La th??orie du chaos

Une parcelle de la Lorenz attracteur pour les valeurs r = 28, σ = 10, b = 8/3

Dans les math??matiques et la physique , la th??orie du chaos d??crit le comportement de certains non lin??aire syst??mes dynamiques qui peuvent pr??senter dynamiques qui sont tr??s sensibles aux conditions initiales (populairement d??nomm??e effet papillon). En raison de cette sensibilit??, qui se manifeste par une croissance exponentielle des perturbations dans les conditions initiales, le comportement de syst??mes chaotiques semble al??atoire. Cela se produit m??me si ces syst??mes sont d??terministe, ce qui signifie que leur dynamique futurs sont enti??rement d??finies par leurs conditions initiales, sans ??l??ments al??atoires impliqu??s. Ce comportement est connu que le chaos d??terministe, ou tout simplement chaos.

Vue d'ensemble

Comportement chaotique a ??t?? observ?? en laboratoire dans une vari??t?? de syst??mes, y compris circuits ??lectriques, lasers , oscillants r??actions chimiques , la dynamique des fluides, et des dispositifs m??caniques et magn??to-m??caniques. Les observations du comportement chaotique dans la nature comprennent les dynamiques de satellites dans le syst??me solaire , l'??volution temporelle de la champ magn??tique des corps c??lestes, la croissance de la population dans l'??cologie , la dynamique des potentiels d'action dans les neurones, et vibrations mol??culaires. Exemples quotidiens de syst??mes chaotiques comprennent la m??t??o et le climat . Il ya une certaine controverse sur l'existence de dynamiques chaotiques dans les tectonique des plaques et de l'??conomie .

Les syst??mes qui pr??sentent le chaos math??matique d??terministes et donc ordonn??e dans un certain sens; cette utilisation technique du mot chaos est en contradiction avec le langage courant, ce qui sugg??re un d??sordre complet. Un domaine connexe de la physique appel??e quantique syst??mes ??tudes de th??orie du chaos qui suivent les lois de la m??canique quantique . R??cemment, un autre champ, appel?? chaos relativiste, a ??merg?? pour d??crire les syst??mes qui suivent les lois de la relativit?? g??n??rale .

En plus d'??tre ordonn??e dans le sens d'??tre d??terministe, syst??mes chaotiques ont g??n??ralement bien d??finies statistiques . Par exemple, le Syst??me de Lorenz photo est chaotique, mais a une structure bien d??finie. Chaos born?? est un terme utile pour d??crire les mod??les de d??sordre.

Histoire

Fractal foug??re cr????e ?? l'aide jeu chaos. Formes naturelles (foug??res, nuages, montagnes, etc.) peuvent ??tre recr????es par un Syst??me de fonctions it??r??es (IFS).

Le premier d??couvreur du chaos peut plausiblement faire valoir d'??tre Jacques Hadamard, qui, en 1898 a publi?? une ??tude influente du mouvement chaotique d'une particule libre glisse sans frottement sur une surface de courbure n??gative constante. Dans le syst??me ??tudi??, Les billards de Hadamard, Hadamard a pu montrer que toutes les trajectoires sont instables, en ce que toutes les trajectoires des particules divergent de fa??on exponentielle les uns des autres, avec un positif Exposant de Lyapunov.

Au d??but des ann??es 1900 Henri Poincar??, en ??tudiant la probl??me des trois corps, trouv?? qu'il peut y avoir des orbites qui sont non p??riodique, et pourtant pas ??ternellement augmenter ni l'approche d'un point fixe. Une grande partie de la th??orie d??but a ??t?? d??velopp?? presque enti??rement par les math??maticiens, sous le nom de th??orie ergodique. Des ??tudes ult??rieures, ??galement sur le th??me des ??quations diff??rentielles non lin??aires, ont ??t?? r??alis??es par GD Birkhoff, AN Kolmogorov, ML Cartwright, JE Littlewood, et Stephen Smale. Sauf pour Smale, ces ??tudes ont toutes ??t?? directement inspir??s par la physique: le probl??me des trois corps dans le cas de Birkhoff, la turbulence et les probl??mes astronomiques dans le cas de Kolmogorov, et de l'ing??nierie de la radio dans le cas de Cartwright et Littlewood. Bien que le mouvement plan??taire chaotique ne avait pas ??t?? observ??e, les exp??rimentateurs ont rencontr?? de la turbulence dans un mouvement fluide et l'oscillation non p??riodique dans les circuits de radio sans le b??n??fice d'une th??orie pour expliquer ce qu'ils voyaient.

Malgr?? un premier aper??u dans la premi??re moiti?? du si??cle, la th??orie du chaos est devenue formalis??e en tant que telle qu'apr??s le milieu du si??cle, quand il se est d'abord manifest??e par certains scientifiques qui th??orie lin??aire, la th??orie du syst??me en vigueur ?? l'??poque, ne pouvait tout simplement pas expliquer le comportement observ?? de certaines exp??riences comme celle de la carte logistique. Ce qui avait ??t?? pr??alablement exclus que mesurer l'impr??cision et simple " bruit ??a ??t?? consid??r?? par les th??ories du chaos comme une composante ?? part enti??re des syst??mes ??tudi??s.

Le catalyseur principal pour le d??veloppement de la th??orie du chaos est le ??lectronique ordinateur . Une grande partie des math??matiques de la th??orie du chaos implique l'it??ration r??p??t??e de formules math??matiques simples, ce qui serait difficile de le faire ?? la main. Ordinateurs ??lectroniques ont fait ces calculs r??p??t??s pratique, tandis que les chiffres et les images ont permis de visualiser ces syst??mes. Un des premiers ordinateurs num??riques ??lectroniques, ENIAC, a ??t?? utilis?? pour ex??cuter des mod??les de pr??vision du temps simples.

La turbulence dans la tourbillon d'extr??mit?? d'un aile d'avion. Les ??tudes de la point critique au-del?? duquel un syst??me cr??e de la turbulence ??tait important pour la th??orie du chaos, analys??e par exemple par le physicien sovi??tique Lev Landau qui a d??velopp?? le Th??orie de Landau-Hopf de turbulence. David Ruelle et Floris Takens tard pr??dit, contre Landau, que la turbulence des fluides pourrait se d??velopper ?? travers un attracteur ??trange, un concept principal de la th??orie du chaos.

L'un des pionniers de la th??orie ??tait Edward Lorenz dont l'int??r??t dans le chaos est venu ?? propos accidentellement par son travail sur la pr??vision du temps en 1961 . Lorenz utilisait un syst??me num??rique simple ordinateur , un McBee royal LGP-30, pour ex??cuter son simulation m??t??o. Il voulait voir une s??quence de donn??es ?? nouveau et de gagner du temps, il a commenc?? la simulation au milieu de son cours. Il ??tait capable de faire cela en saisissant une impression des donn??es correspondant ?? des conditions au milieu de sa simulation dont il avait calcul?? la derni??re fois.

?? sa grande surprise le temps que la machine a commenc?? ?? pr??voir ??tait compl??tement diff??rente de la m??t??o calcul?? avant. Lorenz suivi cette baisse ?? l'imprim?? d'ordinateur. L'ordinateur a travaill?? avec une pr??cision de 6 chiffres, mais l'impression des variables arrondi ?? un nombre ?? 3 chiffres, donc une valeur comme 0,506127 a ??t?? imprim?? comme 0,506. Cette diff??rence est minuscule et le consensus au moment aurait ??t?? qu'il aurait eu pratiquement aucun effet. Cependant Lorenz avait d??couvert que de petits changements dans les conditions initiales produits de grands changements dans les r??sultats ?? long terme. La d??couverte de Lorenz, qui a donn?? son nom ?? Attracteurs de Lorenz, ont prouv?? que la m??t??orologie ne pouvait raisonnablement pr??voir le temps au-del?? d'une p??riode hebdomadaire (au plus).

L'ann??e d'avant, Benoit Mandelbrot trouv?? mod??les r??currents ?? toutes les ??chelles dans les donn??es sur les les prix du coton. Auparavant, il avait ??tudi?? th??orie de l'information et conclu le bruit a ??t?? model?? comme un Ensemble de Cantor: p??riodes ?? une ??chelle la proportion des p??riodes contenant de bruit ?? l'erreur-libres ??tait un constant-- donc erreurs ??taient in??vitables et doivent ??tre pr??vues pour en incorporant redondance. Mandelbrot d??crit ?? la fois la Effet Noah (dans lequel les changements soudains discontinues peuvent se produire, par exemple, des prix des actions apr??s une mauvaise nouvelles, ainsi difficile la distribution normale th??orie dans les statistiques , alias courbe de Bell) et la Joseph effet (dans lequel la persistance d'une valeur peut se produire pendant un certain temps, mais soudainement changer par la suite). En 1967, il a publi?? Quelle est la dur??e de la c??te de la Bretagne? Statistique d'auto-similarit?? et fractionnaire Dimension, montrant que la longueur d'un littoral varie avec l'??chelle de l'instrument de mesure, lui-m??me ressemble ?? toutes les ??chelles, et est une longueur infinie pour un dispositif de mesure infiniment petit. Arguant que une boule de ficelle semble ??tre une dimensions (de loin), trois dimensions (assez proche), ou 1 dimensions (fermer), il a soutenu que les dimensions d'un objet sont li??s ?? l'observateur et peuvent ??tre fractionn??e. Un objet dont l'irr??gularit?? est constante sur diff??rentes ??chelles ("auto-similarit??") est une fractale (par exemple, le Courbe de Koch ou " flocon de neige ", ce qui est infiniment longue encore enferme un espace ?? dimensions finies = 1,2618; ou le ??ponge de Menger et Triangle de Sierpinski). En 1975, Mandelbrot publi?? La g??om??trie fractale de la nature, qui est devenu un classique de la th??orie du chaos. Les syst??mes biologiques tels que la ramification des syst??mes circulatoire et bronchiques prouv?? pour se adapter ?? un mod??le fractal.

Yoshisuke Ueda identifi?? ind??pendamment un ph??nom??ne chaotique en tant que telle en utilisant un calculateur analogique le 27 Novembre, 1961. Le chaos expos?? par un calculateur analogique est un ph??nom??ne r??el, contrairement ?? ceux que les ordinateurs num??riques calculent, qui a un autre type de limite sur la pr??cision. Le professeur superviseur de Ueda, Hayashi, ne croyait pas dans le chaos, et donc il a interdit Ueda de publier ses conclusions jusqu'au 1970 .

En D??cembre 1977, le Acad??mie des sciences de New York a organis?? le premier colloque sur le chaos, en pr??sence de David Ruelle, Robert mai, James Yorke (monnayeur du terme ??chaos?? tel qu'il est utilis?? en math??matiques), Robert Shaw (un physicien, une partie de la Groupe avec Eudaemons J. Doyne Farmer et Norman Packard qui a essay?? de trouver une m??thode math??matique pour battre roulette, puis cr???? avec eux le Syst??mes dynamiques collectives dans Santa Cruz), et le m??t??orologue Edward Lorenz.

L'ann??e suivante, Mitchell Feigenbaum a publi?? l'article not?? "quantitative Universalit?? pour une classe de transformations non lin??aires", o?? il d??crit cartes logistiques. Feigenbaum avait appliqu?? la g??om??trie fractale pour l'??tude des formes naturelles telles que les c??tes. Feigenbaum notamment d??couvert l'universalit?? dans le chaos, ce qui permet une application de la th??orie du chaos ?? de nombreux ph??nom??nes diff??rents.

En 1979, Albert J. Libchaber, lors d'un colloque organis?? ?? Aspen par Pierre Hohenberg, a pr??sent?? son observation exp??rimentale de la bifurcation cascade qui m??ne au chaos et la turbulence dans convective Syst??mes de Rayleigh-B??nard. Il a re??u le Prix Wolf de physique en 1986 avec Mitchell J. Feigenbaum "pour sa brillante d??monstration exp??rimentale de la transition vers la turbulence et le chaos dans les syst??mes dynamiques".

Le New York Academy of Sciences a ensuite co-organis??, en 1986, avec le Institut national de la sant?? mentale et la Office of Naval Research la premi??re conf??rence importante sur le chaos en biologie et en m??decine. Bernardo Huberman ainsi pr??sent?? un mod??le math??matique de la oeil trouble de suivi chez les schizophr??nes . La th??orie du chaos par la suite renouvel?? physiologie dans les ann??es 1980, par exemple dans l'??tude des pathologique cycles cardiaques.

En 1987, Par Bak, Chao Tang et Kurt Wiesenfeld publi?? un article dans Lettres de Physical Review d??crivant pour la premi??re fois auto-organis?? criticit?? (SOC), consid??r?? comme l'un des m??canismes par lesquels complexit?? tient dans la nature. Parall??lement aux approches largement laboratoire ?? base tels que la Bak-Tang-Wiesenfeld sandpile, de nombreuses autres enqu??tes ont centr?? autour de syst??mes naturels ou sociaux ?? grande ??chelle qui sont connus (ou pr??sum??s) pour afficher ??chelle invariant comportement. Bien que ces approches ne ont pas toujours les bienvenus (au moins au d??but) par des sp??cialistes dans les sujets examin??s, SOC a n??anmoins se ??tablir comme un bon candidat pour expliquer un certain nombre de ph??nom??nes naturels, y compris: les tremblements de terre (qui, bien avant SOC a ??t?? d??couvert, ??taient connus comme source de comportement ??chelle invariant comme le La loi de Gutenberg-Richter d??crivant la distribution statistique des tailles du tremblement de terre, et de la Omori loi d??crivant la fr??quence des r??pliques); ??ruptions solaires; fluctuations dans les syst??mes ??conomiques tels que march??s financiers (r??f??rences ?? SOC sont communs dans ??conophysique); la formation du paysage; les incendies de for??t; glissements de terrain; ??pid??mies; et l'??volution biologique (o?? SOC a ??t?? invoqu??, par exemple, que le m??canisme dynamique derri??re la th??orie du ????quilibres ponctu??s?? mis en avant par Niles Eldredge et Stephen Jay Gould ). Inqui??tant, ??tant donn?? les implications d'une distribution gratuite ??chelle de tailles d'??v??nements, certains chercheurs ont sugg??r?? que un autre ph??nom??ne qui devrait ??tre consid??r?? comme un exemple de la SOC est l'apparition de guerres . Ces enqu??tes "appliqu??es" de SOC ont inclus deux tentatives de mod??lisation (soit le d??veloppement de nouveaux mod??les ou d'adapter ceux qui existent d??j?? aux sp??cificit??s d'un syst??me naturel donn??), et l'analyse des donn??es approfondies pour d??terminer l'existence et / ou caract??ristiques des lois d'??chelle naturelles.

La m??me ann??e, James Gleick publi?? Chaos: Making une nouvelle science, qui est devenu un best-seller et a introduit les principes g??n??raux de la th??orie du chaos, ainsi que son histoire au grand public. Au d??but, les domaines de travail de quelques individus isol??s,, la th??orie du chaos progressivement ??merg?? comme un transdisciplinaire et la discipline institutionnelle, principalement sous le nom de l'analyse des syst??mes non lin??aire. Faisant allusion ?? Thomas Kuhn notion d 'un changement de paradigme expos?? dans La Structure des r??volutions scientifiques (1962), de nombreux ??chaologists?? (comme certains se auto-nomm??) a affirm?? que cette nouvelle th??orie ??tait un exemple d'un tel changement, une th??se d??fendue par J. Gleick.

La disponibilit?? des ordinateurs moins chers, plus puissants ??largit l'applicabilit?? de la th??orie du chaos. Actuellement, la th??orie du chaos continue d'??tre un domaine de recherche tr??s actif, impliquant de multiples disciplines (math??matiques, la topologie , la physique, la biologie des populations, la biologie, la m??t??orologie, l'astrophysique, th??orie de l'information, etc.).

Dynamique chaotique

Pour un syst??me dynamique d'??tre class?? comme chaotique, il doit avoir les propri??t??s suivantes:

• il doit ??tre sensible aux conditions initiales,
• ce doit ??tre topologiquement m??lange, et
• son orbites p??riodiques doivent ??tre dense.

Sensibilit?? aux conditions initiales signifie que chaque point dans un tel syst??me est arbitrairement ??troitement approch??e par d'autres points avec sensiblement diff??rentes trajectoires futures. Ainsi, une petite perturbation arbitraire de la trajectoire actuelle peut conduire ?? un comportement futur significativement diff??rente.

Sensibilit?? aux conditions initiales est populairement connu sous le nom " l'effet papillon ??, ainsi appel?? parce que le titre d'un document donn?? par Edward Lorenz en 1972 ?? la Association am??ricaine pour l'avancement des sciences ?? Washington, DC pr??visibilit?? intitul??: le battement d'ailes d'un papillon au Br??sil Est a d??clench?? une tornade au Texas Le battement des ailes repr??sente un petit changement dans l'??tat initial du syst??me, ce qui provoque une cha??ne de? ??v??nements qui ont conduit ?? des ph??nom??nes ?? grande ??chelle. Le papillon avait pas battit ses ailes, la trajectoire du syst??me aurait pu ??tre tr??s diff??rent.

Sensibilit?? aux conditions initiales est souvent confondu avec le chaos dans les r??cits populaires. Il peut aussi ??tre une propri??t?? subtile, car il d??pend d'un choix de m??trique, ou la notion de distance dans le l'espace de phase du syst??me. Par exemple, consid??rons le syst??me dynamique simple, produite en doublant ?? plusieurs reprises une valeur initiale (d??finie par la cartographie sur la ligne r??elle de x ?? 2x). Ce syst??me a d??pendance sensible aux conditions initiales partout, depuis ne importe quelle paire de points ?? proximit?? finira par devenir largement s??par??s. Cependant, il pr??sente un comportement extr??mement simple, car tous les points ?? l'exception de 0 tendent vers l'infini. Si ?? la place, nous utilisons la m??trique born??e sur la ligne obtenue en additionnant le point ?? l'infini et l'affichage le r??sultat comme un cercle, le syst??me ne est plus sensible aux conditions initiales. Pour cette raison, dans la d??finition de chaos, l'attention est normalement limit??e ?? des syst??mes avec des m??triques born??es, ou ferm??, d??limit?? sous-ensembles invariants des syst??mes non born??s.

M??me pour les syst??mes born??es, sensibilit?? aux conditions initiales ne est pas identique avec le chaos. Par exemple, consid??rez le tore ?? deux dimensions d??crites par une paire d'angles (X, Y), chaque comprise entre z??ro et 2π. D??finir un mappage qui prend tout point (x, y) (2x, y + a), o?? a est un nombre quelconque tel que a / 2π est irrationnel. Parce que du doublement de la premi??re coordonn??e, la cartographie pr??sente d??pendance sensible aux conditions initiales. Toutefois, en raison de la rotation irrationnel dans la seconde coordonn??e, il n'y a pas orbites p??riodiques, et par cons??quent ne est pas le mappage chaotique selon la d??finition ci-dessus.

M??lange topologiquement signifie que le syst??me va ??voluer au fil du temps de sorte que toute r??gion ou ouvert de son espace de phase finira par se chevaucher avec toute autre r??gion donn??e. Ici, "m??lange" est vraiment destin?? ?? correspondre ?? l'intuition standard: le m??lange de couleur des colorants ou des fluides est un exemple d'un syst??me chaotique.

Attracteurs

Certains syst??mes dynamiques chaotiques sont partout (voir par exemple Diff??omorphismes Anosov), mais dans de nombreux cas un comportement chaotique ne se trouve que dans un sous-ensemble de l'espace de phase. Les cas les plus int??ressantes se produisent lorsque le comportement chaotique a lieu sur une attracteur, depuis un grand ensemble de conditions initiales conduira ?? des orbites qui convergent vers cette r??gion chaotique.

Un moyen facile de visualiser un attracteur chaotique est de commencer avec un point dans le bassin d'attraction de l'attracteur, et puis tout simplement tracer son orbite suivante. En raison de la condition de transitivit?? topologique, ce est susceptible de produire une image de l'ensemble attracteur finale.

Diagramme de phase pour un amorti entra??n?? pendule, avec double mouvement p??riode

Par exemple, dans un syst??me qui d??crit une pendule, l'espace des phases peut ??tre ?? deux dimensions, comprenant des informations sur la position et la vitesse. On peut tracer la position d'un pendule contre sa vitesse. Un pendule au repos sera trac?? comme un point, et l'autre dans un mouvement p??riodique sera trac?? comme une courbe ferm??e simple. Quand un tel trac?? forme une courbe ferm??e, la courbe est appel?? un orbite. Notre pendule a un nombre infini de ces orbites, formant un crayon d'ellipses imbriqu??es sur l'origine.

Attracteurs ??tranges

Alors que la plupart des types de mouvement mentionn??s ci-dessus donnent lieu ?? des attracteurs tr??s simples, tels que les points et les courbes de cercle comme appel??s cycles limites, mouvement chaotique donne lieu ?? ce qu'on appelle les attracteurs ??tranges, attracteurs qui peuvent avoir beaucoup de d??tails et la complexit??. Par exemple, un mod??le tridimensionnel simple de la Lorenz syst??me m??t??orologique donne lieu ?? la c??l??bre Attracteur de Lorenz. L'attracteur de Lorenz est peut-??tre l'un des sch??mas de syst??mes chaotiques les plus connus, probablement parce que non seulement il ??tait l'un des premiers, mais il est l'un des plus complexe et en tant que telle donne lieu ?? un mod??le tr??s int??ressant qui ressemble ?? des ailes de un papillon. Un autre exemple est l'attracteur Carte R??ssler, qui conna??t p??riode de deux parcours de doublement au chaos, comme la carte logistique.

Attracteurs ??tranges se produisent ?? la fois syst??mes continus (tels que le syst??me de Lorenz) et dans certaines syst??mes discrets (tels que la Carte H??non). D'autres syst??mes dynamiques discrets ont une structure de r??pulsion appel?? Ensemble de Julia qui se forme ?? la limite entre les bassins d'attraction des points fixes - ensembles de Julia peut ??tre consid??r?? comme repellers ??tranges. Les deux attracteurs ??tranges et ensembles de Julia ont g??n??ralement une fractale structure.

Le Poincar??-Bendixson th??or??me montre que un attracteur ??trange ne peut se produire dans un syst??me dynamique continu se il a trois ou plusieurs dimensions. Toutefois, aucune restriction ne se applique aux syst??mes discrets, qui peuvent pr??senter attracteurs ??tranges dans deux ou m??me les syst??mes unidimensionnels.

Les conditions initiales de trois ou plusieurs organismes qui interagissent par l'attraction gravitationnelle (voir la n probl??me -Corps) peut ??tre agenc?? de mani??re ?? produire un mouvement chaotique.

La complexit?? minimum d'un syst??me chaotique

Bifurcation sch??ma d'une carte logistique, affichant un comportement chaotique pass?? un seuil

Des syst??mes simples peuvent ??galement produire le chaos sans compter sur les ??quations diff??rentielles . Un exemple est le logistique carte, qui est une ??quation de diff??rence ( relation de r??currence) qui d??crit la croissance de la population au fil du temps.

M??me l'??volution des syst??mes discrets simples, tels que automates cellulaires, peuvent fortement d??pendre des conditions initiales. Stephen Wolfram a enqu??t?? sur un automate cellulaire avec cette propri??t??, appel??e par lui r??gle 30.

Un mod??le minimal pour conservatrice (r??versible) comportement chaotique est fourni par Cat la carte de Arnold.

Th??orie math??matique

Le th??or??me de Sarkovskii est ?? la base du Li et Yorke (1975) de la preuve que tout syst??me ?? une dimension qui pr??sente un cycle r??gulier de p??riode affichera ??galement trois cycles r??guliers de chaque autre longueur ainsi que des orbites compl??tement chaotiques.

Les math??maticiens ont mis au point de nombreuses autres fa??ons de faire des d??clarations quantitatives sur les syst??mes chaotiques. Ceux-ci comprennent: dimension fractale de l'attracteur, Exposants de Lyapunov, parcelles de r??currence, Cartes de Poincar??, diagrammes de bifurcation, et op??rateur de transfert.

Distinguer al??atoire ?? partir des donn??es chaotique

Il peut ??tre difficile de dire ?? partir de donn??es si un processus observ?? physique ou autre est al??atoire ou chaotique, car en pratique, pas de s??ries chronologiques se compose de pur ??signal??. Il y aura toujours une certaine forme de bruit corruptrice, m??me se il est pr??sent comme arrondi ou erreur de troncature. Ainsi une s??rie en temps r??el, m??me si la plupart du temps d??terministe, contiendra un peu de hasard.

Toutes les m??thodes pour distinguer les processus d??terministe et stochastique se appuient sur le fait qu'un syst??me d??terministe ??volue toujours de la m??me mani??re ?? partir d'un point de d??part donn??. Ainsi, ??tant donn?? une s??rie de temps pour tester le d??terminisme, on peut:

1. choisir un ??tat de test;
2. rechercher la s??rie de temps pour un ??tat similaire ou ???? proximit????; et
3. comparer leurs ??volutions temporelles respectives.

D??finir l'erreur comme la diff??rence entre l'??volution temporelle de l'??tat "test" et l'??volution dans le temps de l'??tat ?? proximit??. Un syst??me d??terministe aura une erreur qui soit reste petite (stable, solution r??guli??re) ou augmente de fa??on exponentielle avec le temps (le chaos). Syst??me stochastique aura une erreur distribu??es au hasard.

Essentiellement toutes les mesures prises ?? partir du d??terminisme s??ries chronologiques reposent sur trouver les ??tats les plus proches ?? un ??tat donn?? "test" (ce est ?? dire, dimension de corr??lation, les exposants de Lyapunov, etc.). Pour d??finir l'??tat d'un syst??me on se fie g??n??ralement sur l'espace des phases m??thodes d'enrobage. Typiquement on choisit une dimension d'int??gration, et ??tudie la propagation de l'erreur entre deux ??tats voisins. Si l'erreur semble al??atoire, on augmente la dimension. Si vous pouvez augmenter la dimension d'obtenir une erreur en regardant d??terministe, alors vous ??tes fait. M??me si cela peut para??tre simple, il ne est pas vraiment. Une complication est que la dimension augmente la recherche d'un ??tat ?? proximit?? n??cessite beaucoup plus de temps de calcul et beaucoup de donn??es (la quantit?? de donn??es n??cessaire augmente de fa??on exponentielle avec la dimension int??gration) de trouver un candidat convenable ?? proximit??. Si la dimension d'int??gration (nombre de mesures par l'??tat) est choisie trop petite (inf??rieure ?? la valeur 'true') des donn??es d??terministes peuvent sembler al??atoire mais en th??orie il n'y a aucun probl??me en choisissant la dimension trop grande - la m??thode va fonctionner. Pratiquement, quelque chose d'approchant environ 10 dimensions est consid??r??e comme si importante que une description stochastique est probablement plus appropri?? et pratique de toute fa??on.

Applications

La th??orie du chaos est appliqu?? dans de nombreuses disciplines scientifiques: math??matiques , la biologie , l'informatique , l'??conomie , l'ing??nierie , la finance , la philosophie , la physique , la politique , la dynamique des populations, la psychologie , et robotique.

La th??orie du chaos est ??galement actuellement appliqu?? aux ??tudes m??dicales de l'??pilepsie , en particulier ?? la pr??vision des crises apparemment al??atoires en observant les conditions initiales.

Litt??rature

Articles

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