy , où x et y sont des nombres réels et i est l' unité imaginaire . Un tel nombre peut être visualisé par un point dans le plan complexe , comme le montre à droite. La forme polaire code pour un non-zéro nombre complexe z par sa valeur absolue , soit la distance r à l' origine, et un angle entre le x axe et la droite passant par l'origine et z . Cet angle est appelé l' argument de la z . La valeur absolue r de z est

$r=\sqrt{x^2+y^2}. \,$

L'argument est pas spécifié uniquement par z : à la fois ?? et ?? '= ?? + 2?? sont arguments de z parce que l'ajout 2?? radians ou 360 degrés pour ?? correspond à "enroulement" autour de l'origine contre-horaire par un tourner. nombre complexe La résultante est à nouveau z , comme illustré à droite. Cependant, les satisfait de exactement un argument -?? <?? et ?? ??? ?? . Il est appelé le principal argument , noté Arg ( z ), avec un capital A . (Une alternative est la normalisation 0 ??? Arg ( z ) <2?? .)

A density plot. In the middle there is a black point, at the negative axis the hue jumps sharply and evolves smoothly otherwise.

La branche principale du logarithme complexe, Connexion ( z ). Le point noir à z = 1 correspond à la valeur zéro absolu et brillantes (plus des couleurs saturées) se réfèrent à des valeurs plus absolus. Le teinte de la couleur code l'argument de Log ( z ).

En utilisantdes fonctions trigonométriques sinus etcosinus, ou lecomplexe exponentielle, respectivement,ret ?? sont telles que les identités suivantes sont vérifiées:

$\begin{array}{lll}z& = & r \left (\cos \varphi + i \sin \varphi\right) \\ & = & r e^{i \varphi}. \end{array} \,$

Cela implique que l'une-ièmepuissance deeest égale àz, où

$a = \ln (r) + i ( \varphi + 2 n \pi ), \,$

?? est l'argument principal Arg ( z ) et n est un entier arbitraire. Tout un est appelé un logarithme complexe de z . Il existe une infinité d'entre eux, à la différence du logarithme réel définie de manière unique. Si n = 0 , une est appelée la valeur principale du logarithme, notée Connexion ( z ). L'argument principal de tout nombre réel positif x est 0; donc Log ( x ) est un nombre réel et est égal au logarithme réel (naturel). Cependant, les formules ci-dessus pour les logarithmes de produits et les pouvoirs ne pas généraliser à la valeur principale du logarithme complexe.

L'illustration ci-contre représente Connexion ( z ). La discontinuité, qui est, le saut dans la teinte à la partie négative du x - ou axe réel, est causée par le saut de l'argument principal il. Ce lieu est appelé une branche coupée. Ce comportement ne peut être contournée en laissant tomber la restriction de gamme sur ??. Ensuite, l'argument de z et, par conséquent, son logarithme devenir fonctions à valeurs multiples.

Inverses des autres fonctions exponentielles

Exponentiation se produit dans de nombreux domaines des mathématiques et sa fonction inverse est souvent désigné comme le logarithme. Par exemple, le logarithme d'une matrice est la fonction inverse (à valeurs multiples) de la matrice exponentielle. Un autre exemple est le p -adique logarithme, la fonction inverse de la p -adique exponentielle. Les deux sont définis par série de Taylor analogue au cas réel. Dans le contexte de la géométrie différentielle , la carte exponentielle mappe l' espace tangent à un point d'un collecteur à un voisinage de ce point. Son inverse est aussi appelé le (ou log) carte logarithmique.

Dans le contexte de groupes finis exponentiation est donnée en multipliant plusieurs reprises un élément du groupebavec lui-même. Le logarithme discret est l'entiernde résoudre l'équation

$b^n = x,\,$

où x est un élément du groupe. Réaliser l'exponentiation peut être fait efficacement, mais le logarithme discret est censé être très difficile à calculer dans certains groupes. Cette asymétrie a d'importantes applications dans la cryptographie à clé publique, comme par exemple dans l' échange de clés Diffie-Hellman, une routine qui permet de sécuriser les échanges de chiffrement des clés sur des canaux d'information non garantis. Le logarithme de Zech est liée à la logarithme discret dans le groupe multiplicatif des non -Zero éléments d'une champ fini.

Autres fonctions inverses logarithme comme incluent le logarithme à double ln (ln ( x )), le -logarithme hyper-4 super ou (une légère variation de ce qui est appelé logarithme itéré en informatique), la fonction W de Lambert, et le logit . Ils sont les fonctions inverses de la double fonction exponentielle, tétration, de f ( w ) = nous ^w , et de la fonction logistique, respectivement.

Concepts associ??s

Du point de vue mathématiques pures, l'identité journal ( cd ) = log ( c ) + log ( d ) exprime un isomorphisme de groupe entre positifs réels en vertu de la multiplication et de reals sous addition. Fonctions logarithmiques sont les seuls isomorphismes continues entre ces groupes. Au moyen de ce isomorphisme, la mesure de Haar ( mesure de Lebesgue) dx sur les réels correspond à la mesure de Haar dx / x sur les réels positifs. En analyse et complexes la g??om??trie alg??brique, différentiels formes de la forme df / f sont connus comme des formes avec logarithmique p??les.

Le polylogarithme est la fonction définie par

$\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}.$

Elle est en relation avec le logarithme naturel en Li ₁ ( z ) = -ln (1 - z ) . En outre, Li _s (1) est égale à la fonction de Riemann zêta ?? ( s ).

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