Th??or??me fondamental du calcul

Renseignements g??n??raux

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Le th??or??me fondamental du calcul pr??cise la relation entre les deux op??rations centrales de calcul , la diff??renciation et l'int??gration .

La premi??re partie du th??or??me, parfois appel?? le premier th??or??me fondamental du calcul, montre qu'un l'int??gration ind??termin??e peut ??tre invers??e par une diff??renciation.

La deuxi??me partie, parfois appel?? le deuxi??me th??or??me fondamental du calcul, permet de calculer l' int??grale d??finie d'une fonction ?? l'aide de l'un de ses infinit?? primitives. Cette partie du th??or??me a des applications pratiques pr??cieux, car il simplifie consid??rablement le calcul des int??grales d??finies.

La premi??re d??claration publi??e et la preuve d'une version restreinte du th??or??me fondamental ??tait par James Gregory (1638-1675). Isaac Barrow se est av??r?? la premi??re version compl??tement g??n??rale du th??or??me, tout en ??tudiant de Barrow Isaac Newton (1643-1727) a compl??t?? le d??veloppement de la th??orie math??matique environnante. Gottfried Leibniz (1646-1716) a syst??matis?? la connaissance dans un calcul des quantit??s infinit??simales.

Intuition

Intuitivement, le th??or??me affirme simplement que la somme de modifications infinit??simales dans une quantit?? au fil du temps (ou une autre quantit??) se ajoutent ?? la variation nette de la quantit??.

Pour comprendre cette d??claration, nous allons commencer avec un exemple. Supposons une particule se d??place en ligne droite avec sa position donn??e par x (t) o?? t est le temps et x (t) signifie que x est une fonction de t. Le d??riv?? de cette fonction est ??gale ?? la variation en quantit?? infinit??simale, d x, par changement infime dans le temps, d t (bien s??r, le d??riv?? lui-m??me d??pend du temps). D??finissons ce changement dans la distance par changement dans le temps que la vitesse v de la particule. En Notation de Leibniz:

$\ Frac {\ mathrm dx} {\ mathrm dt} = v (t).$

R??organisation de cette ??quation, il se ensuit que:

$\ Mathrm dx = v (t) \, \ mathrm dt.$

Par la logique ci-dessus, un changement de x ( $\ Delta x$ ) Est la somme des changements infinit??simaux d x. Il est ??galement ??gale ?? la somme des produits infinit??simales du d??riv?? et du temps. Cette sommation infinie est l'int??gration; par cons??quent, l'op??ration d'int??gration permet la r??cup??ration de la fonction d'origine ?? partir de son d??riv??. Comme on peut raisonnablement d??duire, cette op??ration fonctionne en sens inverse que nous pouvons diff??rencier le r??sultat de notre int??grante de r??cup??rer le d??riv?? d'origine.

D??clarations officielles

Il ya deux parties au th??or??me fondamental du calcul. Librement mis, la premi??re partie traite de la d??riv?? d'un primitive, tandis que les deuxi??me partie traite de la relation entre primitives et int??grales d??finies .

Premi??re partie

Cette partie est parfois appel??e Premi??re th??or??me fondamental du calcul.

Soit f une fonction num??rique continue d??finie sur un intervalle ferm?? [a, b]. Soit F la fonction d??finie, pour tout x dans [a, b], par

$F (x) = \ ^ int_a x f (t) \, \ mathrm dt$

Puis, F est d??rivable sur [a, b], et pour tout x dans [a, b],

$F '(x) = f (x) \,$ .

L'op??ration $\ Int_a ^ x f (t) \, \ mathrm dt$ est une int??grale d??finie par la limite sup??rieure variable et son r??sultat F (x) est l'un des nombreux infiniment primitives de f.

Deuxi??me partie

Cette partie est parfois appel??e Deuxi??me th??or??me fondamental du calcul.

Soit f une fonction num??rique continue d??finie sur un intervalle ferm?? [a, b]. Soit F une primitive de f, ce est l'un des infiniment nombreuses fonctions telles que, pour tout x dans [a, b],

$f (x) = F '(x) \,$ .

Puis

$\ Int_a ^ b f (x) \, \ mathrm dx = F (b) - F (a)$ .

Corollaire

Soit f une fonction r??elle d??finie sur un intervalle ferm?? [a, b]. Soit F une fonction telle que, pour tout x dans [a, b],

$f (x) = F '(x) \,$

Alors, pour tout x dans [a, b],

$F (x) = \ ^ int_a x f (t) \, \ mathrm dt + F (a)$

$f (x) = \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ int_a ^ xf (t) \, \ mathrm dt$ .

Exemples

A titre d'exemple, supposons que vous devez calculer

$\ Int_2 ^ 5 x ^ 2 \, \ mathrm dx.$

Ici, $f (x) = x ^ 2$ et nous pouvons utiliser $F (x) = {x ^ 3 \ over 3}$ que la primitive. Par cons??quent:

$\ Int_2 ^ 5 x ^ 2 \, \ mathrm dx = F (5) - F (2) = {125 \ plus de 3} - {8 \ plus de 3 117} = {\ plus de 3} = 39.$

Ou, plus g??n??ralement, supposons que vous devez calculer

${\ Mathrm d \ over \ mathrm dx} \ int_0 ^ xt ^ 3 \, \ mathrm dt.$

Ici, $f (t) = t ^ 3$ et nous pouvons utiliser $F (t) = {t ^ 4 \ plus de 4}$ que la primitive. Par cons??quent:

${\ Mathrm d \ over \ mathrm dx} \ int_0 ^ xt ^ 3 \, \ mathrm dt = {\ mathrm d \ over \ mathrm dx} F (x) - {\ mathrm d \ over \ mathrm dx} F (0 ) = {\ mathrm d \ over \ mathrm dx} {x ^ 4 \ plus de 4} = x ^ 3.$

Mais ce r??sultat aurait pu ??tre trouv?? beaucoup plus facilement que

${\ Mathrm d \ over \ mathrm dx} \ int_0 ^ xt ^ 3 \, \ mathrm dt = f (x) {\ mathrm dx \ over \ mathrm dx} - f (0) {\ mathrm d0 \ over \ mathrm dx } = x ^ 3.$

Preuve

Supposer que

$F (x) = \ int_ {a} ^ {x} f (t) \ mathrm dt.$

Soit deux nombres x ₁ et x ₁ + Δ x dans [a, b]. Donc, nous avons

$F (x 1) = \ int_ {a} ^ {} x_1 f (t) \ mathrm dt$

$F (x 1 + \ Delta x) = \ int_ {a} ^ {\ Delta x_1 + x} f (t) \ mathrm dt.$

En soustrayant les deux ??quations donne

$F (x 1 + \ Delta x) - F (x 1) = \ int_ {a} ^ {x 1 + \ Delta x} f (t) \ mathrm dt - \ int_ {a} ^ {} x_1 f (t) \ mathrm dt. \ Qquad (1)$

On peut montrer que

$\ Int_ {a} ^ {} x_1 f (t) \ mathrm dt + \ {int_ x_1} ^ {x 1 + \ Delta x} f (t) \ mathrm dt = \ int_ {a} ^ {x 1 + \ Delta x } f (t) \ mathrm dt.$

(La somme des aires des deux r??gions adjacentes est ??gale ?? la zone des deux r??gions combin??es.)

Manipuler cette ??quation donne

$\ Int_ {a} ^ {x 1 + \ Delta x} f (t) \ mathrm dt - \ int_ {a} ^ {} x_1 f (t) \ mathrm dt = \ {int_ x_1} ^ {x 1 + \ Delta x } f (t) \ mathrm dt.$

La substitution de ce qui pr??c??de (1) entra??ne

$F (x 1 + \ Delta x) - F (x 1) = \ int_ {} ^ {x 1 x 1 + \ Delta x} f (t) \ mathrm dt. \ Qquad (2)$

Selon le signifie th??or??me de la valeur d'int??gration, il existe un en c [x _1, x ₁ + Δ x] tels que

$\ INT_ {} ^ {x 1 x 1 + \ Delta x} f (t) \ mathrm dt = f (c) \ Delta x$ .

La substitution de ce qui pr??c??de (2) nous obtenons

$F (x 1 + \ Delta x) - F (x 1) = f (c) \ Delta x \,$ .

Divisant les deux c??t??s par Δ x donne

$\ Frac {F (x 1 + \ Delta x) - F (x 1)} {\ Delta x} = f (c).$

Notez que l'expression sur le c??t?? gauche de l'??quation est Newton diff??rence quotient F en x _1.

Prenez la limite que Δ x → 0 des deux c??t??s de l'??quation.

$\ Lim _ {\ Delta x \ 0} \ frac {F (x 1 + \ Delta x) - F (x 1)} {\ Delta x} = \ lim _ {\ Delta x \ 0} f (c).$

L'expression sur le c??t?? gauche de l'??quation est la d??finition de la d??riv??e de F ?? ₁ x.

$F '(x 1) = \ lim _ {\ Delta x \ 0} f (c). \ Qquad (3)$

Pour trouver l'autre limite, nous allons utiliser la Th??or??me des gendarmes. Le nombre c est dans l'intervalle [x _1, x ₁ + Δ x], de sorte que x ₁ ≤ c ≤ x ₁ + Δ x.

Aussi, $\ Lim _ {\ Delta x \ 0} = x_1 x_1$ et $\ Lim _ {\ Delta x \ 0} x_1 + \ Delta x = x 1$ .

Par cons??quent, d'apr??s le th??or??me de compression,

$\ Lim _ {\ Delta x \ 0} c = x_1.$

Substituant dans (3), nous obtenons

$F '(x 1) = \ {lim_ c \ pour x_1} f (c).$

La fonction f est continue en c, de sorte que la limite peut ??tre prise ?? l'int??rieur de la fonction. Par cons??quent, on obtient

$F '(x 1) = f (x 1) \,$ .

qui compl??te la preuve.

(Leithold et al, 1996)

Preuve alternative

Ce est une limite par la preuve Riemann r??sume.

Soit f continue sur l'intervalle [a, b], et soit F une primitive de f. Commencez par la quantit??

$F (b) - f (a) \,$ .

Qu'il y ait des num??ros

x _1, ..., x _n

tel que

$a = x_0 <x_1 <x_2 <\ ldots <x_ {n-1} <x_n = b$ .

Il se ensuit que

$F (b) - F (a) = F (xn) - F (x_0) \,$ .

Maintenant, nous ajoutons chaque F (x _i) avec son inverse additif, de sorte que la quantit?? r??sultante est ??gale:

$\ Begin {matrix} F (b) - F (a) & = & F (xn) \, + \, [- F (x_ {n-1}) \, + \, F (x_ {n-1} )] \, + \, \ ldots \, + \, [- F (x 1) + F (x 1)] \, - \, F (x_0) \, \\ & = & [F (xn) \, - \, F (x_ {n-1})] \, + \, [F (x_ {n-1}) \, + \, \ ldots \, - \, F (x 1)] \, + \, [ F (x 1) \, - \, F (x_0)] \, \ end {matrix}$

La quantit?? ci-dessus peut ??tre ??crite comme la somme suivante:

$F (b) - F (a) = \ sum_ {i = 1} ^ n [F (x_i) - F (x_ {i-1})] \ qquad (1)$

Ensuite, nous allons utiliser le valeur moyenne th??or??me. En r??sum??,

Soit F continue sur l'intervalle ferm?? [a, b] et d??rivable sur l'intervalle ouvert (a, b). Ensuite, il existe un c dans (a, b) de telle sorte que

$F '(c) = \ frac {F (b) - f (a)} {b - a}.$

Il se ensuit que

$F '(c) (b - a) = F (b) - f (a). \,$

La fonction F est d??rivable sur l'intervalle [a, b]; par cons??quent, il est ??galement diff??rentiable et continue sur chaque intervalle x _{i -1.} Par cons??quent, selon le th??or??me de la valeur moyenne (ci-dessus),

$F (x_i) - F (x_ {i-1}) = F '(c_i) (x_i - x_ {i-1}). \,$

La substitution de ce qui pr??c??de (1), on obtient

$F (b) - F (a) = \ sum_ {i = 1} ^ n [F '(c_i) (x_i - x_ {i-1})].$

L'hypoth??se implique $F '(c_i) = f (c_i).$ Aussi, $x_i - x_ {i-1}$ peut ??tre exprim??e comme $\ Delta x$ de la partition $Je$ .

$F (b) - F (a) = \ sum_ {i = 1} ^ n [f (c_i) (\ Delta x_i)] \ qquad (2)$

Une s??quence de Riemann r??sume convergent. Les num??ros en haut ?? droite sont les aires des rectangles gris. Ils convergent ?? l'int??grale de la fonction.

Notez que nous d??crivons l'aire d'un rectangle, avec les temps de largeur la hauteur, et nous ajoutons les r??gions ensemble. Chaque rectangle, en vertu de la Valeur moyenne th??or??me, d??crit une approximation de la section de la courbe est tir??e par dessus. Notez ??galement que $\ Delta x_i$ n'a pas besoin d'??tre le m??me pour toute valeur de $Je$ Ou en d'autres termes que la largeur des rectangles peuvent diff??rer. Ce que nous avons ?? faire est de rapprocher la courbe avec $n$ rectangles. Maintenant, comme la taille des partitions obtenir plus petits et n augmente, r??sultant en plusieurs partitions pour couvrir l'espace, nous allons nous rapprocher et plus proche de la superficie r??elle de la courbe.

En prenant la limite de l'expression comme la norme des partitions se rapproche de z??ro, nous arrivons ?? la Int??grale de Riemann. Ce est, nous prenons la limite comme le plus grand des partitions tend vers z??ro dans la taille, de sorte que toutes les autres partitions sont plus petits et le nombre de partitions tend vers l'infini.

Ainsi, on prend la limite des deux c??t??s de (2). Cela nous donne

$\ Lim _ {\ | \ Delta \ | \ 0} F (b) - F (a) = \ lim _ {\ | \ Delta \ | \ 0} \ sum_ {i = 1} ^ n [f (c_i) (\ Delta x_i)] \ ,.$

Ni F (b) ni F (a) d??pend || Δ ||, de sorte que la limite sur le c??t?? gauche reste F (b) - f (a).

$F (b) - F (a) = \ lim _ {\ | \ Delta \ | \ 0} \ sum_ {i = 1} ^ n [f (c_i) (\ Delta x_i)]$

L'expression sur le c??t?? droit de l'??quation d??finit une int??grale sur f de a ?? b. Par cons??quent, on obtient

$F (b) - F (a) = \ int_ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm dx$

qui compl??te la preuve.

G??n??ralisations

Nous ne avons pas besoin d'assumer la continuit?? de f sur tout l'intervalle. Partie I du th??or??me dit alors: si f est toute int??grable Lebesgue fonction sur [a, b] et x ₀ est un nombre dans [a, b] tel que f est continue en x _0,

$F (x) = \ ^ int_a x f (t) \, \ mathrm dt$

est d??rivable pour x = x ₀ ?? F '(x ₀₎ = f (x _0). Nous pouvons assouplir les conditions sur f encore et supposons que ce est simplement localement int??grable. Dans ce cas, nous pouvons conclure que la fonction F est diff??rentiable '(x) = presque partout et F f (x) presque partout. Ce est parfois connu comme la diff??renciation du th??or??me de Lebesgue.

Partie II du th??or??me est vrai pour toute fonction int??grable Lebesgue f qui a une primitive F (fonctions int??grables font pas tous, cependant).

La version du Th??or??me de Taylor qui exprime le terme d'erreur comme une int??grale peut ??tre consid??r??e comme une g??n??ralisation du th??or??me fondamental.

Il existe une version du th??or??me de complexes fonctions: supposons U est un ouvert de C et f: U → C est une fonction qui a une F primitive holomorphe sur U. Ensuite, pour chaque courbe γ: [a, b] → U, le courbe int??grale peut ??tre calcul??e comme

$\ Int _ {\ gamma} f (z) \, \ mathrm dz = F (\ gamma (b)) - F (\ gamma (a)).$

Le th??or??me fondamental peut ??tre g??n??ralis??e ?? courbes et de surfaces int??grales de dimensions sup??rieures et collecteurs .

L'une des d??clarations les plus puissants dans cette direction est Th??or??me de Stokes.

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