Le dernier th??or??me de Fermat

L'??dition 1670 du Diophante Arithmetica comprend le commentaire de Fermat, en particulier son ??dernier th??or??me" (Observatio Domini Petri de Fermat).

Dans la th??orie des nombres , le dernier th??or??me de Fermat (parfois appel?? la conjecture de Fermat, en particulier dans les textes plus anciens) stipule qu'aucune trois positifs entiers a, b, et c peuvent satisfaire ?? l'??quation a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ pour chaque valeur enti??re de n sup??rieur ?? deux.

Ce th??or??me a ??t?? le premier conjectur?? par Pierre de Fermat en 1637, c??l??bre dans la marge d'une copie de Arithmetica o?? il a affirm?? qu'il avait une preuve qui ??tait trop grand pour tenir dans la marge. Aucune preuve de succ??s a ??t?? publi?? jusqu'en 1995 malgr?? les efforts d'innombrables math??maticiens pendant les 358 ann??es qui ont suivi. Le probl??me non r??solu stimul?? le d??veloppement de th??orie alg??brique des nombres dans le 19??me si??cle et la preuve de la modularit?? th??or??me dans le 20e si??cle. Il est parmi les plus c??l??bres th??or??mes les dans le histoire des math??matiques et avant son 1995 ??tait la preuve dans le Livre Guinness des Records du Monde pour "probl??mes math??matiques les plus difficiles".

Histoire

Fermat n'a laiss?? aucune preuve de la conjecture pour tout n, mais il a fait preuve le cas particulier n = 4. Cela a r??duit le probl??me ?? d??montrer le th??or??me pour exposants n qui sont des nombres premiers . Au cours des deux prochains si??cles (1637-1839), la conjecture a ??t?? prouv?? que pour les primes 3, 5 et 7, bien que Sophie Germain se est av??r?? un cas particulier pour tous les nombres premiers inf??rieur ?? 100. Dans le milieu du 19e si??cle, Ernst Kummer a prouv?? le th??or??me pour nombres premiers r??guliers. Se appuyant sur les travaux de Kummer et en utilisant des ??tudes informatiques sophistiqu??s, d'autres math??maticiens ont pu d??montrer la conjecture pour tous les nombres premiers impairs jusqu'?? quatre millions.

La preuve d??finitive de la conjecture pour tout n est venu ?? la fin du 20??me si??cle. En 1984, Gerhard Frey a sugg??r?? l'approche de prouver la conjecture par une preuve de la modularit?? th??or??me pour les courbes elliptiques . Se appuyant sur les travaux de Ken Ribet, Andrew Wiles r??ussi ?? prouver le th??or??me assez de modularit?? pour prouver le dernier th??or??me de Fermat, avec l'aide de Richard Taylor. La r??alisation de Wiles a ??t?? largement rapport??es par la presse populaire, et a ??t?? popularis?? dans les livres et les programmes de t??l??vision.

Contexte math??matique

Triplets pythagoriciens

Un triplet de Pythagore est un ensemble de trois entiers (a, b, c) qui satisfont un cas particulier de l'??quation de Fermat (n = 2)

Des exemples de triplets de Pythagore comprennent (3, 4, 5) et (5, 12, 13). Il ya une infinit?? de ces triples, et les m??thodes pour g??n??rer ces triples ont ??t?? ??tudi??s dans de nombreuses cultures, en commen??ant par le Babyloniens et plus tard le grec ancien, Chinois et Indiens math??maticiens. L'int??r??t traditionnel pour triplets pythagoriciens se connecte avec le th??or??me de Pythagore ; dans sa forme inverse, il stipule qu'un triangle avec des c??t??s de longueurs a, b, c et a une angle droit entre l'un et les jambes b lorsque les chiffres sont un triplet pythagoricien. Perpendiculairement avoir diverses applications de pratiques, telles que arpentage, la menuiserie, ma??onnerie, et construction. Le dernier th??or??me de Fermat est une extension de ce probl??me ?? des puissances plus ??lev??es, indiquant qu'aucune solution existe lorsque l'exposant 2 est remplac?? par un entier sup??rieur.

??quations diophantiennes

??quation x ^{le n} de Fermat + y ⁿ = z ⁿ est un exemple d'une ??quation diophantienne. Une ??quation diophantienne est une ??quation polynomiale dans laquelle les solutions doivent ??tre des entiers. Leur nom d??rive du 3??me si??cle Alexandrie math??maticien, Diophante, qui a d??velopp?? des m??thodes pour leur solution. Un probl??me diophantienne typique est de trouver deux entiers x et y tels que leur somme, et la somme de leurs carr??s, ??gale deux nombres donn??s A et B, respectivement:

??uvre majeure de Diophante est le Arithmetica, dont une partie seulement a surv??cu. La conjecture de Fermat de son dernier th??or??me a ??t?? inspir?? lors de la lecture d'une nouvelle ??dition de la Arithmetica, qui a ??t?? traduit en latin et publi?? en 1621 par Claude Bachet.

??quations diophantiennes ont ??t?? ??tudi??s depuis des milliers d'ann??es. Par exemple, les solutions de l'??quation quadratique Diophantine x ² + y ² = z ² sont donn??es par le Triplets pythagoriciens, l'origine r??solus par les Babyloniens (c. 1800 BC). Solutions d'??quations lin??aires diophantiennes, tels que 26 x 65 + y = 13, peuvent ??tre trouv??s en utilisant le Euclidienne algorithme (c. 5??me si??cle avant JC). Beaucoup ??quations diophantiennes avoir une forme similaire ?? l'??quation du dernier th??or??me de Fermat du point de vue de l'alg??bre, en ce qu'ils ne ont pas de termes crois??s m??lange de deux lettres, sans partager ses propri??t??s particuli??res. Par exemple, il est connu qu'il existe une infinit?? d'entiers positifs x, y et z de telle sorte que x + y ^{n n} = z ^m o?? n et m sont nombres naturels relativement premiers.

La conjecture de Fermat

II.8 probl??me dans l'??dition 1621 de la Arithmetica de Diophante. Sur la droite se trouve le c??l??bre marge qui ??tait trop petite pour contenir la preuve all??gu??e de Fermat de son ??dernier th??or??me".

II.8 du probl??me Arithmetica demande comment un certain nombre carr?? donn?? est divis?? en deux autres places; en d'autres termes, une donn??e de nombre rationnel k, pour des nombres rationnels u et v tels que k ² = u ² + v ^2. Diophante montre comment r??soudre cette somme des carr??s probl??me pour k = 4 (les solutions ??tant u = 16/5 et v = 12/5).

Autour de 1637, Fermat a ??crit son dernier th??or??me dans la marge de son exemplaire de la Arithmetica c??t?? de la somme des carr??s probl??me de Diophante:

Bien que la preuve g??n??rale de Fermat est inconnue, sa preuve d'un cas (n = 4) par descente infinie a surv??cu. Fermat a pos?? les cas de n = 4 et n = 3 comme des d??fis ?? ses correspondants math??matiques, comme Marin Mersenne, Blaise Pascal , et John Wallis. Cependant, dans les trente derni??res ann??es de sa vie, Fermat jamais ??crit de sa ??preuve vraiment merveilleux" du cas g??n??ral.

Apr??s la mort de Fermat en 1665, son fils Samuel Cl??ment-Fermat a produit une nouvelle ??dition du livre (1670) augment??e avec les commentaires de son p??re. La note de la marge est devenu connu comme le dernier th??or??me de Fermat, que ce ??tait la derni??re des th??or??mes de Fermat revendiqu??s ?? rester ?? prouver.

Les ??preuves pour les exposants sp??cifiques

Un seul preuve math??matique par Fermat a surv??cu, dans lequel Fermat utilise la technique de descente infinie de montrer que l'aire d'un triangle dont les c??t??s entiers ne peut jamais ??galer la place d'un entier. Sa preuve est ??quivalent ?? d??montrer que l'??quation

n'a pas de solutions primitives en entiers (pas solutions de premiers entre eux deux ?? deux). ?? son tour, cela prouve le dernier th??or??me de Fermat pour le cas n = 4, puisque l'??quation d'un ⁴ + b = c ^{4 4} peut ??tre ??crit comme c ⁴ - b = ^{4 (2) 2.}

Preuves alternatives de l'affaire n = 4 ont ??t?? d??velopp??s plus tard par Fr??nicle de Bessy (1676), Leonhard Euler (1738), Kausler (1802), Peter Barlow (1811), Adrien-Marie Legendre (1830), Schopis (1825), Terquem (1846), Joseph Bertrand (1851), Victor Lebesgue (1853, 1859, 1862), Th??ophile Pepin (1883), Tafelmacher (1893), David Hilbert (1897), Bendz (1901), Gambioli (1901), Leopold Kronecker (1901), Bang (1905), Sommer (1907), Bottari (1908), Karel Rychl??k (1910), Nutzhorn (1912), Robert Carmichael (1913), Hancock (1931), et Vrǎnceanu (1966).

Pour autre preuve pour n = 4 par descente infinie, voir Infini descente: non-solvabilit?? de r ² + ⁴ = ⁴ t. Pour diverses preuves pour n = 4 par descente infinie, voir Grant et Perella (1999), Barbara (2007), et Dolan (2011).

Apr??s Fermat se est av??r?? le cas particulier n = 4, la preuve g??n??rale pour tout n exigeait seulement que le th??or??me ??tre ??tabli pour tous les exposants premiers impairs. En d'autres termes, il ??tait n??cessaire de prouver seulement que l'??quation a + b ^{n n} = c ⁿ n'a pas de solutions enti??res (a, b, c) lorsque n est un nombre impair nombre premier . Ceci fait suite ?? cause d'une solution (a, b, c) pour un n donn?? est ??quivalente ?? une solution ?? tous les facteurs de n. ?? titre d'illustration, soit N pris en compte dans d et e, n = de. L'??quation g??n??rale

un ⁿ + b = c ^{n n}

implique que (a ^j, b ^j, c ^d) est une solution pour l'exposant e

(A ^{d) e} + (b ^{d) e} = (c ^{d) e.}

Ainsi, pour prouver que l'??quation de Fermat n'a pas de solutions pour n> 2, il suffit de prouver qu'il n'a pas de solution pour au moins un facteur premier de tous les n. Tous les entiers n> 2 contiennent un facteur de 4, ou un nombre premier impair, ou les deux. Par cons??quent, le dernier th??or??me de Fermat peut ??tre prouv?? pour tout n se il peut ??tre prouv?? pour n = 4 et pour tous les nombres premiers p impair (le seul nombre premier est le num??ro 2).

Dans les deux si??cles suivants sa conjecture (1637-1839), le dernier th??or??me de Fermat a ??t?? prouv?? pendant trois exposants premiers impairs p = 3, 5 et 7. Le cas p = 3 a ??t?? la premi??re fois par Al-Khujandi (10??me si??cle), mais sa d??monstration du th??or??me ??tait incorrecte. En 1770, Leonhard Euler a donn?? une preuve de p = 3, mais sa preuve en descente infinie contenait une lacune majeure. Cependant, depuis Euler se ??tait r??v??l?? le lemme n??cessaire pour compl??ter la preuve dans d'autres travaux, il est g??n??ralement cr??dit?? de la premi??re preuve. Preuves ind??pendantes ont ??t?? publi??es par Kausler (1802), Legendre (1823, 1830), Calzolari (1855), Gabriel Lam?? (1865), Peter Guthrie Tait (1872), G??nther (1878), Gambioli (1901), Krey (1909), Rychl??k (1910), Stockhaus (1910), Carmichael (1915), Johannes van der Corput (1915), Axel Thue (1917), et Duarte (1944). Le cas p = 5 a ??t?? prouv?? de fa??on ind??pendante par Legendre et Peter Dirichlet vers 1825. preuves alternatifs ont ??t?? d??velopp??s par Carl Friedrich Gauss (1875, posthume), Lebesgue (1843), Lam?? (1847), Gambioli (1901), Werebrusow (1905), Rychl??k (1910), van der Corput (1915) et Guy Terjanian (1987). Le cas p = 7 a ??t?? prouv?? par Lam?? en 1839. Sa preuve assez compliqu?? a ??t?? simplifi??e en 1840 par Lebesgue, et les preuves toujours plus simples ont ??t?? publi??s par Angelo Genocchi en 1864, 1874 et 1876. preuves alternatifs ont ??t?? d??velopp??s par Th??ophile P??pin (1876) et Edmond Maillet (1897).

Le dernier th??or??me de Fermat a ??galement ??t?? prouv?? pour les exposants n = 6, 10, et 14. Les preuves pour n = 6 ont ??t?? publi??s par Kausler, Thue, Tafelmacher, Lind, Kapferer, Swift et Breusch. De m??me, Dirichlet et Terjanian chaque prouv?? le cas n = 14, tandis que Kapferer et Breusch chaque prouv?? le cas n = 10. Strictement parlant, ces preuves ne sont pas n??cessaires, ??tant donn?? que ces cas d??coulent des preuves pour n = 3, 5 et 7, respectivement. N??anmoins, le raisonnement de ces preuves encore-exposant diff??re de leurs homologues impair exposant. La preuve de Dirichlet pour n = 14 a ??t?? publi?? en 1832, avant 1839 la preuve de Lam?? pour n = 7.

Beaucoup de preuves pour exposants sp??cifiques utilisent la technique de Fermat descente infinie, qui Fermat utilis?? pour prouver le cas n = 4, mais beaucoup ne le font pas. Cependant, les d??tails et arguments auxiliaires sont souvent ad hoc et li??s ?? l'exposant individuelle ?? l'??tude. Depuis ils sont devenus de plus en plus compliqu?? que p augment??, il semblait peu probable que le cas g??n??ral du dernier th??or??me de Fermat pouvait ??tre prouv?? en se appuyant sur les preuves pour les exposants individuels. Bien que certains r??sultats g??n??raux sur le dernier th??or??me de Fermat ont ??t?? publi??s au d??but du 19??me si??cle par Niels Henrik Abel et Peter Barlow, le premier travail important sur le th??or??me g??n??ral a ??t?? fait par Sophie Germain.

Sophie Germain

Au d??but du 19e si??cle, Sophie Germain a d??velopp?? plusieurs nouvelles approches pour prouver le dernier th??or??me de Fermat pour tous les exposants. D'abord, elle a d??fini un ensemble de nombres premiers auxiliaires θ construits ?? partir de l'exposant premier p par l'??quation θ = 2 ch 1, o?? h est tout entier non divisible par trois. Elle a montr?? que, si aucun des nombres entiers ??lev??s ?? la puissance ^p-i??me ??taient (la condition de non-cons??cutivit??) de modulo adjacent, alors θ doit diviser le produit xyz. Son but ??tait d'utiliser induction math??matique pour prouver que, pour tout p donn??, infinit?? de nombres premiers auxiliaires θ satisfait ?? la condition non-cons??cutivit?? et donc divis??s xyz; depuis le xyz produit peut avoir au plus un nombre fini de facteurs premiers, cette preuve aurait ??tabli le dernier th??or??me de Fermat. M??me si elle a d??velopp?? de nombreuses techniques pour ??tablir la condition de non-cons??cutivit??, elle n'a pas r??ussi dans son objectif strat??gique. Elle a ??galement travaill?? ?? fixer des limites inf??rieures sur la taille de solutions ?? l'??quation de Fermat pour un exposant p donn??, une version modifi??e de ce qui a ??t?? publi?? par Adrien-Marie Legendre. En tant que sous-produit de ce dernier travail, elle se est av??r??e Th??or??me de Sophie Germain, qui a v??rifi?? le premier cas du dernier th??or??me de Fermat (?? savoir, dans le cas o?? p ne divise pas xyz) pour chaque exposant premier impair inf??rieur ?? 100. Germain a tent?? en vain de prouver le premier cas du dernier th??or??me de Fermat pour tous, m??me exposants, en particulier pour n = 2 p, qui a ??t?? prouv?? par Guy Terjanian en 1977. En 1985, Leonard Adleman, Roger Heath-Brown et ??tienne Fouvry prouv?? que le premier cas du dernier th??or??me de Fermat d??tient pour une infinit?? de nombres premiers impairs p.

Ernst Kummer et la th??orie des id??aux

En 1847, Gabriel Lam?? pr??sent?? une preuve du dernier th??or??me de Fermat sur la base de l'affacturage l'??quation x + y ^{p p p} = z dans les nombres complexes, en particulier la cyclotomique champ sur la base du racines de la num??ro 1. Sa preuve ne ont pas, cependant, car il suppose ?? tort que ces nombres complexes peuvent ??tre pris en compte uniquement en nombres premiers, semblables ?? des nombres entiers. Cet ??cart a ??t?? signal?? imm??diatement Joseph Liouville, qui plus tard a lu un papier qui a d??montr?? cet ??chec de factorisation unique ??crit par Ernst Kummer.

Kummer se est donn?? pour t??che de d??terminer si le corps cyclotomique pourrait ??tre g??n??ralis?? pour inclure de nouveaux nombres premiers tels que la factorisation unique a ??t?? restaur??. Il a r??ussi dans cette t??che par le d??veloppement du num??ros id??ales. En utilisant l'approche g??n??rale d??crite par Lam??, Kummer a prouv?? les deux cas du dernier th??or??me de Fermat pour tous nombres premiers r??guliers. Cependant, il ne pouvait pas prouver le th??or??me pour les primes exceptionnelles ( primes irr??guli??res) qui se produisent conjecturalement environ 39% du temps; les seuls nombres premiers irr??guliers inf??rieures ?? 100 sont 37, 59 et 67.

Mordell conjecture

Dans les ann??es 1920, Louis Mordell pos?? une conjecture qui implique que l'??quation de Fermat a au plus un nombre fini de solutions enti??res primitives non triviaux si l'exposant n est sup??rieur ?? deux. Cette conjecture a ??t?? prouv??e en 1983 par Gerd Faltings, et est maintenant connu sous le nom Th??or??me de Faltings.

Les ??tudes computationnelles

Dans la seconde moiti?? du 20e si??cle, les m??thodes de calcul ont ??t?? utilis??s pour ??tendre l'approche de Kummer aux nombres premiers irr??guliers. En 1954, Harry Vandiver a utilis?? une CSAO ordinateur pour prouver le dernier th??or??me de Fermat pour tous les nombres premiers jusqu'?? 2521. En 1978, Samuel Wagstaff avait ??tendu ce ?? tous les nombres premiers inf??rieurs 125,000. En 1993, le dernier th??or??me de Fermat avait ??t?? ??prouv??e pour tous les nombres premiers moins de quatre millions d'euros.

Connexion avec les courbes elliptiques

La strat??gie finalement couronn??e de succ??s pour prouver le dernier th??or??me de Fermat ??tait en prouvant la modularit?? th??or??me. La strat??gie a ??t?? d??crite par Gerhard Frey en 1984. Frey a not?? que si l'??quation de Fermat avait une solution (a, b, c) pour exposant p> 2, le correspondant courbe elliptique

y ² = x (x - un ^p) (x + ^p b)

aurait de telles propri??t??s inhabituelles que la courbe serait susceptible de violer le th??or??me de modularit??. Ce th??or??me, d'abord conjectur?? au milieu des ann??es 1950 et affin?? progressivement dans les ann??es 1960, stipule que chaque courbe elliptique est modulaire, ce qui signifie qu'il peut ??tre associ?? ?? un unique, forme modulaire.

Suivant cette strat??gie, la preuve du dernier th??or??me de Fermat a n??cessit?? deux ??tapes. Tout d'abord, il ??tait n??cessaire de montrer que l'intuition de Frey ??tait correcte: que la courbe elliptique ci-dessus, si elle existe, est toujours non modulaire. Frey n'a pas r??ussi ?? prouver cette rigueur; la pi??ce manquante a ??t?? identifi?? par Jean-Pierre Serre. Cette pi??ce manquante, la soi-disant " epsilon conjectures ", a ??t?? prouv??e par Ken Ribet en 1986. Deuxi??mement, il ??tait n??cessaire de prouver un cas particulier du th??or??me de modularit??. Ce cas particulier (pour courbes elliptiques semi-stables) a ??t?? prouv??e par Andrew Wiles en 1995.

Ainsi, la conjecture epsilon a montr?? que la solution de l'??quation de Fermat pourrait ??tre utilis??e pour g??n??rer une courbe elliptique semi-stable non modulaire, tandis que la preuve de Wiles a montr?? que toutes ces courbes elliptiques doivent ??tre modulaire. Cette contradiction implique qu'il ne peut y avoir de solution ?? l'??quation de Fermat, prouvant ainsi le dernier th??or??me de Fermat.

D??monstration g??n??rale de Wiles

Math??maticien britannique Andrew Wiles

La preuve de Ribet de la epsilon conjecture en 1986 accompli la premi??re moiti?? de la strat??gie de Frey pour prouver le dernier th??or??me de Fermat. Apr??s audition de la preuve de Ribet, Andrew Wiles a d??cid?? de se engager ?? accomplir la seconde moiti??: prouver un cas particulier de la modularit?? th??or??me (alors connu comme la conjecture de Shimura-Taniyama) pour les courbes elliptiques semi-stables. Wiles a travaill?? sur cette t??che pendant six ans dans le secret presque compl??te. Il a fond?? son approche initiale sur son domaine d'expertise, Th??orie d'Iwasawa Horizontal, mais d'ici l'??t?? 1991, cette approche semblait insuffisante pour la t??che. En r??ponse, il a exploit?? un Euler syst??me r??cemment d??velopp?? par Victor et Kolyvagin Matthias Flach. Depuis Wiles ??tait pas familier avec ces m??thodes, il a demand?? ?? son coll??gue de Princeton, Nick Katz, pour v??rifier son raisonnement sur le semestre de printemps 1993.

?? la mi-1993, Wiles ??tait suffisamment confiant de ses r??sultats qu'il les pr??sente en trois conf??rences prononc??es sur Juin 21-23 1993, ?? la Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences. Plus pr??cis??ment, Wiles a pr??sent?? sa preuve de la conjecture de Shimura-Taniyama pour les courbes elliptiques semi-stables; avec la preuve de Ribet de la conjecture de epsilon, cela impliquait le dernier th??or??me de Fermat. Cependant, il est vite apparu que la preuve initiale de Wiles ??tait incorrecte. Une partie essentielle de la preuve contenait une erreur dans une borne sur l'ordre d'un particulier groupe . L'erreur a ??t?? captur?? par plusieurs math??maticiens arbitrage d manuscrit de Wiles y compris Katz, qui a alert?? le 23 Ao??t Wiles 1993.

Wiles et son ancien ??l??ve Richard Taylor a pass?? pr??s d'un an ?? essayer de r??parer la preuve, sans succ??s. Le 19 Septembre 1994, Wiles avait un ??clair d'intelligence que la preuve pourrait ??tre sauv?? par retourner ?? son approche de la th??orie d'Iwasawa horizontale originale, qu'il avait abandonn?? en faveur de l'approche Kolyvagin-Flach. Le 24 Octobre 1994, Wiles a pr??sent?? deux manuscrits, ??courbes elliptiques modulaires et le dernier th??or??me de Fermat?? et ??propri??t??s th??oriques de sonnerie de certaines alg??bres de Hecke", dont la seconde a ??t?? co-??crit avec Taylor. Les deux documents ont ??t?? examin??es et publi??es que l'int??gralit?? de la question de mai 1995 Annales de math??matiques. Ces documents ??tablis le th??or??me de modularit?? pour les courbes elliptiques semi-stables, la derni??re ??tape ?? prouver le dernier th??or??me de Fermat, 358 ann??es apr??s qu'il a ??t?? conjectur??.

Exposants autres que des nombres entiers positifs

Exposants rationnels

Toutes les solutions de l'??quation diophantienne lorsque n = 1 ont ??t?? calcul??s par Lenstra en 1992. Dans le cas o?? la m ^i??me racines doivent ??tre r??els et positifs, toutes les solutions sont donn??s par

pour les entiers positifs r, s, t avec s et t premiers entre eux.

En 2004, pour n> 2, Bennett, verre, et Szekely prouv?? que si pgcd (n, m) = 1, alors il existe des solutions enti??res si et seulement si 6 divise m, et , et sont diff??rents 6e racines complexes du m??me nombre r??el.

Exposants n??gatifs

n = -1

Tous les premiers entre eux (par paire) solutions enti??res primitifs ?? peut se ??crire

pour le positif, Nombres premiers entre eux m, n.

n = -2

Le cas n = -2 a aussi une infinit?? de solutions, et ceux-ci ont une interpr??tation g??om??trique en termes de triangles rectangles avec des c??t??s entiers et une altitude entier ?? l'hypot??nuse. Toutes les solutions primitives ?? sont donn??s par

pour les premiers entre eux entiers u, v avec v> u. L'interpr??tation g??om??trique est que a et b sont des nombres entiers les jambes d'un triangle rectangle et d est la hauteur enti??re de l'hypot??nuse. Ensuite, l'hypot??nuse lui-m??me est le nombre entier

si (a, b, c) est un Triplet pythagoricien.

Integer n <-2

Il n'y a pas de solutions en entiers pour pour n entier <-2. Se il y avait, l'??quation pourrait ??tre multipli?? par par obtenir , Ce qui est impossible par le dernier th??or??me de Fermat.

Avez-Fermat poss??de une preuve g??n??rale?

Les techniques math??matiques utilis??s dans la preuve ??merveilleux?? de Fermat sont inconnus. Seulement une preuve d??taill??e de Fermat a surv??cu, la preuve ci-dessus qu'aucune trois entiers premiers entre eux (x, y, z) satisfont l'??quation x ⁴ - ⁴ y = z ^2.

La preuve de Taylor et Wiles se appuie sur des techniques math??matiques d??velopp??es au XXe si??cle, ce qui serait inconnu de math??maticiens qui avaient travaill?? sur le dernier th??or??me de Fermat m??me un si??cle plus t??t. Pr??tendue ??preuve merveilleuse" de Fermat, par comparaison, aurait d?? ??tre ??l??mentaire, donn?? connaissance math??matique du temps, et ainsi ne aurait pas ??t?? la m??me que la preuve de Wiles. La plupart des math??maticiens et historiens des sciences douter que Fermat avait une preuve valable de son th??or??me pour tous les exposants n.

Harvey Friedman grande conjecture implique que le dernier th??or??me de Fermat peut ??tre prouv?? en arithm??tique ??l??mentaire, une forme plut??t faible de l'arithm??tique avec addition, multiplication, exponentiation, et une forme limit??e d'induction pour les formules avec quantificateurs born??s. Une telle preuve serait ??l??mentaire mais peut-??tre trop long ?? ??crire.

Des prix en argent

En 1816 et de nouveau en 1850, le Acad??mie fran??aise des sciences a offert un prix pour une preuve g??n??rale du dernier th??or??me de Fermat. En 1857, l'Acad??mie re??u 3000 francs et une m??daille d'or ?? Kummer pour ses recherches sur le nombre id??al, m??me se il ne avait pas pr??sent?? une entr??e pour le prix. Un autre prix a ??t?? offert en 1883 par l'Acad??mie de Bruxelles.

En 1908, le math??maticien industriel et amateur allemand Paul Wolfskehl l??gu?? 100 000 marques ?? l'Acad??mie des sciences de G??ttingen qui seront offerts comme prix pour une preuve compl??te du dernier th??or??me de Fermat. Le 27 Juin 1908, l'Acad??mie a publi?? neuf r??gles pour l'attribution du prix. Entre autres choses, ces r??gles exigent que la preuve sera publi?? dans une revue ?? comit?? de lecture; le prix ne serait pas attribu?? que deux ans apr??s la publication; et qu'aucun prix serait donn?? apr??s le 13 Septembre 2007, ?? peu pr??s un si??cle apr??s la comp??tition a commenc??. Wiles recueilli l'argent du prix Wolfskehl, alors vaut $ 50 000, le 27 Juin 1997.

Avant la preuve de Wiles, des milliers de preuves incorrectes ont ??t?? soumises au comit?? Wolfskehl, se ??levant ?? environ 10 pieds (3 m??tres) de correspondance. Dans la premi??re ann??e (1907-1908), 621 tentatives de preuves ont ??t?? pr??sent??es, bien que par les ann??es 1970, le taux de soumission avait diminu?? ?? environ 3-4 tentatives de preuves par mois. Selon F. Schlichting, un examinateur Wolfskehl, la plupart des preuves ont ??t?? bas??es sur les m??thodes enseign??es dans les ??coles ??l??mentaires, et souvent soumis par des ??personnes ayant une formation technique mais une carri??re ??chou??". Dans les mots de l'historien math??matique Howard Eves, "le dernier th??or??me de Fermat a la particularit?? singuli??re d'??tre le probl??me math??matique pour lequel le plus grand nombre de preuves incorrectes ont ??t?? publi??s."

Dans la culture populaire

• Un ??pisode de la s??rie de t??l??vision Star Trek: The Next Generation, intitul?? " La Royale ", se r??f??re au th??or??me dans le premier acte Riker visite capitaine Jean-Luc Picard dans sa chambre pr??te ?? signaler seulement pour trouver Picard ??nigmatique sur le dernier th??or??me de Fermat l'int??r??t de Picard dans ce th??or??me va au-del?? de la difficult?? du puzzle;.. Il aussi se sent humili?? que malgr?? leur technologie de pointe, ils sont encore incapables de r??soudre un probl??me pos?? par un homme qui ne avait pas l'ordinateur. Un ??pisode Star Trek: Deep Space 9, intitul?? " Facettes ", se r??f??re au th??or??me ainsi. Dans une sc??ne impliquant O'Brien, Tobin Dax mentionne les travaux sur sa propre tentative pour r??soudre le dernier th??or??me de Fermat continue.
• "La Preuve" - Nova ( PBS) documentaire sur la preuve d'Andrew Wiles du dernier th??or??me de Fermat.
• Le 17 Ao??t 2011, un Google doodle a ??t?? montr?? sur la page d'accueil Google, montrant un tableau noir avec le th??or??me sur elle. Lorsque plan?? au-dessus, il affiche le texte "je ai d??couvert une preuve vraiment merveilleux de ce th??or??me, dont ce doodle est trop petit pour contenir." Ce est une r??f??rence ?? la note faite par Fermat en marge de Arithmetica. Il comm??more la naissance 410e anniversaire de de Fermat.
• Dans le livre La Fille qui r??vait d'un bidon d'essence et d'une allumette, Lisbeth Salander personnage principal devient obs??d?? par le th??or??me dans les premiers chapitres du livre. Son effort continu pour venir avec une preuve de sa propre est un sous-terrain en cours d'ex??cution ?? travers l'histoire, et est utilis?? comme un moyen de d??montrer son intelligence exceptionnelle. A la fin elle arrive avec une preuve (la preuve r??elle ne est pas s??lectionn??e dans le livre). Mais apr??s avoir re??u une balle dans la t??te et survivant, elle a perdu la preuve.
• Dans le Harold Ramis re-make du film Bedazzled, avec Brendan Fraser et Elizabeth Hurley, le dernier th??or??me de Fermat semble ??crit sur le tableau dans la classe que le protagoniste Elliot se retrouve t??l??port?? ?? apr??s qu'il abandonne son quatri??me souhait ??chou??. Dans le commentaire du r??alisateur pour la sortie en DVD, directeur Ramis commente que personne n'a sembl?? remarquer que l'??quation sur la carte est le dernier th??or??me de Fermat.
• Dans Doctor Who , Saison 5 Episode 1 " The Eleventh Hour ", le Docteur transmet une preuve du dernier th??or??me de Fermat en le tapant dans quelques secondes sur l'ordinateur portable de Jeff de prouver son g??nie ?? une collection de chefs de file mondiaux discuter de la derni??re menace pour la race humaine. Cela implique que le docteur savait une preuve qui ??tait assez courte et facile pour les autres ?? comprendre.
• En The IT Crowd, s??rie 3 Episode 6 " Calendrier Geeks "dernier th??or??me de Fermat est r??f??renc?? au cours d'une s??ance photo pour un calendrier sur les geeks et les r??alisations en sciences et en math??matiques.
• La chanson "Baby Genius Bizarro?? par MC Frontalot contient les paroles "Et aucune poussi??re retomb??e quand elle avait r??fut?? Fermat en trouvant A ³ + B = C ³ que ^trois".
• Dans le manga et l'anime s??rie de Zatch Bell! Une des questions du portier Unko Tintin ??tait de prouver le dernier th??or??me de Fermat. Le protagoniste principal a r??ussi ?? l'??viter en se demandant si Unko Tintin pourrait r??pondre lui-m??me, qu'il ne pouvait pas.