David Hilbert

David Hilbert
David Hilbert (1912)
N??	(23/01/1862) Janvier 23, 1862 K??nigsberg ou Wehlau, Province de Prusse (aujourd'hui Znamensk, Kaliningrad Oblast, Russie )
Mort	14 f??vrier 1943 (14/02/1943) (81 ans) G??ttingen, Allemagne
R??sidence	Allemagne
Nationalit??	Allemand
Les champs	Math??maticien et Philosophe
Institutions	Universit?? de K??nigsberg Universit?? de G??ttingen
Alma mater	Universit?? de K??nigsberg
Conseiller de doctorat	Ferdinand von Lindemann
Doctorants	Wilhelm Ackermann Otto Blumenthal Werner Boy Richard Courant Haskell Curry Max Dehn Paul Funk Kurt Grelling Alfr??d Haar Erich Hecke Earle Hedrick Ernst Hellinger Wallie Hurwitz Oliver Kellogg Hellmuth Kneser Robert K??nig Emanuel Lasker Charles Max Mason Erhard Schmidt Andreas Speiser Hugo Steinhaus Gabriel Soudan Teiji Takagi Hermann Weyl Ernst Zermelo
Connu pour	Th??or??me de la base de Hilbert Les axiomes de Hilbert Probl??mes de Hilbert Le programme de Hilbert Action d'Einstein-Hilbert Espace de Hilbert
Influences	Emmanuel Kant
Prix remarquables	ForMemRS

David Hilbert, ForMemRS (allemand: [Daːvɪt hɪlbɐt]; 23 janvier 1862 - le 14 F??vrier, 1943) ??tait un Allemand math??maticien . Il est reconnu comme l'un des math??maticiens les plus influents et les plus universelles des 19e et 20e si??cles. Hilbert a d??couvert et d??velopp?? un large ??ventail d'id??es fondamentales dans de nombreux domaines, y compris la th??orie des invariants et de la axiomatisation de la g??om??trie. Il a ??galement formul?? la th??orie de Espaces de Hilbert, une des bases de analyse fonctionnelle.

Hilbert a adopt?? et chaudement d??fendu Georg Cantor th??orie des ensembles s 'et nombres transfinis. Un exemple c??l??bre de son leadership dans les math??matiques est son 1900 la pr??sentation d'un collection de probl??mes qui fixent le cadre pour une grande partie de la recherche math??matique du 20e si??cle.

Hilbert et ses ??tudiants ont contribu?? de mani??re significative ?? l'??tablissement de rigueur et d??velopp?? des outils importants utilis??s dans la physique math??matique moderne. Hilbert est connu comme l'un des fondateurs de th??orie de la preuve et la logique math??matique, ainsi que pour ??tre parmi les premiers ?? distinguer entre les math??matiques et m??tamath??matique.

Vie

Hilbert, le premier de deux enfants de Otto et Maria Therese (Erdtmann) Hilbert, est n?? dans la Province de Prusse - soit dans K??nigsberg (selon la propre d??claration de Hilbert) ou dans Wehlau (connu depuis 1946 comme Znamensk) pr??s de K??nigsberg o?? son p??re travaillait au moment de sa naissance. ?? l'automne de 1872, il entra dans la Friedrichskolleg Gymnasium (Collegium Fridericianum, la m??me ??cole que Kant avait assist?? 140 ann??es avant), mais apr??s une p??riode malheureuse, il transf??r?? ?? (automne 1879) et dipl??m?? de (printemps 1880), plus orient??e vers la science-Wilhelm Gymnasium. Apr??s sa graduation, il se inscrit (automne 1880) ?? la Universit?? de K??nigsberg, le "Albertina". Au printemps de 1882, Hermann Minkowski (deux ans plus jeune que Hilbert et aussi natif de K??nigsberg, mais tellement talentueux qu'il avait obtenu son dipl??me au d??but de son gymnase et all?? ?? Berlin pour trois semestres), est retourn?? ?? K??nigsberg et est entr?? ?? l'universit??. "Hilbert savait sa chance quand il le vit. En d??pit de la d??sapprobation de son p??re, il est vite devenu amis avec le timide, dou??e Minkowski." En 1884, Adolf Hurwitz arriv?? de G??ttingen comme un Extraordinarius, soit un professeur agr??g??. Un ??change scientifique intense et fructueuse entre les trois a commenc??, et Minkowski et Hilbert serait surtout exercer une influence r??ciproque sur l'autre ?? diff??rents moments de leur carri??re scientifique. Hilbert a obtenu son doctorat en 1885, avec une th??se, ??crite en vertu de Ferdinand von Lindemann, intitul?? Spezieller Qui invariante Eigenschaften bin??rer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen ("Sur les propri??t??s invariantes de la sp??ciale formes binaires, en particulier les fonctions harmoniques sph??riques ").

Hilbert est rest?? ?? l'universit?? de K??nigsberg comme un Privatdozent (Ma??tre de conf??rences) de 1886 ?? 1895. En 1892, Hilbert mari?? K??the Jerosch (1864-1945), "la fille d'un marchand Konigsberg, une jeune femme franche avec une ind??pendance d'esprit qui adapt?? son propre ". Bien ?? K??nigsberg ils avaient leur un enfant, Franz Hilbert (1893-1969). En 1895, ?? la suite de l'intervention en son nom par Felix Klein, il a obtenu le poste de professeur de math??matiques ?? la Universit?? de G??ttingen, ?? l'??poque le meilleur centre de recherche pour les math??matiques dans le monde. Il y est rest?? pour le reste de sa vie.

Son fils Franz a souffert toute sa vie d'une maladie mentale non diagnostiqu??e: son intelligence inf??rieure ??tait une terrible d??ception ?? son p??re et ce malheur ??tait une question de d??tresse pour les math??maticiens et ??tudiants ?? G??ttingen. Minkowski - Hilbert ??meilleur et le plus vrai ami" - morts pr??matur??ment d'une rupture de l'appendice en 1909.

L'Institut de math??matiques ?? G??ttingen. Son nouveau b??timent, construit avec des fonds du Fondation Rockefeller, a ??t?? ouverte par Hilbert et Courant en 1930.

L'??cole G??ttingen

Parmi les ??tudiants de Hilbert ??taient Hermann Weyl, champion d'??checs Emanuel Lasker, Ernst Zermelo, et Carl Gustav Hempel. John von Neumann ??tait son assistant. ?? l'Universit?? de G??ttingen, Hilbert ??tait entour?? d'un cercle social de certains des math??maticiens les plus importants du 20e si??cle, comme Emmy Noether et Alonzo Church.

Parmi ses 69 Ph.D. ??tudiants ?? G??ttingen en avait beaucoup qui devint plus tard math??maticiens c??l??bres, y compris (avec date de th??se): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911), et Wilhelm Ackermann (1925). Entre 1902 et 1939 Hilbert ??tait r??dacteur en chef du Mathematische Annalen, le premier journal math??matique du temps.

"Bon, il n'a pas eu assez d'imagination pour devenir math??maticien".

La r??ponse de -Hilbert en apprenant que l'un de ses ??tudiants avait abandonn?? pour ??tudier la po??sie.

Ans plus tard

Hilbert a v??cu pour voir les nazis purger la plupart des membres du corps professoral de premier plan au Universit?? de G??ttingen en 1933. Ceux chass?? inclus Hermann Weyl (qui avait pris la chaise de Hilbert quand il a pris sa retraite en 1930), Emmy Noether et Edmund Landau. Celui qui a d?? quitter l'Allemagne, Paul Bernays, avait collabor?? avec Hilbert la logique math??matique, et co-auteur avec lui le livre important Grundlagen der Mathematik (qui a finalement paru en deux volumes, en 1934 et 1939). Ce ??tait une suite au Hilbert Livre Ackermann Principes de logique math??matique de 1928.

Environ un an plus tard, Hilbert a assist?? ?? un banquet et ??tait assis ?? c??t?? de la nouvelle ministre de l'??ducation, Bernhard Rust. Rust a demand??, "Comment les math??matiques ?? G??ttingen, maintenant qu'il a ??t?? lib??r?? de l'influence juive?" Hilbert a r??pondu, ??Les math??matiques ?? G??ttingen? Il n'y a vraiment aucun plus."

De Hilbert la tombe:
Wissen m??ssen wir
Wir werden Wissen

Au moment de Hilbert est mort en 1943, les nazis avaient presque compl??tement restaffed l'universit??, dans la mesure o?? beaucoup de l'ancienne facult?? avaient ??t?? soit juive ou mari??s ?? des Juifs. L'enterrement de Hilbert a ??t?? suivie par moins d'une douzaine de personnes, dont deux seulement ??taient coll??gues universitaires, parmi eux Arnold Sommerfeld, un physicien th??orique et aussi natif de K??nigsberg. Nouvelles de sa mort ne est devenu connu dans le monde plus large six mois apr??s il ??tait mort.

Sur ses opinions religieuses, il ??tait agnostique. Il a ??galement fait valoir que la v??rit?? math??matique est ind??pendante de l'existence de Dieu ou d'autres hypoth??ses a priori.

L'??pitaphe sur sa pierre tombale ?? G??ttingen se compose des lignes c??l??bres, il a parl?? ?? la fin de son discours de d??part ?? la retraite ?? la Soci??t?? des scientifiques allemands et m??decins ?? l'automne 1930. Les mots ont ??t?? donn??s en r??ponse ?? la maxime latine: " Ignorabimus ??ou?? Nous ne savons pas, nous ne saurons pas ":

Wir m??ssen Wissen.

Wir werden Wissen.

En Anglais:

Nous devons savoir.

Nous saurons.

La veille Hilbert prononc?? ces phrases ?? la r??union annuelle 1930 de la Soci??t?? des scientifiques allemands et m??decins, Kurt G??del-?? une table ronde lors de la Conf??rence sur l'??pist??mologie tenue conjointement avec les r??unions de la Soci??t??-provisoirement annonc?? la premi??re expression de son th??or??me de l'incompl??tude.

Hilbert r??sout le probl??me de Gordan

Le premier travail de Hilbert sur les fonctions invariantes l'a conduit ?? la d??monstration en 1888 de son c??l??bre th??or??me de finitude. Vingt ans plus t??t, Paul Gordan avait d??montr?? la th??or??me de la finitude de g??n??rateurs pour les formes binaires en utilisant une approche de calcul complexe. Les tentatives de g??n??raliser sa m??thode ?? des fonctions avec plus de deux variables ??chou?? en raison de l'??norme difficult?? des calculs impliqu??s. Afin de r??soudre ce qui est devenu connu dans certains milieux comme un probl??me de Gordan, Hilbert a r??alis?? qu'il ??tait n??cessaire de prendre un chemin compl??tement diff??rent. En cons??quence, il a d??montr?? Th??or??me de la base de Hilbert, montrant l'existence d'un ensemble fini de g??n??rateurs, pour les invariants de QUANTIQUE dans ne importe quel nombre de variables, mais dans une forme abstraite. Ce est, tout en d??montrant l'existence d'un tel ensemble, ce ne ??tait pas un preuve constructive - il n'a pas afficher "un objet" - mais plut??t, ce ??tait un existence preuve et se est appuy?? sur l'utilisation de la Loi du Milieu Exclu dans une extension infinie.

Hilbert a envoy?? ses r??sultats ?? la Mathematische Annalen. Gordan, l'expert de la maison sur la th??orie des invariants pour le Mathematische Annalen, pourrait ne pas appr??cier la nature r??volutionnaire du th??or??me de Hilbert et a rejet?? l'article, critiquant l'exposition parce qu'elle ne ??tait pas suffisamment compl??te. Son commentaire ??tait:

Das ist nicht Mathematik. Das ist Th??ologie.

(Ce ne est pas les math??matiques. Ce est la th??ologie.)

Klein, d'autre part, a reconnu l'importance du travail, et garanti qu'elle serait publi??e sans aucune modification. Encourag?? par Klein, Hilbert dans un second article ??tendu sa m??thode, fournir des estimations sur le degr?? maximal de l'ensemble minimal de g??n??rateurs, et il tire une fois de plus ?? l'Annalen. Apr??s avoir lu le manuscrit, Klein a ??crit, en lui disant:

Sans doute est-ce le travail le plus important sur l'alg??bre g??n??rale que le Annalen n'a jamais publi??.

Plus tard, apr??s l'utilit?? de la m??thode de Hilbert a ??t?? universellement reconnu, Gordan lui dirait:

Je me suis convaincu que m??me la th??ologie a ses m??rites.

Pour tous ses succ??s, la nature de sa preuve agit?? jusqu'?? plus de mal que de Hilbert aurait pu imaginer ?? l'??poque. Bien que Kronecker avait conc??d??, Hilbert plus tard r??pondre ?? des critiques similaires des autres que ??de nombreuses constructions diff??rentes sont englob??es dans une id??e fondamentale" - en d'autres termes (pour citer Reid): ??Gr??ce ?? une preuve de l'existence, Hilbert avait pu obtenir un construction ??; "La preuve" (ce est ?? dire les symboles sur la page) ??tait "l'objet". Pas tous ??taient convaincus. Tandis que Kronecker mourrait bient??t, son la philosophie constructiviste continuerait avec le jeune Brouwer et son d??veloppement intuitionniste ????cole??, au grand tourment de Hilbert dans ses derni??res ann??es. En effet Hilbert perdrait son ????l??ve dou???? Weyl intuitionnisme - "Hilbert a ??t?? perturb?? par la fascination de son ancien ??l??ve avec les id??es de Brouwer, qui a suscit?? dans la m??moire de Hilbert Kronecker". Brouwer l'intuitionniste en particulier oppos?? ?? l'utilisation de la loi du milieu exclu sur des ensembles infinis (comme Hilbert avait utilis??). Hilbert r??pondrait:

Reprenant le principe du tiers exclu du math??maticien ... est le m??me que le boxeur ... interdisant l'usage de ses poings.

Axiomatisation de la g??om??trie

Le texte Grundlagen der Geometrie (tr .: fondements de la g??om??trie) publi??s par Hilbert en 1899 propose un ensemble formel, le Les axiomes de Hilbert, en rempla??ant les traditionnelles axiomes d'Euclide . Ils ??vitent faiblesses identifi??es dans ceux de Euclid , dont les ??uvres ??taient ?? l'??poque encore utilis?? manuel-mode. Ind??pendamment et simultan??ment, un 19-year-old ??tudiant am??ricain nomm?? Robert Lee Moore a publi?? un ensemble ??quivalent d'axiomes. Certains des axiomes co??ncident, alors que certains des axiomes dans le syst??me de Moore sont des th??or??mes de Hilbert et vice-versa.

L'approche de Hilbert a marqu?? le passage ?? la modernit?? m??thode axiomatique. En cela, Hilbert a ??t?? anticip?? par Le travail de Peano de 1889. axiomes ne sont pas pris comme des v??rit??s ??videntes. G??om??trie peut traiter les choses, dont nous avons intuitions puissantes, mais il ne est pas n??cessaire d'attribuer une signification explicite aux concepts d??finis. Les ??l??ments, tels que Point, ligne , plan , et d'autres, pourrait ??tre substitu??, comme le dit Hilbert, par des tables, chaises, verres de bi??re et d'autres objets. Ce sont leurs relations d??finies qui sont abord??s.

Hilbert ??num??re d'abord les concepts d??finis: point, ligne, plan, couch?? sur (une relation entre les points et les avions), interm??diarit??, la congruence de paires de points, et congruence des angles . Les axiomes unifier ?? la fois la g??om??trie plane et la g??om??trie d'Euclide solide dans un syst??me unique.

Les 23 probl??mes

Hilbert mis en avant une liste la plus influente de 23 probl??mes non r??solus au Congr??s international des math??maticiens ?? Paris en 1900. Ce est g??n??ralement compt?? la compilation la plus r??ussie et profond??ment r??fl??chie de probl??mes ouverts jamais ??tre produites par un math??maticien individuel.

Apr??s re-travailler les fondements de la g??om??trie classique, Hilbert aurait extrapol?? au reste des math??matiques. Son approche diff??re cependant de la ??fondationnaliste 'plus tard, Russell-Whitehead ou?? encyclop??diste ?? Nicolas Bourbaki, et ?? partir de son contemporain Giuseppe Peano. La communaut?? math??matique dans son ensemble pourrait se engager dans les probl??mes qu'il avait identifi??s comme des aspects cruciaux des domaines des math??matiques, il a fallu pour ??tre la cl??.

Le jeu de probl??me a ??t?? lanc?? comme un talk "Les probl??mes de math??matiques", pr??sent?? au cours de la Deuxi??me Congr??s international des math??maticiens est tenue ?? Paris. Voici l'introduction du discours que Hilbert a donn??:

Qui d'entre nous ne serait pas heureux de lever le voile derri??re lequel se cache l'avenir; pour contempler les d??veloppements ?? venir de notre science et les secrets de son d??veloppement dans les si??cles ?? venir? Quelles seront les extr??mit??s vers laquelle l'esprit des g??n??rations futures de math??maticiens aura tendance? Quelles m??thodes, quels nouveaux faits sera le nouveau si??cle r??v??ler dans le domaine vaste et riche de la pens??e math??matique?

Il a pr??sent?? moins de la moiti?? des probl??mes au Congr??s, qui ont ??t?? publi??s dans les actes du Congr??s. Dans une publication ult??rieure, il a ??tendu le panorama, et est arriv?? ?? la formulation des d??sormais canoniques 23 probl??mes de Hilbert. Le texte int??gral est important, car l'ex??g??se des questions peut encore ??tre un sujet de d??bat in??vitable, chaque fois qu'il est demand?? combien ont ??t?? r??solus.

Certains d'entre eux ont ??t?? r??solus dans un court laps de temps. D'autres ont ??t?? discut??s au cours du 20e si??cle, avec quelques-uns maintenant ??tre prises mani??re inad??quate ouvert ?? venir ?? la fermeture. Certains continuent m??me ?? ce jour de rester un d??fi pour les math??maticiens.

Formalisme

Dans un compte qui ??tait devenu la norme par le milieu du si??cle, le probl??me ensemble de Hilbert ??tait aussi une sorte de manifeste, qui a ouvert la voie au d??veloppement de la l'??cole formaliste, l'une des trois grandes ??coles de math??matiques de 20e si??cle. Selon le formaliste, les math??matiques sont la manipulation de symboles selon des r??gles convenues formelles. Il est donc une activit?? autonome de la pens??e. Il ya, cependant, une salle de douter que les propres vues de Hilbert ??taient simpliste formaliste dans ce sens.

Le programme de Hilbert

En 1920, il a explicitement propos?? un projet de recherche (en m??tamath??matique, comme on disait alors appel??) qui est devenu connu comme Le programme de Hilbert. Il voulait les math??matiques ?? ??tre formul??es sur un fondement logique solide et compl??te. Il a estim?? que, en principe, cela pourrait ??tre fait, en montrant que:

1. toutes les math??matiques d??coule un syst??me fini correctement choisie axiomes; et
2. que certains tel syst??me de axiome est prouvable coh??rente gr??ce ?? des moyens tels que la epsilon calcul.

Il semble avoir eu des raisons techniques et philosophiques pour la formulation de cette proposition. Il a affirm?? son aversion pour ce qui ??tait devenu connu sous le nom ignorabimus, toujours un probl??me actif dans son temps dans la pens??e allemande, et remonte dans cette formulation Emil du Bois-Reymond.

Ce programme est encore reconnaissable dans le plus populaire philosophie des math??matiques, o?? il est g??n??ralement appel?? formalisme. Par exemple, le Groupe Bourbaki a adopt?? une ??dulcor??e et la version s??lective de comme ad??quate aux exigences de leurs projets de jumeaux de (a) ?? ??crire des ??uvres fondamentales encyclop??diques, et (b) soutenir la m??thode axiomatique comme un outil de recherche. Cette approche a ??t?? couronn??e de succ??s et influent en relation avec le travail de Hilbert en alg??bre et l'analyse fonctionnelle, mais a ??chou?? ?? se engager de la m??me mani??re avec ses int??r??ts dans la physique et la logique.

Hilbert a ??crit en 1919:

Nous ne parlons pas ici d'arbitraire dans tous les sens. Math??matiques ne est pas comme un jeu dont les t??ches sont d??termin??s par des r??gles fix??es arbitrairement. Plut??t, ce est un syst??me conceptuel poss??dant n??cessit?? interne qui ne peut ??tre ainsi et en aucun cas autrement.

Hilbert a publi?? ses vues sur les fondements des math??matiques dans le travail en 2 volumes Grundlagen der Mathematik.

Le travail de G??del

Hilbert et les math??maticiens qui ont travaill?? avec lui dans son entreprise ont ??t?? commis au projet. Sa tentative pour soutenir les math??matiques avec axiomatis??e principes d??finitifs, qui pourrait bannir incertitudes th??oriques, ??tait cependant ?? l'??chec.

G??del a d??montr?? que tout syst??me formel non contradictoire, qui ??tait suffisamment compl??te pour inclure au moins arithm??tique, ne peut pas d??montrer son int??gralit?? par le biais de ses propres axiomes. En 1931, son th??or??me d'incompl??tude montr?? que grand plan de Hilbert ??tait impossible comme indiqu??. Le deuxi??me point ne peut en aucune mani??re raisonnable ??tre combin?? avec le premier point, tant que le syst??me d'axiomes est v??ritablement finitaire.

N??anmoins, les r??alisations ult??rieures de th??orie de la preuve ?? la consistance tr??s moins clarifi?? en ce qui concerne les th??ories de la pr??occupation centrale des math??maticiens. Le travail de Hilbert avait commenc?? logique sur ce parcours de clarification; la n??cessit?? de comprendre le travail de G??del a ensuite men?? ?? l'??laboration de th??orie r??cursivit??, puis la logique math??matique comme discipline autonome dans les ann??es 1930. La base pour plus tard informatique th??orique, dans Alonzo Church et Alan Turing a ??galement augment?? directement de ce ??d??bat??.

Analyse fonctionnelle

Vers 1909, Hilbert se consacre ?? l'??tude de diff??rentiel et ??quations int??grales; son travail a eu des cons??quences directes pour des parties importantes de l'analyse fonctionnelle moderne. Afin de r??aliser ces ??tudes, Hilbert a introduit le concept d'une dimension infinie espace euclidien , appel?? plus tard Espace de Hilbert. Son travail dans cette partie de l'analyse a fourni la base de contributions importantes aux math??matiques de la physique dans les deux prochaines d??cennies, mais d'une direction impr??vue. Plus tard, Stefan Banach amplifi?? le concept, la d??finition Espaces de Banach. Des espaces de Hilbert sont une classe importante d'objets dans la zone de analyse fonctionnelle, en particulier de la th??orie spectrale des op??rateurs lin??aires auto-adjoint, qui a grandi autour d'elle pendant le 20??me si??cle.

Physique

Jusqu'en 1912, Hilbert ??tait presque exclusivement un math??maticien ??pur??. Lors de la planification d'une visite de Bonn, o?? il a ??t?? plong?? dans l'??tude de la physique, son compatriote et ami math??maticien Hermann Minkowski plaisant?? il a d?? passer 10 jours en quarantaine avant d'??tre en mesure de visiter Hilbert. En fait, Minkowski semble responsable de la plupart des enqu??tes de physique de Hilbert avant 1912, y compris leur s??minaire conjoint ?? ce sujet en 1905.

En 1912, trois ans apr??s la mort de son ami, Hilbert a tourn?? son attention sur le sujet presque exclusivement. Il se est arrang?? pour avoir un ??tuteur de la physique" pour lui-m??me. Il a commenc?? ?? ??tudier la th??orie cin??tique des gaz et a d??m??nag?? ?? ??l??mentaire th??orie du rayonnement et de la th??orie mol??culaire de la mati??re. M??me apr??s la guerre a commenc?? en 1914, il a poursuivi des s??minaires et des classes o?? les ??uvres d' Albert Einstein et d'autres ont ??t?? suivis de pr??s.

En 1907, Einstein avait encadr?? les fondements de la th??orie de la gravit??, mais alors lutt?? pendant pr??s de 8 ans avec un probl??me de confusion de mettre la th??orie en forme finale. En d??but de l'??t?? 1915, l'int??r??t de Hilbert en physique avait mis l'accent sur la relativit?? g??n??rale , et il a invit?? Einstein ?? G??ttingen pour offrir une semaine de conf??rences sur le sujet. Einstein a re??u un accueil enthousiaste ?? G??ttingen. Durant l'??t??, Einstein a appris que Hilbert a ??galement travaill?? sur les ??quations de champ et redoubla ses propres efforts. Pendant Novembre 1915 Einstein a publi?? plusieurs articles culminant dans "Les ??quations champ de gravitation?? (voir Einstein Les ??quations de champ). Presque simultan??ment David Hilbert a publi?? ??Les fondements de la physique", une d??rivation axiomatique des ??quations de champ (voir Action d'Einstein-Hilbert). Hilbert pleinement cr??dit?? Einstein comme l'initiateur de la th??orie, et aucun conflit de priorit?? publique concernant les ??quations de champ n'a jamais pris naissance entre les deux hommes au cours de leur vie. Voir plus ?? priorit??.

En outre, le travail de Hilbert pr??vu et a aid?? plusieurs avanc??es dans le formulation math??matique de la m??canique quantique. Son travail est un aspect cl?? de Hermann Weyl et John von Neumann travail de l'??quivalence math??matique de Werner Heisenberg m??canique des matrices et Erwin Schr??dinger ??quation d'onde et son homonyme Espace de Hilbert joue un r??le important dans la th??orie quantique. En 1926, von Neumann a montr?? que si les Etats atomiques ont ??t?? comprises comme vecteurs dans l'espace de Hilbert, ils correspondraient ?? la fois la th??orie de la fonction d'onde de Schr??dinger et les matrices de Heisenberg.

Tout au long de cette immersion dans la physique, Hilbert a travaill?? sur la mise rigueur dans les math??matiques de la physique. Bien que fortement d??pendante de math??matiques sup??rieur, les physiciens avaient tendance ?? ??tre "b??cl??e" avec elle. Pour un math??maticien ??pur?? comme Hilbert, ce ??tait ?? la fois ??laid?? et difficile ?? comprendre. Comme il commen??ait ?? comprendre la physique et comment les physiciens utilisaient les math??matiques, il a d??velopp?? une th??orie math??matique coh??rent pour ce qu'il a trouv??, surtout dans le domaine de ??quations int??grales. Lorsque son coll??gue Richard Courant ??crit le d??sormais classique M??thodes de la physique math??matique, y compris certaines des id??es de Hilbert, at-il ajout?? le nom de Hilbert comme l'auteur m??me si Hilbert avait pas directement contribu?? ?? la r??daction. Hilbert a d??clar??: ??La physique est trop dur pour les physiciens", ce qui implique que la math??matique n??cessaire ??tait g??n??ralement au-del??; le livre Courant-Hilbert a rendu plus facile pour eux.

La th??orie des nombres

Hilbert a unifi?? le domaine de la th??orie alg??brique des nombres avec son trait?? 1897 Zahlbericht ("rapport sur le nombre" litt??ralement). Il a ??galement r??solu un certain nombre th??orie importante probl??me formul?? par Waring en 1770. Comme avec le th??or??me de finitude, il a utilis?? une preuve de l'existence qui montre qu'il doit y avoir des solutions pour le probl??me plut??t que de fournir un m??canisme pour produire les r??ponses. Il avait alors peu plus de publier sur le sujet; mais l'??mergence de Formes modulaires de Hilbert dans la dissertation d'un ??tudiant signifie son nom est en outre attach?? ?? un domaine majeur.

Il a fait une s??rie de conjectures sur la th??orie du corps de classes. Les concepts ??taient tr??s influent, et sa propre contribution vit dans les noms des Corps de classes de Hilbert et de la Symbole de Hilbert du th??orie locale du corps de classes. Les r??sultats ont ??t?? prouv??s par la plupart 1930, apr??s le travail par Teiji Takagi.

Hilbert ne fonctionne pas dans les zones centrales de th??orie analytique des nombres, mais son nom est devenu connu pour la Hilbert-Pol?? conjectures, pour des raisons qui sont anecdotiques.

Citations

• Nous ne parlons pas ici d'arbitraire dans tous les sens. Math??matiques ne est pas comme un jeu dont les t??ches sont d??termin??s par des r??gles fix??es arbitrairement. Plut??t, ce est un syst??me conceptuel poss??dant n??cessit?? interne qui ne peut ??tre ainsi et en aucun cas autrement.