Matrix (math??matiques)

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En math??matiques , une matrice (matrices pluriel) est une table rectangulaire d'??l??ments (ou entr??es), qui peut ??tre le nombre ou, plus g??n??ralement, toute quantit??s abstraites qui peuvent ??tre ajout??s et multipli??es. Matrices sont utilis??s pour d??crire des ??quations lin??aires , de garder trace de la les coefficients de transformations lin??aires et d'enregistrer les donn??es qui d??pendent de multiples param??tres. Les matrices sont d??crites par le domaine de la th??orie de la matrice . Les matrices peuvent ??tre ajout??es, se multiplient, et d??compos??s de diff??rentes fa??ons, ce qui les rend aussi un concept cl?? dans le domaine de l'alg??bre lin??aire .

Dans cet article, les entr??es d'une matrice sont r??els ou complexes num??ros, sauf indication contraire.

Organisation d'une matrice

D??finitions et notations

Les lignes horizontales dans une matrice sont appel??s lignes et les lignes verticales sont appel??es colonnes. Une matrice ?? m lignes et n colonnes est appel??e une matrice m -by- n (??crit m ?? n) et m et n sont appel??s ses dimensions. Les dimensions de la matrice sont toujours donn??es avec le premier nombre de rang??es, le nombre de colonnes. Il est commun??ment dit qu'un m -by- n matrice a un ordre de m ?? n (??ordre?? de taille signifie). Deux matrices du m??me ordre dont les entr??es correspondant sont ??quivalents sont consid??r??s comme ??gaux.

Presque toujours des majuscules indiquent matrices avec les lettres correspondantes avec deux indices repr??sentant les entr??es minuscules. Par exemple, l'entr??e d'une matrice A qui se trouve dans la rang??e i ??me et j ??me colonne est ??crit comme un _{i, j} et appel?? i, l'entr??e j ou (i, j) i??me entr??e de A. Notations alternatifs pour que l'entr??e sont A [i, j] ou A _{i, j.} La ligne est toujours not?? d'abord, puis la colonne. Dans cet exemple, A (sans indices) serait symboliser toute la matrice. En plus d'utiliser les lettres majuscules comme des symboles repr??sentant des matrices, de nombreux auteurs utilisent un style typographique sp??ciale, commun??ment gras verticale (non italique), pour mieux distinguer les matrices d'autres variables. Suite ?? cette convention, A est une matrice, qui se distingue de A, un scalaire. Une convention alternative consiste ?? annoter matrices avec leurs dimensions en petits caract??res sous le symbole, par exemple, $\ r \ underset {c} fois {A}$ pour la matrice d'un c r.

Nous ??crivons souvent $\ Mathbf {A}: = (a_ {i, j}) _ {i = 1, \ ldots, m; \, \, j = 1, \ ldots, n}$ ou $\ Mathbf {A}: = (a_ {i, j}) _ {m \ times n}$ ?? d??finir une matrice m ?? n A. Dans ce cas, les entr??es a _{i, j} sont d??finies s??par??ment pour tous les entiers 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n. Dans certains langages de programmation, la num??rotation des lignes et des colonnes ?? partir de z??ro. Textes qui utilisent une telle langue largement, suivez fr??quemment cette convention, nous avons donc 0 ≤ i ≤ m -1 et 0 ≤ j ≤ n -1.

Une matrice o?? l'une des dimensions un ??gale est souvent appel?? un vecteur, et interpr??t??e comme un ??l??ment de l'espace r??el coordonner . Une matrice m ?? 1 (une colonne et m lignes) est appel?? vecteur de colonne et une matrice n ?? 1 (une ligne et n colonnes) est appel?? vecteur ligne.

D??finition math??matique

Une $\, M \ times n \, \, (m, n \ in \ mathbb {N})$ matrice $\ Mathbf {A} \,$ est une fonction $\ Mathbf {A} \ colon \ {1, 2, \ ldots, m \} \ times \ {1, 2, \ ldots, n \} \ ?? \ mathbf {S}, \, \,$ o?? $\ Mathbf {S} \,$ est toute non- ensemble vide.

$(\ {1, 2, \ ldots, m \} \ times \ {1, 2, \ ldots, n \} \,$ est le Produit cart??sien d'ensembles $\ {1, 2, \ ldots, m \} \,$ et $\ {1, 2, \ ldots, n \}.) \,$

Nous disons que la matrice $\ Mathbf {A}$ est une matrice sur l'ensemble $\ Mathbf {S}$ . La chose importante ?? noter est que, si nous voulons avoir alg??bre matricielle, l'ensemble $\ Mathbf {S} \,$ doit ??tre un anneau et la matrice $\ Mathbf {A}$ doit ??tre une matrice carr??e (voir matrices carr??es et d??finitions connexes ci-dessous pour plus d'explications). Depuis l'ensemble des matrices carr??es sur un anneau est aussi un anneau, alg??bre matricielle est g??n??ralement appel?? anneau de matrice.

Depuis que cet article consid??re principalement matrices sur des nombres r??els , matrices pr??sent??s ici sont en fait des fonctions $\ Mathbf {A} \ colon \ {1, 2, \ ldots, m \} \ times \ {1, 2, \ ldots, n \} \ \ mathbb ?? {R}. \, \,$

Exemple

La matrice

$\ Mathbf {A} = \ begin {} bmatrix 9 & 8 & 6 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ & 6 & 5 0 \ end {} bmatrix$ ou $\ Mathbf {A} = \ begin {} pmatrix 9 & 8 & 6 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ & 6 & 5 0 \ end {} pmatrix$

est un $4 \ times 3$ matrice. El??ment $a_ {2,3}$ ou $\ Mathbf {A} [2,3]$ est 7. En termes de la d??finition math??matique donn??e ci-dessus, cette matrice est une fonction $\ Mathbf {A} \ colon \ {1, 2, 3, 4 \} \ times \ {1, 2, 3 \} \ ?? \ mathbb {R} \,$ et, par exemple, $\ Mathbf {A} ((2, 3)) = 7 \,$ et $\ Mathbf {A} ((3, 1)) = 4. \,$

La matrice

$\ Mathbf {R} = \ begin {} bmatrix 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \ end {} bmatrix$

est un $1 \ 9 fois$ matrice, ou 9-??l??ment de vecteur ligne.

Additionner et multiplier des matrices

Somme

Deux ou plusieurs matrices de dimensions identiques m et n peuvent ??tre ajout??s. M -by- n matrices donn??e A et B, leur somme A + B est la matrice m -by- n calcul??e en ajoutant des ??l??ments correspondants:

$\ Begin {align} \ mathbf {A} + \ mathbf {B} & = (a_ {i, j}) _ {1 \ le i \ le m; \, 1 \ le j \ le n} + (b_ { i, j}) _ {1 \ le i \ le m; \, 1 \ le j \ le n} \\ & = (a_ {i, j} + b_ {i, j}) _ {1 \ le i \ le m; 1 \ le j \ le n} \\ \ end {align}$

Par exemple:

$\ Begin {} bmatrix 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \ end {} bmatrix + \ begin {} bmatrix 0 & 0 et 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \ end {} bmatrix = \ begin {} bmatrix 1 + 0 et 3 + 0 + 1 et 5 \\ 1 + 7 + 5 & 0 & 0 + 0 \\ 1 + 2 et 2 + 1 & 2 1 \ end {} bmatrix = \ begin {} bmatrix 1 & 3 & 6 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \ end {} bmatrix$

Un autre, notion beaucoup moins souvent utilis?? de l'addition de la matrice est la somme directe.

Multiplication scalaire

Etant donn?? une matrice A et un nombre c, la multiplication scalaire c A est obtenu en multipliant chaque ??l??ment de A par la c scalaire (ce est ?? dire $(C \ mathbf {A}) _ {i, j} = c \ cdot a_ {i, j}$ ). Par exemple:

$2 \ cdot \ begin {} bmatrix 1 & 8 & -3 \\ & 4 & 5 -2 \ end {} bmatrix = \ begin {} bmatrix 2 \ cdot 1 & 2 \ cdot 8 & 2 \ cdot -3 \\ 2 \ cdot 4 & 2 \ cdot -2 et 2 \ cdot 5 \ end {} bmatrix = \ begin {} bmatrix 2 & 16 & 8 -6 \\ & -4 et 10 \ end {} bmatrix$

plus de Matrix et la multiplication scalaire tourner l'ensemble $\ Text {M} (m, n, \ mathbb {R})$ de tout $m$ -by- $n$ matrices avec de vraies entr??es dans un v??ritable espace vectoriel de dimension $m \ cdot n$ .

La multiplication de matrices

La multiplication de deux matrices est bien d??finie que si le nombre de colonnes de la matrice de gauche est la m??me que le nombre de lignes de la matrice droite. Le point du milieu ( $\ Cdot$ ) Ne est pas utilis?? pour indiquer la multiplication matricielle (il est utilis?? pour la multiplication scalaire). Si A est une matrice m -by- n et B n est une matrice p -by-, puis leur produit matriciel AB est la matrice m -by- p donn?? par:

$(\ Mathbf {AB}) _ {i, j} = a_ {i, 1} b_ {1, j} + a_ {i, 2} b_ {2, j} + \ ldots + a_ {i, n} b_ {n, j}$

pour chaque paire $(I, j)$ . Par exemple:

$\ Begin {} bmatrix 1 & 0 & 2 -1 \\ & 3 & 1 \\ \ end {bmatrix} \ times \ begin {} bmatrix 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ \ end { bmatrix} = \ begin {} bmatrix (1 \ times 3 + 0 \ times 2 + 2 \ times 1) & (1 \ times 1 + 0 \ times 1 + 2 \ times 0) \\ (-1 \ fois 3 + 3 \ times 2 + 1 \ times 1) & (-1 \ fois 1 + 3 \ times 1 + 1 \ times 0) \\ \ end {} bmatrix$

$= \ Begin {} bmatrix 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \ end {} bmatrix.$

La multiplication de matrices a les propri??t??s suivantes:

(AB) C = A (BC) pour le m de tous les k matrices A, m -by- n matrices B et n -by- p matrices C (??associativit????).
(A + B) C = AC + BC pour tout m -by- n matrices A et B et n -by- k matrices C ("distributivit?? droit??).
C (A + B) = CA + CB pour tout m -by- n matrices A et B et K matrices -by- m C ("distributivit?? ?? gauche??).

La multiplication de matrices ne est pas commutative ; qui est, ??tant donn?? matrices A et B et leur produit d??fini, alors g??n??ralement AB $\ Ne$ BA. Il peut ??galement arriver que AB est d??fini, mais BA ne est pas d??fini.

En plus de la multiplication de matrice ordinaire vient d'??tre d??crite, il existe d'autres op??rations sur des matrices qui peuvent ??tre consid??r??s formes de multiplication, comme le produit de Hadamard et la Produit de Kronecker.

Transformations lin??aires, classe et de les transposer

Matrices peuvent repr??senter commod??ment transformations lin??aires, car la multiplication de matrices correspond parfaitement ?? la composition de cartes, comme on le d??crit ci-apr??s. Cette m??me propri??t?? en fait des structures de donn??es puissants langages de programmation de haut niveau.

Ici et dans la suite nous identifions R ⁿ avec l'ensemble des "colonnes" ou n-1 -par matrices. Pour chaque application lin??aire f: R ⁿ → R ^m il existe une m uniques -by- n matrice A tel que f (x) = Ax pour tout x dans R ^n. Nous disons que la matrice A "repr??sente" l'application lin??aire f. Maintenant, si m matrice B du k repr??sente une autre application lin??aire g: R → R ^{m k,} alors l'application lin??aire g o f est repr??sent??e par BA. Cela r??sulte de l'associativit?? mentionn?? ci-dessus de la multiplication matricielle.

Plus g??n??ralement, une application lin??aire d'un espace vectoriel de dimension n pour un m espace vectoriel de dimension est repr??sent??e par une matrice m -by- n, ?? condition que bases ont ??t?? choisis pour chacun.

Le rang d'une matrice A est le dimension de la image de la carte lin??aire repr??sent?? par A; ce est la m??me que la dimension de l'espace engendr?? par les lignes de A, et ??galement la m??me que la dimension de l'espace engendr?? par les colonnes de A. Il peut ??galement ??tre d??fini sans r??f??rence ?? l'alg??bre lin??aire comme suit: le rang d'un m -by- n matrice A est le plus petit nombre k tel que A peut ??tre ??crit comme un produit Colombie-Britannique o?? B est un m -by- de matrice de k et C est un k de la matrice n (bien que ce ne est pas un moyen pratique de calculer le rang).

Le transposition d'une matrice m -by- n n A est la matrice A m -by- ^tr (parfois aussi ??crit comme un ^T ou ^t A) form?? en tournant rang??es en colonnes et rang??es en colonnes, ?? savoir une ^tr [i, j] = A [j, i] pour tous les indices i et j. Si A d??crit un plan lin??aire par rapport ?? deux bases, la matrice A ^tr d??crit la transpos??e de la carte lin??aire par rapport aux bases duales, voir espace dual.

Nous avons (A + B) ^tr = A + B ^{tr tr} et (AB) = B ^{tr tr} Un ^tr.

Matrices carr??es et d??finitions connexes

Une matrice est une matrice carr??e qui a le m??me nombre de lignes et de colonnes. L'ensemble de tous les carr??s -by- n n matrices, avec addition de la matrice et la multiplication matricielle est une anneau. Sauf n = 1, cette bague ne est pas commutative .

M (n, R), l'anneau de v??ritables matrices carr??es, est un v??ritable unitaire alg??bre associative. M (n, C), l'anneau de matrices complexes carr??s, est une alg??bre associative complexe.

La matrice unitaire ou matrice identit?? I _n, avec des ??l??ments sur le principale ensemble diagonal ?? 1 et tous les autres ??l??ments mis ?? 0, satisfait MI _n = M et je _{n N} = N pour tout m -by- n matrice M et n -by- k matrice N. Par exemple, si n = 3:

$\ Mathbf {I} _3 = \ begin {} bmatrix 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 0 \\ & 0 & 1 \ end {} bmatrix.$

La matrice d'identit?? est l'??l??ment de l'identit?? dans l'anneau des matrices carr??es.

??l??ments inversible dans cet anneau sont appel??s matrices inversibles ou matrices non singuli??res. Une matrice n par n A est inversible si et seulement si il existe une matrice B de telle sorte que

AB = I _n (= BA).

Dans ce cas, B est le matrice inverse de A, not?? A ^-1. L'ensemble de tous les n -by- n matrices inversibles forme un groupe (en particulier un groupe de Lie) sous la multiplication de matrices, le groupe lin??aire.

Si λ est un nombre et v est un vecteur non nul de telle sorte que Av = λ v, puis nous appelons v un vecteur propre de A et λ l'associ?? valeur propre . (Eigen signifie ??propre?? en allemand et en n??erlandais .) Le nombre λ est une valeur propre de A si et seulement si A -λ I _n est pas inversible, ce qui arrive si et seulement si p _A (λ) = 0. Voici p _A (x) est la polyn??me caract??ristique de A. Ce est un polyn??me de degr?? n et a donc n racines complexes (comptage des racines multiples en fonction de leur multiplicit??). En ce sens, chaque matrice carr??e a n valeurs propres complexes.

Le d??terminant d'une matrice carr??e A est le produit de ses n valeurs propres, mais il peut ??galement ??tre d??finie par la Formule de Leibniz. Matrices inversibles sont pr??cis??ment ces matrices avec un d??terminant diff??rent de z??ro.

L' ??limination de Gauss algorithme est d'une importance centrale: il peut ??tre utilis?? pour calculer les d??terminants, les grades et les inverses de matrices et de r??soudre des syst??mes d'??quations lin??aires .

Le trace d'une matrice carr??e est la somme de ses entr??es en diagonale, ce qui ??quivaut ?? la somme de ses valeurs propres n.

Matrice exponentielle est d??finie pour les matrices carr??es, en utilisant la s??rie de puissance .

Types de matrices sp??ciales

Dans de nombreux domaines des math??matiques, des matrices avec certaine structure se posent. Quelques exemples sont importants

Matrices sym??triques sont telles que les ??l??ments sym??triques sur la diagonale principale (?? partir du coin sup??rieur gauche au coin inf??rieur droit) sont ??gales, ce est-?? $a_ {i, j} = {a_ j, i} \ leftrightarrow \ mathbf {A} ^ \ mathrm {T} = \ mathbf {A}$ .
Antisym??trique de telle sorte que les matrices sont sym??triques autour des ??l??ments de la diagonale principale sont le n??gatif de l'autre, ce est-?? $a_ {i, j} = - a_ {j, i} \ leftrightarrow \ mathbf {A} ^ \ mathrm {T} = - \ mathbf {A}$ . Dans une matrice antisym??trique, tous les ??l??ments diagonaux sont ??gaux ?? z??ro, ce est-?? $a_ {i, i} = - a_ {i, i} \ Rightarrow a_ {i, i = 0}$ .
Hermitiques (ou auto-adjoint) matrices sont telles que les ??l??ments sym??triques autour de la diagonale sont les uns des autres conjugu??s complexes, ce est- $a_ {i, j} = \ overline {a} {_ j, i} \ leftrightarrow \ mathbf {A} ^ \ mathrm {H} = \ mathbf {A}$ O?? $\ Overline {z}$ signifie le conjugu?? complexe d'un nombre complexe $z$ et $\, \! \ Mathbf {A} ^ \ mathrm {H}$ la conjugu?? transpos??e de A.
Matrices de Toeplitz ont des ??l??ments communs sur leurs diagonales, ce est- $\, \! a_ {i, j} = a_ {i + 1, j + 1}$ .
Matrices stochastiques sont des matrices carr??es dont les lignes sont des vecteurs de probabilit??; ils sont utilis??s pour d??finir Cha??nes de Markov.
Une matrice carr??e A est appel?? idempotent si $\ Mathbf {A} ^ 2 = \ mathbf {AA} = \ mathbf {A}$ .

Pour une liste plus compl??te voir liste des matrices.

Matrices dans l'alg??bre abstraite

Si nous commen??ons avec un anneau R, on peut consid??rer l'ensemble M (m, n, R) de tous m par n matrices avec entr??es dans R. L'addition et la multiplication de ces matrices peuvent ??tre d??finis comme dans le cas des matrices r??elles ou complexes (voir ci-dessus ). L'ensemble M (n, R) de tous les n carr??e de n matrices plus R est un anneau dans son propre droit, isomorphe au anneau de endomorphisme de la gauche R - Module R ^n.

De m??me, si les donn??es sont extraites d'un semiring S, plus de la matrice et la multiplication peuvent encore ??tre d??finis comme d'habitude. L'ensemble de tous les n carr?? ?? n matrices sur S est elle-m??me un semi-anneau. Notez que les algorithmes de multiplication rapide de la matrice comme le Strassen algorithme g??n??ral se appliquent uniquement aux matrices sur des anneaux et ne fonctionnera pas pour les matrices sur semi-anneaux qui ne sont pas des anneaux.

Si R est un anneau commutatif , alors M (n, R) est un Etat unitaire alg??bre associative sur R. Il est alors ??galement significative pour d??finir le facteur d??terminant des matrices carr??es en utilisant le Formule de Leibniz; une matrice est inversible si et seulement si son d??terminant est inversible dans R.

Toutes les d??clarations mentionn??es dans cet article pour les matrices r??elles ou complexes restent corrects pour les matrices sur un arbitraire domaine.

Les matrices sur une anneau de polyn??mes sont importants dans l'??tude de la th??orie du contr??le .

Matrices sans entr??es

Une question subtile qui est rarement pos??e est de savoir si il ya une telle chose comme une matrice 3 par 0. Ce serait une matrice avec 3 rang??es, mais sans colonnes, ce qui semble absurde. Toutefois, si l'on veut ??tre en mesure d'avoir des matrices pour toutes les cartes lin??aires entre espaces vectoriels de dimension finie, on a besoin de telles matrices, car il n'y a rien de mal avec des cartes lin??aires d'un espace de dimension 0 ?? un espace ?? 3 dimensions (en fait, si les espaces sont fix??s il ya une telle carte, la carte z??ro). Donc, on est conduit ?? admettre qu'il ya exactement un 3-par-0 matrice (qui a 3 ?? 0 = 0 entr??es; entr??es non NULL, mais pas du tout). De m??me, il existe des matrices ayant un nombre de colonnes positives mais aucune ligne. En outre, m??me en l'absence d'entr??es, il faut toujours garder une trace du nombre de lignes et de colonnes, puisque le produit BC o?? B est la matrice 3 par 0 et C est une matrice 0-en-4 est un tout ?? fait normal 3 -par-4 matrice, dont tous les 12 entr??es sont 0 (comme ils sont donn??s par un somme vide). Notez que ce calcul de la Colombie-Britannique justifie le crit??re donn?? ci-dessus pour le rang d'une matrice en termes d'expressions possibles comme un produit: la matrice 3-en-4 avec z??ro entr??es a certainement rang 0, il devrait donc ??tre le produit d'un 3 -par 0-matrice et d'une matrice 0-en-4. Pour permettre et de distinguer entre les matrices sans entr??es, matrices devraient formellement ??tre d??finis, dans un style d'informatique un peu p??dant, comme quadruples (A, R, C, M), o?? A est l'ensemble dans lequel les entr??es vivent, R et C sont (naturelles) les num??ros de lignes et de colonnes, et M est la collection rectangulaire d'??l??ments rc de A (la matrice dans le sens habituel).

Histoire

L'??tude de matrices est assez vieux. Un 3-en-3 carr?? magique appara??t dans Litt??rature chinoise datant de d??s 650 av.

Matrices ont une longue histoire d'application dans la r??solution des ??quations lin??aires . Un important Texte chinois d'entre 300 avant JC et 200 apr??s JC, Les Neuf Chapitres sur l'art math??matique (Jiu Zhang Suan Shu), est le premier exemple de l'utilisation de m??thodes matricielles pour r??soudre des ??quations simultan??es . Dans le septi??me chapitre, "Trop et pas assez," le concept d'un facteur d??terminant appara??t d'abord pr??s de 2000 ans avant sa publication par le Math??maticien japonais Seki Kowa en 1683 et le math??maticien allemand Gottfried Leibniz dans 1693.

Les carr??s magiques ??taient connus Math??maticiens arabes, peut-??tre d??s le 7??me si??cle, quand les Arabes ont conquis nord-ouest du Sous-continent indien et appris les math??matiques indiennes et astronomie, y compris d'autres aspects de math??matiques combinatoires . Il a ??galement ??t?? sugg??r?? que l'id??e est venue par la Chine. Les premiers carr??s magiques d'ordre 5 et 6 apparaissent dans une encyclop??die de Bagdad vers 983 AD, le Encyclop??die des Fr??res de la Puret?? (Rasa'il Ihkwan al-Safa); simples carr??s magiques ont ??t?? connus ?? plusieurs math??maticiens arabes ant??rieures.

Apr??s le d??veloppement de la th??orie des d??terminants par Kowa Seki et Leibniz ?? la fin du 17??me si??cle, Cramer a d??velopp?? la th??orie plus loin dans le 18e si??cle, pr??sentant La r??gle de Cramer en 1750 . Carl Friedrich Gauss et Wilhelm Jordan d??velopp?? Gauss-Jordan ??limination dans les ann??es 1800.

Le terme ??matrice?? a ??t?? invent?? en 1848 par JJ Sylvester. Cayley, Hamilton, Grassmann, Frobenius et von Neumann sont parmi les c??l??bres math??maticiens qui ont travaill?? sur la th??orie de la matrice.

Olga Taussky-Todd (1906-1995) a fait des contributions importantes ?? la matrice th??orie, l'utiliser pour enqu??ter sur un ph??nom??ne a??rodynamique appel?? ou flottant a??ro??lasticit?? cours de la Seconde Guerre mondiale . Elle a ??t?? appel?? ??porteur de flambeau" pour la th??orie de la matrice.

??ducation

Matrices ??taient traditionnellement enseign??es dans le cadre de l'alg??bre lin??aire dans un coll??ge ou avec le calcul. Avec l'adoption de int??gr?? textes de math??matiques pour une utilisation ?? l'??cole secondaire dans les ann??es 1990, ils ont ??t?? inclus par de nombreux textes tels comme le Base + Mathematics Project qui sont souvent la cible d??s la neuvi??me ann??e, ou plus t??t pour les honneurs ??tudiants. Elles n??cessitent souvent l'utilisation de calculatrices graphiques comme le TI-83 qui peut effectuer des op??rations complexes telles que l'inversion de matrice tr??s rapidement.

Bien que la plupart des langages informatiques ne sont pas con??us avec des commandes ou des biblioth??ques pour les matrices, d??s les ann??es 1970, certains ordinateurs de bureau d'ing??nierie tels que la HP 9830 avait cartouches ROM pour ajouter des commandes de base pour matrices. Certains langages informatiques tels que APL, ont ??t?? con??us pour manipuler des matrices, et des programmes tels que math??matiques Mathematica, avec Maple, Matlab, et Octave sont ??galement utilis??s pour faciliter le calcul des matrices.

Applications

Chiffrement

Les matrices peuvent ??tre utilis??es pour crypter des donn??es num??riques. Le chiffrement est r??alis?? par multiplication de la matrice de donn??es avec une matrice de touches. Le d??cryptage se fait simplement en multipliant la matrice chiffr??e avec l'inverse de la cl??.

Infographie

4 ?? 4 matrices de transformation sont couramment utilis??s dans l'informatique graphique. La gauche 3 ?? 3 partie sup??rieure d'une matrice de transformation est compos??e de la nouvelle X, Y, et Z de la post-transformation de coordonn??es de l'espace.

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