Structure alg??brique

En alg??bre abstraite , une structure alg??brique constitu??e d'un ou plusieurs ensembles , appel?? ensembles ou des supports ou des sortes sous-jacents, ferm?? par un ou plusieurs op??rations, r??pondant ?? une partie axiomes. Alg??bre abstraite est principalement l'??tude des structures alg??briques et leurs propri??t??s. La notion de alg??brique la structure a ??t?? formalis??e dans alg??bre universelle.

Comme une abstraction, une "structure alg??brique" est la collection de tous les possibles mod??les d'un ensemble donn?? d'axiomes. Plus concr??tement, une structure alg??brique est un mod??le particulier de certains ensemble d'axiomes. Par exemple, le groupe de monstre ?? la fois "est" une structure alg??brique au sens concret, et abstraite, "a" la structure du groupe en commun avec tous les autres groupes . Cet article emploie les deux sens de ??structure??.

Cette d??finition d'une structure alg??brique ne doit pas ??tre consid??r??e comme restrictive. Tout ce qui satisfait les axiomes d??finissant une structure est une instance de cette structure, ind??pendamment de combien d'autres axiomes cette instance se trouve ?? avoir. Par exemple, tous les groupes sont ??galement semigroupes et magmas.

Ouvrages d'art dont les axiomes sont toutes les identit??s

Si les axiomes d??finissant une structure sont tous identit??s, la structure est un vari??t?? (?? ne pas confondre avec vari??t?? alg??brique dans le sens de g??om??trie alg??brique). Les identit??s sont ??quations formul??es en utilisant uniquement les op??rations de la structure le permet, et les variables qui sont tacitement universellement quantifi??s sur la pertinente univers. Les identit??s ne contiennent pas de connecteurs, existentiellement variables quantifi??es, ou relations de toute nature autre que les op??rations autoris??es. L'??tude des vari??t??s est une partie importante de alg??bre universelle.

Toutes les structures de cette section sont des vari??t??s. Certaines de ces structures sont plus naturellement axiomatis??e utilisant un ou plusieurs nonidentities, mais sont n??anmoins vari??t??s car il existe une axiomatique ??quivalente, une peut-??tre moins perspicace, compos?? uniquement des identit??s. Structures alg??briques qui ne sont pas des vari??t??s sont d??crites dans la section suivante, et diff??rent de vari??t??s dans leur m??tamath??matiques propri??t??s.

Dans cette section et la suivante, les structures sont r??pertori??s dans l'ordre approximatif de complexit?? croissante, op??rationnalis??es comme suit:

• Structures simples mais n??cessitant un ensemble, l'univers S, sont list??s avant les composites n??cessitant deux ensembles;
• Structures ayant le m??me nombre d'ensembles n??cessaires sont alors command??s par le nombre de op??rations binaires (0-4) dont ils ont besoin. Par ailleurs, aucune structure mentionn??e dans cette entr??e n??cessite une op??ration dont arit?? sup??rieure ?? 2;
• Soient A et B les deux ensembles qui constituent une structure composite. Puis une structure composite peut comprendre une ou deux fonctions de la forme A x A → B ou A x B → A;
• Ouvrages d'art ayant le m??me nombre et les types d'op??rations et les fonctions binaires sont plus ou moins ordonn??es par le nombre requis de unaire et 0-aire (??l??ments distingu??s) op??rations, 0-2 dans les deux cas.

La structure d'indentation utilis?? dans cette section et la suivante est destin?? ?? transmettre de l'information. Si la structure B est sous la structure A et plus en retrait, alors tous les th??or??mes de A sont des th??or??mes de B; la converse ne tient pas.

Ringoids et treillis peuvent ??tre clairement distingu??es malgr?? deux ayant deux la d??finition des op??rations binaires. Dans le cas de ringoids, les deux op??rations sont li??es par la loi distributive; dans le cas de r??seaux, ils sont li??s par la la loi d'absorption. Ringoids tendent ??galement ?? avoir num??rique mod??les, tout en treillis ont tendance ?? avoir th??oriques set- mod??les.

Structures simples: Aucune op??ration binaire:

• Set : une structure alg??brique d??g??n??r??e ayant aucune op??ration.
• Ensemble point??: S a un ou plusieurs ??l??ments distingu??s, souvent 0, 1, ou les deux.
• Syst??me unaire: S et une seule op??ration unaire sur S.
• Syst??me unaire soulign??: un syst??me unaire avec S un ensemble pointu.

Groupe-comme des structures:

Une op??ration binaire, not??e concat??nation. Pour mono??des, alg??bres limites, et sloops, S est un Ensemble point??.

• Magma ou groupo??de: S et une seule op??ration binaire sur S.
  • Steiner magma: A commutative magma satisfaisant x (xy) = y.
    • Squag: un idempotent Steiner magma.
    • Sloop: un magma Steiner avec une ??l??ment distingu??, de telle sorte que xx = 1.
• Semigroup: un associative magma.
  • Monoid: un semigroupe unif??re.
    • Groupe : un monoid avec une op??ration unaire inverse, donnant lieu ?? une ??l??ment inverse.
      • Groupe ab??lien: un groupe commutatif.
  • Band: un semi-groupe d'idempotents.
    • Semitreillis: une bande commutative. L'op??ration binaire peut ??tre appel??e atteindre ou rejoindre.
      • Alg??bre Limite: un demi-treillis de unif??re (??quivalente, un mono??de commutatif idempotent) avec une op??ration unaire, compl??mentation, not?? en pla??ant son argument entre parenth??ses, donnant naissance ?? un ??l??ment inverse qui est le compl??ment de la ??l??ment d'identit??. Les ??l??ments d'identit?? et inverses li??s S. Aussi, x (xy) = x (y) d??tient.

Trois op??rations binaires. Quasigroupes sont r??pertori??s ici, en d??pit de leurs ayant trois op??rations binaires, car ils sont (non associatif) magmas. Quasigroupes disposent de 3 op??rations binaires seulement parce instituant la quasigroupe propri??t?? d'annulation au moyen d'identit??s seul n??cessite deux op??rations binaires en plus de l'op??ration de groupe.

• Quasigroupe: un magma cancellative. De mani??re ??quivalente, ∀ x, y ∈ S, ∃! A, b ∈ S, de telle sorte que xa et y = bx = y.
  • Loop: un quasigroupe unif??re avec une op??ration unaire, inverse.
    • Moufang boucle: une boucle dans laquelle une forme affaiblie de l'associativit??, (zx) (yz) = z (xy) z, d??tient.
      • Groupe: une boucle associative.

Treillis: deux ou plusieurs op??rations binaires, y compris rencontrer et rejoindre, reli??s par la loi d'absorption. S est ?? la fois une rencontre et se joignent ?? demi-treillis, et est un ensemble pointu si et seulement si S est born??. Les grilles ne ont souvent pas les op??rations unaires. Chaque d??claration est vraie a un double, obtenu en rempla??ant chaque instance de rencontrer rejoindre, et vice versa.

• Born??e r??seau: S comporte deux ??l??ments distingu??s, les borne inf??rieure et de la borne sup??rieure. Dualisant doit ??tre remplac?? tous les cas d'un li?? par l'autre, et vice versa.
  • Compl??t?? r??seau: un r??seau avec une op??ration unaire, compl??mentation, not??e suffixe "'", en donnant lieu ?? un ??l??ment inverse. Cet ??l??ment et son compl??ment li??s le treillis.
• Treillis modulaire: un r??seau dans lequel l'identit?? d??tient modulaire.
  • Treillis distributif: un r??seau dans lequel chacun de rencontrer et rejoindre distribue sur l'autre. Treillis distributifs sont modulaires, mais l'inverse ne tient pas.
    • Kleene alg??bre: un treillis distributif born??e ?? une op??ration unaire dont les identit??s sont x structures en forme d'anneau "= x, (x + y) '= x'y', et (x + x ') aa' = yy 'Voir." "pour une autre structure ayant le m??me nom.
    • Alg??bre de Boole: un treillis distributif compl??t??e. Chacune de rencontre ou de rejoindre peut ??tre d??fini en termes de l'autre et la compl??mentation.
      • Alg??bre Int??rieur: une alg??bre bool??enne ?? une op??ration unaire ajout??e, le op??rateur int??rieur, d??sign?? par le suffixe "'" et ob??issant aux identit??s X'X = X, X "= x, (xy)' = x'y ', et 1' = 1.
    • Alg??bre Heyting: un treillis distributif born??e ?? une op??ration binaire ajout??e, rapport pseudo-compl??ment, not??e infixe "'", et r??gie par les axiomes x'x = 1, x (X'Y) = xy, x' (yz) = (x'y) (x'z), (xy) 'z = (x 'z) (y'z).

Ringoids: Deux op??rations binaires, plus et la multiplication , avec la multiplication la distribution sur l'addition. Semi-anneaux sont ensembles point??s.

• Semiring: un Ringoid tels que S est un mono??de dans chaque op??ration. Chaque op??ration a un ??l??ment de l'identit?? distincte. Addition commute ??galement, et comporte un ??l??ment d'identit?? qui annihile multiplication.
  • Semianneau commutative: un semi-anneau avec la multiplication commutative.
  • Anneau: un semi-anneau avec une op??ration unaire, additif inverse, donnant naissance ?? un ??l??ment -x inverse, qui, lorsqu'il est ajout?? ?? x, on obtient l'??l??ment d'identit?? additive. Ainsi S est un groupe ab??lien sous addition.
    • Rng: un anneau manquant d'une identit?? multiplicatif.
    • Anneau commutatif : un anneau avec la multiplication commutative.
      • Anneau de Boole: un anneau commutatif idempotent multiplication, ??quivalent ?? une alg??bre de Boole.
  • Kleene alg??bre: un semi-anneau avec addition idempotent et une op??ration unaire, le ??toile de Kleene, not??e par postfix * et d'ob??ir aux identit??s (1 + x * x) x * = x * et (1 + xx *) x * x = *. Voir ??structures treillis" pour une autre structure ayant le m??me nom.

NB La d??finition ci-dessus de l'anneau ne commande pas l'assentiment universel. Certaines autorit??s utilisent "ring" pour d??signer ce qui est appel?? ici une RNG, et se r??f??rer ?? un anneau dans le sens ci-dessus comme un "anneau avec l'identit??."

Modules: Syst??mes composite d??fini sur deux ensembles, M et R: Les membres de:

1. R est scalaires, d??sign?? par les lettres grecques R est un anneau dans les op??rations binaires d'addition et de multiplication scalaire.;
2. M sont des ??l??ments module (souvent, mais pas n??cessairement des vecteurs ), d??sign??s par des lettres latines. M est un groupe ab??lien sous addition. Il peut y avoir d'autres op??rations binaires.

La multiplication scalaire de scalaires et ??l??ments modulaires est une fonction R x M → M qui commute, associ??s (∀ r, s ∈ R, ∀ x ∈ M, R (sx) = (rs x)), a une comme ??l??ment d'identit??, et distribue plus de module et plus scalaire. Si seulement la multiplication pr?? (post) des ??l??ments modulaires par scalaires est d??fini, le r??sultat est une gauche (?? droite) module.

• Module libre: un module ayant un libre base, {e _1, e ... _n} ⊂ M, o?? le nombre entier positif n est le dimension du module libre. Pour chaque v ∈ M, il existe κ _1, ..., κ _n ∈ R tel que v = κ ₁ e ₁ + ... + κ _{n n} e. Soit 0 et 0 ??tre les ??l??ments d'identit?? respectives pour le module et l'addition scalaire. Si r ₁ e ₁ + ... + e r _{n n} = 0, alors R ₁ = ... = R _n = 0.
  • Alg??bre sur un anneau (??galement R-alg??bre): un module (gratuit) o?? R est un anneau commutatif . Il existe une seconde op??ration binaire sur M, appel?? multiplication et d??sign?? par concat??nation, qui distribue sur l'addition de module et est bilin??aire: α (xy) = (α x) y = x (α y).
    • Anneau Jordanie: un alg??bre sur un anneau dont la multiplication module de d??placements, ne associe pas, et respecte le Identit?? Jordanie.

Espaces vectoriels , ??troitement li??s aux modules, sont d??finis dans la section suivante.

Structures avec certains axiomes qui ne sont pas des identit??s

Les structures de cette section ne sont pas vari??t??s parce qu'ils ne peuvent pas ??tre axiomatiser uniquement avec des identit??s. Presque tous les nonidentities ci-dessous sont l'un des deux types tr??s ??l??mentaires:

1. Le point de d??part de toutes les structures de cette section est un anneau "triviale", ?? savoir une telle que S ≠ {0}, 0 ??tant l'additif ??l??ment d'identit??. La chose la plus proche ?? une identit?? impliquant S ≠ {0} est la non-identit?? 0 ≠ 1, qui exige que les additifs et multiplicatif identit??s distinctes.
2. Presque toutes les structures d??crites dans cette section incluent les identit??s qui d??tiennent pour tous les membres de S sauf 0. Pour une structure alg??brique ??tre une vari??t??, ses op??rations doivent ??tre d??finis pour tous les membres de S; il peut y avoir aucun op??rations partielles.

Ouvrages d'art dont les axiomes inclure in??vitablement nonidentities sont parmi les plus importantes en math??matiques, par exemple, les champs et les espaces vectoriels . En outre, une grande partie de la physique th??orique peut ??tre reformul??e comme des mod??les de alg??bres multilin??aires. Bien que les structures avec nonidentities conservent une saveur alg??brique incontestable, ils souffrent de d??fauts vari??t??s ne ont pas. Par exemple, ni le produit de int??gres, ni un champ libre sur ne importe quel jeu existent.

Arithm??tique: Deux op??rations binaires, addition et la multiplication. S est un ensemble infini. Arithm??tique sont point??s syst??mes unaires, dont op??ration unaire est injective successeur, et ??l??ment distingu?? 0.

• Arithm??tique Robinson. Addition et la multiplication sont r??cursive d??finie par des moyens de successeur. 0 est l'??l??ment d'identit?? pour l'addition, la multiplication et an??antit. Robinson arithm??tique est r??pertori?? ici, m??me si ce est une vari??t??, en raison de sa proximit?? avec l'arithm??tique de Peano.
  • Arithm??tique de Peano. Robinson arithm??tique avec un axiome sch??ma induction. La plupart des axiomes d'anneau et sur le terrain portant sur les propri??t??s de l'addition et la multiplication sont des th??or??mes de l'arithm??tique de Peano ou d'extensions propres de celle-ci.

Structures terrain comme:. Deux op??rations binaires, addition et de multiplication S est non triviale, ce est ?? dire, S ≠ {0}.

• Domaine: un anneau dont le seul diviseur de z??ro est 0.
  • Domaine int??grante: un domaine dont trajets multiplication. Aussi une commutative anneau cancellative.
    • Domaine euclidienne: un domaine int??grante d'une fonction f: S → N satisfaire la division de la propri??t?? du reste.
• Corps (ou Sfield, corps gauche): un cycle dans lequel chaque membre de S autre que 0 a un inverse multiplicatif recto-verso. Les membres non nuls de S forment un groupe pour la multiplication.
  • Champ: un anneau de division dont trajets multiplication. Les membres non nulles de S forment un groupe ab??lien la multiplication.
    • Corps ordonn??: un champ dont les ??l??ments sont totalement ordonn??.
      • Le champ r??el: une Dedekind compl??ter corps ordonn??.

Les structures suivantes sont pas les vari??t??s pour des raisons en plus de S ≠ {0}:

• Anneau simple: un anneau ayant pas id??aux autres que 0 et S.
  • Alg??bre de Weyl:
• Anneau Artinian: un anneau dont les id??aux satisfaire la d??croissant ??tat de la cha??ne.

Syst??mes composites: espaces vectoriels, et alg??bres sur les champs. Deux ensembles, M et R, et au moins trois op??rations binaires.

Les membres de:

1. M sont des vecteurs, d??sign??s par les lettres minuscules. M est au moins un groupe ab??lien sous addition de vecteur, avec un membre ??minent 0.
2. R est scalaires, d??sign??s par des lettres grecques. R est un terrain, presque toujours le r??el ou domaine complexe , avec 0 et 1 en tant que membres distingu??s.

Trois op??rations binaires.

• Espace vectoriel : un sans module dimension n, sauf que R est un domaine.
  • Norm?? espace vectoriel: un espace vectoriel et avec un norme, ?? savoir une fonction M → R qui est positif homog??ne, subadditive, et d??finie positive.
    • Espace pr??hilbertien (??galement de l'espace vectoriel euclidien): un espace vectoriel norm?? tel que R est le domaine r??el, dont la norme est la racine carr??e de la produit interne, M ?? M → R. Soit i, j et n sont des entiers positifs tels que 1≤ i, j ≤ n. Alors M a un base orthonorm?? tel que e _i ??? e _j = 1 si i = j et 0 sinon; voir le module libre au-dessus.
    • Espace unitaire: Diff??re de espaces int??rieurs de produits dans ce que R est le domaine complexe, et le produit int??rieur a un nom diff??rent, le produit scalaire hermitien, avec des propri??t??s diff??rentes: sym??trique conjugu??, bilin??aire, et d??finie positive. Voir Birkhoff et MacLane (1979: 369).
  • Cot?? espace vectoriel: un espace vectoriel de telle sorte que les membres du M ont une d??composition somme directe. Voir alg??bre gradu??e ci-dessous.

Quatre op??rations binaires.

• Alg??bre sur un corps: Un alg??bre sur un anneau sauf que R est un champ au lieu d'un anneau commutatif.
  • Jordan alg??bre: un anneau en Jordanie sauf que R est un champ.
  • Alg??bre de Lie: une alg??bre sur un champ en respectant la Jacobi identit??, dont le vecteur multiplication, la crochet de Lie not??e [u, v], anticommute, ne associe pas, et est nilpotent.
  • Alg??bre associative: une alg??bre sur un champ, ou d'un module, dont la multiplication vecteur associ??s.
    • Alg??bre lin??aire : associatif Alg??bre unitaire avec les membres du M ??tant des matrices . Chaque matrice a une dimension n x m, n et m des entiers positifs. Si l'un de n ou m est ??gal ?? 1, la matrice est un vecteur; si les deux sont 1, ce est un scalaire. Ajout de matrices est d??fini que si elles ont les m??mes dimensions. La multiplication de matrices , not??e par concat??nation, est la multiplication du vecteur. Laissez matrice A soit n x m et la matrice B soient i x j. Puis AB est d??finie si et seulement si m = i; BA, si et seulement si j = n. Il existe aussi une matrice m m x I et un n x n matrice J tel que AI = JA = A. Si u et v sont des vecteurs ayant les m??mes dimensions, ils ont un produit int??rieur, d??sign?? <u, v>. Il ya donc une base orthonorm??e; voir l'espace de produit interne ci-dessus. Il ya une fonction unaire, le facteur d??terminant , de la place (n x n pour tout n) matrices ?? R.
    • Alg??bre commutative: une alg??bre associative dont la multiplication vecteur navette.
      • Alg??bre sym??trique: une alg??bre commutative avec le vecteur de unif??re multiplication.

Syst??mes composites: Alg??bres multilin??aires. Deux ensembles, V et K quatre op??rations binaires.:

1. Les membres du V sont multivecteurs (y compris les vecteurs), d??sign??s par les lettres minuscules latine. V est un groupe ab??lien sous addition multivecteur, et un Monoid sous produit externe. Le produit va externe sous divers noms, et est multilin??aire en principe, mais g??n??ralement bilin??aire. Le produit externe d??finit les multivecteurs de mani??re r??cursive ?? partir des vecteurs. Ainsi, les membres de V ont un ??degr???? (voir alg??bre gradu??e ci-dessous). Multivecteurs peuvent avoir un produit int??rieur ainsi, not??e u ??? v: V ?? V → K, ce est sym??trique , lin??aire et d??finie positive; voir l'espace de produit interne ci-dessus.
2. Les propri??t??s et la notation de K sont les m??mes que ceux de R ci-dessus, sauf que K -1 peut avoir en tant que membre distingu??. K est g??n??ralement le domaine r??el, comme alg??bres multilin??aires sont con??us pour d??crire les ph??nom??nes physiques sans nombres complexes .
3. La multiplication des scalaires et multivecteurs, V ?? V → K, a les m??mes propri??t??s que la multiplication des scalaires et des ??l??ments de module qui fait partie d'un module.

• Alg??bre gradu??e: une alg??bre associative avec le produit externe unif??re. Les membres de V ont une d??composition de somme directe r??sultant dans leur ayant un ??degr????, avec des vecteurs ayant un degr?? 1. Si u et v ont degr?? i et j, respectivement, le produit externe de u et v est de degr?? i + j. V a aussi un membre ??minent 0 pour chaque degr?? possible. Ainsi tous les membres de V ayant le m??me degr?? forment un groupe ab??lien sous addition.
  • Alg??bre ext??rieure (??galement Grassmann alg??bre): une alg??bre gradu??e dont la produit externe anticommutative, not?? ∧ infixe, est appel?? produit ext??rieur. V a une base orthonorm??e. v ₁ v ₂ ∧ ∧ ... ∧ c _k = 0 si et seulement si v _1, ..., v _k sont lin??airement d??pendant. Multivecteurs ont ??galement un produit scalaire.
    • Alg??bre de Clifford: une alg??bre ext??rieur avec un sym??trique forme bilin??aire Q: V ?? V → K. Le cas sp??cial Q = 0 donne une alg??bre ext??rieure. Le produit ext??rieur est ??crit <u, v>. Habituellement, <e _i, e _i> = -1 (habituellement) ou une (autre).
    • Alg??bre g??om??trique: une alg??bre ext??rieur dont ext??rieure (appel?? g??om??trique) produit est d??sign?? par concat??nation. Le produit g??om??trique de multivecteurs parall??les trajets, celui de vecteurs orthogonaux anticommute. Le produit d'un scalaire avec Multivector d??placements. Vv donne un scalaire.
      • Grassmann-Cayley alg??bre: une alg??bre g??om??trique sans produit interne.

Exemples

Certains univers r??currents: N = nombres naturels ; Z = entiers ; Q = nombres rationnels ; R = nombres r??els ; C = nombres complexes .

N est un syst??me unaire pointu, et par addition et multiplication, est ?? la fois l'interpr??tation standard de Arithm??tique de Peano et un commutative semiring.

Alg??bres de Boole sont ?? la fois semigroupes, treillis, et anneaux. Ils seraient m??me groupes ab??liens si les ??l??ments d'identit?? et inverses ??taient identiques ?? la place de compl??ments.

structures de groupe comme

• N non nul sous addition (+) est un magma.
• N sous addition est un magma ?? une identit??.
• Z sous la soustraction (-) est un quasigroupe.
• Q Nonzero sous division (??) est un quasigroupe.
• Chaque groupe est une boucle, car un * x = b si et seulement si X = A ^-1 * b, et y * a = b si et seulement si y = b * ^-1.
• 2x2 matrices (de non-z??ro d??terminant) avec la multiplication de matrices forment un groupe.
• Z sous l'addition (+) est un groupe ab??lien.
• Q Nonzero vertu multiplication (??) est un groupe ab??lien.
• Chaque groupe cyclique G est ab??lien, parce que si x, y sont dans G, alors xy = a ^m a ⁿ = a ^{m + n} = a ^{n + m} = ⁿ a ^m = yx. En particulier, Z est un groupe ab??lien, par addition, comme ce est le entiers modulo n Z / n Z.
• Un mono??de est un cat??gorie avec un seul objet, auquel cas la composition des morphismes et morphisme identit?? interpr??ter monoid multiplication et ??l??ment d'identit??, respectivement.
• Le Alg??bre de Boole 2 est une alg??bre limite.
• Plus des exemples de groupes et liste des petits groupes.

Treillis

• Le les sous-groupes normaux d'un groupe, et le sous-modules d'un module, sont des r??seaux modulaires.
• Tout terrain de jeux, et de la connecteurs de logique du premier ordre , sont des mod??les de l'alg??bre de Boole.
• Les connecteurs de logique intuitionniste former un mod??le de Heyting alg??bre.
• Le logique modale S4 est un mod??le de int??rieur alg??bre.
• Arithm??tique de Peano et le plus set th??ories axiomatiques , y compris ZFC, NBG, et De nouvelles fondations, peuvent proc??der ?? une refonte des mod??les de rapport alg??bre.

structures en forme d'anneau

• L'ensemble R [X] de tous les polyn??mes sur un anneau de coefficient R est un anneau.
• des matrices de 2x2 avec addition et de multiplication de la matrice forment un cycle.
• Si n est un entier positif, alors l'ensemble Z _n = Z / n Z des entiers modulo n (le groupe cyclique additif d'ordre n) formant un cycle ayant n ??l??ments (voir arithm??tique modulaire).
• Ensembles de num??ros hypercomplexes ??taient les premiers prototypes de structures alg??briques maintenant appel?? sonne.

Integral domaines

• Z par addition et multiplication est int??gre.
• Le entiers p-adiques.

Les champs

• Chacun de Q, R et C, par addition et multiplication, est un champ.
• R totalement ordonn?? par ??<?? de la mani??re habituelle est une command?? terrain et est cat??gorique. Les motifs sur le terrain r??el r??sultant r??el et analyse fonctionnelle.
  • R contient plusieurs sous-zones int??ressantes, la alg??brique, la calculable, et de la num??ros d??finissables.
• Une corps de nombres alg??briques est un ensemble fini extension de domaine de Q, ce est un champ contenant Q qui est de dimension finie comme un espace vectoriel sur Q. Champs de nombres alg??briques sont tr??s importants dans la th??orie des nombres .
• Si q> 1 est une puissance d'un nombre premier , alors il existe ( jusqu'?? isomorphisme) exactement un corps fini ?? q ??l??ments, g??n??ralement not??e F _q, ou dans le cas o?? q est se amorcer, par Z / q Z. Ces champs sont appel??s Corps de Galois, d'o?? le GF notation alternatif (q). Tous les champs finis sont isomorphes ?? certains corps de Galois.
  • ??tant donn?? un nombre premier p, l'ensemble Z = Z _p / p Z des entiers modulo p est le champ fini ?? p ??l??ments: F _p = {0, 1, ..., p - 1} o?? les op??rations sont d??finis en effectuant l'op??ration en Z, en divisant par p et prendre le reste; voir arithm??tique modulaire.

Permettre structure suppl??mentaire

Structures alg??briques peuvent ??galement ??tre d??finies sur des ensembles avec la structure ajout??e de nature non-alg??brique, comme une topologie . La structure ajout??e doit ??tre compatible, dans un certain sens, avec la structure alg??brique.

• Groupe ordonn??: un groupe avec un compatible ordre partiel. Ce est ?? dire, S est partiellement ordonn??.
• Groupe totalement ordonn??: un groupe dont S est un ordre lin??aire.
• Groupe Archim??de: un groupe totalement ordonn?? pour lequel le Archim??dien d??tient.
• groupe de Lie: un groupe dont S a une surface lisse compatible collecteur structure.
• Groupe topologique: un groupe dont S a une topologie compatible.
• Espace vectoriel topologique: un espace vectoriel dont M a une topologie compatible; un sur-ensemble de espaces vectoriels norm??s.
• Espaces de Banach, Espaces de Hilbert, Espaces de produits internes
• Vertex alg??bres d'op??rateurs

La th??orie des cat??gories

La discussion ci-dessus a ??t?? jet?? en termes de ??l??mentaire abstraite et alg??bre universelle. La th??orie des cat??gories est une autre fa??on de raisonner sur les structures alg??briques (voir, par exemple, Mac Lane 1998). Une cat??gorie est une collection d'objets avec morphismes associ??s. Chaque structure alg??brique a sa propre notion de homomorphisme, ?? savoir toute fonction compatible avec l'op??ration (s) d??finissant la structure. De cette mani??re, chaque structure alg??brique donne lieu ?? une cat??gorie. Par exemple, le cat??gorie de groupes poss??de tous les groupes comme des objets et toutes groupe homomorphismes que morphismes. Cette cat??gorie b??ton peut ??tre consid??r??e comme un cat??gorie des ensembles avec ajout??e cat??gorie th??orie structure. De m??me, la cat??gorie de groupes topologiques (dont les morphismes sont les homomorphismes continus du groupe) est une cat??gorie des espaces topologiques avec une structure suppl??mentaire. Un foncteur d'oubli entre les cat??gories de structures alg??briques "oublie" une partie d'une structure.

Il existe diff??rents concepts de la th??orie des cat??gories qui tentent de capturer le caract??re alg??brique d'un contexte, par exemple

• alg??brique
• essentiellement alg??brique
• pr??sentable
• localement pr??sentable
• foncteurs et cat??gories monadiques
• propri??t?? universelle.