Moyenne arithm??tique

Dans les math??matiques et les statistiques , l'arithm??tique moyenne (ou simplement la moyenne) d'une liste de num??ros est la somme de tous les membres de la liste, divis?? par le nombre d'??l??ments dans la liste. Si la liste est un population statistique, la moyenne de cette population est appel??e une moyenne de la population. Si la liste est un ??chantillon statistique , nous appelons la r??sultante La statistique un ??chantillon signifie.

La moyenne est le type le plus couramment utilis?? de moyenne et est souvent appel??e simplement la moyenne. Le terme "signifie" ou "moyenne arithm??tique" est pr??f??r?? en math??matiques et statistiques pour le distinguer des autres moyennes telles que la m??diane et le Mode.

Introduction

Si l'on note un ensemble de donn??es par X = (x _1, x _2, ..., x _n), puis la moyenne d'??chantillon est g??n??ralement not??e avec une barre horizontale sur la variable ( , ??nonc?? ??x bar").

Le symbole μ (en grec: mu) est utilis?? pour d??signer la moyenne arithm??tique d'une population enti??re. Ou, pour une nombre al??atoire qui a d??fini une moyenne, μ est la moyenne probabiliste ou valeur attendue du nombre al??atoire. Si l'ensemble X est un ensemble de nombres al??atoires avec une moyenne de μ probabiliste, puis pour chaque ??chantillon individuel, x _i, ?? partir de cette collection, μ = E {x _i} est la valeur attendue de cet ??chantillon.

Dans la pratique, la diff??rence entre μ et est que μ est g??n??ralement observable parce que l'on observe un ??chantillon plut??t que l'ensemble de la population, et si l'??chantillon est pr??lev?? au hasard, alors on peut traiter , Mais pas μ, en tant que variable al??atoire , en attribuant une distribution de probabilit?? pour le (la distribution d'??chantillonnage de la moyenne).

Les deux sont calcul??s de la m??me fa??on:

Si X est une variable al??atoire , la valeur attendue de X peut ??tre consid??r?? comme l'arithm??tique moyenne ?? long terme qui se produit sur des mesures r??p??t??es de X. Ce est le contenu de la loi des grands nombres. En cons??quence, la moyenne d'??chantillon est utilis?? pour estimer les valeurs attendues inconnus.

Notez que plusieurs autres "moyens" ont ??t?? d??finis, y compris le moyenne g??n??ralis??e, la g??n??ralis??e f-moyen, le moyenne harmonique, la arithm??tique moyenne g??om??trique, et divers des moyens pond??r??s.

Exemples

• Si vous avez trois num??ros puis les ajouter et les diviser par trois:
• Si vous avez 4 num??ros les ajouter et diviser par 4:

Probl??mes li??s ?? certaines utilisations de la moyenne

Bien que le moyen est souvent utilis?? pour signaler la tendance centrale, il peut ne pas ??tre appropri?? pour d??crire distributions asym??triques, car il est facilement mal interpr??t??s. La moyenne arithm??tique est fortement influenc??e par aberrantes. Ces distorsions peuvent se produire lorsque la moyenne est diff??rente de la m??diane. Lorsque cela arrive, la m??diane peut ??tre une meilleure description de la tendance centrale.

Un exemple classique est revenu moyen. La moyenne arithm??tique peut ??tre mal interpr??t?? impliquer que les revenus de la plupart des gens sont plus ??lev??s que ce qui est effectivement le cas. Lorsque pr??sent?? avec une une "moyenne" peut ??tre amen?? ?? croire que les revenus de la plupart des gens sont ?? proximit?? de ce num??ro. Cette (moyenne arithm??tique) revenu ??moyen?? est plus ??lev?? que les revenus de la plupart des gens, parce que les valeurs aberrantes ?? revenu ??lev?? faussent r??sultat le plus ??lev?? (en revanche, le revenu m??dian "r??siste" telle inclinaison). Cependant, cette ??moyenne?? ne dit rien sur le nombre de personnes pr??s du revenu m??dian (ni ne dit rien sur le revenu modale que la plupart des gens sont ?? proximit??). N??anmoins, parce que l'on peut porter n??gligemment "moyenne" et "la plupart des gens??, on pourrait supposer ?? tort que les revenus de la plupart des gens seraient plus ??lev??s (pr??s cette gonfl?? "moyenne") que ce qu'ils sont. Par exemple, les rapports de la "moyenne" valeur nette Medina, Washington comme la moyenne arithm??tique de toutes les valeurs nettes annuelles donneraient un nombre ??tonnamment ??lev?? en raison de Bill Gates . Consid??rez les scores (1, 2, 2, 2, 3, 9). La moyenne arithm??tique est 3,17, mais les scores cinq des six sont en dessous.

Dans certaines situations, la moyenne arithm??tique est la mauvaise mesure de la tendance centrale tout ?? fait. Par exemple, si un stock a chut?? de 10% dans la premi??re ann??e, et a augment?? de 30% la deuxi??me ann??e, il serait inexact de d??clarer son augmentation "moyenne" par an au cours de cette p??riode de deux ans comme la moyenne arithm??tique (-10% + 30%) / 2 = 10%; la moyenne correcte dans ce cas est le moyenne g??om??trique qui donne une augmentation moyenne par an de seulement 8,2%. La raison en est que chacun de ces pourcentages ont diff??rents points de d??part. Si le stock commence ?? $ 30 et tombe ?? 10%, il est maintenant de 27 $. Si le stock se ??l??ve alors ?? 30%, il est maintenant $ 35,1. La moyenne arithm??tique de ces hausses est de 10%, mais puisque le stock a augment?? de $ 5,1 en 2 ans, un moyenne de 8,2% se traduirait par la finale $ 35,1 figure [$ 30 (1-10%) (1 + 30%) = 30 $ (1 + 8,2%) (1 + 8,2%) = $ 35,1]. Si l'on utilise la moyenne arithm??tique de 10% de la m??me mani??re, on pourrait pas obtenir l'augmentation r??elle [30 $ (1 + 10%) (1 + 10%) = $ 36,3].

Une attention particuli??re doit ??tre prise lors de l'utilisation des donn??es cycliques tels que les phases ou des angles. Prendre la moyenne arithm??tique de 1 degr?? et 359 degr??s donne un r??sultat de 180 degr??s, tandis que 1 et 359 sont tous deux adjacents ?? 360 degr??s, ce qui peut ??tre une valeur moyenne plus correctes. En application g??n??rale un tel oubli conduira ?? la valeur moyenne mobile artificiellement vers le milieu de la gamme num??rique. Une solution ?? ce probl??me est d'utiliser la formulation d'optimisation, et red??finir la diff??rence en tant que distance modulaire.