th??orie des n??uds

Le N??ud de tr??fle, le non-simple n??ud trivial.

La repr??sentation 3-D d'un N??ud de tr??fle.

th??orie des n??uds est la math??matique branche de topographie ??tudes noeuds math??matiques, qui sont d??finis en tant que plongements d'un cercle en trois dimensions espace euclidien , R ^3. Ce est essentiellement l'??quivalent d'un classique cha??ne nou??e avec les extr??mit??s se sont r??unis pour l'emp??cher de devenir annul??e. Deux noeuds math??matiques sont ??quivalentes si l'on peut ??tre transform?? en l'autre par une d??formation de R ³ sur lui-m??me (??galement d??nomm??e isotopie ambiante); ces transformations correspondent ?? des manipulations d'une cha??ne nou??e qui ne impliquent pas couper la cha??ne ou passer la ficelle par lui-m??me.

Noeuds peuvent ??tre d??crits dans diverses d??cisions. Compte tenu de la m??thode de raison, cependant, il peut y avoir plus d'une description, repr??sente le m??me noeud. Par exemple, un proc??d?? commun de d??crire un noeud est un sch??ma planaire. Mais ne importe quel noeud donn?? peut ??tre ??tabli de plusieurs fa??ons diff??rentes en utilisant un sch??ma de plan. Par cons??quent, un probl??me fondamental dans la th??orie des n??uds est de d??terminer quand deux descriptions repr??sentent le m??me noeud. Une mani??re de distinguer les noeuds consiste ?? utiliser un Invariant de n??uds, une ??quantit???? qui reste le m??me, m??me avec diff??rentes descriptions d'un noeud.

Le concept d'un noeud a ??t?? ??tendue ?? des dimensions sup??rieures en consid??rant n sph??res de dimension m de dimension dans l'espace euclidien. Cette a ??t?? ??tudi??e plus activement dans la p??riode 1960-1980, quand un certain nombre d'avanc??es ont ??t?? faites. Ces derni??res ann??es, ph??nom??nes de basse dimensionnalit?? ont suscit?? le plus d'int??r??t.

Recherche en th??orie des n??uds a commenc?? avec la cr??ation de tableaux de n??uds et la pr??sentation syst??matique de noeuds. Alors que la tabulation reste une t??che importante, les chercheurs d'aujourd'hui ont une grande vari??t?? de milieux et de buts. La th??orie des n??uds classique, comme initi?? par Max Dehn, JW Alexander, et d'autres, est principalement li?? ?? la groupe de noeud et invariants de th??orie d'homologie tel que le Polyn??me d'Alexander.

La d??couverte de la Polynomiale Jones par Vaughan Jones en 1984, et les contributions ult??rieures de Edward Witten, Maxim Kontsevich, et d'autres, ont r??v??l?? des liens profonds entre la th??orie des n??uds et des m??thodes math??matiques en m??canique statistique et de la th??orie quantique des champs . Une pl??thore de invariants de n??uds ont ??t?? invent??es depuis lors, en utilisant des outils sophistiqu??s tels que groupes quantiques et Homologie de Floer.

Au cours des 30 derni??res ann??es, la th??orie des n??uds est ??galement devenu un outil en math??matiques appliqu??es. Les chimistes et les biologistes utilisent la th??orie des n??uds de comprendre, par exemple, chiralit?? des mol??cules et les actions de enzymes sur l'ADN .

Un n??ud plus compliqu??

Histoire

Noeuds ont ??t?? ??tudi??s par Carl Friedrich Gauss , qui a d??velopp?? le Gauss liaison int??grale pour calculer la reliant nombre de deux noeuds. Son ??l??ve Johann Benedict Listing, apr??s qui Le noeud de Listing est nomm??, favoris?? leur ??tude. Le stimulus d??but important dans la th??orie des n??uds arriverait plus tard avec Sir William Thomson (Lord Kelvin) et sa th??orie d'atomes de vortex. (Sossinsky 2002, p. 1-3)

Knots triviales

En 1867, apr??s avoir observ?? ??cossaise physicien Les exp??riences de Peter Tait impliquant des ronds de fum??e, Thomson sont venus ?? l'id??e que les atomes ??taient n??uds de tourbillonner tourbillons dans le ??ther . Les ??l??ments chimiques correspondraient ainsi ?? noeuds et liens. Les exp??riences de Tait ont ??t?? inspir??s par un document de Helmholtz sur vortex toriques dans les fluides incompressibles. Thomson et Tait croyaient que la compr??hension et la classification de tous les n??uds possibles seraient expliquer pourquoi atomes absorbent et ??mettent de la lumi??re ?? seulement discret longueurs d'onde ce qu'ils font. Par exemple, Thomson pense que pourrait ??tre le sodium Hopf lien en raison de ses deux lignes de spectres. (Sossinsky 2002, p. 3-10)

Tait a ensuite commenc?? liste noeuds uniques dans la croyance qu'il cr??ait une table d'??l??ments. Il a formul?? ce qui est maintenant connu sous le nom Tait conjecture sur noeuds altern??es. (Les conjectures ont finalement ??t?? r??solus dans les ann??es 1990). Les tableaux de n??uds de Tait ont ensuite ??t?? am??lior??es par CN Little et TP Kirkman. (Sossinsky 2002, p. 6)

James Clerk Maxwell , un coll??gue et ami de Thomson et Tait, a ??galement d??velopp?? un vif int??r??t dans les noeuds. Maxwell a ??tudi?? le travail de Cotation en noeuds. Il a de nouveau interpr??t?? Gauss ??reliant int??grante en termes de th??orie ??lectromagn??tique. Dans sa formulation, l'int??grale repr??sente le travail effectu?? par une particule charg??e se d??pla??ant le long d'un composant de la liaison sous l'influence du champ magn??tique g??n??r?? par un courant ??lectrique le long de l'autre composant. Maxwell a ??galement poursuivi l'??tude des anneaux de fum??e en tenant compte de trois anneaux en interaction.

Lorsque l'??ther luminif??re n'a pas ??t?? d??tect?? dans le Exp??rience de Michelson-Morley, la th??orie de vortex est devenu compl??tement obsol??te, et la th??orie des n??uds a cess?? d'??tre d'un grand int??r??t scientifique. La physique moderne d??montre que les longueurs d'onde discr??tes d??pendent les niveaux d'??nergie quantique.

Suite au d??veloppement de la topologie dans le d??but du 20e si??cle dirig?? par Henri Poincar??, topologues tels que Max Dehn, JW Alexander, et Kurt Reidemeister, enqu??te noeuds. Sur ce sauta du Reidemeister se d??place et la Alexander polynomiale. (Sossinsky 2002, p. 15-45) a ??galement d??velopp?? Dehn Chirurgie de Dehn, qui portait noeuds ?? la th??orie g??n??rale des vari??t??s de dimension 3, et a formul?? la Dehn probl??mes dans la th??orie des groupes , tels que le probl??me de mot. Pionniers dans la premi??re moiti?? du 20e si??cle comprennent Ralph Fox, qui a popularis?? le sujet. Dans cette premi??re p??riode, la th??orie des n??uds principalement compos??e d'??tude dans le groupe de noeud et invariants de la homologiques noeud compl??ment.

Quelques grandes d??couvertes ?? la fin du 20e si??cle fortement relanc?? la th??orie des n??uds. Le premier ??tait Hyperbolisation th??or??me de Thurston qui a introduit la th??orie de hyperboliques vari??t??s de dimension 3 dans la th??orie des n??uds et ont fait de premi??re importance. Le travail de Thurston a ??galement conduit, apr??s beaucoup de l'expansion par d'autres, ?? l'utilisation efficace des outils de la th??orie de la repr??sentation et g??om??trie alg??brique. Des r??sultats importants ont suivi, y compris le Gordon-Luecke th??or??me, qui a montr?? que n??uds ont ??t?? d??termin??es (jusqu'?? r??flexion miroir) par leurs compl??ments, et de la Conjecture Smith.

L'int??r??t pour la th??orie des n??uds de la communaut?? math??matique g??n??rale a augment?? de fa??on significative apr??s La d??couverte de Vaughan Jones de la Polyn??me Jones. Cela a conduit ?? d'autres polyn??mes de noeud comme le polyn??me support, HOMFLY polyn??me, et Polynomiale Kauffman. Jones a re??u la plus haute distinction en math??matiques, le M??daille Fields, en 1990 pour ce travail. (Sossinsky 2002, p. 71-89) En 1988, Edward Witten propos?? un nouveau cadre pour le polyn??me de Jones, en utilisant des id??es existantes de la physique math??matique , comme Int??grales de chemin de Feynman, et l'introduction de nouvelles notions telles que la th??orie topologique quantique des champs (Witten 1989). Witten a ??galement re??u la m??daille Fields, en 1990, en partie pour ce travail. La description de Witten du polyn??me Jones implicite invariants li??s pour 3-vari??t??s. Les approches simultan??es, mais diff??rentes, par d'autres math??maticiens ont abouti ?? la Invariants Witten-Reshetikhin-Turaev et divers soi-disant " invariants quantiques ??, qui semblent ??tre la version math??matiquement rigoureuse des invariants de Witten (Turaev 1994).

Au d??but des ann??es 1990, invariants de n??uds qui englobent le polyn??me Jones et ses g??n??ralisations, appel?? invariants de type fini, ont ??t?? d??couverts par Vassiliev et Goussarov. Ces invariants, d??crits initialement en utilisant des moyens topologiques "classiques", ont ??t?? montr??s par la m??daille Fields 1994 Maxim Kontsevich de r??sulter de l'int??gration , en utilisant le Kontsevich int??grante, de certaines structures alg??briques (Kontsevich 1993, Bar-Natan 1995).

Ces d??couvertes ont ??t?? suivies par la d??couverte de Khovanov homologie et noeud homologie de Floer, qui g??n??ralise consid??rablement les polyn??mes Jones et Alexander. Ces th??ories d'homologie ont contribu?? ?? poursuivre l'int??gration de la th??orie des n??uds.

Dans les derni??res d??cennies du 20e si??cle, les scientifiques et les math??maticiens ont commenc?? ?? trouver des applications de la th??orie des n??uds ?? des probl??mes dans la biologie et la chimie . th??orie de noeud peut ??tre utilis?? pour d??terminer si une mol??cule est chiral (a une "impartialit??") ou non. Les compos??s chimiques de chiralit?? diff??rente peuvent avoir des propri??t??s radicalement diff??rentes, thalidomide est un exemple notable de cette. Plus g??n??ralement, noeud m??thodes th??oriques ont ??t?? utilis??s dans l'??tude topo-isom??res, topologiquement diff??rents arrangements de la m??me formule chimique. La th??orie ??troitement li?? les ??cheveaux ont ??t?? effectivement utilis??s dans l'??tude de l'action de certaines enzymes de l'ADN. (Flapan 2000)

Knot ??quivalence

La d??nouer, et un noeud ??quivalent.

Un n??ud est cr???? en commen??ant par un de un segment de ligne dimensionnelle, l'enroulant autour de lui-m??me de mani??re arbitraire, et ensuite la fusion de ses deux extr??mit??s libres ensemble pour former une boucle ferm??e. Lorsque topologues math??matiques consid??rent noeuds et autres enchev??trements tels que liens et tresses, ils d??crivent la mani??re dont le noeud est dispos?? dans l'espace autour de lui, appel?? le l'espace ambiant. Si le n??ud peut ??tre d??plac?? en douceur, sans couper ou passant un segment par un autre, jusqu'?? ce qu'il co??ncide avec un autre noeud, les deux noeuds sont consid??r??s comme ??quivalents. L'id??e de l'??quivalence noeud est de donner une d??finition pr??cise du moment o?? deux incorporations doivent ??tre consid??r??s de la m??me.

Il est plus difficile de d??terminer si les noeuds complexes de ce type sont l'??quivalent de la d??nouer.

Le probl??me de base de la th??orie des n??uds, le probl??me de reconnaissance, peut donc ??tre d??clar??:. Donn?? deux noeuds, de d??terminer si elles sont ??quivalentes ou non algorithmes existent pour r??soudre ce probl??me, avec la premi??re donn??e par Wolfgang Haken. N??anmoins, ces algorithmes utilisent de tr??s nombreuses ??tapes, et un enjeu majeur dans la th??orie est difficile de comprendre comment ce probl??me est vraiment (Hass 1997). Le cas particulier de la reconnaissance du d??nouer, appel?? d??nouant probl??me, est d'un int??r??t particulier.

diagrammes de Knot

Un moyen utile pour visualiser et manipuler noeuds est de projeter le n??ud sur un plan-penser le n??ud jetant une ombre sur le mur. Une petite perturbation dans le choix de la projection se assurer qu'il est un-??-un sauf aux points doubles, appel??s passages ?? niveau, o?? ??l'ombre?? du n??ud se croise une fois transversalement (Rolfsen 1976). A chaque passage, nous devons indiquer quelle section est "plus" et qui est "sous", de mani??re ?? ??tre en mesure de recr??er le n??ud d'origine. Cela se fait souvent en cr??ant une rupture dans le brin d'aller en dessous.

se d??place Reidemeister

En 1927, en collaboration avec cette forme sch??matique de noeuds, JW Alexander et GB Briggs, et ind??pendamment Kurt Reidemeister, a montr?? que deux diagrammes de noeud appartenant au m??me n??ud peuvent ??tre li??s par une s??quence de trois types de mouvements sur le diagramme, montr?? ci-dessous. Ces op??rations, maintenant appel??s les mouvements Reidemeister, sont:

1. Tordre et d??tordre dans les deux sens.
2. D??placer un brin compl??tement sur une autre.
3. D??placer un brin compl??tement sur ou sous un pont.

se d??place Reidemeister

Type I	Type II
Type III

invariants Knot

Un invariant de noeud est une ??quantit????, ce est la m??me chose pour noeuds ??quivalents (Adams 2001, Lickorish 1997, Rolfsen 1976). Un invariant peut prendre la m??me valeur sur les deux noeuds diff??rents, donc par lui-m??me peut ??tre incapable de distinguer tous les noeuds. Un invariant ??l??mentaire est tricolorability.

"Classique" invariants de n??uds sont les groupe de noeuds, qui est la groupe fondamental de la noeud compl??ment, et Polyn??me d'Alexander, qui peut ??tre calcul??e ?? partir de l'invariant Alexander, un module construit ?? partir de la couverture infini cyclique du compl??ment de noeud (Lickorish 1997, Rolfsen 1976). Dans la fin du 20e si??cle, invariants tels que ??quantiques?? polyn??mes invariants de noeuds et hyperboliques ont ??t?? d??couverts. Ces invariants susmentionn??es ne sont que la pointe de l'iceberg de la th??orie des n??uds moderne.

polyn??mes Knot

Un polyn??me de noeud est un invariant de n??ud qui est un polyn??me . Des exemples bien connus incluent le Jones et Polyn??mes Alexander. Une variante du polyn??me d'Alexander, la Alexander-Conway polyn??me est un polyn??me de la variable z avec entiers Lickorish coefficients (1997).

Supposons que nous sommes donn?? un sch??ma de liaison qui est orient??e, ce est ?? dire tous les composants de la liaison a une direction privil??gi??e indiqu?? par une fl??che. Supposons ??galement sont orient??es diagrammes de liaison r??sultant de la modification du diagramme ?? un passage d??termin?? du diagramme, comme indiqu?? sur la figure:

Alors le polyn??me d'Alexander-Conway, C (z), est d??finie de mani??re r??cursive selon les r??gles:

• C (O) = 1 (o?? O est un diagramme de la d??nouer)
• 

La deuxi??me r??gle est ce qui est souvent consid??r?? comme un rapport ??cheveau. Pour v??rifier que ces r??gles donnent un invariant, il faut d??terminer que le polyn??me ne change pas dans les trois mouvements Reidemeister. Beaucoup de polyn??mes de n??uds importants peuvent ??tre d??finis de cette fa??on.

Ce qui suit est un exemple typique d'un calcul utilisant une relation ??cheveau. Il calcule le polyn??me Alexander-Conway du N??ud de tr??fle. Les taches jaunes indiquent l'endroit o?? nous avons appliqu?? la relation.

C ( ) = C ( ) Z + C ( )

donne l'd??nouer et de la Lien Hopf. L'application de la relation avec le lien Hopf ?? l'endroit indiqu??,

C ( ) = C ( ) Z + C ( )

donne un lien d??formable ?? un avec 0 points de passage (ce est en fait la dissocier de deux composants) et une d??nouer. Le unlink prend un peu de sournoiserie:

C ( ) = C ( ) Z + C ( )

ce qui implique que C (unlink de deux composants) = 0, puisque les deux premiers polyn??mes sont du d??nouer et donc ??gale.

Mettre tout cela ensemble affiche:

C (tr??fle) = 1 + z (0 + z) = 1 + z ²

Depuis le polyn??me d'Alexander-Conway est un invariant de noeud, ce qui montre que le tr??fle ne est pas ??quivalente ?? la d??nouer. Donc, le tr??fle est vraiment "nou??".

En fait, il ya deux noeuds trilob??es, appel??e la droite et tr??fles gaucher, qui sont des images miroir de l'autre (prendre un diagramme du tr??fle donn??e ci-dessus et changer chaque passage ?? l'autre moyen d'obtenir l'image miroir). Ce ne sont pas ??quivalents entre eux! Ceci a ??t?? d??montr?? par Max Dehn, avant l'invention des polyn??mes de n??uds, en utilisant des m??thodes th??oriques groupe (Dehn 1914). Mais le polyn??me Alexander-Conway de chaque esp??ce de tr??fle sera le m??me, comme on le voit en passant par le calcul ci-dessus avec l'image miroir. Le polyn??me Jones peut en effet distinguer entre les noeuds de tr??fle gauche et droitiers (Lickorish 1997).

Invariants hyperboliques

William Thurston se est av??r?? beaucoup de noeuds sont noeuds hyperboliques, ce qui signifie que le noeud compl??ment, ?? savoir les trois points de l'espace non sur le noeud, admettre une structure g??om??trique, en particulier celle du g??om??trie hyperbolique. La structure hyperbolique d??pend que du noeud de sorte que toute quantit?? calcul??e ?? partir de la structure hyperbolique est donc un invariant de noeud. (Adams 2001)

G??om??trie permet de visualiser ce que l'int??rieur d'un n??ud ou un lien compl??ment ressemble en imaginant des rayons de lumi??re que de voyager le long des g??od??siques de la g??om??trie. Un exemple est fourni par l'image du compl??ment de la Anneaux Borrom??es. L'habitant de ce lien compl??ment visualise l'espace de pr??s de la composante rouge. Les boules dans l'image sont vues de horoball quartiers de la liaison. En ??paississant le lien d'une mani??re standard, on obtient ce qu'on appelle des quartiers horoball des composants de liaison. M??me si la limite d'un des quartiers est un tore, vue par l'int??rieur le lien compl??ment, il ressemble ?? une sph??re, appel??e horoball. Chaque composant de liaison appara??t comme une infinit?? de horoballs (d'une couleur) qu'il ya une infinit?? de rayons lumineux de l'observateur ?? la composante de lien. Le parall??logramme fondamentale (qui est indiqu?? dans l'image), carreaux ?? la fois verticalement et horizontalement.

Le mod??le de horoballs est lui-m??me un invariant utile. Autres invariants hyperboliques comprennent la forme de la paralleogram fondamentale, la longueur de g??od??sique le plus court, et le volume. Efforts de n??uds et un lien tabulation modernes ont utilis?? ces invariants efficacement. Ordinateurs rapides et les m??thodes intelligentes de l'obtention de ces invariants font le calcul de ces invariants, dans la pratique, une t??che simple. (Adams, Hildebrand, et Weeks, 1991)

Dimensions sup??rieures

En quatre dimensions, toute boucle ferm??e de cha??ne unidimensionnelle est ??quivalente ?? une d??nouer. On peut r??aliser la d??formation n??cessaire en deux ??tapes. La premi??re ??tape consiste ?? "pousser" la boucle dans un sous-espace ?? trois dimensions, ce qui est toujours possible, bien que d'expliquer technique. La deuxi??me ??tape est en train de changer passages. Supposons un brin est derri??re un autre comme on le voit ?? partir d'un point choisi. Soulevez-le dans la quatri??me dimension, il n'y a donc pas d'obstacle (le brin avant ayant aucun composant il); puis faites glisser vers l'avant, et d??posez-le dos, maintenant devant. Une analogie pour le plan serait une cha??ne de levage jusqu'?? la surface.

Depuis un n??ud peut ??tre consid??r?? comme topologiquement une sph??re de dimension 1, la prochaine g??n??ralisation est d'envisager une sph??re bidimensionnelle embarqu?? dans une sph??re quatre dimensions. Une telle int??gration est d??noua se il est un hom??omorphisme de la sph??re 4 sur lui-m??me en prenant la 2-sph??re ?? un "rond" 2-sph??re standard. Noeuds suspension et noeuds fil??s sont deux familles typiques de ces noeuds 2-sph??re.

La technique math??matique appel??e "position g??n??rale" implique que, pour un n donn?? -sphere dans le m -sphere, si m est suffisamment grande (en fonction de n), la sph??re doit ??tre d??noua. En g??n??ral, lin??aire par morceaux sph??res n- former des noeuds que dans (n 2) (-space Christopher Zeeman 1963), bien que ce ne est plus une exigence pour les sph??res en douceur nou??s. En fait, il ya en douceur nou??s 4k-1 -Sph??res dans -espace 6k, par exemple il ya une douceur nou??s 3-sph??re dans la 6-sph??re (Haefliger 1962, Levine 1965). Ainsi la codimension d'un n??ud lisse peut ??tre arbitrairement grand lorsqu'il ne est pas la fixation de la dimension de la sph??re nou??s; Cependant, tout k -sphere lisse dans un n -sphere ?? 2n-3k-3> 0 est d??noua. La notion d'un noeud a d'autres g??n??ralisations en math??matiques, voir: noeud (math??matiques).

Ajout de noeuds

Deux n??uds peuvent ??tre ajout??s en coupant les deux n??uds et de rejoindre les paires d'extr??mit??s. Cela peut ??tre formellement d??fini comme suit (Adams 2001): envisager une projection plane de chaque n??ud et supposent ces projections sont disjoints. Trouver un rectangle dans le plan o?? une paire de c??t??s oppos??s sont arcs le long de chaque noeud tandis que le reste du rectangle est disjointe de les noeuds. Former un nouveau noeud par suppression de la premi??re paire de c??t??s oppos??s et attenant ?? l'autre paire de c??t??s oppos??s. Le n??ud qui en r??sulte est la somme des noeuds d'origine.

Cette op??ration se appelle la somme de noeud, ou parfois la somme connect??e ou la composition des deux noeuds. La somme de noeud est commutative et associative . Il ya aussi une d??composition de choix pour un n??ud qui nous permet de d??finir un premier ou compos?? noeud, analogue ?? premiers num??ros et composites. Le n??ud de tr??fle est le plus simple Premier noeud. N??uds de dimensions sup??rieures peuvent ??tre ajout??s par ??pissage des n-sph??res. Bien que vous ne pouvez pas former le d??nouer en trois dimensions en ajoutant deux noeuds non-triviales, vous pouvez en dimensions sup??rieures, au moins si l'on consid??re noeuds lisses dans codimension au moins trois.

noeuds Totaliser

Traditionnellement, les noeuds ont ??t?? catalogu??s en termes de Crossing Number. Le nombre de n??uds non triviales d'un certain nombre de passage donn??e augmente rapidement, ce qui rend difficile tableaux de calcul. tables de Knot comprennent g??n??ralement seulement noeuds principaux et une seule entr??e pour un noeud et son image miroir (m??me se ils sont diff??rents). La s??quence du nombre de noeuds principaux d'un certain nombre de passage donn??e, jusqu'?? num??ro de passage 16, est ??gal ?? 0, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 7, 21, 49, 165, 552, 2176, 9988, 46972 , 253293, 1388705 ... (s??quence A002863 dans OEIS ). Alors que limites sup??rieures et inf??rieures exponentielles pour cette s??quence sont connus, il n'a pas ??t?? prouv?? que cette s??quence est strictement croissante (Adams, 2001).

Les premi??res tables de noeud par Tait, Little, et Kirkman utilis??s diagrammes de noeud, m??me si Tait ??galement utilis?? un pr??curseur de la Dowker notation. Diff??rentes notations ont ??t?? invent?? pour n??uds qui permettent tabulation plus efficace.

Les premiers tableaux ont tent?? de r??pertorier tous les noeuds d'au plus 10 passages ?? niveau, et tous les noeuds altern??es de 11 passages. Le d??veloppement de la th??orie des n??uds en raison de Alexander, Reidemeister, Seifert, et d'autres facilit?? la t??che de v??rification et de tableaux de n??uds jusqu'?? et y compris 9 passages ont ??t?? publi??s par Alexander-Briggs et Reidemeister ?? la fin des ann??es 1920.

La premi??re v??rification majeur de ce travail a ??t?? fait dans les ann??es 1960 par John Horton Conway, qui non seulement a d??velopp?? une nouvelle notation mais aussi le Alexander-Conway polynomiale (Conway 1970, Doll-Hoste 1991). Ce v??rifi?? la liste des noeuds d'au plus 11 postes et une nouvelle liste de liens jusqu'?? 10 passages. Conway a trouv?? un certain nombre d'omissions, mais seulement une duplication dans les Tait-petites tables; Mais il a rat?? les doublons appel?? le Perko paire, qui ne puisse ??tre remarqu?? en 1974 par Kenneth Perko (Perko 1974). Cette erreur se propagerait c??l??bre quand Dale Rolfsen ajout?? une table de noeud dans son texte influent, bas??e sur le travail de Conway.

Notation Alexander-Briggs

Ce est la notation la plus traditionnelle, en raison de le papier de 1927 JW Alexander et G. Briggs et plus tard ??tendu par Dale Rolfsen dans sa table de noeud. La notation organise simplement n??uds par leur num??ro de passage. On ??crit le nombre de passage avec un indice pour d??signer son ordre parmi tous les noeuds avec ce num??ro de passage. Cette commande est arbitraire et n'a donc pas de signification particuli??re.

La notation Dowker

Un diagramme de noeud avec passages marqu??s pour une s??quence Dowker

La notation Dowker, ??galement appel?? la notation ou un code Dowker-Thistlethwaite, pour un noeud est une s??quence finie d'entiers pairs. Les num??ros sont g??n??r??s en suivant le n??ud et le marquage des passages avec entiers cons??cutifs. Depuis chaque passage est visit?? deux fois, ce qui cr??e un appariement de m??me avec entiers impairs. Un signe appropri?? est donn?? pour indiquer encore et sousterrain. Par exemple, sur la figure le diagramme de noeud poss??de des passages marqu??s avec les paires (1,6) (3, -12) (5,2) (7,8) (9, -4) et (11, -10). La notation pour cette Dowker ??tiquetage est la s??quence: 6 -12 2 8 -4 -10. Un diagramme de n??ud a plus d'une notation Dowker possible, et il existe une ambigu??t?? bien comprise lors de la reconstruction d'un noeud ?? partir d'une notation Dowker.

Notation Conway

La notation Conway pour n??uds et liens, nomm?? d'apr??s John Horton Conway, est bas?? sur la th??orie de la enchev??trements (Conway 1970). L'avantage de cette notation est qu'elle refl??te certaines propri??t??s du noeud ou un lien.

La notation d??crit comment construire un lien sch??ma particulier de la liaison. Commencez avec un poly??dre de base, un 4-valent plane connect?? graphe sans Digon r??gions. Un tel premier poly??dre est not??e par le nombre de sommets alors un certain nombre d'ast??risques qui d??terminent la position du poly??dre sur une liste de poly??dre de base. Par exemple, 10 ** d??signe la deuxi??me poly??dre 10-sommet sur la liste de Conway.

Chaque sommet a alors une enchev??trement alg??brique substitu?? en elle (chaque sommet est orient?? de sorte qu'il n'y a pas choix arbitraire en remplacement). Chaque tel enchev??trement a une notation compos??e de chiffres et de signes + ou -.

Un exemple est une * 2 -3 2. Le 1 * d??signe le seul poly??dre de base 1-sommet. Le 2 -3 2 est une s??quence d??crivant la fraction continue associ??e ?? un enchev??trement rationnelle. On ins??re cet enchev??trement au sommet du poly??dre de base 1 *.

Un exemple plus complexe est de 8 * 3.1.2 0.1.1.1.1.1 L?? encore 8 * se r??f??re ?? un poly??dre de base avec 8 sommets. Les p??riodes s??parent la notation pour chaque enchev??trement.

Tout lien admet une telle description, et il est clair que ce est une notation tr??s compact m??me pour tr??s grand nombre de passage. Il ya quelques autres raccourcis habituellement utilis??s. Le dernier exemple est g??n??ralement ??crit 8 * 3: 2 0, o?? nous avons omis les uns et gard?? le nombre de points ?? l'exception des points ?? la fin. Pour un n??ud alg??brique comme dans le premier exemple, 1 * est souvent omis.

Papier pionnier de Conway sur le sujet r??pertorie jusqu'?? 10 vertex poly??dres base dont il utilise pour compiler des liens, qui sont devenus la norme pour ces liens. Pour une nouvelle liste de plus de poly??dres sommet, il ya des choix non standard disponibles.