R??gle et au compas constructions

Cr??ation d'un hexagone r??gulier avec une r??gle et au compas

Construction d'un pentagone r??gulier

Compass et-r??gle ou la construction r??gle et compas est la construction de longueurs, angles , et d'autres figures g??om??triques en utilisant seulement une id??alis??e r??gle et boussole.

La r??gle id??alis??, connu sous le nom r??gle, est suppos?? avoir une longueur infinie, et n'a pas de marques sur lui et un seul bord. La boussole est suppos?? se effondrer lorsque lev??e de la page, donc ne peut pas ??tre directement utilis?? pour transf??rer des distances. (Ceci est un peu importante restriction, comme cela peut ??tre r??alis?? par l'interm??diaire du boussole th??or??me d'??quivalence.) Plus formellement, les seules constructions permises sont celles accord??es par Euclide trois premiers postulats s '.

Chaque constructible de point en utilisant la r??gle et compas peut ??tre construit en utilisant la boussole seul. Un certain nombre de probl??mes anciens en g??om??trie plane imposer cette restriction.

Les plus c??l??bres probl??mes r??gle et ?? la boussole ont ??t?? av??r?? impossible dans plusieurs cas par Pierre Wantzel, en utilisant la math??matique th??orie des champs. En d??pit de preuves existantes d'impossibilit??, certains persistent ?? essayer de r??soudre ces probl??mes. Beaucoup de ces probl??mes sont faciles ?? r??soudre ?? condition que d'autres transformations g??om??triques sont autoris??s: par exemple, doubler le cube est possible en utilisant des constructions g??om??triques, mais pas possible en utilisant la r??gle et compas seul.

Math??maticien Underwood Dudley a fait une marge de collecte de fausses preuves r??gle et ?? la boussole, ainsi que d'autres travaux de math??matique manivelles, et les a recueillies dans plusieurs livres.

outils de r??gle et au compas

Une boussole

Les "boussole" et "r??gle" de r??gle et au compas constructions sont id??alisations de r??gles et compas dans le monde r??el:

• La boussole peut ??tre ouvert arbitrairement large, mais (contrairement ?? certains r??el compas), il n'a pas de marques sur elle. Cercles ne peuvent ??tre dessin??es ?? l'aide de deux points existants qui donnent le centre et un point sur le cercle. La boussole se effondre lorsqu'il ne est pas utilis?? pour le dessin, il ne peut pas ??tre utilis?? pour copier une longueur ?? un autre endroit.
• La r??gle est infiniment long, mais il n'a pas de marques sur lui et a un seul bord, contrairement dirigeants ordinaires. Il ne peut ??tre utilis?? pour dessiner un segment de ligne entre deux points ou pour prolonger une ligne existante.

La boussole moderne g??n??ralement ne se effondre pas et plusieurs constructions modernes utiliser cette fonction. Il semblerait que la boussole est un instrument moderne "plus puissant" que la boussole antique. Cependant, par la proposition 2 du Livre 1 de ??l??ments d'Euclide , aucune puissance de calcul est perdu en utilisant une telle boussole se effondrer; il ne est pas n??cessaire de transf??rer une distance d'un endroit ?? un autre. Bien que la proposition est correcte, ses preuves ont une histoire longue et mouvement??e.

Chaque construction doit ??tre exact. ???? l'??il??, il (essentiellement en regardant la construction et deviner ?? sa pr??cision, ou en utilisant une certaine forme de mesure, tels que les unit??s de mesure sur une r??gle) et se approcher ne compte pas comme une solution.

Chaque construction doit se terminer. Ce est, il doit avoir un nombre fini d'??tapes, et ne pas ??tre la limite d'approximations plus en plus ??troits.

Dit de cette fa??on, r??gle et au compas constructions semblent ??tre une jeu de soci??t??, plut??t que d'un grave probl??me pratique; mais le but de la restriction est de se assurer que les constructions peuvent ??tre prouv??es pour ??tre tout ?? fait exact, et est donc important ?? la fois ?? l'??laboration (conception ?? la fois par logiciel de CAO et de la r??daction traditionnelle avec un crayon, du papier, r??gle et compas) et la science des poids et mesures, dans lesquelles la synth??se exacte de cadavres ou de mat??riaux de r??f??rence est extr??mement important. L'un des objectifs principaux des math??matiques grecques ??tait de trouver constructions exactes de diff??rentes longueurs; par exemple, le c??t?? d'un pentagone inscrit dans un cercle donn??. Les Grecs ne pouvaient trouver constructions pour les trois probl??mes:

• La quadrature du cercle: dessiner un carr?? la m??me zone comme un cercle donn??.
• Doubler le cube: Dessin d'un cube avec deux fois le volume d'un cube donn??.
• Trisection de l'angle: Division d'un angle donn?? en trois petits angles tous de la m??me taille.

Depuis 2000 ans, les gens ont essay?? de trouver des constructions dans les limites fix??es ci-dessus, et qui ont ??chou??. Tous les trois ont maintenant ??t?? prouv?? en vertu des r??gles math??matiques impossible g??n??ral (angles avec certaines valeurs peuvent ??tre trisected, mais pas tous les angles possibles).

Les constructions de base

Les constructions de base

Tous r??gle et au compas constructions consistent en l'application r??p??t??e de cinq constructions de base en utilisant les points, lignes et cercles qui ont d??j?? ??t?? construits. Ceux-ci sont:

• Cr??ation de la ligne ?? travers deux points existants

• Cr??ation du cercle passant par un point avec le centre un autre point

• Cr??ation du point qui est l'intersection de deux lignes existantes, non parall??les

• Cr??ation d'une ou des deux points dans l'intersection d'une ligne et un cercle (se ils se croisent)

• Cr??ation d'une ou des deux points dans l'intersection des deux cercles (se ils se croisent).

Par exemple, en commen??ant avec seulement deux points distincts, nous pouvons cr??er une ligne ou l'un des deux cercles (?? tour de r??le, en utilisant chaque point comme le centre et passant par l'autre point). Si nous tirons deux cercles, deux nouveaux points sont cr????s ?? leurs intersections. Dessin lignes entre les deux points d'origine et l'un de ces nouveaux points ach??ve la construction d'un triangle ??quilat??ral.

Par cons??quent, dans tout probl??me g??om??trique, nous avons un ensemble initial de symboles (points et lignes), un algorithme, et certains r??sultats. Dans cette perspective, la g??om??trie est ??quivalent ?? une axiomatique alg??bre , en remplacement de ses ??l??ments par des symboles. Probablement Gauss a r??alis?? ce premier, et l'a utilis?? pour prouver l'impossibilit?? de certaines constructions; que beaucoup plus tard ne Hilbert trouver un ensemble complet de axiomes de la g??om??trie.

Les points constructibles et longueurs

Trisection un segment avec r??gle et au compas.

Preuve formelle

Il ya beaucoup de fa??ons diff??rentes pour prouver quelque chose est impossible. Une preuve plus rigoureuse serait de d??limiter la limite du possible, et de montrer que pour r??soudre ces probl??mes, il faut transgresser cette limite. Une grande partie de ce qui peut ??tre r??alis?? est recouvert en th??orie interception.

Nous pourrions associer une alg??bre ?? notre g??om??trie ?? l'aide d'un syst??me de coordonn??es cart??siennes en deux lignes, et de repr??senter les points de notre plan par vecteurs. Enfin, nous pouvons ??crire ces vecteurs comme les nombres complexes.

En utilisant les ??quations pour les lignes et les cercles, on peut montrer que les points sur lesquels ils se croisent dans un mensonge extension quadratique de la plus petite zone F contenant deux points sur la ligne, le centre du cercle, et le rayon du cercle. Autrement dit, ils sont de la forme , O?? x, y et k sont F.

Comme le champ de points constructibles est ferm?? sous des racines carr??es, elle contient tous les points qui peuvent ??tre obtenus par une suite finie d'extensions quadratiques du champ de nombres complexes ?? coefficients rationnels. Par le paragraphe ci-dessus, on peut montrer que ne importe quel point constructible peut ??tre obtenu par une telle s??quence d'extensions. Comme corollaire de cela, on constate que le degr?? du polyn??me minimal pour un point (et donc de ne importe quelle longueur constructible) constructible est une puissance de 2. En particulier, tout point constructible (ou longueur) est un nombre alg??brique, mais pas tous les nombres alg??briques est constructible (?? savoir la relation entre les longueurs constructibles et nombres alg??briques ne est pas bijective); par exemple, est alg??brique mais pas constructible.

Angles constructibles

Il y a un bijection entre les angles qui sont constructible et les points qui sont constructible sur ne importe quel cercle constructible. Les angles qui sont sous forme d'une constructible groupe ab??lien sous addition modulo 2π (qui correspond ?? la multiplication des points sur le cercle unit?? consid??r??es comme des nombres complexes). Les angles qui sont constructible sont exactement celles dont la tangente (ou de mani??re ??quivalente, sinus ou cosinus) est constructible comme un nombre. Par exemple, la r??guli??re Heptad??cagone est constructible parce

d??couverte par Gauss .

Le groupe d'angles constructibles est ferm?? sous l'op??ration qui divise par deux angles (qui correspond ?? la prise des racines carr??es). Les seuls angles d'ordre fini qui peuvent ??tre construits ?? partir de deux points sont ceux dont l'ordre est soit une puissance de deux, ou un produit d'une puissance de deux et un ensemble de distincte Fermat amorce. En outre, il est un ensemble dense d'angles constructibles d'ordre infini.

R??gle et au compas constructions que l'arithm??tique complexe

??tant donn?? un ensemble de points dans le plan euclidien , en s??lectionnant l'un d'eux d'??tre appel?? 0 et une autre d'??tre appel?? une, avec un choix arbitraire de orientation nous permet de consid??rer les points comme un ensemble de nombres complexes .

??tant donn?? une telle interpr??tation d'un ensemble de points que les num??ros complexes, les points constructibles utilisant r??gle et au compas constructions valides seuls sont pr??cis??ment les ??l??ments de la plus petite champ contenant l'ensemble original de points et ferm?? sous la conjugu??s et complexes racine carr??e op??rations (pour ??viter toute ambigu??t??, nous pouvons sp??cifier la racine carr??e avec argumentation complexe inf??rieure ?? π). Les ??l??ments de ce domaine sont pr??cis??ment ceux qui peut ??tre exprim??e par une formule dans les points originaux en utilisant uniquement les op??rations de plus , la soustraction , la multiplication , la division , conjugu?? complexe, et la racine carr??e , qui est facilement consid??r??e comme un sous-ensemble d??nombrable dense de l'avion. Chacun de ces six op??rations correspondant ?? une simple boussole et la construction r??gle. De cette formule, il est facile de produire une construction du point correspondant, en combinant les constructions pour chacune des op??rations arithm??tiques. Constructions plus efficaces d'un ensemble particulier de points correspondent ?? des raccourcis dans ces calculs.

??quivalente (et sans avoir besoin de choisir arbitrairement deux points) nous pouvons dire que, ??tant donn?? un choix arbitraire de l'orientation, un ensemble de points d??termine un ensemble de rapports complexes fournies par les rapports des diff??rences entre deux paires de points. L'ensemble des ratios constructible utilisant r??gle et au compas d'un tel ensemble de ratios est pr??cis??ment le plus petit champ contenant les rapports originaux et ferm?? sous prenant conjugu??s complexes et les racines carr??es.

Par exemple, la partie r??elle, partie imaginaire et le module d'un point ou rapport z (en prenant l'un des deux points de vue ci-dessus) sont constructible car elles peuvent ??tre exprim??es en

Doubler le cube et trisection d'un angle (sauf pour les angles sp??ciaux tels que tout φ telle que φ / 6π est un nombre rationnel avec d??nominateur le produit d'une puissance de deux et un ensemble de distincte Nombres premiers de Fermat) n??cessitent des ratios qui sont la solution ?? ??quations cubiques, tandis que la quadrature du cercle a besoin d'un rapport transcendantal. Aucun d'entre eux sont dans les domaines d??crits, par cons??quent, aucune r??gle et au compas construction pour ces existe.

Constructions impossibles

Les trois probl??mes de construction suivantes, dont les origines remontent ?? l'antiquit?? grecque, ont ??t?? consid??r??es comme impossible dans le sens o?? ils ne pouvaient pas ??tre r??solus en utilisant uniquement la r??gle et au compas. Avec les m??thodes math??matiques modernes cette "consid??ration" des math??maticiens grecs peut ??tre se est av??r?? ??tre correct. Les probl??mes eux-m??mes, cependant, sont r??alisables, et les Grecs savaient comment les r??soudre, sans la contrainte de travailler seulement avec r??gle et compas.

La quadrature du cercle

Le plus c??l??bre de ces probl??mes, la quadrature du cercle, autrement connu comme la quadrature du cercle, consiste ?? construire un carr?? avec la m??me zone comme un cercle donn?? en utilisant uniquement la r??gle et compas.

La quadrature du cercle a ??t?? prouv?? impossible, car il implique la g??n??ration d'un nombre transcendant, ce est- . Seuls certains nombres alg??briques peuvent ??tre construits avec r??gle et au compas seul, ?? savoir ceux qui sont construits ?? partir des nombres entiers avec une s??quence fini d'op??rations d'addition, soustraction, multiplication, division, et en prenant des racines carr??es. L'expression ??quadrature du cercle?? est souvent utilis?? pour signifier ??faire l'impossible" pour cette raison.

Sans la contrainte d'exiger solution en r??gle et au compas seul, le probl??me est facilement r??soluble par une grande vari??t?? de moyens g??om??triques et alg??briques, et a ??t?? r??solu de nombreuses fois dans l'antiquit??.

Doubler le cube

Doubler le cube: en utilisant seulement une r??gle et compas, construire le c??t?? d'un cube qui a deux fois le volume d'un cube avec un c??t?? donn??. Ce est impossible parce que la racine cubique de deux, si alg??brique, ne peut pas ??tre calcul??e ?? partir des nombres entiers par addition, soustraction, multiplication, division, et en prenant des racines carr??es. Cela fait suite parce que sa polyn??me minimal sur les rationnels est de degr?? 3. Cette construction est possible en utilisant une r??gle avec deux marques sur elle et une boussole.

Angle trisection

Angle trisection: en utilisant seulement une r??gle et un compas, construire un angle qui est un tiers d'un angle arbitraire donn??. Ce est impossible dans le cas g??n??ral. Par exemple: si l'angle de π / 3 radians (60 ?? ) ne peut pas ??tre trisected, l'angle 2π / 5 radians (72 ?? = 360 ?? / 5) peuvent ??tre trisected. Ce probl??me est ??galement r??solu facilement quand une r??gle avec deux marques sur elle est autoris??e (a Construction de neusis).

Construction de polygones r??guliers

Construction d'un carr??.

Certains polygones r??guliers (par exemple, un pentagone) sont faciles ?? construire avec r??gle et le compas; d'autres non. Cela a conduit ?? la question: Est-il possible de construire tous les polygones r??guliers avec r??gle et le compas?

Carl Friedrich Gauss en 1796 a montr?? qu'un n r??guli??re -sided polygone peut ??tre construit avec r??gle et le compas si l'??trange facteurs premiers de n sont distincts Fermat amorce. Gauss conjectur?? que cette condition ??tait ??galement n??cessaire, mais il n'a offert aucune preuve de ce fait, qui a ??t?? fourni par Pierre Wantzel en 1837.

Construire avec seulement r??gle ou seule boussole

Il est possible (en fonction de la Mohr-Mascheroni th??or??me) de construire quoi que ce soit avec juste une boussole se il peut ??tre construit avec une r??gle et au compas, ?? condition que les donn??es indiqu??es et les donn??es que l'on trouve sont constitu??s de points discrets (pas de lignes ou cercles). Il est impossible de prendre une racine carr??e avec juste une r??gle, de sorte que certaines choses qui ne peuvent ??tre construits avec une r??gle peut ??tre construit avec une boussole; mais (par la Poncelet-Steiner th??or??me) donn?? un seul cercle et son centre, ils peuvent ??tre construits.

Constructions ??tendues

Dirigeants remarquable

Archim??de et Apollonios donn?? constructions impliquant l'utilisation d'un dirigeant remarquable. Cela leur permettra, par exemple, de prendre un segment de ligne, deux lignes (ou cercles), et un point; puis tracer une ligne qui passe par le point donn?? et coupe les deux lignes, et telle que la distance entre les points d'intersection est ??gale ?? la segment donn??. Ce que les Grecs appelaient neusis (??inclinaison??, ??tendance?? ou ??frisant??), parce que la nouvelle ligne tend ?? point. Dans ce sch??ma ??largi, ne importe quelle distance dont le rapport ?? une distance existante est la solution d'un ou un cube ??quation quartique est constructible. Il se ensuit que, si les dirigeants marquables et neusis sont autoris??s, le trisection de l'angle (voir Archim??de la trisection) et la duplication du cube peuvent ??tre atteints; la quadrature du cercle est encore impossible. Certains des polygones r??guliers, comme le heptagone, devenu constructible; et John H. Conway donne constructions pour plusieurs d'entre eux; mais le polygone face 11, la hend??cagone, est encore impossible, et infiniment beaucoup d'autres.

Lorsque seulement une trisectrice angle est autoris??, il ya une description compl??te de tous les polygones r??guliers qui peuvent ??tre construits, y compris ci-dessus mentionn??e r??guli??re heptagone, triskaidecagon (13-gon) et Enn??ad??cagone (19-gon). Il est ouvert se il existe une infinit?? de nombres premiers p pour lequel un p -gon r??guli??re est constructible ?? la r??gle, compas et un trisectrice angle.

Origami

Le th??orie math??matique de l'origami est plus puissant que la boussole et de la construction de staightedge. Se plie satisfaire les axiomes Huzita-Hatori peut construire exactement le m??me ensemble de points que les constructions prolong??es aide d'une boussole et d'une r??gle marqu??e. Donc origami peut aussi ??tre utilis?? pour r??soudre des ??quations cubiques (et donc des ??quations du quatri??me degr??), et donc de r??soudre deux probl??mes classiques.

Le champ d'extension

En termes abstraits, l'utilisation de ces outils plus puissants de neusis soit en utilisant une r??gle remarquable ou les constructions de l'origami se ??tend le domaine de la num??ros constructibles ?? un plus grand sous-champ des nombres complexes, qui contient non seulement la racine carr??e, mais aussi la cube racines, de chaque ??l??ment. Les formules arithm??tiques pour les points constructibles d??crites ci-dessus ont des analogies dans ce domaine plus vaste, permettant formules qui comprennent des racines cubiques ainsi. L'extension du champ g??n??r?? par ne importe quel point constructible suppl??mentaire dans ce domaine plus grande est de degr?? un multiple d'une puissance de deux et une puissance de trois, et peut ??tre divis?? en une tour d'extensions de degr?? 2 et 3.

Le calcul de chiffres binaires

En 1998, Simon Plouffe a donn?? une r??gle et au compas algorithme qui peut ??tre utilis?? pour calculer chiffres binaires de certains num??ros. L'algorithme consiste essentiellement le doublement r??p??t??e d'un angle et devient physiquement impossible apr??s environ 20 chiffres binaires.