Arithm??tique modulaire

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Arithm??tique modulaire (parfois appel?? modulo arithm??tique, l'arithm??tique ou l'horloge) est un syst??me de calcul pour les entiers , l?? o?? le nombre "enveloppent" apr??s avoir atteint une certaine valeur - le module. Arithm??tique modulaire a ??t?? introduit par Carl Friedrich Gauss dans son livre Disquisitiones Arithmeticae, publi?? en 1801.

Un usage familier de l'arithm??tique modulaire est son utilisation dans le 24 heures: l'arithm??tique des garde-temps dans lequel le jour va de minuit ?? minuit et est divis?? en 24 heures, num??rot??s de 0 ?? 23. Si le temps est maintenant 19h00 - 07 heures dans la soir??e - puis huit heures plus tard, il sera 3h00. Outre habitude sugg??re que le temps plus tard, devrait ??tre 19 + 8 = 27, mais ce ne est pas la r??ponse parce que le temps de l'horloge "se enroule autour de" ?? la fin de la journ??e. De m??me, si l'horloge commence ?? 12h00 (midi) et 21 heures se ??couler, puis le temps sera 9h00 le lendemain, plut??t que de 33:00. Comme le nombre de heures recommence quand il atteint 24, ce est l'arithm??tique modulo 24. Il est ?? noter que dans ce syst??me ne est pas un 24:00 heure valide parce que ce est ??gale au 0:00 du jour suivant, de la m??me mani??re 2:60 heure ne est pas valable, car il est ??gal ?? 3: 00.

Chronom??trage sur une horloge donne un exemple de l'arithm??tique modulaire.

La relation de congruence

Arithm??tique modulaire peut ??tre manipul?? math??matiquement par l'introduction d'un relation de congruence sur les nombres entiers qui est compatible avec les op??rations de la anneau des entiers: outre , la soustraction et la multiplication . Pour un module fixe n, elle est d??finie comme suit.

Deux entiers a et b sont dits ??tre congruents modulo n, si leur diff??rence a - b est un nombre entier multiple de n. Si tel est le cas, elle est exprim??e en tant que:

$un \ equiv b \ pmod n. \,$

L'??nonc?? math??matique ci-dessus est lu: ??un est congru ?? b modulo n".

Par exemple,

$38 \ equiv 14 \ pmod {12} \,$

parce 38-14 = 24, qui est un multiple de 12. Pour n positive et une non-n??gatif et b, la congruence de A et B peut ??galement ??tre consid??r?? comme affirmant que ces deux nombres ont la m??me reste de la division par le module n. Alors,

$38 \ 2 equiv \ pmod {12} \,$

parce que, quand divis?? par 12, les deux chiffres donnent 2 comme reste.

La m??me r??gle se applique pour les valeurs n??gatives d'un:

$-3 \ Equiv 2 \ pmod 5. \,$

Une remarque sur la notation: Parce qu'il est d'usage de consid??rer plusieurs relations de congruence pour les diff??rents modules en m??me temps, le module est int??gr?? dans la notation. En d??pit de la notation ternaire, la relation de congruence pour un module donn?? est binaire. Cela aurait ??t?? plus clair si la notation a ≡ _n b avait ??t?? utilis??, au lieu de la notation traditionnelle commune.

Les propri??t??s qui rendent cette relation une relation de congruence (respectent addition, la soustraction et la multiplication) sont les suivantes.

Si $a_1 \ equiv b_1 \ n pmod$ et $a_2 \ equiv b_2 \ n pmod$ , Puis:

$(A_1 + a_2) \ equiv (b_1 + b_2) \ pmod n \,$
$(A_1 - a_2) \ equiv (b_1 - b_2) \ pmod n \,$
$(A_1 a_2) \ equiv (b_1 b_2) \ pmod n \,$

L'anneau des classes de congruence

Comme toute relation de congruence, la congruence modulo n est un relation d'??quivalence , et de la classe d'??quivalence de l'entier a, not??e $\ Overline {a} _n$ , Est l'ensemble $\ \ Gauche {\ ldots, a - 2n, a - n, A, A + n, a + 2n, \ ldots \ right \}$ . Cet ensemble, compos?? des entiers congruents ?? un modulo n, est appel??e la classe de congruence ou une cat??gorie d'r??sidu d'un modulo n. Un autre notation pour cette classe de congruence, qui exige que dans le cadre du module est connu, est $\ Displaystyle [a]$ .

L'ensemble des classes de congruence modulo n est not??e $\ Mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}$ et d??finie par:

$\ Mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} = \ \ left {\ overline {a} _n | a \ in \ mathbb {Z} \ right \}.$

Lorsque n ≠ 0, $\ Mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}$ a n ??l??ments, et peut ??tre ??crite comme:

$\ Mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} = \ \ left {\ overline {0} _n, \ overline {1} _n, \ overline {2} _n, \ ldots, \ overline {n-1} _n \ right \}.$

Lorsque n = 0, $\ Mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}$ ne pas avoir z??ro ??l??ments; il se agit plut??t isomorphe ?? $\ Mathbb {Z}$ Car $\ Overline {a} _0 = \ \ left {a \ right \}$ .

Nous pouvons d??finir addition, soustraction, multiplication et sur $\ Mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}$ par les r??gles suivantes:

$\ Overline {a} _n + \ overline {b} _n = \ overline {a + b} _n$
$\ Overline {a} _n - \ overline {b} _n = \ overline {a - b} _n$
$\ Overline {a} _n \ overline {b} _n = \ overline {ab} _n.$

La v??rification que ce est une bonne d??finition utilise les propri??t??s indiqu??es auparavant.

De cette fa??on, $\ Mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}$ devient un anneau commutatif . Par exemple, dans le cycle $\ Mathbb {Z} / 24 \ mathbb {Z}$ , Nous avons

$\ Overline {12} _ {24} + \ overline {21} _ {24} = \ overline {9} _ {24}$

comme dans l'arithm??tique pour l'horloge de 24 heures.

La notation $\ Mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}$ est utilis??, car il est le anneau de facteur $\ Mathbb {Z}$ par le id??al $n \ mathbb {Z}$ contenant tous les entiers divisible par n, o?? $0 \ mathbb {Z}$ est le singleton ensemble $\ \ Left {0 \ right \}$ .

En termes de groupes, la classe de r??sidus $\ Overline {a} _n$ est le un ensemble compl??mentaire de l'en groupe quotient $\ Mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}$ , Un groupe cyclique .

L'ensemble $\ Mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}$ a un certain nombre de propri??t??s math??matiques importants qui sont fondamentales pour diverses branches des math??matiques.

Plut??t que d'exclure le cas particulier n = 0, il est plus utile d'inclure $\ Mathbb {Z} / 0 \ mathbb {Z}$ (Qui, comme mentionn?? pr??c??demment, est isomorphe ?? l'anneau $\ Mathbb {Z}$ des nombres entiers), par exemple lors de l'examen de la caract??ristique d'un anneau.

Restes

La notion de l'arithm??tique modulaire est li??e ?? celle de la reste dans la division . Le fonctionnement de trouver le reste est parfois appel?? le Modulo et nous pourrions voir "2 = 14 (mod 12)". La diff??rence r??side dans l'utilisation de la congruence, indiqu?? par ≡, et l'??galit?? indiquer par =. L'??galit?? implique sp??cifiquement le ??r??sidu commun??, le membre le moins non-n??gatif d'une classe d'??quivalence. Lorsque vous travaillez avec l'arithm??tique modulaire, chaque classe d'??quivalence est g??n??ralement repr??sent?? par son r??sidu commune, par exemple "38 ≡ 2 (mod 12)" qui peut ??tre trouv?? en utilisant division longue. Il se ensuit que, se il est exact de dire ??38 ≡ 14 (mod 12)", "2 ≡ 14 (mod 12)?? et ??2 ≡ 14 (mod 12)", il est inexact de dire "38 = 14 ( mod 12) "(avec" = "plut??t que" ≡ ").

Les parenth??ses sont parfois retir??s de l'expression, par exemple "38 ≡ 14 mod 12" ou "2 = 14 mod 12", ou plac??s autour du diviseur par exemple "38 ≡ 14 mod (12)". Notation comme "38 (mod 12)" a ??galement ??t?? observ??e, mais est ambigu sans clarification contextuelle.

La relation de congruence est parfois exprim?? en utilisant au lieu de modulo mod, comme "38 ≡ 14 (modulo 12)" dans l'informatique . La fonction modulo dans diff??rents langages informatiques donn?? g??n??ralement le r??sidu commun, par exemple la mention ??y = MOD (38,12);" donne y = 2.

Applications

Arithm??tique modulaire est r??f??renc?? dans la th??orie des nombres , la th??orie des groupes , la th??orie des anneaux, la th??orie des n??uds , l'alg??bre abstraite , la cryptographie , l'informatique , la chimie et les visuels et musicaux arts.

Il est l'un des fondements de la th??orie des nombres, touchant presque tous les aspects de son ??tude, et fournit des exemples cl??s de la th??orie des groupes, th??orie des anneaux et alg??bre abstraite.

En cryptographie, l'arithm??tique modulaire sous-tend directement syst??mes cl??s publiques telles que RSA et Diffie-Hellman, ainsi que de fournir corps finis qui sous-tendent les courbes elliptiques , et est utilis?? dans une vari??t?? de y compris des algorithmes ?? cl?? sym??trique AES, IDEA, et RC4.

En informatique, l'arithm??tique modulaire est souvent appliqu??e op??rations bit ?? bit et autres op??rations impliquant de largeur fixe, cyclique structures de donn??es. Le Modulo, telle que transpos??e dans de nombreux langages de programmation et les calculatrices , est une application de l'arithm??tique modulaire qui est souvent utilis?? dans ce contexte.

En chimie, le dernier chiffre de la Num??ro de registre CAS (un nombre qui est unique pour chaque compos?? chimique) est un chiffre de contr??le, qui est calcul?? en prenant le dernier chiffre des deux premi??res parties de la Num??ro de registre CAS une fois, les temps de chiffres suivante 2, les temps de chiffres suivante 3 etc., en ajoutant tous ces et calculer la somme modulo 10.

Dans les arts visuels, l'arithm??tique modulaire peut ??tre utilis?? pour cr??er des motifs artistiques bas??es sur les tables de multiplication et d'addition modulo n (voir lien externe, ci-dessous).

En musique, l'arithm??tique modulo 12 est utilis?? dans l'examen du syst??me de dod??caphonique temp??rament ??gal, o?? Octave et enharmoniques ??quivalence se produit (ce est-emplacements dans un rapport 01:02 ou 02:01 sont ??quivalents, et C- Sharp est consid??r??e comme identique ?? D- plat).

Proc??d?? selon la Preuve par neuf offre une v??rification rapide de calculs arithm??tiques d??cimales r??alis??es ?? la main. Il est bas?? sur l'arithm??tique modulaire modulo 9, et plus particuli??rement sur la propri??t?? crucial que 10 ≡ 1 (mod 9).

Plus g??n??ralement, l'arithm??tique modulaire a ??galement une application dans des disciplines telles que le droit (voir, par exemple, r??partition), l'??conomie , (voir, par exemple, la th??orie des jeux ) et d'autres domaines de la sciences sociales, o?? r??partition proportionnelle et l'allocation des ressources joue un r??le central de l'analyse.

Certains neurologues (voir, par exemple, Oliver Sacks) th??oriser que ce qu'on appelle savants autistes utilisent une arithm??tique modulaire ??inn??e?? pour calculer ces probl??mes complexes que ce jour de la semaine d'une date lointaine va tomber sur.

Complexit?? de calcul

Depuis arithm??tique modulaire a une telle large gamme d'applications, il est important de savoir comment il est difficile de r??soudre un syst??me d'congruences. Un syst??me de congruences lin??aire peut ??tre r??solu en temps polynomial avec une forme d' ??limination de Gauss , pour plus de d??tails voir le lin??aire th??or??me de congruence.

R??soudre un syst??me d'??quations non-lin??aires arithm??tiques modulaire est NP-complet. Pour plus de d??tails, voir par exemple M. Garey, DS Johnson: Ordinateurs et intraitable, un Guide de la th??orie de la NP-compl??tude, WH Freeman 1979.

R??cup??r?? ?? partir de " http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Modular_arithmetic&oldid=199402396 "