Fractal

L' ensemble de Mandelbrot est un exemple c??l??bre d'une fractale.

Une vue rapproch??e de l'ensemble de Mandelbrot.

Une fractale est g??n??ralement ??une rugueuse ou fragment?? forme g??om??trique qui peut ??tre subdivis?? en plusieurs parties, dont chacune est (au moins approximativement) une copie de taille r??duite de l'ensemble, ??une propri??t?? appel??e auto-similarit??. Le terme a ??t?? invent?? par Beno??t Mandelbrot en 1975 et a ??t?? d??riv?? du latin fractus sens "cass??" ou "fractur??".

Une fractale a souvent les caract??ristiques suivantes:

• Il a une structure fine au arbitrairement petites ??chelles.
• Il est trop irr??guli??re pour ??tre facilement d??crit dans traditionnelle g??om??trique euclidien langue.
• C'est auto-similaire (au moins approximativement ou de mani??re stochastique).
• Il a un Hausdorff dimension qui est sup??rieure ?? sa dimension topologique (bien que cette exigence ne est pas satisfaite par courbes de remplissage d'espace comme le Courbe de Hilbert).
• Il a un simple et d??finition r??cursive.

Parce qu'ils semblent similaires ?? tous les niveaux de grossissement, fractales sont souvent consid??r??es comme infiniment complexe (en termes informels). Les objets naturels que les fractales approximatives ?? un degr?? comprennent nuages, cha??nes de montagnes, des ??clairs, des c??tes et des flocons de neige. Cependant, tous les objets auto-similaires sont fractales, par exemple, le ligne r??elle (une ligne droite Ligne euclidienne) est formellement auto-similaire, mais ne parvient pas ?? avoir d'autres caract??ristiques fractales.

Histoire

Pour cr??er un Koch flocon de neige, commencer avec un triangle ??quilat??ral et remplacer le troisi??me milieu de chaque segment de ligne avec une paire de segments de lignes qui forment un ??quilat??ral "bosse." Puis effectuer la m??me remplacement sur chaque segment de ligne de la forme obtenue, ad infinitum. Avec chaque it??ration, le p??rim??tre de cette forme augmente de 1/3. Le flocon de Koch est le r??sultat d'un nombre infini de ces it??rations, et a une longueur infinie, tandis que sa surface reste fini. Pour cette raison, les flocons de neige et de constructions similaires Koch ??taient parfois appel??s ??courbes de monstre."

Les math??matiques derri??re fractales ont commenc?? ?? prendre forme dans le 17??me si??cle, quand le philosophe Leibniz consid??r?? auto-similarit?? r??cursif (m??me se il a fait l'erreur de penser que seule la ligne droite ??tait auto-similaire en ce sens).

Il a fallu attendre 1872 avant qu'une fonction est apparue dont graphe aujourd'hui serait consid??r?? fractale, lorsque Karl Weierstrass a donn?? une exemple d'une fonction de la non- propri??t?? intuitive d'??tre partout mais continu nulle part diff??rentiables. En 1904, Helge von Koch, m??content avec une d??finition tr??s abstraite et analytique de Weierstrass, a donn?? une d??finition plus g??om??trique d'une fonction similaire, qui est maintenant appel?? le Flocon de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski a construit son triangle et, un an plus tard, son tapis. Initialement ces fractales g??om??triques ont ??t?? d??crits comme des courbes plut??t que les formes 2D qu'ils sont connus que dans leurs constructions modernes. L'id??e de courbes auto-similaire a ??t?? prise plus loin en Paul Pierre L??vy, qui, dans ses 1938 Paper Plane ou l'espace courbes et des surfaces compos??es de parties similaires au Tout d??crit une nouvelle courbe fractale, le Courbe de L??vy.

Georg Cantor a ??galement donn?? des exemples de sous-ensembles de la ligne r??elle avec inhabituels propri??t??s-ci Ensembles de Cantor sont d??sormais reconnus comme des fractales.

Fonctions it??r??s dans le plan complexe ont ??t?? ??tudi??s ?? la fin du 19??me et d??but du 20??me si??cles par Henri Poincar??, Felix Klein, Pierre Fatou et Gaston Julia. Toutefois, sans l'aide de l'infographie modernes, ils ne avaient pas les moyens de visualiser la beaut?? de la plupart des objets qu'ils avaient d??couverts.

Dans les ann??es 1960, Beno??t Mandelbrot a commenc?? ?? enqu??ter auto-similarit?? dans des documents tels que Quelle est la dur??e de la c??te de la Bretagne? Statistique d'auto-similarit?? et fractionnaire Dimension, qui se appuie sur des travaux ant??rieurs de Lewis Fry Richardson. Enfin, en 1975 Mandelbrot a invent?? le mot ??fractal?? pour d??signer un objet dont Dimension de Hausdorff-Besicovitch est sup??rieure ?? sa dimension topologique. Il a illustr?? cette d??finition math??matique frappant visualisations construit par ordinateur. Ces images captur??es l'imagination populaire; beaucoup d'entre eux ??taient bas??s sur la r??cursivit??, conduisant ?? sens populaire du terme ??fractal??.

Exemples

Un Ensemble de Julia, une fractale li?? ?? l'ensemble de Mandelbrot

Une classe relativement simple d'exemples est donn??e par la Cantor d??finit, Triangle de Sierpinski et tapis, ??ponge de Menger, courbe dragon, courbe de remplissage d'espace, et Courbe de Koch. D'autres exemples de fractales sont les Lyapunov fractale et les ensembles de limites de Groupes kleiniens. Fractales peuvent ??tre d??terministe (tout ce qui pr??c??de) ou stochastique (ce est-?? non-d??terministe). Par exemple, les trajectoires du Mouvement brownien dans le plan ont une dimension de Hausdorff de deux.

Syst??mes dynamiques chaotiques sont parfois associ??s ?? des fractales. Objets dans la l'espace de phase d'un syst??me dynamique peut ??tre fractales (voir attracteur). Objets dans la espace des param??tres pour une famille de syst??mes peut ??tre fractale ainsi. Un exemple int??ressant est l' ensemble de Mandelbrot . Cet ensemble contient des disques entiers, il a donc une dimension Hausdorff ??gale ?? sa dimension topologique de deux, mais ce qui est vraiment surprenant, ce est que le limite de l'ensemble de Mandelbrot a ??galement une dimension de Hausdorff de deux (alors que la dimension topologique de 1), un r??sultat prouv?? par Mitsuhiro Shishikura en 1991. Une fractale ??troitement li??e est le Ensemble de Julia.

M??me courbes lisses simples peuvent exposer les biens fractale de l'auto-similarit??. Par exemple, le courbe en loi de puissance (aussi connu comme un Distribution de Pareto) produit des formes similaires ?? diff??rents grossissements.

fractales G??n??ration

M??me 2000 fois grossissement de l'ensemble de Mandelbrot d??couvre des d??tails fins ressemblant ?? l'ensemble.

Trois techniques communes pour g??n??rer des fractales sont:

• Fractales ??vasion-temps - Elles sont d??finies par un r??currence rapport ?? chaque point dans un espace (tel que le plan complexe ). Des exemples de ce type sont l' ensemble de Mandelbrot , Ensemble de Julia, le Br??ler fractale de navire et la Fractale de Lyapunov.
• Syst??mes de fonctions it??r??es - Celles-ci ont une r??gle de remplacement g??om??trique fixe. Ensemble de Cantor, Tapis de Sierpinski, Triangle de Sierpinski, Courbe de Peano, Koch flocon de neige, Harter-Heighway courbe de dragon, T-Square, ??ponge de Menger, sont quelques exemples de ces fractales.
• Fractales al??atoires - g??n??r??s par des processus stochastiques plut??t que d??terministes, par exemple, les trajectoires de la Mouvement brownien, L??vy vol, paysages fractales et la Arbre brownien. Ce dernier rendements dits mass-fractales ou dendritiques, par exemple, agr??gation limit??e par diffusion ou grappes d'agr??gation r??action limit??e.

Classification

Fractales peuvent ??galement ??tre class??s en fonction de leur auto-similarit??. Il ya trois types d'auto-similarit?? trouv?? dans fractales:

• Exact auto-similarit?? - Ce est le type le plus fort de l'auto-similarit??; la fractale semble identique ?? diff??rentes ??chelles. Fractales d??fini par syst??mes de fonctions it??r??es affichent souvent exacte auto-similarit??.
• Quasi-auto-similarit?? - Ce est une forme libre de l'auto-similarit??; la fractale appara??t environ (mais pas exactement) identiques ?? diff??rentes ??chelles. Fractales quasi auto-similaires contiennent de petites copies de l'ensemble de fractale dans des formes d??viantes et d??g??n??r??s. Fractales d??fini par relations r??currence sont g??n??ralement quasi-auto-similaire mais pas exactement auto-similaire.
• Statistique auto-similarit?? - Ce est le type le plus faible de l'auto-similarit??; la fractale a des mesures num??riques ou statistiques qui sont conserv??s ?? travers les ??chelles. La plupart des d??finitions raisonnables de "fractale" impliquent trivialement une certaine forme de statistiques auto-similarit??. (La dimension fractale se est une mesure num??rique qui est conserv?? ?? travers les ??chelles.) Fractales al??atoires sont des exemples de fractales qui sont statistiquement auto-similaire, mais ni exactement ni quasi auto-similaire.

Dans la nature

Une fractale que les mod??les de la surface d'une montagne (animation)

Fractales approximatives sont faciles ?? trouver dans la nature. Ces objets se affichent structure auto-similaire sur une ??tendue, mais finie, plage d'??chelle. Les exemples incluent les nuages, flocons de neige , cristaux , cha??nes de montagnes , la foudre, les r??seaux fluviaux , chou-fleur ou brocoli, et les syst??mes de les vaisseaux sanguins et vaisseaux pulmonaires. Les c??tes peuvent ??tre consid??r??es vaguement fractale dans la nature.

Une foug??re fractale calcul??e en utilisant une Syst??me de fonctions it??r??es

Les arbres et les foug??res sont fractale dans la nature et peuvent ??tre mod??lis??s sur un ordinateur en utilisant une r??cursif algorithme . Cette nature r??cursive est ??vident dans ces exemples - une branche d'un arbre ou d'un fronde d'une foug??re est une r??plique miniature de l'ensemble: pas identiques, mais similaires dans la nature.

En 1999, certains auto formes fractales similaires ont ??t?? montr?? pour avoir une propri??t?? de "l'invariance de fr??quence" - les m??mes propri??t??s ??lectromagn??tiques quelle que soit la fr??quence - de les ??quations de Maxwell (voir antenne fractale).

Fractal pentagramme dessin?? avec un vecteur programme d'it??ration

Dans les ??uvres de cr??ation

Motifs fractals ont ??t?? trouv??s dans les peintures de l'artiste am??ricain Jackson Pollock . Alors que les peintures de Pollock semblent ??tre compos?? de gouttes chaotique et les ??claboussures, analyse informatique a trouv?? motifs fractals dans son travail.

D??calcomanie, une technique utilis??e par des artistes tels que Max Ernst, peut produire des mod??les de type fractal. Il se agit en appuyant sur la peinture entre deux surfaces et les ??cartant.

Les fractales sont ??galement r??pandu dans L'art africain et de l'architecture. Maisons circulaires apparaissent dans les cercles de cercles, maisons rectangulaires dans des rectangles de rectangles, et ainsi de suite. Ces mod??les d'??chelle peuvent ??galement ??tre trouv??s dans les textiles africains, sculpture, et m??me des coiffures cornrow.

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  Une fractale est form??e en tirant en dehors colle ?? deux-couverts feuilles d'acrylique.

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  Ventilation haute tension dans un ??bloc acrylique 4 cr??e une fractale Figure Lichtenberg.

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  Ramification de fractale se produit dans une surface fractur??e comme un micro-ondes irradi??es DVD

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  Brocoli Romanesco montrant fractales naturelles tr??s fines

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  Un Amas de DLA cultiv?? ?? partir d'un cuivre (II) sulfate solution dans un Cellule d'??lectrod??position

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  A quelques kV sont mis entre deux clous dans certains pins humide. Un soi-disant "fractales" Woodburn r??sultats.

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  Un grossissement de l'ensemble de phoenix

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  Pascal fractal

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  Un flamme de fractale cr????e avec le programme Apophysis

Applications

Comme d??crit ci-dessus, fractales al??atoires peuvent ??tre utilis??s pour d??crire de nombreux objets du monde r??el tr??s irr??guli??res. D'autres applications de fractales comprennent:

• Classification des diapositives histopathologiques dans la m??decine
• Terrain fractal ou la complexit?? de Littoral
• Enzyme / enzymologie ( Cin??tique de Michaelis-Menten)
• G??n??ration de la nouvelle musique
• G??n??ration de divers art formes
• Signal et compression d'image
• Sismologie
• Fractal en m??canique des sols
• Ordinateur et la conception de jeux vid??o, en particulier infographie pour organiques environnements et dans le cadre de g??n??ration proc??durale
• Fractographie et m??canique de la rupture
• Antennes fractales - antennes de petite taille en utilisant des formes fractales
• Petite th??orie de la diffusion de l'angle des syst??mes fractale rugueuses
• N??o-hippies t-shirts et d'autres la mode
• G??n??ration du trac?? de camouflage, comme MARPAT
• Cadran num??rique
• Prix g??n??ration de S??rie
• La d??mocratie Fractal