Analyse math??matique

L'analyse math??matique, que les math??maticiens se r??f??rent simplement que l'analyse, a ses d??buts dans la formulation rigoureuse de calcul infinit??simal. Ce est une branche de math??matiques pures qui comprend les th??ories de la diff??renciation , l'int??gration et mesure, les limites, s??rie infinie, et fonctions analytiques. Ces th??ories sont souvent ??tudi??es dans le contexte des nombres r??els , des nombres complexes et r??els et complexes fonctions . Cependant, ils peuvent ??galement ??tre d??finis et ??tudi??s dans toute l'espace des objets math??matiques qui a une d??finition de proximit?? (un espace topologique) ou, plus pr??cis??ment, la distance (a espace m??trique).

Histoire

Les premiers r??sultats de l'analyse ??taient implicitement pr??sente dans les premiers jours d'anciens math??matiques grecques. Par exemple, une somme g??om??trique infinie est implicite dans Z??non paradoxe de la dichotomie. Plus tard, Math??maticiens grecs tels que Eudoxe et Archim??de rendus plus explicites, mais informelle, l'utilisation des concepts de limites et la convergence quand ils ont utilis?? la m??thode de l'??puisement pour calculer la surface et le volume des r??gions et des solides. En Inde , le 12 math??maticien si??cle Bhāskara II a donn?? des exemples de la d??riv?? et utilis?? ce qui est maintenant connu sous le nom Th??or??me de Rolle.

Au 14??me si??cle, Madhava de Sangamagrama d??velopp?? d??veloppements en s??rie, comme l'infinite s??rie de puissance et la s??rie de Taylor , de fonctions telles que sinus , cosinus , tangente et arctangente. Parall??lement ?? son d??veloppement de la s??rie de Taylor des fonctions trigonom??triques , il a ??galement estim?? l'ampleur des termes d'erreur cr????s en tronquant ces s??ries et a donn?? une approximation rationnelle d'une s??rie infinie. Ses disciples ?? la ??cole du Kerala encore ??largi ses ??uvres, jusqu'?? la 16??me si??cle.

En Europe, au cours de la deuxi??me moiti?? du 17??me si??cle, Newton et Leibniz d??velopp??s ind??pendamment calcul infinit??simal, qui a grandi, avec le stimulus de travail appliqu??e qui se est poursuivie ?? travers le 18??me si??cle, en sujets d'analyse comme le calcul des variations , ordinaires et ??quations aux d??riv??es partielles , l'analyse de Fourier, et fonctions g??n??ratrices. Pendant cette p??riode, les techniques de calcul ont ??t?? appliqu??s ?? rapprocher probl??mes discrets par ceux continues.

Au 18??me si??cle, Euler introduit la notion de fonction math??matique . Analyse r??elle a commenc?? ?? ??merger comme un sujet ind??pendant lorsqu'il Bernard Bolzano introduit la d??finition moderne de la continuit?? en 1816. mais le travail de Bolzano ne est pas devenu largement connu avant les ann??es 1870. En 1821, Cauchy a commenc?? ?? mettre le calcul sur un fondement logique cabinet en rejetant le principe de la g??n??ralit?? de l'alg??bre largement utilis?? dans les travaux ant??rieurs, en particulier par Euler. Au lieu de cela, le calcul Cauchy formul?? en termes d'id??es et g??om??triques infinit??simaux. Ainsi, sa d??finition de la continuit?? n??cessaire un changement infime dans x pour correspondre ?? un changement infinit??simal en y. Il a ??galement introduit le concept de la Cauchy, et a commenc?? ?? la th??orie formelle de analyse complexe. Poisson, Liouville, Fourier et d'autres ont ??tudi?? des ??quations aux d??riv??es partielles et analyse harmonique. Les contributions de ces math??maticiens et d'autres, comme Weierstrass, a d??velopp?? l'approche epsilontic, fondant ainsi le champ de l'analyse math??matique moderne.

Dans le milieu du si??cle Riemann introduit sa th??orie de l'int??gration . Le dernier tiers du 19??me si??cle a vu l'arithm??tisation d'analyse par Weierstrass, qui pensait que le raisonnement g??om??trique ??tait intrins??quement trompeuses, et a introduit le D??finition de ??epsilon-delta" de limite . Ensuite, les math??maticiens commenc?? ?? se inqui??ter qu'ils prenaient l'existence d'un continuum de nombres r??els sans preuve. Dedekind ensuite construit les nombres r??els par Coupures de Dedekind, dans lequel les nombres irrationnels sont formellement d??finis, qui servent ?? combler les ????carts?? entre les nombres rationnels, cr??ant ainsi un ensemble complet: le continuum des nombres r??els. Autour de ce temps, les tentatives de cerner les th??or??mes de L'int??gration de Riemann conduit ?? l'??tude de la ??taille?? de l'ensemble des discontinuit??s de fonctions r??elles.

En outre, " monstres "( nulle part les fonctions continues, mais continue fonctions nulle part diff??rentiables, les courbes de remplissage d'espace) a commenc?? ?? ??tre cr????. Dans ce contexte, La Jordanie a ??labor?? sa th??orie de mesure, Cantor a d??velopp?? ce qu'on appelle aujourd'hui la th??orie na??ve des ensembles, et Baire prouv?? la Th??or??me de Baire. Dans le d??but du 20e si??cle, le calcul a ??t?? officialis??e en utilisant une axiomatique la th??orie des ensembles . Lebesgue a r??solu le probl??me de la mesure, et Hilbert introduit Espaces de Hilbert ?? r??soudre ??quations int??grales. L'id??e de espace vectoriel norm?? ??tait dans l'air, et dans les ann??es 1920 Banach cr???? analyse fonctionnelle.

Subdivisions

L'analyse math??matique comprend les sous-champs suivants.

• ??quations diff??rentielles
• Analyse r??elle, le ??tude rigoureuse de d??riv??s et int??grales de fonctions de variables r??elles. Cela comprend l'??tude des s??quences et leur limites, s??rie.
  • Fonction de plusieurs variables
  • Analyse r??elle des ??chelles de temps - une unification de l'analyse r??el calcul des diff??rences finies
• Th??orie de la mesure - donn?? un ensemble, l'??tude de la fa??on d'attribuer ?? chaque sous-ensemble appropri?? un certain nombre, intuitivement interpr??t?? comme la taille du sous-ensemble.
• Calcul vectoriel
• Analyse fonctionnelle ??tudie espaces de fonctions et introduit des concepts tels que Espaces de Banach et Espaces de Hilbert.
• Calcul des variations traite extremizing fonctionnelles, par opposition ?? ordinaire calcul qui traite des fonctions .
• Analyse harmonique traite s??ries de Fourier et leurs abstractions.
• Analyse g??om??trique implique l'utilisation de m??thodes g??om??triques dans l'??tude des ??quations aux d??riv??es partielles et l'application de la th??orie des ??quations aux d??riv??es partielles ?? la g??om??trie.
• Analyse complexe, l'??tude des fonctions du plan complexe pour lui-m??me, qui sont diff??rentiables complexe (ce est- holomorphe).
  • Plusieurs variables complexes
• Analyse ou hypercomplexe Analyse Clifford
• p-adique analyse, l'??tude de l'analyse dans le contexte de p num??ros -adiques, qui diff??re ?? certains ??gards int??ressants et surprenants de ses homologues r??els et complexes.
• Analyse non standard, qui enqu??te sur la num??ros hyperr??els et leurs fonctions et donne une de traitement rigoureux infinit??simaux et infiniment grand nombre. Il est normalement class?? comme th??orie des mod??les.
• Analyse num??rique, l'??tude des algorithmes pour rapprocher les probl??mes de math??matiques continues.
• Analyse calculable, dont l'??tude de l'analyse des parties peuvent ??tre r??alis??es dans un mani??re calculable.
• Calcul stochastique - notions analytiques d??velopp??es pour processus stochastiques.
• Analyse Set-??valu?? - applique les id??es de l'analyse et de la topologie des fonctions de mettre en valeur.
• Analyse Tropical (ou analyse idempotent) - analyse dans le contexte de la semiring du alg??bre max-plus, o?? l'absence d'un inverse additif est quelque peu compens??e par la r??gle de idempotent A + A = A. Lorsque transf??r?? au d??cor tropical, de nombreux probl??mes non lin??aires deviennent lin??aire.

Analyse classique devrait normalement ??tre comprise comme tout travail non en utilisant des techniques d'analyse fonctionnelle, et est parfois aussi appel?? analyse rigoureuse; il se r??f??re aussi naturellement aux sujets plus traditionnels. L'??tude des ??quations diff??rentielles est maintenant partag?? avec d'autres domaines tels que syst??mes dynamiques, si le chevauchement avec l'analyse conventionnelle est grande.

Analyse dans d'autres domaines:

• Th??orie analytique des nombres
• Combinatoire analytique
• Probabilit?? continue
• Entropie diff??rentielle en th??orie de l'information
• jeux diff??rentielles
• G??om??trie diff??rentielle , l'application du calcul aux espaces math??matiques sp??cifiques appel??s collecteurs qui poss??dent une structure interne complexe, mais se comportent d'une mani??re simple localement.
• Topologie diff??rentielle

Espaces topologiques, espaces m??triques

La motivation pour l'??tude de l'analyse math??matique dans le contexte plus large de topologique ou espaces m??triques est triple:

1. Les m??mes techniques de base ont prouv?? applicables ?? une cat??gorie plus large de probl??mes (par exemple, l'??tude de espaces fonctionnels).
2. Une meilleure compr??hension de l'analyse dans des espaces plus abstraites se av??re souvent ??tre directement applicable ?? des probl??mes classiques. Par exemple, dans l'analyse de Fourier, fonctions sont exprim??es en termes d'un certain somme infinie de fonctions trigonom??triques . Ainsi, l'analyse de Fourier peut ??tre utilis??e pour d??composer un son dans une combinaison unique de tonalit??s pures de divers emplacements. Les ??poids??, ou coefficients, des termes dans le d??veloppement de Fourier d'une fonction peuvent ??tre consid??r??s comme des composantes d'un vecteur dans un infini espace tridimensionnel connu comme un Espace de Hilbert. ??tude des fonctions d??finies dans ce cadre plus g??n??ral fournit ainsi une m??thode pratique de d??river les r??sultats sur la fa??on dont les fonctions varient dans l'espace ainsi que le temps ou, en termes plus math??matiques, ??quations aux d??riv??es partielles , o?? cette technique est connue sous le nom s??paration des variables.
3. Les conditions n??cessaires pour prouver le r??sultat particulier sont plus explicitement mention. L'analyste devient alors plus conscients exactement ce est n??cessaire aspect de l'hypoth??se de prouver le th??or??me.

Calcul des diff??rences finies, calcul discr??te ou analyse discr??te

Comme la section ci-dessus sur les espaces topologiques pr??cise, l'analyse ne est pas seulement ?? propos de la continuit?? dans le sens traditionnel de nombres r??els. L'analyse est fondamentalement sur les fonctions, les espaces que les fonctions et agissent sur la espaces de fonctions que les fonctions elles-m??mes membres de. Un discret fonction f (n) est g??n??ralement appel?? une s??quence a (n). Une s??quence peut ??tre une s??quence finie d'une source de donn??es ou une s??quence infinie ?? partir d'un syst??me dynamique discret. Une fonction discr??te peut ??tre d??finie explicitement par une liste, ou par une formule de f (n) ou il peut ??tre donn?? par un implicitement relation de r??currence ou ??quation de diff??rence. Une ??quation de diff??rence est l'??quivalent discret d'une ??quation diff??rentielle et peut ??tre utilis??e pour calculer la seconde ou ??tudi??s ?? part enti??re. Chaque question et de m??thode sur les ??quations diff??rentielles a un ??quivalent discret pour des ??quations aux diff??rences. Par exemple, o?? il ya transform??es int??grales dans analyse harmonique pour studing fonctions continues ou des signaux analogiques, il ya transform??es discr??tes pour fonctions discr??tes ou des signaux num??riques. Aussi bien que m??trique discret il ya plus g??n??rale discret ou espaces m??triques finis et espaces topologiques finis.

pages Web

• Premi??res utilisations connues de certains des mots de math??matiques: calcul et analyse
• Analyse de base: Introduction ?? l'analyse r??el par Jiri Lebl ( Creative Commons BY-NC-SA )