Conjecture de Goldbach

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Conjecture de Goldbach est une des plus anciennes probl??mes non r??solus dans la th??orie des nombres et dans toutes les math??matiques . Il d??clare:

Chaque m??me nombre entier sup??rieur ?? 2 peut ??tre ??crite comme la somme de deux nombres premiers .

Exprimant un m??me nombre d??termin?? comme une somme de deux nombres premiers est appel?? un Goldbach le nombre de partition. Par exemple,

4 = 2 + 2

6 + 3 = 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 + 3 = 11 = 7 + 7

...

En d'autres termes, la conjecture de Goldbach indique que chaque nombre pair sup??rieur ou ??gal ?? quatre est un nombre Goldbach, un nombre qui peut ??tre exprim??e comme la somme de deux nombres premiers. Voir ??galement La conjecture de Levy.

Une illustration de la conjecture de Goldbach.

Origines

Sur 7 Juin 1742, le Prussienne math??maticien Christian Goldbach a ??crit une lettre ?? Leonhard Euler (lettre XLIII) dans lequel il proposait la conjecture suivante:

Chaque nombre entier sup??rieur ?? deux peut ??tre ??crite comme la somme de trois nombres premiers.

Il a consid??r?? 1 ?? un nombre premier , une convention ensuite abandonn??es. Une version moderne de la conjecture de Goldbach est originale:

Chaque nombre entier sup??rieur ?? 5 peut ??tre ??crite comme la somme de trois nombres premiers.

Euler, de se int??resser ?? ce probl??me, a r??pondu en faisant remarquer que cette conjecture est ??quivalente avec une autre version:

Chaque entier pair sup??rieur ?? 2 peut ??tre ??crit comme la somme de deux nombres premiers,

ajoutant qu'il consid??rait cette un tout ?? fait certain th??or??me ("ein ganz gewisses Theorema"), en d??pit de son incapacit?? ?? prouver.

La version d'Euler est la forme sous laquelle la conjecture est habituellement exprim??e aujourd'hui. Il est ??galement connu comme le " forte "," m??me "ou" binaire "conjecture de Goldbach, pour le distinguer d'un corollaire plus faible. La conjecture de Goldbach forte implique la conjecture que tous les num??ros impairs sup??rieurs 7 sont la somme de trois nombres premiers impairs, qui est connu aujourd'hui diversement comme la "Faible" conjecture de Goldbach, le "bizarre" conjecture de Goldbach, ou "ternaire" conjecture de Goldbach. Ces deux questions sont rest??es en suspens depuis, bien que la forme faible de la conjecture semble ??tre beaucoup plus proche de la r??solution que le fort. Si la conjecture de Goldbach forte est vrai, la faiblesse de la conjecture de Goldbach sera vrai implicitement.

R??sultats v??rifi??s

Pour les petites valeurs de n, la conjecture de Goldbach forte (et donc la faiblesse de la conjecture de Goldbach) peuvent ??tre v??rifi??es directement. Par exemple, en 1938 N. Pipping v??rifi??e laborieusement la conjecture jusqu'?? $n \ leq 10 ^ 5$ . Avec l'av??nement des ordinateurs, beaucoup plus petites valeurs de n ont ??t?? v??rifi??es; T. Oliveira e Silva se ex??cute une recherche informatique distribu?? qui a v??rifi?? la conjecture pour $n \ leq 10 ^ {18}$ .

La conjecture de Goldbach ne dit pas qu'un certain nombre doit ??tre la somme d'une paire unique de nombres premiers. Les exemples de cet article illustrent le fait que plus d'une paire de nombres premiers peut totaliser le m??me nombre.

Justification heuristique

Consid??rations statistiques qui mettent l'accent sur la distribution probabiliste des nombres premiers de pr??senter des preuves informelle en faveur de la conjecture (dans les deux formes les faibles et forts) pour suffisamment grands entiers: plus le nombre entier, les plus de moyens sont disponibles, pour ce nombre ?? ??tre repr??sent?? comme la somme de deux ou trois autres num??ros, et plus ??probable??, il devient qu'au moins une de ces repr??sentations est enti??rement constitu?? de nombres premiers .

Nombre de voies d'??crire un nombre pair n comme la somme de deux nombres premiers (4 ≤ n ≤ 1000)

Nombre de voies d'??crire un nombre pair n comme la somme de deux nombres premiers (4 ≤ n ≤ 1000000)

Une version tr??s grossi??re de la l'argument probabiliste heuristique (pour la forme forte de la conjecture de Goldbach) est la suivante. Le th??or??me des nombres premiers affirme qu'un m entier choisi au hasard a environ un $1 / \ ln m \, \!$ chance d'??tre premier. Ainsi, si n est un grand entier pair et m est un nombre compris entre 3 et n / 2, alors on pourrait se attendre ?? la probabilit?? de m et nm ??tant simultan??ment Premier ??tre $1 \ big / \ big [\ ln m \, \ ln (n-m) \ big]$ . Cette heuristique est pas rigoureuse pour un certain nombre de raisons; par exemple, il suppose que les ??v??nements qui m et $n-m$ sont premiers sont statistiquement ind??pendants les uns des autres. N??anmoins, si l'on poursuit cette heuristique, on pourrait se attendre le nombre total de fa??ons d'??crire un grand n entier pair comme la somme de deux nombres premiers impairs soit environ

$\ Sum_ {m = 3} ^ {n / 2} \ frac {1} {\ ln m} {1 \ over \ ln (nm)} \ approx \ frac {n} {2 \ ln ^ 2 n}.$

Depuis cette quantit?? tend vers l'infini lorsque n augmente, nous attendre ?? ce que toutes les grandes entier pair a pas seulement une repr??sentation comme la somme de deux nombres premiers, mais en fait a tr??s grand nombre de ces repr??sentations.

L'argument heuristique ci-dessus est en fait quelque peu impr??cis, car il ignore une certaine d??pendance entre les ??v??nements de m et $n-m$ ??tre premier. Par exemple, si m est impair, alors $n-m$ est ??galement bizarre, et si m est pair, alors $n-m$ est m??me, une relation non-trivial parce que (plus 2) seulement des nombres impairs peut ??tre privil??gi??. De m??me, si n est divisible par 3, et m est d??j?? un premier distinct de 3, puis $n-m$ serait ??galement premiers entre eux ?? 3 et donc ??tre l??g??rement plus susceptibles d'??tre premier d'un num??ro g??n??ral. Poursuivant ce type d'analyse plus attentivement, Hardy et Littlewood en 1923 conjectur?? (dans le cadre de leur c??l??bre Hardy-Littlewood tuple Premier conjecture) que pour tout fixe c ≥ 2, le nombre de repr??sentations d'un grand entier n que la somme des nombres premiers c $n = p_1 + \ dotsb + P_c$ avec $p_1 \ leq \ dotsb \ leq P_c$ devrait ??tre asymptotiquement ??gal ??

$\ Left (\ prod_p \ frac {p \ gamma_ {c, p} (n)} {(p-1) ^ c} \ right) \ INT_ {2 \ leq x_1 \ leq \ dotsb \ leq x_c: x_1 + \ ldots + x_c = n} \ frac {dx_1 \ ldots dx_ {c-1}} {\ ln x_1 \ ldots \ ln x_c}$

o?? le produit est sur tous les nombres premiers p et $\ {C gamma_, p} (n)$ est le nombre de solutions de l'??quation $n = q_1 + \ ldots + q_c \ mod p$ en arithm??tique modulaire , sous r??serve que contraintes $q_1, \ ldots, q_c \ neq 0 \ mod p$ . Cette formule a ??t?? rigoureusement av??r?? ??tre asymptotiquement valable pour c ≥ 3 des travaux de Vinogradov, mais est encore qu'une conjecture quand $c = 2$ . Dans ce dernier cas, la formule ci-dessus se simplifie ?? 0 lorsque n est impair, et ??

$2 \ Pi_2 \ left (\ prod_ {p | n; p \ geq 3} \ frac {p-1} {2} p-\ right) \ int_2 ^ n \ frac {dx} {\ ln ^ 2 x} \ environ 2 \ Pi_2 \ left (\ prod_ {p | n; p \ geq 3} \ frac {p-1} {2} p-\ right) \ frac {n} {\ ln ^ 2 n}$

lorsque n est pair, o?? $\ Pi_2$ est le constante premiers jumeaux

$\ Pi_2: = \ prod_ {p \ geq 3} \ left (1 - \ frac {1} {(p-1) ^ 2} \ right) = 0,6601618158 \ ldots.$

Cette asymptotique est parfois connu comme la conjecture de Goldbach ??tendu. La conjecture de Goldbach forte est en fait tr??s similaire ?? la conjecture des nombres premiers jumeaux, et les deux conjectures sont soup??onn??s d'??tre des difficult??s ?? peu pr??s comparable.

Les fonctions de partition pr??sent??es ici peuvent ??tre affich??s sous forme d'histogrammes qui illustrent informative les ??quations ci-dessus. Voir La com??te de Goldbach.

R??sultats rigoureux

Le faible conjecture de Goldbach est assez proche de la r??solution.

La conjecture de Goldbach forte est beaucoup plus difficile. Le travail de Vinogradov en 1937 et Theodor Estermann (1902-1991) en 1938 a montr?? que la quasi-totalit?? des num??ros pairs peuvent se ??crire comme la somme de deux nombres premiers (en ce sens que la fraction de nombres pairs qui peuvent ??tre ??crites de mani??re tend vers 1). En 1930, Lev Schnirelmann prouv?? que chaque nombre pair n ≥ 4 peuvent ??tre ??crits comme la somme d'au plus 300 000 premiers. Ce r??sultat a ??t?? am??lior??e par la suite par de nombreux auteurs; actuellement, le r??sultat le plus connu est d?? ?? Olivier Ramar??, qui, en 1995 ont montr?? que chaque nombre pair n ≥ 4 est en fait la somme d'au plus six premiers. En fait, la r??solution de la conjecture de Goldbach faible impliquera aussi directement que chaque nombre pair n ≥ 4 est la somme d'au plus quatre premiers.

Chen Jingrun montr?? en 1973 en utilisant les proc??d??s de th??orie que chaque tamis m??me nombre suffisamment grand peut ??tre ??crite comme une somme de deux nombres premiers soit, ou un premier et un Nombre semi-premier (le produit de deux nombres premiers) -eg, 100 = 23 + 7 ?? 11.

En 1975, Hugh Montgomery et Robert Charles Vaughan a montr?? que ??la plupart?? des nombres pairs ??taient exprimable comme la somme de deux nombres premiers. Plus pr??cis??ment, ils ont montr?? qu'il existait des constantes positives $c, C$ telle que pour tout nombre N suffisamment grand, chaque nombre pair inf??rieur ?? N est la somme de deux nombres premiers, avec au plus $C N ^ {1-c}$ exceptions. En particulier, l'ensemble des entiers qui ne sont pas m??me la somme de deux nombres premiers a une densit?? z??ro.

Roger Heath-Brown et Jan-Christoph Schlage-Puchta a montr?? en 2002 que chaque entier pair assez grand est une somme de deux nombres premiers et exactement 13 puissances de 2.

On peut poser des questions similaires quand les amorces sont remplac??s par d'autres ensembles de nombres sp??ciaux, tels que les carr??s. Par exemple, il ??tait prouv??e par Lagrange que chaque nombre entier positif est la somme de quatre carr??s. Voir Le probl??me de Waring.

Tentatives preuves

Comme avec beaucoup de conjectures c??l??bres en math??matiques, il ya un certain nombre de preuves de pr??tendues la conjecture de Goldbach, dont aucune ne est actuellement accept??e par la communaut?? math??matique.

Parce que ce est facile ?? comprendre par des la??cs, la conjecture de Goldbach est une cible populaire pour les math??maticiens amateurs, qui tentent souvent de prouver ou de r??futer en utilisant seulement les math??matiques de niveau lyc??e. Il partage ce sort avec le th??or??me des quatre couleurs et le dernier th??or??me de Fermat , qui ont tous deux ??galement un probl??me facilement d??clar?? mais semble n??anmoins ??tre r??solues que par des m??thodes extr??mement ??labor??s.

Dans la culture populaire

Pour g??n??rer de la publicit?? pour le livre Oncle Petros et la conjecture de Goldbach par Apostolos Doxiadis, ??diteur britannique Tony Faber a offert un prix $ 1.000.000 pour une preuve de la conjecture en 2000, si la preuve a ??t?? pr??sent??e avant Avril 2002. Le prix n'a jamais ??t?? r??clam??.
Le drame de t??l??vision Lewis a pr??sent?? un professeur de math??matiques ?? l'Universit?? d'Oxford qui avait remport?? le M??daille Fields pour ses travaux sur la conjecture de Goldbach, qui ??tait une caract??ristique principale de la parcelle.
Courte histoire d'Isaac Asimov "Sixty Million Trillion Combinaisons" pr??sentait un math??maticien qui soup??onne que son travail sur la conjecture de Goldbach avait ??t?? vol??.
Dans le Film espagnol "La habitaci??n de Fermat" (2007), r??alis?? par Luis Piedrahita et Rodrigo Sope??a, un jeune math??maticien affirme avoir r??solu le Conjecture.

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