Fonction inverse

Une fonction f et son inverse f ^-1. Parce que f mappe un ?? 3, le f inverse ^-1 cartes 3 revenir ?? un.

En math??matiques , une fonction inverse est une fonction qui annule une autre fonction: Si une entr??e x dans la fonction f produit une sortie y, alors y mettre dans la fonction inverse g produit la sortie x, et vice versa. ce est ?? dire f (x) = y, et g (y) = x. Plus directement, g (f (x)) = x, ce qui signifie g (x) compos?? avec f (x) x laisse inchang??.

Une fonction f qui a un inverse est appel?? inversible; la fonction inverse est alors uniquement d??termin??e par f et est d??sign??e par f ^-1 (lecture inverse f, ?? ne pas confondre avec exponentiation ).

D??finitions

Le mot inverse est li?? au mot inverti signifie inverser, tourner ?? l'envers, de faire le contraire.

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Si cadastraux f X ?? Y, cartes ^-1 puis f Y revenir ?? X.

Au lieu de consid??rer les inverses pour les entr??es et sorties individuelles, on peut penser ?? la fonction que l'envoi de l'ensemble des entr??es, le domaine, ?? un ensemble de sorties, les gamme. Soit f une fonction dont le domaine est l' ensemble X, et dont la port??e est l'ensemble Y. Alors f est inversible se il existe une fonction g avec le domaine Y et la gamme X, avec la propri??t??:

Si f est inversible, la fonction g est unique; en d'autres termes, il ya exactement une fonction g satisfaire cette propri??t?? (ni plus, ni moins). Cette fonction g est alors appel?? l'inverse de f, et g??n??ralement not??e f ^-1.

En d'autres termes, une fonction est inversible si et seulement si son relation est une fonction inverse de la plage Y, dans ce cas, la relation inverse est la fonction inverse.

Toutes les fonctions ne ont pas l'inverse. Pour que cette r??gle soit applicable, chaque ??l??ment y ∈ Y doit correspondre ?? pas plus d'un x ∈ X; une fonction f avec cette propri??t?? est appel??e un-??-un, ou des informations de pr??servation, ou un injection.

op??rations inverses qui conduisent ?? inverser fonctions Exemple:

Op??rations inverses sont ?? l'oppos?? des fonctions directes de variation. Fonction directe de variation sont bas??es sur la multiplication; y = kx. L'op??ration inverse de la multiplication est division et une fonction de variation inverse est y = k / x.

Exemple: quadrature et les fonctions de la racine carr??e

La fonction f (x) = x ² peut ou non ??tre inversible, en fonction du domaine.

Si le domaine est les nombres r??els, puis chaque ??l??ment de Y correspondrait ?? deux ??l??ments diff??rents dans X (?? x), et donc f ne serait pas inversible. Plus pr??cis??ment, la carr??e de x ne est pas inversible, car il est impossible de d??duire ?? partir de sa sortie le signe de son entr??e. Une telle fonction est appel??e non injectif ou information perdante. Notez que ni la racine carr??e ni la place principale racine fonction est l'inverse de x ² parce que la premi??re ne est pas rendements ?? valeur unique, et le second - x lorsque x est n??gatif.

Si le domaine est constitu?? des num??ros non-n??gatives, alors la fonction est injective et inversible.

Inverses en math??matiques sup??rieur

La d??finition donn??e ci-dessus est commun??ment adopt??e en th??orie des ensembles et de calcul . En math??matiques sup??rieures, la notation

signifie "f est un des ??l??ments de cartographie de la fonction d'un ensemble X ?? des ??l??ments d'un ensemble Y". La source, X, est appel?? le domaine de f, et la cible, Y, est appel?? le codomaine. Le codomain contient la gamme de f comme un sous-ensemble , et est consid??r?? comme faisant partie de la d??finition de f.

Lors de l'utilisation codomaines, l'inverse d'une fonction f: X → Y est requis d'avoir domaine Y et X codomaine. Pour l'inverse, ?? d??finir sur l'ensemble de Y, chaque ??l??ment de Y doit se situer dans la plage de la fonction f. Une fonction avec cette propri??t?? est appel??e sur ou un surjection. Ainsi, une fonction avec un ensemble d'arriv??e est inversible si et seulement si elle est ?? la fois injective (one-to-one) et surjective (sur). Une telle fonction est appel??e une ?? une correspondance ou d'un bijection, et a la propri??t?? que chaque ??l??ment y ∈ Y correspond ?? exactement un ??l??ment x ∈ X.

Inverses et la composition

Si f est une fonction inversible avec le domaine X et Y plage, puis

Cette instruction est ??quivalente ?? la premi??re des d??finitions mentionn??es ci-dessus de l'inverse, et il devient ??quivalente ?? la seconde d??finition si Y co??ncide avec le codomaine de f. Utilisation de la composition de fonctions , nous pouvons r????crire cette instruction comme suit:

o?? id est le _X fonction identit?? sur l'ensemble X; ce est la fonction X qui laisse inchang??e. En la th??orie des cat??gories, cette d??claration est utilis??e comme la d??finition d'un inverse morphisme.

Si nous pensons de la composition comme une sorte de multiplication des fonctions, cette identit?? dit que l'inverse d'une fonction est analogue ?? un inverse multiplicatif. Ceci explique l'origine de la notation f ^-1.

Remarque sur la notation

La notation des exposants pour un inverses peut parfois ??tre confondue avec d'autres utilisations des exposants, en particulier lorsqu'il se agit de trigonom??trique et fonctions hyperboliques. Pour ??viter cette confusion, les notations f ^[-1] ou avec le ^"-1" au-dessus du f sont parfois utilis??s.

Il est important de r??aliser que f ^-1 (x) ne est pas la m??me que f (x) ^-1. En f ^-1 (x), l'exposant "-1" ne est pas un exposant . Une notation similaire est utilis?? pour fonctions r??p??t??es. Par exemple, f ² repr??sente deux it??rations de la fonction f; si f (x) = x ² - 1, f ² (x) = f (f (x)) = f (x ² - 1) = (x ² - 1) ² - 1, ce qui simplifie ?? ⁴ x - 2 x ^2. Dans symboles:

Dans le calcul, f ^(n), avec entre parenth??ses, d??signe le n-i??me d??riv??e d'une fonction f. Par exemple:

Dans la trigonom??trie , pour des raisons historiques, sin ² X ne signifie g??n??ralement la place du p??ch?? x:

Toutefois, l'expression sin ^-1 x habituellement ne repr??sentent pas l'inverse multiplicatif de p??cher x, mais l'inverse de la fonction sinus appliqu??e ?? x (en fait un inverse partielle ; voir ci-dessous). Pour ??viter toute confusion, un fonction trigonom??trique inverse est souvent indiqu?? par le pr??fixe "arc". Par exemple, l'inverse de la fonction sinus est typiquement appel?? le fonction arcsinus, ??crit arcsin, qui est, comme le p??ch??, classiquement d??sign?? dans caract??res romains et non dans italiques (Notez que les biblioth??ques de logiciels de fonctions math??matiques utilisent souvent le nom asin):

La fonction (sin x) ^-1 est l'inverse multiplicatif au sinus, et est appel??e la cos??cante . Il est g??n??ralement csc x not??e:

Fonctions hyperboliques se comportent de mani??re similaire, en utilisant le pr??fixe "ar", comme dans arsinh pour la fonction inverse de sinh, et pour x csch l'inverse multiplicatif de sinh x.

Propri??t??s

Unicit??

Si une fonction inverse existe pour une fonction donn??e f, il est unique: il doit ??tre le relation inverse.

Sym??trie

Il existe une sym??trie entre une fonction et son inverse. Plus pr??cis??ment, si f est une fonction inversible avec le domaine X et Y gamme, alors son inverse f ^-1 a domaine Y et la gamme X, et l'inverse de f ^-1 est la fonction f originale. En symboles, pour f une fonction avec le domaine X et Y gamme, et g une fonction avec le domaine Y et la gamme X:

Cela d??coule de la connexion entre la fonction inverse et relation inverse, parce inversion de relations est un involution.

Cette d??claration est une cons??quence ??vidente de la d??duction que pour f soit inversible, il doit ??tre injective (premi??re d??finition de l'inverse) ou bijective (deuxi??me d??finition). La propri??t?? de sym??trie peut ??tre exprim??e de fa??on concise par la formule suivante:

L'inverse de g o f est f ^-1 o g ^-1.

L'inverse d'une composition de fonctions est donn??e par la formule

Notez que l'ordre de g et f ont ??t?? invers??e; pour annuler f suivi par g, nous devons d'abord d??faire g puis d??faire f.

Par exemple, soit f (x) = x 3 et laisser g (x) = x + 5 Puis la composition g o f est la fonction qui multiplie par trois premiers, puis ajoute cinq.:

Pour inverser ce processus, nous devons d'abord soustraire cinq, puis diviser par trois:

Ce est la composition (f ^-1 o g ^-1) (y).

Auto-inverses

Si X est un ensemble, alors le fonction identit?? sur X est son propre inverse:

Plus g??n??ralement, une fonction f: X → X est ??gale ?? sa propre inverse si et seulement si la composition f o f est ??gal ?? _X id. Une telle fonction est appel??e involution.

Inverses en calcul

Une variable calcul est principalement concern??e par les fonctions qui correspondent nombres r??els aux nombres r??els. De telles fonctions sont souvent d??finis par des formules telles que:

Une fonction f des nombres r??els pour les nombres r??els poss??de un inverse aussi longtemps que ce est l'un-??-un, la valeur de x ??-dire aussi longtemps que le graphique de y = f (x) pr??sente, pour chaque valeur y possible que l'une correspondante , et passe ainsi le test de ligne horizontale.

Le tableau suivant pr??sente plusieurs fonctions standard et leurs inverses:

La fonction f (x)	F inverse -1 (y)	Remarques
x + a	y - un
a - x	a - y
mx	y / m	m ≠ 0
1 / x	1 / y	x, y ≠ 0
x 2		x, y ≥ 0 uniquement
x 3		aucune restriction sur x et y
x p	y 1 / p (ce est ?? dire )	x, y ≥ 0, en g??n??ral, p ≠ 0
e x	ln y	y> 0
un x	connecter un y	y> 0 et a> 0
fonctions trigonom??triques	fonctions trigonom??triques inverses	diverses restrictions (voir tableau ci-dessous)

Formule pour l'inverse

Une approche pour trouver une formule de ^F-1, se il existe, est de r??soudre l'??quation y = f (x) pour x. Par exemple, si f est la fonction

alors nous devons r??soudre l'??quation y = (x 2 + 8) ³ pour x:

Ainsi, la fonction inverse F ^-1 est donn??e par la formule

Parfois, l'inverse d'une fonction ne peut ??tre exprim??e par une formule avec un nombre fini de termes. Par exemple, si f est la fonction

f est un-??-un, et poss??de donc une fonction inverse ^f-1. La formule pour cette inverse a un nombre infini de termes:

Le graphique de l'inverse

Les graphiques de y = f (x) et y = f ^-1 (x). La ligne en pointill?? est y = x.

Si f et ^f-1 sont inverses, alors le graphe de la fonction

est la m??me que celle du graphique de l'??quation

Elle est identique ?? l'??quation y = f (x) qui d??finit le graphe de f, ?? l'exception que les r??les de x et y ont ??t?? invers??s. Ainsi, le graphe de f ^-1 peut ??tre obtenu ?? partir de la courbe de f en commutant les positions des axes x et y. Ceci est ??quivalent ?? refl??tant le graphique dans la droite y = x.

Inverses et d??riv??s

Un fonction continue f est un-??-un (et donc inversible) si et seulement si elle est soit strictement augmentant ou en diminuant (sans locale maxima ou minima). Par exemple, la fonction

est inversible, car le d??riv?? de f '(x) = x 3 ² + 1 est toujours positif.

Si la fonction f est diff??rentiables, alors l'inverse f ^-1 seront diff??rentiables tant que f '(x) ≠ 0. Le d??riv?? de l'inverse est donn??e par la fonction inverse th??or??me:

Si l'on pose x = f ^-1 (y), la formule ci-dessus peut ??tre ??crite

Ce r??sultat d??coule du r??gle de la cha??ne (voir l'article sur fonctions inverses et la diff??renciation).

Le th??or??me des fonctions inverse peut ??tre g??n??ralis?? aux fonctions de plusieurs variables. Plus pr??cis??ment, une fonction diff??rentiable f: R ⁿ → R ⁿ est inversible dans un voisinage d'un point p tant que le Jacobienne matrice de f en p est inversible. Dans ce cas, le jacobien de f ?? f ^-1 (p) est la matrice inverse du jacobien de f ?? la p.

Exemples du monde r??el

Par exemple, soit f la fonction qui convertit une temp??rature en degr??s Celsius de la temp??rature en degr??s Fahrenheit:

alors sa fonction inverse convertit degr??s Fahrenheit en degr??s Celsius:

depuis

Ou, supposons f attribue ?? chaque enfant dans une famille de son ann??e de naissance. Une fonction inverse serait sortie qui l'enfant est n?? dans une ann??e donn??e. Cependant, si la famille a des jumeaux ou des tripl??s (), puis la sortie ne peut pas ??tre connu lorsque l'entr??e est l'ann??e de naissance commune. En outre, si une ann??e est donn??e dans laquelle aucun enfant ne est n??, puis un enfant ne peut pas ??tre nomm??. Mais si chaque enfant est n?? dans une ann??e distincte, et si on se limite aux trois ann??es au cours desquelles un enfant est n??, puis nous avons une fonction inverse. Par exemple,

G??n??ralisations

Inverses partiels

La racine carr??e de x est un inverse partielle f (x) = x ^2.

M??me si une fonction f ne est pas un ?? un, il peut ??tre possible de d??finir un inverse de f partielle en limitant le domaine. Par exemple, la fonction

ne est pas une ?? une, ??tant donn?? que x ² = (- x) ^2. Cependant, la fonction devient un-??-un, si nous limitons au domaine x ≥ 0, auquel cas

(Si nous limitons lieu au domaine x ≤ 0, alors l'inverse est le n??gatif de la racine carr??e de y.) Sinon, il ne est pas n??cessaire de restreindre le domaine si nous sommes satisfaits de l'inverse ??tant un fonction ?? valeurs multiples:

L'inverse de cette fonction cubique a trois branches.

Parfois, cela inverse valeurs multiples est appel?? la pleine inverse de f, et les parties (tels que √ x et x -√) sont appel??es branches. La branche la plus importante d'une fonction ?? valeurs multiples (par exemple la racine carr??e positive) est appel??e la branche principale, et sa valeur ?? y se appelle la valeur principale de f ^-1 (y).

Pour une fonction continue sur la droite r??elle, une branche est n??cessaire entre chaque paire de extrema locaux. Par exemple, l'inverse d'une fonction cubique avec un maximum local et un minimum local a trois branches (voir l'image ?? droite).

Le arcsinus est un inverse partielle de la fonction sinus.

Ces consid??rations sont particuli??rement importantes pour d??finir les inverses des fonctions trigonom??triques . Par exemple, le fonction sinus ne est pas un-??-un, depuis

pour tous les r??els x (et plus g??n??ralement sin (x + 2π n) = sin (x) pour tout entier n). Cependant, le sinus est une-??-une dans l'intervalle [- ^π / _2, ^π / _2], et l'inverse partiel correspondant est appel?? le arcsinus. Ceci est consid??r?? comme la branche principale du sinus inverse, de sorte que la valeur principale du sinus inverse est toujours comprise entre - ^π / ₂ et ^π / _2. Le tableau suivant d??crit la branche principale de chaque fonction trigonom??trique inverse:

fonction	Gamme de d'habitude valeur principale
sin -1	- Π / 2 ≤ sin -1 (x) ≤ π / 2
cos -1	0 ≤ -1 cos (x) ≤ π
tan -1	- Π / 2 <tan -1 (x) <π / 2
lit -1	0 <lit -1 (x) <π
sec -1	0 ≤ s -1 (x) ≤ π
csc -1	- Π / 2 ≤ csc -1 (x) ≤ π / 2

Gauche et droite inverses

Si f: X → Y, un inverse ?? gauche pour f (ou r??traction de f) est une fonction g: Y → X tel que

Ce est, la fonction g satisfait ?? la r??gle

Ainsi, g doit ??tre ??gale ?? l'inverse de f sur la gamme de f, mais peut prendre toutes les valeurs pour les ??l??ments de Y ne sont pas dans la gamme. Une fonction f avec un inverse ?? gauche est n??cessairement injective. En math??matiques classiques, chaque fonction injective f a n??cessairement une inverse ?? gauche; toutefois, cela peut ??chouer dans math??matiques constructives. Par exemple, un inverse ?? gauche de l'inclusion {0,1} → R des deux-ensemble d'??l??ments dans les reals viole en donnant une ind??composabilit?? r??traction de la ligne r??elle ?? l'ensemble {0,1}.

Un inverse ?? droite pour f (ou section de f) est une fonction h: Y → X tel que

Ce est, la fonction h satisfait ?? la r??gle

Ainsi, h (y) peut ??tre ne importe lequel des ??l??ments de X qui correspondent aux sous f y. Une fonction f a un inverse ?? droite si et seulement si il est surjective (si la construction d'une telle inverse en g??n??ral exige que le axiome du choix).

L'inverse qui est ?? la fois ?? gauche et inverse ?? droite doivent ??tre uniques. De m??me, si g est un inverse ?? gauche pour f, g peut ou ne peut pas ??tre un inverse ?? droite pour f; et si g est un inverse ?? droite pour f, g ne est pas n??cessairement un inverse ?? gauche pour f. Par exemple soit f: R → [0, ∞) d??signent la carte quadrature, tel que f (x) = x ² pour tout x dans R, et laissez g: [0, ∞) → R d??signer la carte de la racine carr??e, tels que g (x) = √x pour tous x≥0. Alors f (g (x)) = x pour tout x dans [0, ∞); ce est-g est un inverse ?? droite ?? f. Cependant, g est pas un inverse de f gauche, ??tant donn?? que, par exemple, g (f (-1)) = 1 ≠ -1.

Pr??images

Si f: X → Y est une fonction (pas n??cessairement inversible), l'image r??ciproque (ou une image inverse) d'un ??l??ment y ∈ Y est l'ensemble de tous les ??l??ments de X qui correspondent ?? y:

L'image r??ciproque de y peut ??tre consid??r?? comme le image de y sous le (valeurs multiples) compl??te inverse de la fonction f.

De m??me, si S est tout sous-ensemble de Y, l'image r??ciproque de S est l'ensemble des ??l??ments de X qui correspondent ?? S:

Par exemple, prenez une fonction f: R → R, o?? f: x ↦ x ^2. Cette fonction ne est pas inversible pour les raisons ??voqu??es ci-dessus . Pourtant pr??images peuvent ??tre d??finies pour les sous-ensembles de l'ensemble d'arriv??e:

L'image r??ciproque d'un seul ??l??ment y ∈ Y - un singleton ensemble {y} - est parfois appel?? le fibres de y. Lorsque Y est l'ensemble des nombres r??els, il est courant de se r??f??rer ?? f ^-1 (y) en tant que niveau r??gl??.