Alg??bre lin??aire

Alg??bre lin??aire est la branche de math??matiques concern??s par l'??tude des vecteurs , espaces vectoriels (??galement appel??s espaces lin??aires), cartes lin??aires (??galement appel??s transformations lin??aires), et des syst??mes d'??quations lin??aires . Espaces vectoriels sont un th??me central dans modernes des math??matiques ; Ainsi, lin??aire alg??bre est largement utilis?? ?? la fois dans l'alg??bre abstraite et analyse fonctionnelle. Alg??bre lin??aire a ??galement une repr??sentation concr??te de la g??om??trie analytique et il est g??n??ralis?? dans la th??orie de l'op??rateur. Il a des applications ??tendues dans le sciences naturelles et de la sciences sociales, puisque les mod??les non lin??aires peuvent souvent ??tre estim??s par les lin??aires.

Histoire

L'histoire de l'alg??bre lin??aire moderne remonte au d??but des ann??es 1840. En 1843, William Rowan Hamilton introduit quaternions, qui d??crivent la m??canique dans l'espace tridimensionnel. En 1844, Hermann Grassmann a publi?? son livre Die Lineale Ausdehnungslehre (voir r??f??rences). Arthur Cayley introduit matrices , l'une des id??es alg??briques lin??aires les plus fondamentaux, en 1857. En d??pit de ces premiers d??veloppements, alg??bre lin??aire a ??t?? d??velopp?? principalement dans le XXe si??cle.

Matrices ont ??t?? mal d??finis avant le d??veloppement de la th??orie des anneaux dans les alg??bre abstraite . Avec la venue de la relativit?? restreinte , de nombreux pratiquants ont gagn?? l'appr??ciation des subtilit??s de l'alg??bre lin??aire. En outre, l'application syst??matique de La r??gle de Cramer pour r??soudre des ??quations aux d??riv??es partielles a conduit ?? l'inclusion de l'alg??bre lin??aire ?? des cours dans les universit??s norme. ET Copson a ??crit, par exemple,

Francis Galton a lanc?? l'utilisation de corr??lation des coefficients en 1888. Souvent plus d'une variable al??atoire est en jeu et peut ??tre corr??lation crois??e. Dans l'analyse statistique des variables al??atoires multivari??es la matrice de corr??lation est un outil naturel. Ainsi, l'??tude statistique de ces vecteurs al??atoires a aid?? ?? ??tablir l'utilisation de la matrice.

Introduction ??l??mentaire

Alg??bre lin??aire a fait ses d??buts dans l'??tude des vecteurs dans cart??sienne deux-trois-espace et l'espace. Un vecteur, ici, est un dirig?? segment de ligne, caract??ris?? ?? la fois par son ampleur, repr??sent??e par la longueur, et sa direction. Les vecteurs peuvent ??tre utilis??s pour repr??senter des entit??s physiques telles que les forces , et ils peuvent ??tre ajout??s les uns aux autres et multipli??s par scalaires, formant ainsi le premier exemple d'un v??ritable espace de vecteur .

Alg??bre lin??aire moderne a ??t?? ??tendu ?? envisager des espaces de dimension arbitraire ou infinie. Un espace vectoriel de dimension n est appel?? un n -espace. La plupart des r??sultats utiles de 2 et 3 de l'espace peut ??tre ??tendu ?? ces espaces de dimensions sup??rieures. Bien que les gens ne peuvent pas facilement visualiser les vecteurs de n -espace, de tels vecteurs ou n uplets sont utiles dans la repr??sentation des donn??es. Depuis vecteurs, comme n-uplets, sont des listes ordonn??es de n composants, il est possible de r??sumer et de manipuler des donn??es efficacement dans ce cadre. Par exemple, dans l'??conomie , on peut cr??er et utiliser, par exemple, des vecteurs huit dimensions ou 8-uplets pour repr??senter la Produit national brut de 8 pays. On peut d??cider d'afficher le PNB de 8 pays pour une ann??e donn??e, lorsque l'ordre des pays est sp??cifi??, par exemple, ( ??tats-Unis , Royaume-Uni , France , Allemagne , Espagne , Inde , Japon , Australie ), en utilisant un vecteur (v _1, v _2, v _3, v _{4, 5} v, v _6, v _7, v ₈₎ o?? le PNB de chaque pays est dans sa position respective.

Un espace vectoriel (ou espace lin??aire), comme un concept purement abstrait dont les th??or??mes sont prouv??s, fait partie de l'alg??bre abstraite, et est bien int??gr?? dans cette discipline. Quelques exemples frappants de ce sont le groupe de cartes ou lin??aires inversibles matrices , et de la anneau de cartes lin??aires d'un espace vectoriel. Alg??bre lin??aire joue ??galement un r??le important dans l'analyse, notamment, dans la description des d??riv??s d'ordre sup??rieur dans l'analyse de vecteur et l'??tude des produits tensoriels et cartes alternance.

Dans ce cadre abstrait, les scalaires avec laquelle un ??l??ment d'un espace vectoriel peut ??tre multipli??e ne doivent pas ??tre des nombres. La seule exigence est que les scalaires forment une structure math??matique, appel??e domaine. Dans les applications, ce domaine est g??n??ralement le domaine des nombres r??els ou le champ des nombres complexes . Applications lin??aires prennent les ??l??ments d'un espace lin??aire ?? un autre (ou d'elle-m??me), d'une mani??re qui est compatible avec l'addition et la multiplication scalaire donn??e ?? l'espace (s) de vecteur. L'ensemble de toutes ces transformations est lui-m??me un espace vectoriel. Si un base d'un espace vectoriel est fix??, chaque transformation lin??aire peut ??tre repr??sent?? par un tableau de nombres appel??e matrice . L'??tude d??taill??e des propri??t??s de et algorithmes agissant sur des matrices, y compris les d??terminants et les vecteurs propres , est consid??r?? comme faisant partie de l'alg??bre lin??aire.

On peut dire tout simplement que la probl??mes lin??aires de math??matiques - ceux qui pr??sentent lin??arit?? dans leur comportement - sont les plus susceptibles d'??tre r??solus. Par exemple calcul diff??rentiel fait beaucoup avec approximation lin??aire ?? des fonctions. La diff??rence de probl??mes non lin??aires est tr??s important dans la pratique.

La m??thode g??n??rale de trouver un moyen lin??aire pour examiner un probl??me, exprimer cela en termes d'alg??bre lin??aire et le r??soudre, le cas ??ch??ant par des calculs de la matrice, est l'un des plus g??n??ralement applicable en math??matiques.

Certains th??or??mes utiles

• Chaque espace vectoriel a une base.
• Les deux bases de la m??me espace vectoriel ont la m??me cardinal; de fa??on ??quivalente, la dimension d'un espace vectoriel est bien d??fini.
• Une matrice est inversible si et seulement si son d??terminant est non nul.
• Une matrice est inversible si et seulement si le lin??aire repr??sent?? par la matrice est une isomorphisme.
• Si une matrice carr??e a un inverse ?? gauche ou ?? droite, puis inverse il est inversible (voir matrice inversible pour d'autres d??clarations ??quivalentes).
• Une matrice est semi-d??finie positive si et seulement si chacune de ses valeurs propres est sup??rieur ou ??gal ?? z??ro.
• Une matrice est d??finie positive si et seulement si chacune de ses valeurs propres est sup??rieur ?? z??ro.
• Le th??or??me spectral (concernant matrices diagonalisables).

G??n??ralisations et des sujets connexes

Depuis l'alg??bre lin??aire est une th??orie succ??s, ses m??thodes ont ??t?? d??velopp??es dans d'autres parties des math??matiques. En une th??orie de module remplace le corps des scalaires par un anneau. En Alg??bre multilin??aire on consid??re transformations lin??aires multivariables, ce est-mappages qui sont lin??aires dans chacun d'un nombre de diff??rentes variables. Cette ligne d'enqu??te conduit naturellement ?? l'id??e de la produit tenseur. Dans la th??orie spectrale des op??rateurs de contr??le des matrices de dimension infinie est acquise, en appliquant l'analyse math??matique dans une th??orie qui ne est pas purement alg??brique. Dans tous ces cas, les difficult??s techniques sont beaucoup plus importantes.

Note

1. ^ L'existence d'une base est simple pour type fini espaces vectoriels, mais dans les g??n??ralit??s, ce est logiquement ??quivalente ?? la axiome du choix.