Th??or??me de Pythagore

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Le th??or??me de Pythagore: La somme des aires des deux carr??s sur les jambes (a et b) est ??gale ?? la superficie de la place sur l'hypot??nuse (c).

Trigonom??trie
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R??f??rence
Identit??s Constantes pr??cises Tables trigonom??triques
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Loi des sinus Loi des cosinus Loi des tangentes Loi de cotangentes Th??or??me de Pythagore
Calcul
Substitution trigonom??trique Int??grales de fonctions D??riv??es des fonctions Int??grales de fonctions inverses

G??om??trie
Oxyrhynchus papyrus (P.Oxy. I 29) montrant fragment de El??ments d'Euclide
Histoire de la g??om??trie
Branches La g??om??trie euclidienne ?? La g??om??trie non-euclidienne ?? g??om??trie analytique ?? G??om??trie riemannienne ?? G??om??trie diff??rentielle ?? La g??om??trie projective ?? G??om??trie alg??brique
Les domaines de recherche G??om??trie alg??brique ?? G??om??trie diff??rentielle ?? G??om??trie symplectique
Concepts importants Remarque ?? Ligne ?? Perpendiculaire ?? Parall??lement ?? Le segment de ligne ?? Ray ?? Avion ?? Longueur ?? Espace ?? Volume ?? Vertex ?? Angle ?? Congruence ?? Similarit?? ?? Polygone ?? Triangle ?? Altitude ?? ?? Hypot??nuse th??or??me de Pythagore ?? Quadrilat??re ?? Trap??ze ?? Kite ?? Parall??logramme ( Rhomboid, Rectangle, Rhombus, Place ) ?? Diagonal ?? Sym??trie ?? Curve ?? Cercle ?? Zone d'un disque ?? Circonf??rence ?? Diam??tre ?? Cylindre ?? Sph??re ?? Pyramide ?? Dimensions ( une, deux, trois, quatre)
G??om??tres Aryabhata ?? Ahm??s ?? Apolonius ?? Archim??de ?? Baudhayana ?? Bolyai ?? Brahmagupta ?? Euclid ?? Pythagore ?? Khayy??m ?? Descartes ?? Pascal ?? Euler ?? Gauss ?? Ibn al-Yasamin ?? Jyeṣṭhadeva ?? K??ty??yana ?? Lobachevsky ?? Manava ?? Minggatu ?? Riemann ?? Klein ?? Parameshvara ?? Poincar?? ?? Al-Sijzi ?? Hilbert ?? Minkowski ?? Cartan ?? Veblen ?? Sakabe Kōhan ?? Gromov ?? Atiyah ?? Virasena ?? Yang Hui ?? Yasuaki Aida ?? Zhang Heng

En math??matiques , le th??or??me de Pythagore - ou le th??or??me de Pythagore - est une relation dans la g??om??trie euclidienne entre les trois c??t??s d'un triangle (triangle rectangle). En termes de secteurs, il d??clare:

Dans tout triangle rectangle, la zone du carr?? dont le c??t?? est de la hypot??nuse (du c??t?? oppos?? ?? l'angle droit) est ??gale ?? la somme des aires des carr??s dont les c??t??s sont les deux branches (les deux c??t??s qui se rencontrent ?? un angle droit).

Le th??or??me peut ??tre ??crite comme une ??quation concernant les longueurs des c??t??s a, b et c, souvent appel??e l'??quation de Pythagore:

$a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \! \,$

o?? c repr??sente la longueur de l'hypot??nuse et a et b repr??sentent les longueurs des deux autres c??t??s.

Le th??or??me de Pythagore est nomm?? d'apr??s le Math??maticien grec Pythagore (environ 570 BC-495 BC ca.), qui par tradition est cr??dit?? de sa d??couverte et la preuve , m??me se il est souvent avanc?? que la connaissance du th??or??me lui est ant??rieure. Il est prouv?? que Math??maticiens babyloniens compris la formule, m??me se il ya peu de preuves de survivant qu'ils ont utilis?? dans un cadre math??matique.

Le th??or??me a de nombreuses preuves , peut-??tre plus que tout autre th??or??me math??matique. Ce sont tr??s divers, y compris les preuves g??om??triques et des preuves alg??briques, avec certains datant de plusieurs milliers d'ann??es. Le th??or??me peut ??tre g??n??ralis?? de diverses mani??res, y compris les espaces de dimensions sup??rieures, ?? des espaces qui ne sont pas euclidienne, ?? des objets qui ne sont pas triangles droit, et m??me, ?? des objets qui ne sont pas du tout des triangles, mais de dimension n solides. Le th??or??me de Pythagore a suscit?? l'int??r??t en dehors des math??matiques comme un symbole de herm??tisme math??matique, mystique, ou la puissance intellectuelle; r??f??rences populaires de la litt??rature, des pi??ces de th????tre, des com??dies musicales, des chansons, des timbres et des dessins anim??s abondent.

D'autres formes

Comme indiqu?? dans l'introduction, si c d??signe la longueur de l'hypot??nuse et a et b d??signent les longueurs des deux autres c??t??s, le th??or??me de Pythagore peut ??tre exprim??e par l'??quation de Pythagore:

$a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \,$

Si la longueur de tous les deux a et b sont connus, alors c peut ??tre calcul??e comme suit:

$c = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}. \,$

Si la longueur de l'hypot??nuse c et une branche (A ou B) sont connus, alors la longueur de l'autre branche peut ??tre calcul?? avec les ??quations suivantes:

$a = \ sqrt {c ^ 2 - b ^ 2}. \,$

$b = \ sqrt {c ^ 2 - a ^ 2}. \,$

L'??quation de Pythagore concerne les c??t??s d'un triangle rectangle d'une mani??re simple, de sorte que si les longueurs de toutes les deux parties sont connus de la longueur du troisi??me c??t?? peut ??tre trouv??. Un autre corollaire du th??or??me est que, dans tout triangle rectangle dont l'hypot??nuse est sup??rieure ?? l'une quelconque des jambes, mais inf??rieur ?? la somme d'eux.

Une g??n??ralisation de ce th??or??me est le loi du cosinus, ce qui permet le calcul de la longueur du troisi??me c??t?? d'un triangle, ??tant donn?? les longueurs des deux c??t??s et la grandeur de l'angle entre eux. Si l'angle entre les c??t??s est un angle droit, la loi des cosinus r??duit ?? l'??quation de Pythagore.

Preuves

Ce th??or??me peut avoir des preuves plus connus que tout autre (la loi de r??ciprocit?? quadratique ??tant un autre concurrent pour cette distinction); Le livre contient 370 Proposition de Pythagore preuves.

Preuve en utilisant triangles semblables

Preuve en utilisant triangles semblables

Cette d??monstration est bas??e sur la proportionnalit?? des deux c??t??s de triangles semblables, ce est sur le fait que la rapport de deux des c??t??s correspondants des triangles semblables est le m??me quelle que soit la taille des triangles.

Soit ABC repr??sente un triangle rectangle, avec l'angle droit situ?? ?? C, comme indiqu?? sur la figure. Nous attirons l' altitude du point C et H appel son intersection avec le c??t?? AB. Le point H divise la longueur de l'hypot??nuse c en parties d et e. Le nouveau ACH triangle est similaire ?? triangle ABC, parce qu'ils ont tous les deux un angle droit (par d??finition de l'altitude), et ils partagent l'angle en A, ce qui signifie que le troisi??me angle sera la m??me dans les deux triangles ainsi, marqu??s comme θ dans la figure. Par un raisonnement similaire, le triangle CBH est ??galement semblable ?? ABC. La preuve de la similitude des triangles n??cessite la Triangle postulat: la somme des angles d'un triangle est deux angles droits, et est ??quivalente ?? la postulat des parall??les. Similitude des triangles m??ne ?? l'??galit?? des ratios de c??t??s correspondants:

$\ Frac {BC} {AB} = \ frac {BH} {BC} \ text {et} \ frac {} {AC AB} = \ frac {} {AH AC}. \,$

Le premier r??sultat correspond au cosinus de chaque angle θ de la seconde et le r??sultat correspond sinus.

Ces rapports peuvent ??tre ??crites comme:

${BC} ^ {2} = {AB} \ times {BH} \ text {et} {} ^ AC {2} = {AB} \ fois {} AH. \,$

La somme de ces deux ??galit??s, nous obtenons

${BC} ^ {2} {+ AC} ^ {2} = {AB} \ fois {BH} + {AB} \ times {AH} = {AB} \ fois ({} AH + {BH}) = { AB} ^ {2}, \, \!$

qui, rangements, est le th??or??me de Pythagore:

${BC} ^ {2} {+ AC} ^ {2} = {AB} ^ {2} \. \, \!$

Le r??le de cette preuve dans l'histoire est l'objet de beaucoup de sp??culations. La question sous-jacente est pourquoi Euclide n'a pas utilis?? cette preuve, mais invent?? une autre. Une hypoth??se est que la preuve par des triangles semblables impliquait une th??orie des proportions, un sujet pas discut?? plus tard dans les ??l??ments, et que la th??orie des proportions n??cessaire la poursuite du d??veloppement ?? l'??poque.

La preuve d'Euclid

Preuve dans les ??l??ments d'Euclide

Dans les grandes lignes, voici comment la preuve dans d'Euclide ??l??ments le produit. Le grand carr?? est divis?? en un rectangle gauche et ?? droite. Un triangle est construit qui a la moiti?? de la surface du rectangle gauche. Puis un autre triangle est construit qui a la moiti?? de la superficie de la place sur le c??t?? le plus ?? gauche. Ces deux triangles sont pr??sent??s pour ??tre en harmonie, ce qui prouve cette place a la m??me zone que le rectangle gauche. Cet argument est suivi par une version similaire pour le droit rectangle et la place restante. Rassembler les deux rectangles de r??former le carr?? de l'hypot??nuse, sa superficie est la m??me que la somme de la surface des deux autres places. Les d??tails sont ?? c??t??.

Soit A, B, C soit le sommets d'un triangle rectangle, avec un angle droit en A. Tracer une perpendiculaire de A sur le c??t?? oppos?? ?? l'hypot??nuse dans le carr?? de l'hypot??nuse. Cette ligne divise le carr?? de l'hypot??nuse en deux rectangles, chacun ayant le m??me secteur que l'une des deux places sur les jambes.

Pour la preuve formelle, nous avons besoin de quatre ??l??mentaire lemmes:

Si deux triangles ont deux c??t??s de l'une ??gale ?? deux c??t??s de l'autre, chacun ?? chacun, et les angles inclus par les c??t??s ??gaux, alors les triangles sont congruents ( c??t??-angle-c??t??).
L'aire d'un triangle est la moiti?? de la superficie d'un parall??logramme sur la m??me base et ayant la m??me altitude.
L'aire d'un rectangle est ??gal au produit de deux c??t??s adjacents.
L'aire d'un carr?? est ??gal au produit de deux de ses c??t??s (suit de trois).

Ensuite, chaque carr?? sup??rieur est li??e ?? une harmonie de triangle avec un autre triangle li??e ?? son tour ?? l'un des deux rectangles qui composent le carr?? inf??rieur.

Illustration y compris les nouvelles lignes

Montrant les deux triangles congruents de la moiti?? de la superficie de rectangle BDLK et BAGF carr??

La preuve est la suivante:

Laissez ACB un triangle rectangle dont l'angle droit CAB.
Sur chacun des c??t??s BC, AB, et CA, carr??s sont dessin??s, CBDE, BAGF et ACIH, dans cet ordre. La construction n??cessite des carr??s des th??or??mes imm??diatement pr??c??dent dans Euclide, et d??pend du postulat parall??le.
De A, tracer une ligne parall??le ?? BD et CE. Il se croisent perpendiculairement BC et DE au K et L, respectivement.
Rejoignez FC et AD, pour former le BCF triangles et BDA.
Angles CAB et le sac sont deux angles droits; par cons??quent, C, A, et G sont colin??aires . De m??me pour B, A et H.
Angles CDB et FBA sont deux angles droits; donc l'angle ABD est ??gale ?? l'angle FBC, puisque les deux sont la somme d'un angle droit et l'angle ABC.
Puisque AB est ??gale ?? FB et BD est ??gale ?? BC, triangle ABD doit ??tre congru ?? triangle FBC.
Depuis AKL est une ligne droite, parall??le ?? BD, puis rectangle BDLK a deux fois l'aire du triangle ABD parce qu'ils part la base BD et ont la m??me altitude BK, ce est ?? dire, une ligne normale ?? leur base commune, reliant les lignes parall??les et BD AL. (Lemme 2)
Puisque C est colin??aire avec A et G, BAGF carr?? doit ??tre deux fois dans la zone du triangle FBC.
Par cons??quent BDLK rectangle doit avoir la m??me zone que BAGF carr?? = ² AB.
De m??me, il peut ??tre d??montr?? que rectangle CKLE doit avoir la m??me zone que carr?? ACIH = AC ^2.
L'ajout de ces deux r??sultats, AB ² + ² = AC BD ?? BK + KL ?? KC
Depuis BD = KL, BD ?? BK + KL ?? KC = BD (BK + KC) = BD ?? BC
Par cons??quent AB ² + ² = AC ² Colombie-Britannique, depuis CBDE est un carr??.

Cette preuve, qui appara??t dans les El??ments d'Euclide que celui de la Proposition 47 dans le Livre 1, d??montre que la r??gion de la carr?? de l'hypot??nuse est la somme des surfaces des deux autres places. Ce est tout ?? fait distincte de la preuve par la similitude des triangles, qui est conjectur?? ??tre la preuve que Pythagore utilis??.

Preuve par r??arrangement

L'animation de gauche se compose d'un grand carr??, c??t?? a + b, contenant quatre triangles rectangles identiques. Les triangles sont pr??sent??s dans deux accords, le premier de ce qui laisse deux places a ² et b ^{2 soient} d??couvertes, dont la seconde feuilles c carr?? ² d??couvert. La zone couverte par le carr?? ext??rieur ne change jamais, et la r??gion des quatre triangles est le m??me au d??but et ?? la fin, pour que les zones noires carr??s doit ??tre ??gal, donc ² + b ² = c ^2.

Une seconde preuve est donn??e par l'animation du milieu. Une grande place est form?? avec coin c ^2, ?? partir de quatre triangles rectangles identiques avec des c??t??s a, b et c, ??quip??s autour d'une petite place centrale. Ensuite, deux rectangles sont form??s avec des c??t??s a et b en d??pla??ant les triangles. Alliant le petit carr?? avec ces rectangles produit deux carr??s de zones A ² et B ^2, qui doivent avoir la m??me zone que la grande place initiale.

La troisi??me, l'image la plus ?? droite donne ??galement une preuve. Les deux carr??s sup??rieurs sont divis??s comme le montre l'ombrage bleu et vert, en morceaux que lorsque r??arrang?? peut ??tre faite pour se adapter sur la place inf??rieure sur l'hypot??nuse - ou inversement la grande place peut ??tre divis?? comme indiqu?? en morceaux qui remplissent les deux autres . Cela montre la zone du grand carr?? est ??gale ?? celle des deux plus petits.

Animation montrant la preuve par r??arrangement de quatre triangles rectangles identiques

Animation montrant une autre preuve par r??arrangement

Preuve en utilisant un complexe de r??arrangement

Preuves alg??briques

Sch??ma des deux preuves alg??briques

Le th??or??me peut ??tre prouv?? en utilisant alg??briquement quatre exemplaires d'un triangle rectangle de c??t??s a, b et c, dispos??s ?? l'int??rieur d'un carr?? de c??t?? c comme dans la moiti?? sup??rieure du diagramme. Les triangles sont semblables avec coin $\ Tfrac12ab$ , Tandis que la petite place a c??t?? b - a et environs (b - a) ^2. La zone de la grande place est donc

$(B-a) ^ 2 + 4 \ frac {ab} {2} = (b-a) ^ 2 + 2ab = a ^ 2 + b ^ 2. \,$

Mais ce est un carr?? de c??t?? c et c la zone ^2, de sorte

$c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2. \,$

Une preuve similaire utilise quatre copies du m??me triangle dispos??s sym??triquement autour d'un carr?? de c??t?? c, comme repr??sent?? sur la partie inf??rieure du diagramme. Il en r??sulte un grand carr??, de c??t?? a + b et environs (a + b) ^2. Les quatre triangles et le c??t?? carr?? c doivent avoir la m??me surface que le carr?? plus grand,

$(B + a) ^ 2 = c ^ 2 + 4 \ frac {ab} {2} = c ^ 2 + 2ab, \,$

donnant

$c ^ 2 = (b + a) ^ 2 -. 2ab = a ^ 2 + b ^ 2 \,$

Sch??ma de la preuve de Garfield

Une preuve connexe a ??t?? publi?? par l'ancien pr??sident am??ricain James A. Garfield . Au lieu d'un carr??, il utilise un trap??ze, qui peut ??tre construit ?? partir de la place dans la seconde des preuves ci-dessus en coupant en deux le long d'une diagonale du carr?? int??rieur, pour donner le trap??ze comme indiqu?? dans le sch??ma. Le aire du trap??ze peut ??tre calcul??e comme ??tant la moiti?? de l'aire du carr??, ce est-

$\ Frac {1} {2} (b + a) ^ 2.$

Le carr?? int??rieur est de m??me diminu?? de moiti??, et il ya seulement deux triangles de sorte que la preuve se d??roule comme pr??c??demment, sauf pour un facteur de $\ Frac {1} {2}$ , Qui est enlev??e en multipliant par deux pour obtenir le r??sultat.

Preuve en utilisant les ??carts

On peut arriver au th??or??me de Pythagore en ??tudiant comment les changements dans un c??t?? produisent un changement de l'hypot??nuse et employant calcul .

Le triangle ABC est un triangle rectangle, comme repr??sent?? sur la partie sup??rieure du diagramme, BC avec l'hypot??nuse. En m??me temps, les longueurs sont mesur??es en triangle comme repr??sent??, avec l'hypot??nuse de longueur y, le c??t?? AC de longueur x et le c??t?? AB de longueur a, comme on le voit dans la partie inf??rieure du diagramme.

Sch??ma de preuve diff??rentielle

Si x est augment?? d'une petite quantit?? dx en ??tendant le c??t?? AC l??g??rement ?? D, alors y augmente ??galement par dy. Ces forment deux c??t??s d'un triangle, CDE, qui (avec E choisi de mani??re CE est perpendiculaire ?? l'hypot??nuse) est un triangle rectangle approximativement similaire ?? ABC. Par cons??quent, les rapports de leurs c??t??s doivent ??tre les m??mes, ?? savoir:

$\ Frac {} {dx dy} = \ frac xy.$

Ce peut ??tre r????crite comme suit:

$y \ cdot dy - x \ cdot dx = 0. \,$

Il se agit d'une ??quation diff??rentielle qui est r??solu pour donner

$y ^ 2 - x ^ 2 = C, \,$

Et la constante peut ??tre d??duite ?? partir de x = 0, y = A pour donner l'??quation

$y ^ 2 = x ^ 2 + a ^ 2 \,$

Ce est plus d'une preuve intuitive que formel: elle peut ??tre rendue plus rigoureuse si les limites appropri??es sont utilis??es ?? la place de dx et dy.

Inverse

La converse du th??or??me est ??galement vrai:

Pour toutes les trois nombres positifs a, b, et c tel que a ² + b ² = c ^2, il existe un triangle avec des c??t??s a, b et c, et par exemple chaque triangle a un angle droit entre les c??t??s de longueur a et b .

Une d??claration alternative est:

Pour tout triangle dont les c??t??s a, b, c, si un ² + b ² = c ^2, alors l'angle entre a et b mesure 90 ??.

Ce inverse appara??t ??galement dans Elements (livre I, de la Proposition 48) d'Euclide:

"Si dans un triangle de la place sur l'un des c??t??s est ??gale ?? la somme des carr??s des deux autres c??t??s du triangle, l'angle contenue par les deux autres c??t??s du triangle est ?? droite."

Il peut ??tre prouv?? en utilisant la loi des cosinus ou comme suit:

Soit ABC un triangle dont les c??t??s mesurent a, b, c, avec un ² + b ² = c ^2. Construire un second triangle avec des c??t??s de longueur a et b contenant un angle droit. D'apr??s le th??or??me de Pythagore, il se ensuit que l'hypot??nuse de ce triangle a une longueur c = √ a ² + b ^2, le m??me que l'hypot??nuse du premier triangle. ??tant donn?? que les c??t??s des deux triangles sont les m??mes longueurs a, b et c, les triangles sont congruents et doit avoir les m??mes angles. Par cons??quent, l'angle entre le c??t?? de longueur a et b dans le triangle original est un angle droit.

La preuve de l'inverse ci-dessus utilise le th??or??me de Pythagore lui-m??me. L'inverse peut ??galement ??tre prouv??e sans assumer le th??or??me de Pythagore.

Un corollaire de la r??ciproque du th??or??me de Pythagore est un moyen simple de d??terminer si un triangle est, obtus, ou aigu??, comme suit. Soit C choisie pour ??tre la plus longue des trois c??t??s et a + b> c (sinon il n'y a pas de triangle en fonction de la in??galit?? du triangle). Les ??nonc??s suivants se appliquent:

Si un ² + b ² = c ^2, le triangle est ?? droite.
Si un ² + b ^2> c ^2, le triangle est aigu??.
Si a ² + b ² <c ^2, alors le triangle est obtus.

Edsger Dijkstra a d??clar?? cette proposition sur les triangles aigus, ?? droite, et obtus dans cette langue:

sgn (α + β - γ) = sgn (a ² + b ² - C ^2),

o?? α est l'angle oppos?? au c??t?? a, β est l'angle oppos?? au c??t?? b, γ est l'angle oppos?? au c??t?? c, et sgn est la fonction signer.

Cons??quences et utilisations du th??or??me

Triplets pythagoriciens

Un Pythagore triple a trois entiers positifs a, b, et c, de sorte que a ² + b ² = c ^2. En d'autres termes, un triplet de Pythagore repr??sente les longueurs des c??t??s d'un triangle rectangle o?? les trois c??t??s ont des longueurs enti??res. Preuve de monuments m??galithiques en Europe du Nord montre que ces triples ??taient connues avant la d??couverte de l'??criture. Cette triple est couramment ??crite (a, b, c). Des exemples bien connus sont (3, 4, 5) et (5, 12, 13).

Une primitive de Pythagore triple est celui dans lequel a, b et c sont premiers entre eux (le plus grand commun diviseur de a, b et c est ??gal ?? 1).

Ce qui suit est une liste de triplets pythagoriciens primitive avec des valeurs inf??rieures ?? 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12 , 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77 , 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Longueurs incommensurables

Le spirale de Theodorus: Une construction de segments de ligne avec des longueurs dont les ratios sont la racine carr??e d'un nombre entier positif

L'une des cons??quences du th??or??me de Pythagore est que les segments de ligne dont les longueurs sont incommensurable (de sorte que le rapport de ce qui ne est pas un nombre rationnel ) peut ??tre construit en utilisant une r??gle et un compas . Le th??or??me de Pythagore permet la construction de longueurs incommensurables parce que l'hypot??nuse d'un triangle est li?? aux c??t??s par la racine carr??e op??ration.

La figure de droite montre comment construire des segments de ligne dont les longueurs sont dans le rapport de la racine carr??e d'un nombre entier positif. Chaque triangle a un c??t?? (marqu?? "1") qui est l'unit?? de mesure choisie. Dans chaque triangle rectangle, le th??or??me de Pythagore ??tablit la longueur de l'hypot??nuse en termes de cet appareil. Si une hypot??nuse est li??e ?? l'unit?? par la racine carr??e d'un nombre entier positif qui ne est pas un carr?? parfait, ce est une r??alisation d'une longueur incommensurable avec l'unit??, tels que √ 2, 3 √, √ 5. Pour plus de d??tails, voir Quadratique irrationnel.

Longueurs incommensurables en conflit avec le concept de l'??cole pythagoricienne des nombres que seuls les nombres entiers. L'??cole pythagoricienne trait??e proportions en comparaison des multiples entiers d'une sous-unit?? commune. Selon une l??gende, Hippasus de M??taponte (environ 470 BC) a ??t?? noy?? en mer pour faire conna??tre l'existence de l'irrationnel ou incommensurables.

Les nombres complexes

La valeur absolue d'un nombre complexe z est la distance r de l'origine z

Pour tout nombre complexe

$z = x + iy, \,$

la valeur absolue ou module est donn??e par

$r = | z |. = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \,$

Ainsi, les trois quantit??s, r, x et y sont li??es par l'??quation de Pythagore,

$r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2. \,$

Notez que r est d??fini comme ??tant un nombre positif ou z??ro, mais x et y peut ??tre aussi bien n??gative que positive. R est la distance g??om??trique de la z de z??ro ou de l'origine O dans le plan complexe .

Ceci peut ??tre g??n??ralis?? pour trouver la distance entre deux points, Z ₁ et Z ₂ dire. La distance requise est donn??e par

$| Z_1 - Z_2 | = \ sqrt {(x_1 - x_2) ^ 2 + (y_1 - Y_2) ^ 2}, \,$

ils sont de nouveau reli??s par une version de l'??quation de Pythagore,

$| Z_1 - Z_2 |. ^ 2 = (x 1 - x_2) ^ 2 + (y_1 - Y_2) ^ 2 \,$

Distance euclidienne dans diff??rents syst??mes de coordonn??es

La formule de distance en coordonn??es cart??siennes est d??riv?? du th??or??me de Pythagore. Si (x _1, y ₁₎ et (x _2, y ₂₎ sont des points dans le plan, la distance entre eux, aussi appel?? le Distance euclidienne, est donn??e par

$\ Sqrt {(x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-Y_2) ^ 2}.$

Plus g??n??ralement, dans euclidienne n -space , la distance euclidienne entre les deux points, $A \, = \, (a_1, a_2, \ dots, a_n)$ et $B \, = \, (b_1, b_2, \ dots, b_n)$ , Est d??fini, par la g??n??ralisation du th??or??me de Pythagore, que:

$\ Sqrt {(a_1-b_1) ^ 2 + (a_2-b_2) ^ 2 + \ cdots + (a_n-b_n) ^ 2} = \ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ n (a_i-b_i) ^ 2 }.$

Si les coordonn??es cart??siennes sont pas utilis??s, par exemple, si les coordonn??es polaires sont utilis??s dans deux dimensions ou, en termes plus g??n??raux, si Les coordonn??es curvilignes sont utilis??s, les formules exprimant la distance euclidienne est plus compliqu?? que le th??or??me de Pythagore, mais peuvent en ??tre d??duits. Un exemple typique o?? la distance en ligne droite entre deux points est converti en coordonn??es curvilignes peut ??tre trouv?? dans le applications de polyn??mes de Legendre en physique. Les formules peuvent ??tre d??couvertes en utilisant le th??or??me de Pythagore avec les ??quations relatives aux coordonn??es curvilignes aux coordonn??es cart??siennes. Par exemple, les coordonn??es polaires (r, θ) peuvent ??tre introduits en tant que:

$x = r \ cos \ theta, \ y = r \ sin \ theta. \,$

Ensuite, deux points avec les emplacements (r _1, θ ₁₎ et ₍₂ r, θ ₂₎ sont s??par??s par une distance s:

$s ^ 2 = (x 1 - x_2) ^ 2 + (y_1-Y_2) ^ 2 = (r_1 \ cos \ theta_1 -r_2 \ cos \ theta_2) ^ 2 + (r_1 \ sin \ theta_1 -r_2 \ sin \ theta_2) ^ 2. \,$

Effectuer les places et combiner les termes, la formule de Pythagore pour la distance en coordonn??es cart??siennes produit la s??paration en coordonn??es polaires que:

$\ Begin {align} s ^ 2 = & r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 -2 r_1 r_2 \ left (\ cos \ theta_1 \ cos \ theta_2 + \ sin \ theta_1 \ sin \ theta_2 \ right) = \\ & r_1 ^ 2 + 2 ^ -2 r_2 r_1 r_2 \ cos \ left (\ theta_1 - \ theta_2 \ right) = \\ & r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 -2 r_1 r_2 \ cos \ Delta \ theta \ end {align} \,$

en utilisant le trigonom??trique produit-??-somme formules. Cette formule est la loi des cosinus , parfois appel?? le th??or??me de Pythagore g??n??ralis??. De ce r??sultat, pour le cas o?? les rayons aux deux endroits sont ?? angle droit, l'angle ferm?? Δ θ = π / 2, et le formulaire correspondant au th??or??me de Pythagore est repris: $s ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2. \,$ Le th??or??me de Pythagore, valable pour triangles rectangles, est donc un cas particulier de la loi plus g??n??rale de cosinus, valable pour triangles arbitraires.

Identit?? trigonom??trique de Pythagore

Triangles rectangles semblables montrant sinus et cosinus de l'angle θ

Dans un triangle rectangle de c??t??s a, b et c hypot??nuse, la trigonom??trie d??termine la sinus et cosinus de l'angle θ entre un c??t?? et l'hypot??nuse que:

$\ Sin \ theta = \ frac {b} {c}, \ quad \ cos \ theta = \ frac {a} {c}.$

De ce qui suit:

${\ cos} ^ 2 \ theta + {\ p??ch??} ^ 2 \ theta = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c} ^ 2 = 1,$

o?? la derni??re ??tape se applique le th??or??me de Pythagore. Cette relation entre sinus et cosinus est parfois appel??e l'identit?? trigonom??trique Pythagore fondamentale. Dans triangles semblables, les rapports des c??t??s sont les m??mes quelle que soit la taille des triangles, et d??pendent des angles. Par cons??quent, dans la figure, le triangle avec hypot??nuse taille de l'unit?? a c??t?? oppos?? de la taille et le p??ch?? θ c??t?? adjacent du cos θ de taille en unit??s de l'hypot??nuse.

Relation avec le produit crois??

L'aire d'un parall??logramme comme un produit vectoriel; des vecteurs a et b et identifier un plan a ?? b est perpendiculaire ?? ce plan.

Le th??or??me de Pythagore concerne le produit en croix et produit scalaire d'une mani??re similaire:

$\ | \ Mathbf {a} \ times \ mathbf {b} \ | ^ 2 + (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) ^ 2 = \ | \ mathbf {a} \ | ^ 2 \ | \ mathbf {b} \ | ^ 2 \,$

Ceci peut ??tre vu ?? partir de la d??finition du produit et le produit scalaire transversale, comme

$\ begin {align} \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = & ab \ mathbf {n} \ p??ch?? {\ theta} \\ \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = & ab \ cos {\ theta} \ end {align}$

avec n un vecteur unitaire perpendiculaire ?? la fois a et b. La relation r??sulte de ces d??finitions et l'identit?? trigonom??trique de Pythagore.

Ceci peut ??galement ??tre utilis?? pour d??finir le produit vectoriel. En r??arrangeant l'??quation suivante est obtenue

$\ | \ Mathbf {a} \ times \ mathbf {b} \ | ^ 2 = \ | \ mathbf {a} \ | ^ 2 \ | \ mathbf {b} \ | ^ 2 - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) ^ 2 \,$

Cela peut ??tre consid??r?? comme une condition sur le produit crois?? et de sorte qu'une partie de sa d??finition, par exemple en sept dimensions.

G??n??ralisations

Des chiffres similaires sur les trois c??t??s

Une g??n??ralisation du th??or??me de Pythagore se ??tendant au-del?? des zones de places sur les trois c??t??s pour chiffres similaires ont ??t?? connus par Hippocrate de Chios dans le cinqui??me si??cle avant notre ??re, et a ??t?? inclus par Euclide dans ses ??l??ments :

Si l'on ??rige des chiffres similaires (voir la g??om??trie euclidienne ) avec des c??t??s correspondants sur les c??t??s d'un triangle rectangle, la somme des aires des uns sur les deux petits c??t??s est ??gale ?? la zone de l'une sur le c??t?? plus grand.

Cette extension suppose que les c??t??s du triangle d'origine sont les c??t??s correspondants des trois figures congruentes (donc les des rapports communs de c??t??s entre les chiffres similaires sont a: b:. C Bien que la preuve d'Euclide ne se appliquait qu'aux polygones convexes, le th??or??me se applique ??galement aux polygones concaves et m??me ?? des chiffres similaires qui ont courbes limites (mais toujours avec une partie de la fronti??re d'un chiffre ??tant le c??t?? du triangle d'origine).

L'id??e de base derri??re cette g??n??ralisation est que la zone d'une figure plane est proportionnelle au carr?? de la plus grande dimension lin??aire, et en particulier est proportionnelle au carr?? de la longueur de tout c??t??. Ainsi, si les chiffres similaires avec des zones A, B et C sont ??rig??s sur les c??t??s avec des longueurs correspondant a, b et c, puis:

$\ Frac {A} {a} ^ 2 = \ frac {B} {b ^ 2} = \ frac {C} {c ^ 2} \,,$

$\ Rightarrow A + B = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} C + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} C \,.$

Mais, par le th??or??me de Pythagore, a ² + b ² = c ^2, de sorte que A + B = C.

Inversement, si nous pouvons prouver que A + B = C pendant trois chiffres similaires sans utiliser le th??or??me de Pythagore, alors nous pouvons travailler ?? rebours pour construire une d??monstration du th??or??me. Par exemple, le centre triangle de d??part peut ??tre r??pliqu?? et utilis?? comme un triangle C sur son hypot??nuse, et deux triangles rectangles semblables (A et B) construits sur les deux autres c??t??s, form?? en divisant le triangle central par son d'altitude. La somme des aires des deux triangles plus petits est donc celui de la troisi??me, ainsi A + B = C et en inversant la logique ci-dessus conduit ?? le th??or??me de Pythagore a ² + b ² = c ^2.

G??n??ralisation des triangles semblables,
espace vert A + B = C zone bleue

Le th??or??me de Pythagore en utilisant triangles rectangles semblables

G??n??ralisation des pentagones r??guliers

Loi des cosinus

La s??paration de deux points (r _1, θ ₁₎ et (R _2, θ ₂₎ en coordonn??es polaires est donn??e par la loi des cosinus. Angle int??rieur Δθ = θ ₁ -θ _2.

Le th??or??me de Pythagore est un cas particulier du th??or??me plus g??n??ral concernant les longueurs des c??t??s dans un triangle quelconque, la loi des cosinus:

$a ^ 2 + b ^ 2-2ab \ cos {\ theta} = c ^ 2, \,$

o?? θ est l'angle entre les c??t??s a et b.

Lorsque θ est de 90 degr??s, puis cos θ = 0, et la formule se r??duit ?? le th??or??me de Pythagore habitude.

Triangle arbitraire

G??n??ralisation du th??or??me de Pythagore par Tabit ibn Qorra. Panneau inf??rieur: reflet de triangle ABD (en haut) pour former triangle DBA, similaire ?? triangle ABC (en haut).

A ne importe quel angle s??lectionn?? g??n??rale d'un triangle de c??t??s a, b, c, inscrire un triangle isoc??le de telle sorte que les angles ??gaux ?? sa θ de base sont les m??mes que l'angle s??lectionn??. Supposons que le θ angle choisi est oppos?? au c??t?? marqu?? c. L'inscription isoc??le formes de triangle triangle ABD avec un c??t?? oppos?? de l'angle et avec r lat??rale le long c. Un second triangle est form?? avec le c??t?? oppos?? de l'angle b et un c??t?? de longueur le long de c, comme repr??sent?? sur la figure. Tabit ibn Qorra a d??clar?? que les c??t??s des trois triangles ont ??t?? li??s comme:

$A ^ 2 + b ^ 2 = C (R + S) \.$

Lorsque l'angle θ se approche de π / 2, la base du triangle isoc??le se r??tr??cit, et r et s des longueurs se chevauchent de moins en moins. Lorsque θ = π / 2, la BAD devient un droit triangle, R + S = c, et le th??or??me de Pythagore originale est r??tablie.

Une preuve observe que le triangle ABC a les m??mes angles que triangle ABD, mais dans l'ordre inverse. (Les deux triangles part l'angle au sommet B, les deux contiennent l'angle θ, et ont donc ??galement le m??me troisi??me angle par le triangle postulat.) Par cons??quent, ABC est similaire ?? la r??flexion des ABD, le DBA de triangle dans le panneau inf??rieur. En prenant le rapport des c??t??s oppos??s et adjacents ?? θ,

$\ Frac {c} {a} = \ frac {a} {r} \.$

De m??me, pour la r??flexion de l'autre triangle,

$\ Frac {c} {b} = \ frac {b} {s} \.$

Effacement de fractions et de l'ajout de ces deux relations:

$cr + cs = a ^ 2 + b ^ 2 \,$

le r??sultat requis.

Triangles g??n??rales utilisant parall??logrammes

G??n??ralisation pour les triangles arbitraires,
espace vert = zone bleue

Construction ?? la preuve de la g??n??ralisation parall??logramme

Une autre g??n??ralisation se applique ?? triangles qui ne sont pas des triangles rectangles, en utilisant parall??logrammes sur les trois c??t??s en place de carr??s. (Squares sont un cas particulier, bien s??r). La figure du haut montre que pour un triangle scal??ne, l'aire du parall??logramme sur le c??t?? le plus long est la somme des aires des parall??logrammes sur les deux autres c??t??s, ?? condition que le parall??logramme sur la c??t?? long est construit comme indiqu?? (les dimensions marqu??es avec des fl??ches sont les m??mes, et d??terminer les c??t??s du parall??logramme bas). Ce remplacement des carr??s avec des parall??logrammes ressemble clairement au th??or??me de Pythagore 'origine, et a ??t?? consid??r?? comme une g??n??ralisation par Pappus d'Alexandrie en 4 AD

Le chiffre inf??rieur indique les ??l??ments de la preuve. Concentrez-vous sur le c??t?? gauche de la figure. Le parall??logramme verte de gauche a la m??me zone que la gauche, partie bleue du parall??logramme bas car les deux ont la m??me base b et de hauteur h. Cependant, le parall??logramme vert gauche a ??galement la m??me surface que le parall??logramme vert ?? gauche de la figure du haut, car ils ont la m??me base (le c??t?? sup??rieur gauche du triangle) et la m??me hauteur normale de ce c??t?? du triangle. R??p??tition de l'argument en faveur de la droite de la figure, le parall??logramme inf??rieur a le m??me secteur que la somme des deux parall??logrammes verts.

Solid Geometry

Le th??or??me de Pythagore en trois dimensions concerne la diagonale AD aux trois c??t??s.

Un t??tra??dre avec coin vers l'ext??rieur ?? angle droit

En termes de g??om??trie dans l'espace, le th??or??me de Pythagore peut ??tre appliqu??e ?? trois dimensions suivantes. Consid??rons un solide rectangulaire comme indiqu?? sur la figure. La longueur de la diagonale BD se trouve de le th??or??me de Pythagore que:

$\ Overline {BD} ^ {\, 2} = \ overline {BC} ^ {\, 2} + \ overline {} ^ {CD \, 2} \,$

o?? ces trois c??t??s forment un triangle rectangle. Utilisation diagonale BD horizontal et du bord vertical AB, la longueur de diagonale AD est ensuite trouv??e par une seconde application du th??or??me de Pythagore que:

$\ Overline {AD} ^ {\, 2} = \ overline {AB} ^ {\, 2} + \ overline {BD} ^ {\, 2} \,$

ou, tout faire en une seule ??tape:

$\ Overline {AD} ^ {\, 2} = \ overline {AB} ^ {\, 2} + \ overline {BC} ^ {\, 2} + \ overline {} ^ {CD \, 2} \.$

Ce r??sultat est l'expression tridimensionnel de l'amplitude d'un vecteur v (la diagonale AD) en fonction de ses composantes orthogonales {v _k} (les trois c??t??s mutuellement perpendiculaires):

$\ | \ Mathbf {v} \ | ^ 2 = \ sum_ {k = 1} ^ 3 \ | \ mathbf {v} _k \ | ^ 2.$

Cette formulation en une seule ??tape peut ??tre consid??r??e comme une g??n??ralisation du th??or??me de Pythagore ?? des dimensions sup??rieures. Toutefois, ce r??sultat est vraiment juste l'application r??p??t??e du th??or??me de Pythagore origine ?? une succession de triangles rectangles dans une s??quence de plans orthogonaux.

Une g??n??ralisation importante du th??or??me de Pythagore pour trois dimensions est Th??or??me de Gua, du nom de Jean-Paul de Gua de Malves: Si un t??tra??dre dispose d'un coin ?? angle droit (comme un coin d'un cube ), puis la place de la zone de la face oppos??e du coin ?? angle droit est la somme des carr??s des zones de l'autre trois faces. Ce r??sultat peut ??tre g??n??ralis?? comme dans le ??th??or??me de Pythagore n de dimension":

Laisser $x_1, x_2, \ ldots, x_n \,$ ??tre des vecteurs orthogonaux dans ℝ ^n. Consid??rons le n simplex de dimension S avec des sommets $0, x 1, \ ldots, x_n \,$ . (Pensez ?? la (n - 1) simplex de dimension avec des sommets $x_1, \ ldots, x_n \,$ ne comprenant pas l'origine comme le "hypot??nuse" de S et le reste (n - 1) de faces de dimension S que ses "jambes") Ensuite, le carr?? du volume de l'hypot??nuse de S est la somme des carr??s de la. les volumes des n branches.

Cette d??claration est illustr?? en trois dimensions par le t??tra??dre dans la figure. Le "hypot??nuse" est la base du t??tra??dre ?? l'arri??re de la figure, et les "jambes" sont les trois c??t??s ??manant du sommet au premier plan. Comme la profondeur de la base augmente ?? partir du sommet, la surface des "jambes" augmente, tandis que celle de la base est fix??e. Le théorème suggère que lorsque cette profondeur est à la création de valeur d'un sommet à droite, la généralisation du théorème de Pythagore applique. Dans une formulation différente:

Compte tenu d'unen-rectangularnsimplex de dimension, le carré de la (n- 1) -content de lafacette obstacle au droit sommet sera égal à la somme des carrés des (n- 1) -contents des facettes restantes.

Espaces de produits internes

Vecteurs impliqués dans la règle du parallélogramme

Le théorème de Pythagore peut être généralisée à des espaces de produits internes, qui sont des généralisations des 2 dimensions et en 3 dimensions familières espaces euclidiens . Par exemple, une fonction peut être considérée comme un vecteur avec un nombre infini de composants dans un espace interne du produit, comme dans analyse fonctionnelle.

Dans un espace de produit intérieur, le concept de perpendicularité est remplacé par le concept de l'orthogonalité: deux vecteurs v et w sont orthogonaux si leur produit intérieur $\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}\rangle$ est z??ro. Le produit scalaire est une généralisation du produit scalaire de vecteurs. Le produit scalaire est appelée la norme produit interne ou euclidienne produit interne. Cependant, d'autres produits scalaires sont possibles.

Le concept de longueur est remplacé par le concept de lanorme ||v|| d'un vecteurv, définie comme suit:

$\lVert \mathbf{v} \rVert \equiv \sqrt{\langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle} \, .$

Dans un espace intérieur-produit, lethéorème de Pythagorestipule que pour toutes les deux vecteurs orthogonauxvetwnous avons

$\left\| \mathbf{v} + \mathbf{w} \right\|^2 = \left\| \mathbf{v} \right\|^2 + \left\| \mathbf{w} \right\|^2 .$

Voici les vecteurs v et w sont semblables aux côtés d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse donnée par le vecteur somme v + w . Cette forme de théorème de Pythagore est une conséquence des propriétés du produit intérieur:

$\left\| \mathbf{v} + \mathbf{w} \right\|^2 =\langle \mathbf{ v+w},\ \mathbf{ v+w}\rangle = \langle \mathbf{ v},\ \mathbf{ v}\rangle +\langle \mathbf{ w},\ \mathbf{ w}\rangle +\langle\mathbf{ v,\ w }\rangle + \langle\mathbf{ w,\ v }\rangle \ = \left\| \mathbf{v}\right\|^2 + \left\| \mathbf{w}\right\|^2,$

où les produits intérieurs des termes croisés sont nulles, en raison de l'orthogonalité.

Une autre généralisation du théorème de Pythagore dans un espace interne de produits à des vecteurs non orthogonaux est la règle du parallélogramme:

$2\|\mathbf v\|^2 +2 \|\mathbf w\|^2 = \|\mathbf {v + w} \|^2 +\| \mathbf{v-w}\|^2 \ ,$

qui dit que le double de la somme des carrés des longueurs des côtés d'un parallélogramme est la somme des carrés des longueurs des diagonales. Toute norme qui satisfait cette égalité est ipso facto une norme correspondant à un produit scalaire.

L'identité de Pythagore peut être étendu à des sommes de plus de deux vecteurs orthogonaux. Si c ₁ , v ₂ , ..., v _n sont des vecteurs orthogonaux deux à deux dans un espace intérieur-produit, puis application du théorème de Pythagore pour des paires successives de ces vecteurs (comme décrit pour 3 dimensions dans la section sur la géométrie des solides résultats dans) l'équation

$\|\sum_{k=1}^{n}\mathbf{v}_k\|^2 = \sum_{k=1}^n \|\mathbf{v}_k\|^2.$

L'identité de Parseval est une autre généralisation qui considère sommes infinies de vecteurs orthogonaux.

Pour le produit intérieur

$\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle= \mathbf u^* \mathbf B \mathbf v \ ,$

(Best unhermitiennematrice définie positive etu ^*latransposée conjuguée deu) le théorème de Pythagore est:

$\| \mathbf u\|^2= \| P \mathbf u\|^2+\| (I-P)\mathbf u\|^2 \ ,$

oùPest uneprojection qui satisfait la relation:

$P^* \mathbf B= \mathbf B P \ .$

La carte linéaire:

$\tilde P:= \mathbf B^{-\frac 1 2} P \mathbf B^\frac 1 2 \ ,$

puis est uneprojection orthogonale.

La géométrie non-euclidienne

Le théorème de Pythagore est dérivé des axiomes dela géométrie euclidienne, et en fait, le théorème de Pythagore donnée ci-dessus ne tient pas dans un g??om??trie non-euclidienne.(Le théorème de Pythagore a été montré, en effet, pour êtreéquivalent à la parallèle d'Euclide (cinquième) Postulat.) En Autrement dit, dans la géométrie non-euclidienne, la relation entre les côtés d'un triangle doivent nécessairement prendre une forme non-pythagoricienne. Par exemple, dans géométrie sphérique, tous les trois côtés du triangle rectangle (disonsun,b, etc) délimitant un octant de la sphère unité avoir une longueur égale à ?? / 2, et tous ses angles sont droits, ce qui viole le théorème de Pythagore, carun ²+b ²???c ².

Voici deux cas de la géométrie non-euclidienne sont considered- géométrie sphérique et la géométrie plane hyperbolique; dans chaque cas, comme dans le cas euclidien pour les triangles non-droit, le résultat en remplaçant le théorème de Pythagore découle de la loi appropriée des cosinus.

Cependant, le théorème de Pythagore reste vrai dans la géométrie hyperbolique et la géométrie elliptique si la condition que le triangle soit droite est remplacé à la condition que deux des angles résumé à la troisième, dire A + B = C . Les côtés sont ensuite liées comme suit: la somme des surfaces des cercles de diamètres un et b est égale à la surface du cercle de diamètre c .

Géométrie sphérique

Triangle sphérique

Pour tout triangle rectangle sur une sphère de rayonR(par exemple, si ?? dans la figure est un angle droit), avec des côtésun,b,c, la relation entre les parties prend la forme:

$\cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\cos \left(\frac{b}{R}\right).$

Cette équation peut être calculée comme un cas particulier de laloi des cosinus sphérique qui applique à tous les triangles sphériques:

$\cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\cos \left(\frac{b}{R}\right) +\sin\left(\frac{a}{R}\right) \sin\left(\frac{b}{R}\right) \cos \gamma \ .$

En utilisant la série de Maclaurin pour la fonction cosinus, cos x ??? 1 - x ² / 2 , on peut montrer que le rayon R tend vers l'infini et les arguments a / R, b / R c / R tend vers zéro, la sphérique relation entre les côtés d'un triangle rectangle se rapproche de la forme de théorème de Pythagore. En substituant l'quadratique approximative pour chacun des cosinus dans le rapport sphérique pour un triangle rectangle:

$1-\left(\frac{c}{R}\right)^2= \left[1-\left(\frac{a}{R}\right)^2 \right]\left[1-\left(\frac{b}{R}\right)^2 \right] + \ \mathrm{higher\ order\ terms}$

Multipliant les quantités entre parenthèses, le théorème de Pythagore est récupérée pour les grands rayonsR:

$\left(\frac{c}{R}\right)^2= \left(\frac{a}{R}\right)^2 + \left(\frac{b}{R}\right)^2 + \ \mathrm{higher\ order\ terms} \ ,$

où lestermes d'ordre supérieurdeviennent négligeables queRdevient grand.

Géométrie hyperbolique

Triangle hyperbolique

Pour un triangle en géométrie hyperbolique avec des côtésun,b,cet avec le côtécopposé à un angle droit, la relation entre les parties prend la forme:

$\cosh c=\cosh a\,\cosh b$

cosh où est le cosinus hyperbolique. Cette formule est une forme particulière de la loi des cosinus hyperbolique qui applique à tous les triangles hyperboliques:

$\cosh c = \cosh a \ \cosh b - \sinh a \ \sinh b \ \cos \gamma \ ,$

avec ?? l'angle au sommet opposé du côtéc.

En utilisant lasérie de Maclaurinpour le cosinus hyperboliquecoshx??? 1 +x ²/ 2, il peut être démontré que hyperbolique comme un triangle devient très faible (autrement dit, commeun,b, etctoute approche zéro), la relation hyperbolique pour un triangle rectangle se rapproche de la forme de théorème de Pythagore.

Géométrie différentielle

Distance entre les points infiniment séparés encoordonnées cartésiennes(en haut) etcoordonnées polaires(en bas), telle que donnée par le théorème de Pythagore

Sur un niveau infinitésimal, dans un espace tridimensionnel, le théorème de Pythagore décrit la distance entre deux points infiniment séparés que:

$ds^2 = dx^2 + dy^2 +dz^2,\,$

avec ds l'élément de distance et ( dx , dy , dz ), les composantes du vecteur séparant les deux points. Un tel espace est appelé un espace euclidien . Cependant, une généralisation de cette expression utile pour les coordonnées générales (pas seulement cartésienne) et des espaces généraux (pas seulement euclidienne) prend la forme:

$ds^2 = \sum_{i,j}^n g_{ij}\, dx_i\, dx_j$

où g _ij est appelé le tenseur métrique. Il peut être une fonction de la position. Tel espaces courbes comprennent la géométrie de Riemann comme un exemple général. Cette formulation est également valable pour un espace euclidien de l'utilisation de coordonnées curvilignes. Par exemple, en coordonnées polaires :

$ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 \ .$

Histoire

Le Plimpton 322 dossiers de tablettes triplets pythagoriciens de l'époque babylonienne.

Il ya un débat si le théorème de Pythagore a découvert une fois ou plusieurs fois dans de nombreux endroits.

L'histoire du théorème peut être divisé en quatre parties: la connaissance destriplets pythagoriciens, la connaissance de la relation entre les côtés d'untriangle rectangle, la connaissance des relations entre les angles adjacents, et les preuves du théorème dans un système déductif.

Bartel Leendert van der Waerden (1903-1996) a conjecturé que triplets pythagoriciens ont été découverts algébriquement par les Babyloniens. Écrit entre 2000 et 1786 avant JC, l' Empire du Milieu égyptien papyrus Berlin 6619 comprend un problème dont la solution est le triplet pythagoricien 6: 8: 10, mais le problème ne mentionne pas un triangle. Le mésopotamienne tablette Plimpton 322 , écrit entre 1790 et 1750 avant JC sous le règne de Hammurabi le Grand, contient de nombreuses entrées étroitement liés à triplets pythagoriciens.

En Inde , l' Baudhayana Sulba Sutra , les dates sont données diversement comme entre le 8ème siècle avant JC et le 2e siècle avant JC, contient une liste de triplets de Pythagore a découvert algébrique, un énoncé du théorème de Pythagore, et un géométrique preuve de Pythagore théorème pour un isocèle triangle rectangle. Le Apastamba Sulba Sutra ( ca. 600 BC) contient une preuve numérique du théorème de Pythagore général, en utilisant un calcul de la zone. Van der Waerden croit qu '«il était certainement basé sur des traditions antérieures". Boyer (1991) pense que les éléments trouvés dans la Sulba-s??tram peuvent être de dérivation mésopotamienne.

Preuve géométrique du théorème de Pythagore de la Zhou Bi Suan Jing.

Avec contenu connus beaucoup plus tôt, mais dans des textes datant de survivants à peu près le premier siècle avant JC, le chinois texte Zhou Bi Suan Jing (????????????), ( L'arithmétique classique du gnomon et les trajectoires circulaires du Ciel ) donne un raisonnement le théorème de Pythagore pour la (3, 4, 5) de triangle en Chine, il est appelé le "théorème Gougu" (????????????). Pendant le dynastie des Han (202 avant JC à 220 après JC), triples de Pythagore apparaissent dans Les Neuf Chapitres sur la mathématique Art , avec une mention de triangles rectangles. Certains croient que le théorème surgi la première fois en Chine , où il est également connu comme le "Shang Gao Théorème" (????????????), nommé d'après le duc de astronome et mathématicien de Zhou, dont le raisonnement a composé la plupart de ce qui était dans la Zhou Bi Suan Jing .

Pythagore , dont les dates sont couramment donné que 569 à 475 avant JC, a utilisé des méthodes algébriques pour construire triplets pythagoriciens, selon le commentaire de Proclus sur Euclid . Proclus, cependant, écrit entre 410 et 485 AD. Selon Sir Thomas L. Heath (1861-1940), aucune attribution spécifique du théorème de Pythagore existe dans la littérature grecque survivant des cinq siècles après Pythagore a vécu. Toutefois, lorsque des auteurs comme Plutarque et Cicéron attribués le théorème de Pythagore, ils l'ont fait d'une manière qui suggère que l'attribution a été largement connu et incontestable. "Que cette formule est à juste titre attribué à Pythagore personnellement, [...] on peut supposer qu'il appartient à la période très ancienne des mathématiques de Pythagore."

Autour de 400 avant JC, selon Proclus, Platon a donné une méthode pour trouver triplets pythagoriciens qui combine l'algèbre et la géométrie. Autour de 300 avant JC, dans d'Euclide les éléments , le plus ancien existant preuve axiomatique du théorème est présenté.

Dans la culture populaire

Exposer sur le théorème de Pythagore aumusée Universum à Mexico

Le théorème de Pythagore a été soulevée dansla culture populairedans une variété de façons.

Un verset de lachanson du major-général dans l'opéra-comique de Gilbert et Sullivan Les Pirates de Penzance, «À propos du binôme je fourmille avec beaucoup o 'nouvelles, avec de nombreux faits gaies sur le carré de l'hypoténuse", fait une oblique référence au théorème.
Le Scarecrow dans le film Le Magicien d'Oz fait une référence plus spécifique au théorème. Dès réception de son diplôme de l' assistant, il présente immédiatement sa «connaissance» en récitant une version mutilée et incorrecte du théorème: "La somme des racines carrées de tous les deux côtés d'un triangle isocèle est égale à la racine carrée de la participation restante côté. Oh, joie! Oh, ravissement! Je ai un cerveau! "
En 2000, l'Ouganda a publié une pièce de monnaie avec la forme d'un triangle isocèle. La queue de la pièce a une image de Pythagore et l'équation ?? ² + ?? ² = ?? ² , accompagné de la mention "Pythagore Millénaire".

Vid??o externe

La preuve de Garfield du théorème de Pythagore, Khan Academy
La preuve de Bhaskara du théorème de Pythagore, Khan Academy

La Grèce,le Japon,Saint-Marin,Sierra Leoneetle Surinameont émis destimbres-postereprésentant Pythagore et le théorème de Pythagore.
En Fiction spéculative de Neal Stephenson Anathem , le théorème de Pythagore est dénommé «le théorème Adrakhonic '. Une preuve géométrique du théorème est affiché sur le côté d'un navire étranger pour démontrer la compréhension par les étrangers des mathématiques.

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