Espace vectoriel

En math??matiques , un espace vectoriel (ou espace lin??aire) est une collection d'objets (appel??s vecteurs) que, de fa??on informelle, peut ??tre mise ?? l'??chelle et a ajout??. Plus formellement, un espace vectoriel est un ensemble sur lequel deux op??rations, appel?? (vecteur) et plus (scalaire) multiplication, sont d??finis et r??pondre ?? certaines naturelle axiomes qui sont ??num??r??s ci-dessous. Espaces vectoriels sont les objets de base de l'??tude de l'alg??bre lin??aire , et sont utilis??s dans les math??matiques, les sciences et l'ing??nierie.

Les espaces vectoriels les plus familiers sont deux et trois dimensions espaces euclidiens . Vecteurs dans ces espaces sont command??s paires ou triplets de nombres r??els , et sont souvent repr??sent??s comme des vecteurs g??om??triques qui sont des quantit??s avec une amplitude et une direction, g??n??ralement repr??sent?? par des fl??ches. Ces vecteurs peuvent ??tre ajout??s ensemble en utilisant la r??gle de parall??logramme ( d'addition de vecteurs ) ou multipli??e par des nombres r??els ( multiplication par un scalaire). Le comportement des vecteurs g??om??triques dans ces op??rations constitue un bon mod??le intuitif pour le comportement des vecteurs dans les espaces vectoriels plus abstraites, qui ne ont pas besoin d'une interpr??tation g??om??trique. Par exemple, l'ensemble des (vrais) polyn??mes forme un espace vectoriel.

Un espace vectoriel est une collection d'objets (appel??s vecteurs) qui peuvent ??tre mis ?? l'??chelle et ajout??s.

D??finition formelle

Soit F un champ (comme les nombres r??els ou des nombres complexes ), dont ??l??ments seront appel??s scalaires. Un espace vectoriel sur le corps F est un ensemble V avec deux op??rations binaires,

• addition vectorielle: V ?? V → V not??e v + w, o?? v, w ∈ V, et
• multiplication scalaire: F ?? V → V d??notait un v, o?? a ∈ F et v ∈ V,

satisfaisant la axiomes ci-dessous. Quatre des axiomes exigent vecteurs de moins de plus pour former un groupe ab??lien, et deux sont lois de distribution.

1. plus de Vector est associative :

   Pour tout u, v, w ∈ V, on a u + (v + w) = (u + v) + w.

2. plus de Vector est commutatif :

   Pour tout v, w ∈ V, nous avons v + w = w + v.

3. plus de Vector a une ??l??ment de l'identit??:

   Il existe un ??l??ment 0 ∈ V, appel?? vecteur nul, tel que v + 0 = v pour tout v ∈ V.

4. plus de Vector a ??l??ments inverses:

   Pour tout v ∈ V, il existe un ??l??ment w ∈ V, appel?? Oppos?? de v, tel que v + w = 0.

5. Distributivity d??tient pour la multiplication scalaire sur l'addition de vecteur:

   Pour tout a ∈ F et v, w ∈ V, nous avons un (v + w) = a v + a w.

6. Distributivity d??tient pour la multiplication scalaire sur l'addition de champ:

   Pour tout a, b ∈ F et v ∈ V, nous avons (a + b) v = a + b v v.

7. Multiplication scalaire est compatible avec la multiplication dans le domaine des scalaires:

   Pour tout a, b ∈ F et v ∈ V, nous avons un (v b) = (ab) c.

8. Multiplication scalaire a une ??l??ment de l'identit??:

   Pour tout v ∈ V, nous avons une v = v, o?? 1 repr??sente le identit?? multiplicatif dans F.

Formellement, ce sont les axiomes pour une module, un espace vectoriel peut ??tre concise d??crit comme un module sur un champ.

Notez que le septi??me axiome ci-dessus, indiquant un (v b) = (ab) v, ne est pas affirmer l' associativit?? d'une op??ration, car il ya deux op??rations en question, multiplication scalaire: b v; et sur le terrain multiplication: ab.

Certaines sources choisissent d'inclure ??galement deux axiomes de fermeture:

1. V est ferm?? en vertu de l'addition de vecteurs:

   Si u, v ∈ V, alors u + v ∈ V.

2. V est ferm?? en vertu de multiplication scalaire:

   Si a ∈ F, v ∈ V, puis un v ∈ V.

Cependant, la compr??hension formelle moderne des op??rations que des cartes avec codomain V implique ces d??clarations, par d??finition, et ??vite ainsi le besoin de les ??num??rer comme des axiomes ind??pendants. La validit?? des axiomes de fermeture est essentielle pour d??terminer si un sous-ensemble d'un espace vectoriel est un sous-espace.

Notez que les expressions de la forme "v un", o?? v ∈ V et a ∈ F, sont, ?? proprement parler, pas d??finies. En raison de la commutativit?? du champ sous-jacente, cependant, "a v" et "v a" sont souvent trait??s comme des synonymes. En outre, si v ∈ V, w ∈ V, et un ∈ F o?? l'espace vectoriel V est en outre une alg??bre sur le champ F alors une v w = v a w, qui le rend pratique ?? consid??rer ??une v" et "v a" pour repr??senter le m??me vecteur.

Propri??t??s ??l??mentaires

Il ya un certain nombre de propri??t??s qui suivent facilement des axiomes de l'espace vectoriel.

• Le vecteur nul 0 ∈ V est unique:

  Si 0 ₁ et 0 ₂ sont des vecteurs nuls en V, tel que 0 + ₁ v = 0 et ₂ + v = v pour tout v ∈ V, puis 0 ₁ 0 ₂ = = 0.

• Multiplication scalaire avec le vecteur nul donne le vecteur nul:

  Pour tout a ∈ F, nous avons un 0 = 0.

• Scalar multiplication par z??ro donne le vecteur nul:

  Pour tout v ∈ V, nous avons 0 v = 0, o?? 0 repr??sente l'identit?? additif dans F.

• Aucune autre multiplication scalaire donne le vecteur nul:

  Nous avons v = 0 si et seulement si a = 0 ou c = 0.

• L'inverse additif - v d'un vecteur v est unique:

  Si w ₁ et w ₂ sont les inverses des additifs v ∈ V, tel que v + w ₁ = 0 et v + w ₂ = 0, alors w = ₁ w _2. Nous appelons l'inverse - v et w d??finissons - v ≡ w + (- v).

• Multiplication scalaire par unit?? n??gative donne l'inverse additif du vecteur:

  Pour tout v ∈ V, on a (-1) v = - v, o?? 1 d??signe l'identit?? multiplicative en C.

• N??gation commute librement:

  Pour tout a ∈ F et v ∈ V, nous avons (- a) v = a (- v) = - (V).

Exemples

Sous-espaces et des bases

Principaux articles: Sous-espace vectoriel, Base

??tant donn?? un espace vectoriel V, un non vide sous-ensemble W de V qui est ferm?? par addition et multiplication par un scalaire est appel?? sous-espace de V. sous-espaces de V sont des espaces vectoriels (plus le m??me domaine) dans leur propre droit. L'intersection de tous les sous-espaces form??s d'un ensemble donn?? de vecteurs est appel?? son dur??e; si aucun vecteur peut ??tre enlev?? sans changer la dur??e, l'ensemble est dit lin??airement ind??pendantes. Un ensemble lin??airement ind??pendant dont la dur??e est V est appel?? base de V.

Utilisation Lemme de Zorn (ce qui ??quivaut ?? la axiome du choix), il peut ??tre prouv?? que chaque espace vectoriel a une base. Il r??sulte de ce ultrafiltre lemme, qui est plus faible que l'axiome du choix, que toutes les bases d'un espace vectoriel donn?? ont la m??me cardinalit??. Ainsi espaces vectoriels sur un domaine donn?? sont fix??s jusqu'?? isomorphisme par un seul nombre cardinal (appel?? dimension de l'espace vectoriel) repr??sentant la taille de la base. Par exemple, les espaces r??els vecteurs de dimension finie ne sont que R ^0, R ^1, R ^2, R ^3, .... La dimension de l'espace vectoriel r??el R ³ est de trois.

Il ??tait s??par?? F. qui, le premier prouv?? que tout espace vectoriel a une base. Andreas Blass a montr?? ce th??or??me conduit ?? la axiome du choix.

Une base permet d'exprimer tout vecteur de l'espace comme un tuple unique des ??l??ments sur le terrain, bien que la prudence doit ??tre exerc??e quand un espace vectoriel n'a pas de base finie. Espaces vectoriels sont parfois introduits ?? partir de ce point de vue coordinatised.

On consid??re souvent les espaces vectoriels qui portent ??galement compatible topologie. Compatible signifie ici que l'addition et la multiplication scalaire devraient ??tre des op??rations continues. Cette condition assure en fait que la topologie donne lieu ?? une structure uniforme. Lorsque la dimension est infinie, il ya g??n??ralement plus d'une topologie de in??quivalentes, ce qui rend l'??tude des espaces vectoriels topologiques plus riche que celle des espaces vectoriels g??n??rales.

Seulement en tel espaces vectoriels topologiques peut-on consid??rer les sommes infinies de vecteurs, ce est- s??rie, ?? travers la notion de convergence. Ceci est d'une importance dans les deux math??matiques race pure et appliqu??e, par exemple en m??canique quantique , o?? les syst??mes physiques sont d??finies comme Espaces de Hilbert, ou lorsque expansions de Fourier sont utilis??s.

Cartes lin??aires

Article d??taill??: Lin??aire

Compte tenu de deux espaces vectoriels V et W sur le m??me champ F, on peut d??finir cartes lin??aires ou ??transformations lin??aires" de V dans W. Ce sont des fonctions f: V → W qui sont compatibles avec la structure pertinente - ce est ?? dire, ils conservent sommes et produits scalaires. L'ensemble de toutes les cartes lin??aires de V ?? W, not?? Hom _F (V, W), est aussi un espace vectoriel sur F. Lorsque bases ?? la fois V et W sont donn??s, cartes lin??aires peuvent ??tre exprim??es en termes de composants comme matrices .

Une isomorphisme est lin??aire carte de sorte qu'il existe un plan inverse tel que et sont cartes d'identit??. Une carte lin??aire qui est ?? la fois une ?? une ( injective) et sur ( surjective) est n??cessairement un isomorphisme. Se il existe un isomorphisme entre V et W, les deux espaces sont dits isomorphes; ils sont alors essentiellement identique ?? celle des espaces vectoriels.

Les espaces vectoriels sur un corps fixe F ainsi que les cartes lin??aires sont un cat??gorie, en effet une cat??gorie ab??lienne.

G??n??ralisations

D'un point de vue abstrait, espaces vectoriels sont modules sur un champ, F. La pratique courante de l'identification d'un V et V a dans un espace vectoriel rend l'espace vectoriel un F - F bimodule. Modules dans le besoin g??n??ral de ne pas avoir des bases; ceux qui le font (y compris tous les espaces vectoriels) sont connus comme modules libres.

Une famille d'espaces vectoriels, param??tr?? en permanence par certains sous-jacente espace topologique, est un fibr??.

Une espace affine est un ensemble avec un action transitive d'espace vectoriel. Notez qu'un espace vectoriel est un espace affine sur elle-m??me, par le carte de structure

Structures suppl??mentaires

Il est commun pour ??tudier les espaces vectoriels avec certaines structures suppl??mentaires. Ce est souvent n??cessaire pour r??cup??rer notions ordinaires de la g??om??trie.

• Un espace r??el ou complexe vecteur avec un concept bien d??fini de longueur, soit un norme, est appel?? un espace vectoriel norm??.
• Un espace vectoriel norm?? avec le concept plus bien d??finie de l'angle est appel?? espace int??rieur du produit.
• Un espace vectoriel avec un topologie compatible avec les op??rations - de telle sorte que l'addition et la multiplication par un scalaire sont cartes continues - est appel?? espace vectoriel topologique. La structure topologique est pertinente lorsque l'espace vectoriel sous-jacent est de dimension infinie.

• Un espace vectoriel avec un suppl??ment op??rateur bilin??aire d??finissant la multiplication des deux vecteurs est un alg??bre sur un champ.
• Une espace vectoriel ordonn??.