Topologie

Un Ruban de M??bius, un objet avec une seule surface et un bord; ces formes sont un objet d'??tude en topologie.

Topologie ( grecs topos, ??lieu??, et logos, ????tude??) est une branche de math??matiques qui est une extension de la g??om??trie . Topologie commence par un examen de la nature de l'espace, d'enqu??ter ?? la fois sa structure fine et sa structure globale. Topologie se appuie sur la th??orie des ensembles , compte tenu de deux ensembles de points et les familles des ensembles.

Le mot topologie est utilis??e ?? la fois pour la zone d'??tude et pour une famille de jeux avec certaines propri??t??s d??crites ci-dessous qui sont utilis??s pour d??finir une espace topologique. D'une importance particuli??re dans l'??tude de la topologie sont des fonctions ou des cartes qui sont hom??omorphismes . Officieusement, ces fonctions peuvent ??tre consid??r??s comme ceux qui se ??tendent l'espace sans le d??chirer ou de coller parties distinctes ensemble.

Lorsque la discipline a ??t?? bien fond??e, vers la fin du 19??me si??cle , il a ??t?? appel?? geometria situs ( latine g??om??trie de place) et analysis situs ( latine analyse de place). De autour de 1925-1975 ce ??tait un domaine de croissance important au sein de math??matiques.

La topologie est une grande branche des math??matiques qui comprend de nombreux sous-champs. La division la plus fondamentale au sein de la topologie est point mis en topologie, qui enqu??te sur des concepts tels que la compacit?? , connectivit??, et responsabilisation; topologie alg??brique, qui enqu??te sur des concepts tels que homotopie et homologie; et topologie g??om??trique, qui ??tudie les collecteurs et leurs incorporations, y compris la th??orie des n??uds .

Voir aussi: topologie glossaire pour les d??finitions de certains des termes utilis??s dans la topologie et espace topologique pour un traitement plus technique du sujet.

Histoire

Le Sept ponts de K??nigsberg est un fameux probl??me r??solu par Euler.

La branche des math??matiques appel??e topologie maintenant a commenc?? avec l'enqu??te de certaines questions en g??om??trie. Leonhard Euler s ' 1736 sur papier Sept ponts de K??nigsberg est consid??r?? comme l'un des premiers r??sultats topologiques.

Le terme "topologie" a ??t?? introduit en allemand en 1847 par Johann Benedict Listing dans Vorstudien zur Topologie, Vandenhoeck und Ruprecht, G??ttingen, pp. 67, 1848. Toutefois, Liste avait d??j?? utilis?? le mot pour dix ans de correspondance. "Topologie", sa forme anglaise, a ??t?? introduite en 1883 dans la revue Nature de distinguer ??g??om??trie qualitative de la g??om??trie ordinaire dans laquelle les relations quantitatives principalement sont trait??s". Le topologist terme dans le sens d'un sp??cialiste en topologie a ??t?? utilis?? en 1905 dans le magazine Spectator.

Topologie moderne d??pend fortement sur les id??es de la th??orie des ensembles , d??velopp??s par Georg Cantor dans la derni??re partie du 19e si??cle. Cantor, en plus d'??tablir les id??es de base de la th??orie des ensembles, ensembles de points consid??r??s dans l'espace euclidien , dans le cadre de son ??tude des s??rie de Fourier.

Henri Poincar?? publi?? Analysis situs en 1895, introduisant les concepts de homotopie et homologie, qui sont maintenant consid??r??s comme faisant partie de la topologie alg??brique.

Maurice Fr??chet, unifier le travail sur les espaces de fonctions de Cantor, Volterra, Arzel??, Hadamard, Ascoli et d'autres, a pr??sent?? le espace m??trique en 1906. Un espace m??trique est maintenant consid??r?? comme un cas particulier d'un espace topologique g??n??ral. En 1914, Felix Hausdorff a invent?? le terme ??espace topologique" et a donn?? la d??finition de ce qui est maintenant appel?? Espace s??par??. Dans le langage courant, un espace topologique est une l??g??re g??n??ralisation des espaces Hausdorff, donn??e en 1922 par Kazimierz Kuratowski.

Pour plus de d??veloppements, voir topologie point-set et topologie alg??brique.

Introduction ??l??mentaire

Une d??formation continue ( d'homotopie ) d'une tasse de caf?? dans un beignet ( tore ) et le dos.

Espaces topologiques apparaissent naturellement dans presque toutes les branches des math??matiques. Cela a fait de la topologie un des grands concepts unificateurs des math??matiques. Topologie g??n??rale, ou point topologie de jeu, d??finit et ??tudie les propri??t??s des espaces et des cartes telles que connexit??, compacit?? et la continuit??. Topologie alg??brique utilise des structures de l'alg??bre abstraite , en particulier le groupe d'??tudier espaces topologiques et les cartes entre elles.

L'id??e de motivation derri??re topologie est que certains probl??mes g??om??triques d??pendent pas de la forme exacte des objets concern??s, mais plut??t sur la fa??on dont ils sont mis ensemble. Par exemple, le carr?? et le cercle ont de nombreuses propri??t??s en commun: ils sont tous les deux une objets tridimensionnels (d'un point de vue topologique) et les deux se s??parent le plan en deux parties, la partie int??rieure et la partie ext??rieure.

Un des premiers articles de topologie est la d??monstration, par Leonhard Euler , qu'il ??tait impossible de trouver un itin??raire ?? travers la ville de K??nigsberg (aujourd'hui Kaliningrad) qui traverserait chacun de ses sept ponts exactement une fois. Ce r??sultat ne d??pend pas de la longueur des ponts, ni sur leur distance les uns des autres, mais seulement sur les propri??t??s de connectivit??: ponts qui sont connect??s ?? laquelle des ??les ou des berges. Ce probl??me, la Sept ponts de K??nigsberg, est maintenant un probl??me c??l??bre en math??matiques pr??liminaires, et ont conduit ?? la branche des math??matiques connue sous le nom la th??orie des graphes.

De m??me, la boule de poils th??or??me de topologie alg??brique dit que "on ne peut pas peigner les cheveux sur une boule lisse." Ce fait est imm??diatement convaincant pour la plupart des gens, m??me se ils ne reconnaissent pas la d??claration plus formelle du th??or??me, qu'il n'y a pas non nulle continu vecteur tangent champ sur la sph??re . Comme avec les ponts de K??nigsberg, le r??sultat ne d??pend pas de la forme exacte de la sph??re; elle se applique ?? des formes de poire et en fait tout type de blob (sous r??serve de certaines conditions relatives ?? la r??gularit?? de la surface), tant qu'il n'a pas de trous.

Pour faire face ?? ces probl??mes qui ne reposent pas sur la forme exacte des objets, il faut ??tre clair sur ce que tout propri??t??s ces probl??mes ne d??pendent. De ce besoin na??t la notion d'??quivalence topologique. L'impossibilit?? de traverser chaque pont une seule fois se applique ?? tout arrangement de ponts topologiquement ??quivalentes ?? celles de K??nigsberg, et la balle th??or??me poilue se applique ?? ne importe quel espace topologiquement ??quivalent ?? une sph??re.

Intuitivement, deux espaces sont topologiquement ??quivalents si l'on peut ??tre d??form??e dans l'autre sans couper ou coller. Une plaisanterie traditionnelle est qu'une topologist ne peut pas dire la tasse de caf?? sur laquelle elle boit de la beigne elle mange, depuis un beignet suffisamment pliable pourrait ??tre remodel?? ?? la forme d'une tasse de caf?? en cr??ant une fossette et progressivement l'agrandissant, tout en r??duisant le trou dans une poign??e.

Un exercice d'introduction simple consiste ?? classer les lettres minuscules de l' alphabet anglais selon l'??quivalence topologique. (Les lignes des lettres sont suppos??s avoir la largeur non nulle.) Dans la plupart des polices dans l'usage moderne, il ya une classe {a, b, d, e, o, p, q} de lettres avec un trou, une classe {c, f, h, k, l, m, n, r, s, t, u, v, w, x, y, z} de lettres sans trou, et une classe {i, j} de lettres comprenant de deux pi??ces. g peut soit sa place dans la classe avec un trou, ou (dans certaines polices), il peut ??tre le seul ??l??ment d'une classe de lettres avec deux trous, en fonction de si oui ou non la queue est ferm??. Pour une op??ration plus complexe, il peut ??tre suppos?? que les lignes ont une largeur nulle; on peut obtenir plusieurs classifications diff??rentes selon lesquelles la police est utilis??. Lettre topologie est d'une importance pratique dans la typographie pochoir: La police Braggadocio, par exemple, peut ??tre coup?? d'un avion sans se ??crouler.

D??finition math??matique

Soit X un ensemble et soit T une famille de sous-ensembles de X. Alors T est une topologie sur X si

1. Tant l'ensemble vide et X sont des ??l??ments de T.
2. Tout syndicat arbitrairement de nombreux ??l??ments de T est un ??l??ment de T.
3. Toute intersection d'un nombre fini d'??l??ments de T est un ??l??ment de T.

Si T est une topologie sur X, alors X avec T est appel?? un espace topologique.

Tous les jeux en T sont appel??s ouvrir; noter que, en g??n??ral tous les sous-ensembles de X ??ch??ant en T. Un sous-ensemble de X est dit ??tre ferm?? si son compl??ment est en T (ce est ?? dire, il est ouvert). Un sous-ensemble de X peut ??tre ouvert, ferm??, deux, ou aucun.

Une fonction ou une carte d'un espace topologique ?? un autre est appel?? continue si l'image inverse de tout ouvert est ouvert. Si la fonction de correspondance entre les nombres r??els pour les nombres r??els (?? la fois avec l'espace de la topologie standard), puis continue de cette d??finition correspond ?? la d??finition de l'en continu calcul . Si une fonction continue est une-??-une et sur et si l'inverse de la fonction est ??galement continue, alors la fonction est appel??e hom??omorphisme et le domaine de la fonction est dit ??tre hom??omorphe ?? la plage. Une autre fa??on de le dire, ce est que la fonction a une extension naturelle de la topologie. Si deux espaces sont hom??omorphes, ils ont des propri??t??s topologiques identiques, et sont consid??r??s comme ??tant topologiquement identiques. Le cube et la sph??re sont hom??omorphes, comme le sont la tasse de caf?? et le beignet. Mais le cercle ne est pas hom??omorphe ?? l'anneau.

Certains th??or??mes de topologie g??n??rale

• Chaque ferm?? intervalle en R de longueur finie est compacte . Plus, ce est vrai: Dans R ^n, un ensemble est compact si et seulement si il est ferm?? et born??. (Voir Th??or??me de Heine-Borel).
• Chaque image continue d'un espace compact est compact.
• De Tychonoff th??or??me: La (arbitraire) produit d'espaces compacts est compact.
• Un sous-espace compact d'un espace s??par?? est ferm??.
• Chaque s??quence de points dans un espace m??trique compact dispose d'une suite convergente.
• Chaque R est dans l'intervalle reli??.
• L'image continue d'un espace connexe est connect??.
• Un espace m??trique est S??par??, ??galement normale et paracompact.
• Le th??or??mes de metrization offrent des conditions n??cessaires et suffisantes pour une topologie ?? venir ?? partir d'un m??trique.
• Le Th??or??me de prolongement de Tietze: Dans un espace normal, chaque fonction num??rique continue d??finie sur un sous-espace ferm?? peut ??tre ??tendue ?? une carte continue d??finie sur tout l'espace.
• Le Th??or??me de Baire: Si X est un remplir un espace m??trique ou localement compact espace s??par??, puis l'int??rieur de chaque union de d??nombrable nombre nulle part ensembles denses est vide.
• Sur un paracompact Espace s??par?? tous les couvercle ouvert admet un partition de l'unit?? subordonn??e ?? la couverture.
• Chaque chemin connect??, localement connexe par arcs et semi-espace localement simplement connexe a une une couverture universelle.

Topologie g??n??rale a ??galement quelques connexions surprenantes ?? d'autres domaines des math??matiques. Par exemple:

• en th??orie des nombres, D??monstration de F??rstenberg de l'infinit?? des nombres premiers.

Quelques notions utiles de la topologie alg??brique

Voir ??galement liste de sujets de topologie alg??brique.

• Homology cohomologie: Nombres de Betti, caract??ristique d'Euler .
• Intuitivement applications attractives: Th??or??me du point fixe de Brouwer, Hairy th??or??me de boule, Borsuk-Ulam th??or??me, Th??or??me du sandwich au jambon.
• Homotopie groupes (y compris la groupe fondamental).
• Classes de Chern, Les classes Stiefel-Whitney, Les classes Pontryagin.

G??n??ralisations

Parfois, il faut utiliser les outils de la topologie, mais un ??ensemble de points" ne est pas disponible. En inutile topologie on consid??re la place du r??seau d'ouverts que la notion de base de la th??orie, tandis que Topologies de Grothendieck sont d??finies sur certaines structures arbitraires cat??gories qui permettent la d??finition de gerbes sur ces cat??gories, et avec ce que la d??finition des th??ories tr??s g??n??raux de cohomologie.