Syst??me de num??ration

Renseignements g??n??raux

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Syst??mes de num??ration par la culture
Chiffres indo-arabes Western Arabe Est Arabe Famille indienne Tamil Telugu Birman Khmer Lao Mongol Tha?? Chiffres Asie de l'Est Chinois Japonais Suzhou Cor??en Vietnamien Compter tiges Chiffres alphab??tiques Abjad Arm??nien Aryabhata Cyrillique Ge'ez Grecque G??orgien H??breu D'autres syst??mes historiques ??g??en Grenier Babylonien Brahmi ??gyptien ??trusque Inuits Kharosth?? Maya Quipu Romain
Syst??mes de positionnement par base
Decimal (10)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 16 20 24 26 27 32 36 60 64 85
Ternaire ??quilibr??
Liste des syst??mes de num??ration

Un syst??me de num??ration (ou syst??me de num??ration) est un notation math??matique pour repr??senter les nombres d'un ensemble donn?? par des symboles d'une mani??re coh??rente. Il peut ??tre consid??r?? comme le cadre qui permet le chiffre ??11?? pour ??tre interpr??t?? comme le binaire num??rique pour trois, le d??cimal num??rique pour onze, ou d'autres num??ros dans diff??rents bases.

Id??alement, un syst??me de num??ration sera:

Repr??senter un ensemble utile de chiffres (par exemple, tous les nombres entiers, entiers ou des nombres r??els )
Donner ?? chaque nombre repr??sent?? une repr??sentation unique (ou au moins une repr??sentation standard)
Refl??ter la structure alg??brique et arithm??tique des nombres.

Par exemple, l'habitude d??cimal repr??sentation des nombres entiers donne ?? chaque nombre entier d'une repr??sentation unique de finie s??quence de chiffres , avec les op??rations de l'arithm??tique (addition, soustraction, multiplication et division) ??tant pr??sents sous les standards algorithmes de l'arithm??tique. Cependant, lorsque la repr??sentation d??cimale est utilis?? pour les rationnels num??ros ou r??els, la repr??sentation ne est plus unique: nombres rationnels ont deux chiffres, un standard qui se termine, tels que 2,31, et un autre qui reproduit, tels que 2,309999999 .... Chiffres qui se terminent ne ont pas de chiffres non-z??ro apr??s une position donn??e. Par exemple, les chiffres comme 2,31 et 2,310 sont prises pour ??tre le m??me, sauf dans les sciences exp??rimentales, o?? une plus grande pr??cision est d??sign?? par la fuite z??ro.

Syst??mes de num??ration sont parfois appel??s syst??mes de num??ration , mais ce nom est trompeur, car il pourrait se r??f??rer ?? diff??rents syst??mes de num??ros, tels que le syst??me des nombres r??els , le syst??me des nombres complexes , le syst??me de p num??ros -adiques, etc. Ces syst??mes ne sont pas le sujet de cet article.

Types de syst??mes de num??ration

Le syst??me le plus couramment utilis?? de chiffres est connu comme Chiffres indo-arabes, et deux grands math??maticiens indiens pourraient ??tre donn??s cr??dit pour les d??velopper. Aryabhatta de Kusumapura qui a v??cu pendant le 5??me si??cle d??velopp?? la notation lieu de la valeur et Brahmagupta un si??cle plus tard, introduit le symbole z??ro.

Le syst??me num??rique plus simple est la Syst??me unaire, dans lequel chaque nombre naturel est repr??sent?? par un nombre correspondant de symboles. Si le symbole / est choisi, par exemple, le nombre sept serait repr??sent?? par ///////. Tally marques repr??sentent un tel syst??me encore en usage commun. Dans la pratique, le syst??me unaire est normalement utile que pour un petit nombre, bien qu'il joue un r??le important dans informatique th??orique. Aussi, Elias codant gamma qui est couramment utilis?? dans la compression des donn??es exprime les nombres de taille arbitraire en utilisant unaire pour indiquer la longueur d'un chiffre binaire.

La notation unaire peut ??tre abr??g?? en introduisant des symboles diff??rents pour certaines nouvelles valeurs. Tr??s souvent, ces valeurs sont des puissances de 10; Ainsi, par exemple, si / se tient pour l'un, - pour les dix et + 100, puis le num??ro 304 peut ??tre compacte repr??sent??s comme +++ //// et le num??ro 123 comme + - - /// sans aucune n??cessit?? de z??ro. Cela se appelle signer valeur notation. L'ancien Syst??me ??gyptien est de ce type, et syst??me romain est une modification de cette id??e.

Plus utiles sont encore des syst??mes qui utilisent les abr??viations sp??ciales pour des r??p??titions de symboles; par exemple, en utilisant les neuf premi??res lettres de notre alphabet pour ces abr??viations, avec A permanent pour "une occurrence", B "deux occurrences", et ainsi de suite, nous pourrions alors ??crire C + D / pour le nombre 304. Le syst??me de nombre de English est de ce type ("trois cents [et] quatre"), comme le sont ceux de presque tous les autres parl??es langues , ind??pendamment de ce que les syst??mes ??crite qu'ils ont adopt??.

Plus ??l??gant est un syst??me de position, aussi connu comme la notation de valeur de. Encore une fois dans la base de travail 10, on utilise dix chiffres diff??rents 0, ..., 9 et en utilisant la position d'un chiffre pour indiquer la puissance de dix que le chiffre doit ??tre multipli?? avec, comme en 304 x 100 = 3 + 0 ?? 10 + 4 ?? 1. Notez que z??ro , qui ne est pas n??cessaire dans les autres syst??mes, est d'une importance cruciale ici, afin d'??tre en mesure de ??sauter?? une puissance. Le Syst??me de num??ration indo-arabe, emprunt?? ?? l'Inde , est un syst??me de base 10 de position; il est utilis?? aujourd'hui dans le monde entier.

Arithm??tique est beaucoup plus facile dans les syst??mes de position que dans les additifs les pr??c??dentes; En outre, les syst??mes d'additifs ont besoin d'un nombre potentiellement infini de symboles diff??rents pour les diff??rentes puissances de dix; syst??mes de position doivent seulement 10 symboles diff??rents (en supposant qu'il utilise en base 10).

Les chiffres utilis??s lors de l'??criture des nombres avec des chiffres ou des symboles peuvent ??tre divis??s en deux types qui pourrait ??tre appel?? le chiffres arithm??tiques et le 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 chiffres g??om??triques 1,10,100,1000,10000 ... respectivement. Les syst??mes signe valeur ne utilisent que les chiffres g??om??triques et le syst??me de positionnement ne utilisent que les chiffres arithm??tiques. Le syst??me de connexion valeur n'a pas besoin des chiffres arithm??tiques parce qu'ils sont faits par la r??p??tition (sauf pour le Syst??me ionique), et le syst??me de position n'a pas besoin chiffres g??om??triques parce qu'elles sont fabriqu??es par la position. Cependant, la langue parl??e utilise ?? la fois arithm??tique et chiffres g??om??triques.

Dans certaines r??gions de la science informatique, un syst??me base-modifi?? k de position est utilis??, appel?? num??ration bijective, avec des chiffres 1, 2, ..., k (k ≥ 1), et z??ro ??tant repr??sent?? par la cha??ne vide. Cela ??tablit une bijection entre l'ensemble de tous ces chiffres-cordes et l'ensemble des entiers non-n??gatifs, en ??vitant la non-unicit?? caus??e par les z??ros de t??te. K la num??ration de bijective est aussi appel?? k notation -adique, ?? ne pas confondre avec nombres p-adiques. Base 1 bijective le m??me que unaire.

Les bases utilis??es

En informatique

Commutateurs, imit?? par leurs successeurs ??lectroniques construits ?? l'origine de tubes ?? vide et de la technologie moderne de transistors, ne ont que deux ??tats possibles: "ouvert" et "ferm??". En substituant ouvert = 1 et ferm?? = 0 (ou l'inverse), on obtient l'ensemble des chiffres binaires. Cette base 2 syst??me ( binaire ) est la base de ordinateurs num??riques. Il est utilis?? pour effectuer une arithm??tique enti??re dans les ordinateurs presque toutes num??riques; une certaine base 3 exotique ( ternaires) et la base-10 ordinateurs ont ??galement ??t?? construites, mais ces dessins ont ??t?? jet??s au d??but de l' histoire de mat??riel informatique .

Modernes ordinateurs utilisent transistors qui repr??sentent deux ??tats avec des tensions soit haute ou basse. La plus petite unit?? de m??moire pour cet ??tat binaire est appel?? bit. Les bits sont agenc??s en groupes pour aider ?? la transformation, et pour rendre les nombres binaires plus court et plus facile ?? g??rer pour l'homme. Plus r??cemment, ces groupes de bits, comme octets et des mots, sont dimensionn??s en multiples de quatre. Ainsi base 16 ( hexad??cimal ) est couramment utilis?? comme raccourci. Base 8 (octal) a ??galement ??t?? utilis?? ?? cette fin.

Un ordinateur ne traite pas l'ensemble de ses donn??es num??rique. Par exemple, certaines d'entre elles peuvent ??tre trait??s comme des instructions de programme ou de donn??es comme du texte. Toutefois, l'arithm??tique et la logique bool??enne constituent des op??rations les plus internes. Les nombres entiers sont repr??sent??s exactement comme entiers. de nombres r??els , permettant valeurs fractionnaires, sont g??n??ralement estim??s comme nombres ?? virgule flottante. L'ordinateur utilise diff??rentes m??thodes pour faire l'arithm??tique de ces deux types de num??ros.

Cinq

Un syst??me de base 5 ( quinary) a ??t?? utilis?? dans de nombreuses cultures pour compter. De toute ??vidence, il est bas?? sur le nombre de doigts sur une main humaine. Il peut ??galement ??tre consid??r?? comme un sous-base d'autres bases, telles que la base 10 et la base 60.

Huit

Un syst??me de base 8 ( octal) a ??t?? con??u par le Yuki de Californie du Nord, qui a utilis?? les espaces entre les doigts pour compter. Z??ro ?? sept sont les seuls chiffres possibles. Il ya aussi des preuves linguistiques qui sugg??re que l'??ge du bronze Proto-Indo Europ??ens (dont la plupart des langues europ??ennes et indiennes descendent) pourrait avoir remplac?? un syst??me de base 8 (ou d'un syst??me qui ne pouvait compter jusqu'?? 8) avec un syst??me de base 10. La preuve est que le mot pour 9, NEWM, est sugg??r?? par certains pour d??river du mot pour ??nouveau??, newo-, sugg??rant que le nombre 9 avait ??t?? r??cemment invent?? et appel?? le ??nouveau num??ro '(Mallory & Adams 1997) .

Dix

Le syst??me de base 10 ( d??cimal ) est le plus couramment utilis?? aujourd'hui. On suppose qu'ils seraient issus les humains ont dix doigts. Ces syst??mes utilisent souvent une plus grande base superpos??. Voir Superbase d??cimal.

Douze

Base-12 (syst??mes duodecimal ou dozenal) ont ??t?? tr??s populaires car la multiplication et la division sont plus faciles que dans la base-10, avec l'addition et la soustraction ??tant tout aussi facile. 12 est une base utile, car il a de nombreux facteurs . Ce est le plus petit multiple de un ?? quatre et de six. Il ya encore un mot sp??cial pour "douzaine" et tout comme il ya un mot pour dix ^deux, cent, il ya aussi un mot pour 12 ^2, brut. Base-12 pourrait avoir son origine ?? partir du nombre de doigts dans les quatre doigts d'une main ?? l'exclusion du pouce, qui est utilis?? comme un pointeur en comptage.

Douze est une unit?? britannique de mesure commune. Il ya douze pouces ?? un pied. Avant 1971, en monnaie britannique, il y avait 12 centimes ?? un shilling. . Mots anglais pour les num??ros sont ??galement ??base-12 'en ce qu'il est un mot unique pour les chiffres de un ?? douze, avec?? treize ????tant le premier mot qui a ??t?? form??e en combinant les num??ros (trois et dix).

Il ya 24 heures par jour, g??n??ralement compt?? jusqu'?? 12 jusqu'?? midi ( h) et encore une fois jusqu'?? minuit ( h), souvent subdivis??s par six heures dans le comptage (par exemple en Tha??lande ) ou que les interrupteurs entre l'utilisation de termes tels que ??nuit??, ??matin??, ??apr??s-midi?? et ??soir??, tandis que d'autres langues utilisent ces termes avec des dur??es de 3 ?? 9 heures souvent selon commutateurs ?? quelques-unes des marques d'intervalle de trois heures.

Multiples de 12 ont ??t?? d'usage courant que les unit??s anglaises de la r??solution dans le monde analogique et de l'impression num??rique, o?? 1 point ??quivaut ?? 1/72 de pouce et 12 points ??gale ?? 1 pica, et comme imprimante r??solutions 360, 600, 720, 1200 ou 1440 dpi (points par pouce) sont communs. Il se agit de combinaisons de base 12 et base 10 facteurs: (3 x 12) x 10, 12 x (10 x 5), (6 x 12) x 10, 12 x (10 x 10) et (12 x 12) ?? 10.

Vingt

La civilisation maya et les autres civilisations de Pr??colombienne M??soam??rique utilis?? base 20 ( vig??simal), ??ventuellement d'origine ?? partir du nombre de doigts et les orteils d'une personne. Preuve de syst??mes de base de 20 comptage est ??galement disponible dans les langues du centre et de l'ouest Afrique .

Restes possibles d'un syst??me de base 20 existent aussi en fran??ais, comme en t??moignent les noms des nombres de 60 ?? 99. Par exemple, soixante-cinq est soixante-cinq (litt??ralement, ??soixante [et] de cinq"), tandis que soixante-dix -cinq est soixante-quinze (litt??ralement, ??soixante [et] quinze"). En outre, pour un nombre compris entre 80 et 99, le nombre des ??dizaines colonnes" est exprim?? en multiple de vingt (un peu semblable ?? la mani??re anglaise archa??que de parler de " scores "). Par exemple, quatre-vingt deux est quatre-vingt-deux (litt??ralement, quatre vingt [s] [et] deux), tandis que quatre-vingt-est quatre-vingt-douze (litt??ralement, quatre vingt [s] [et ] douze).

Le Langue irlandaise ??galement utilis?? de base 20 dans le pass??, vingt ??tre fichid, quarante DHA fhichid, soixante tr?? fhichid quatre-vingt ceithre fhichid. Un vestige de ce syst??me peut ??tre vu dans le mot moderne pour 40, daoichead.

Chiffres danois affichent une base-20 structure similaire.

Soixante

Base 60 ( sexag??simal) a ??t?? utilis?? par les Sum??riens et leurs successeurs dans la M??sopotamie et survit aujourd'hui dans notre syst??me de temps (d'o?? la division d'une en 60 heures minutes et une minute en 60 seconde) et dans notre syst??me de mesure angulaire (un degr?? est divis?? en 60 minutes et une minute est divis?? en 60 seconde). 60 a ??galement un grand nombre de facteurs, y compris les six premiers num??ros de comptage . Base-60 syst??mes sont soup??onn??s d'avoir son origine par la fusion de base 10 et la base 12-syst??mes. Le Calendrier chinois, par exemple, utilise une base-60 Jia-Zi 甲子 syst??me pour d??signer ans, chaque ann??e dans le cycle de 60 ans d'??tre nomm?? avec deux symboles, la premi??re ??tant en base 10 (appel?? Tian-Gan 天干 ou des tiges c??leste) et le deuxi??me symbole ??tant base 12 (appel??s Di-Zhi 地支 ou branches terrestres). Les deux symboles sont augment??s dans les ann??es successives jusqu'?? ce que le premier motif revient 60 ans plus tard. Le deuxi??me symbole de ce syst??me est ??galement li?? ?? l'animal 12 Syst??me zodiaque chinois. Le syst??me Jia-zi peut ??galement ??tre appliqu??e ?? compter les jours, avec une ann??e contenant environ six cycles de 60 jours.

Double base (vingt-cinq)

Beaucoup de syst??mes de comptage anciens utilisent 5 comme base primaire, presque s??rement provenant du nombre de doigts sur la main d'une personne. Souvent, ces syst??mes sont compl??t??es par une base secondaire, parfois dix, parfois vingt. Dans certaines Langues africaines le mot pour 5 est le m??me que "la main" ou "coup de poing" ( Diolas langue de la Guin??e-Bissau , Banda langue de l'Afrique centrale). Le comptage se poursuit en ajoutant 1, 2, 3, 4 ou ?? des combinaisons de 5, jusqu'?? ce que la base secondaire est atteinte. Dans le cas de vingt ans, ce mot signifie souvent ??homme complet??. Ce syst??me est appel?? quinquavigesimal. Il se trouve dans de nombreuses langues du Soudan r??gion.

noms de base

     1 -   unaire 2 - binaire 3 -   ternaire / ternaire 4 -   quaternaire 5 -   quinary / quinternary 6 -   senaire /   heximal / hexary 7 -   sept??naire / septuary 8 -   octal / octonary / octonal / octimal 9 -   Syst??me nonaire / novary / noval 10 - d??cimal / denier 11 -   undecimal / undenary / unodecimal 12 -   dozenal / duodecimal / duod??naire 13 -   tridecimal /   tredecimal / triodecimal 14 -   tetradecimal / quadrodecimal / quattuordecimal 15 -   pentadecimal / quindecimal 16 - hexad??cimal / sexadecimal / sedecimal 17 - septendecimal / heptadecimal 18 - octodecimal / decennoctal 19 - nonadecimal / novodecimal / decennoval 20 -   vig??simal / bigesimal / bidecimal 21 - unovigesimal / unobigesimal 22 - duovigesimal 23 - triovigesimal 24 -   quadrovigesimal / quadriovigesimal 26 -   hexavigesimal / sexavigesimal 27 - 28 heptovigesimal - octovigesimal 29 - 30 novovigesimal -   trigesimal / triogesimal 31 - unotrigesimal (... r??p??tez motif nommer ...) 36 -   hexatridecimal / sexatrigesimal (... de motif de r??p??tition nommer ...) 40 - quadrag??simale / quadrigesimal 41 - unoquadragesimal (... motif de r??p??tition nommer ...) 50 - quinquagesimal / pentagesimal 51 - unoquinquagesimal (... r??p??tez motif nommer .. .) 60 -   sexag??simal (... de motif de r??p??tition nommer ...) 64 -   quadrosexagesimal (... motif nommer ...) 70 - septagesimal / heptagesimal 80 - octagesimal / octogesimal 90 - nonagesimal / novagesimal 100 - centimal / cent??simale (... motif nommer ...) 110 - 111 decacentimal - unodecacentimal ( ... r??p??tez motif nommer ...) 200 - bicentimal / bicentesimal (... r??p??tez nommer motif ...) 210 - 211 decabicentimal - unodecabicentimal (... motif de r??p??tition nommer ...) 300 - tercentimal / tricentesimal 400 - quattrocentimal / quadricentesimal 500 - quincentimal / pentacentesimal 600 - hexacentimal / hexacentesimal 700 - heptacentimal / heptacentesimal 800 - octacentimal / octocentimal / octacentesimal / octocentesimal 900 - novacentimal / novacentesimal 1000 - 2000 milli??mes - bimillesimal (... r??p??tez motif nommer ...) 10000 - decamillesimal

Syst??mes de position en d??tail

Dans un syst??me base-b de position num??rique (avec b positif nombre naturel connu sous le nom radix), symboles de base B (ou chiffres) correspondant aux premiers nombres naturels b compris z??ro sont utilis??s. Pour g??n??rer le reste des chiffres, la position du symbole dans la figure est utilis??e. Le symbole dans la derni??re position a sa propre valeur, et comme il se d??place vers la gauche sa valeur est multipli??e par b.

Par exemple, dans le d??cimal syst??me (base 10), les moyens num??riques (4,327 x 10 4 ³⁾ + (3 x 10 ²⁾ + (2 x 10 ¹⁾ + (7 ?? 10 ^0), en notant que 10 ⁰ = 1 .

En g??n??ral, si b est la base, nous ??crivons un certain nombre dans le syst??me de num??ration de base b en l'exprimant sous la forme d'un _n b ⁿ + a _{n - 1} b ^{n - 1} + un _{n - 2} b ^{n - 2} +. .. + a ₀ b ⁰ et l'??criture des chiffres ??num??r??s a _n a _{n - 1} a _{n - 2} ... un ₀ dans l'ordre d??croissant. Les chiffres sont des nombres naturels entre 0 et b - 1 inclus.

Si un texte (comme celui-ci) discute plusieurs bases, et si ambigu??t??, la base (elle-m??me repr??sent??e en base 10) est ajout?? en indice ?? la droite du num??ro, comme ceci: _base de nombre. Sauf indication par le contexte, des num??ros sans indice sont consid??r??s comme d??cimal.

En utilisant un point de diviser les chiffres en deux groupes, on peut ??galement ??crire des fractions dans le syst??me de position. Par exemple, la base 2 chiffre 1 d??signe 10,11 ?? 2 ?? ¹ + 0 2 ⁰ + 1 x 2 + 1 x ^{-1 -2} 2 = 2,75.

En g??n??ral, les num??ros dans le syst??me de base de b sont de la forme:

$(A_na_ {n-1} \ cdots a_1a_0.c_1 c_2 C_3 \ cdots) _b = \ sum_ {k = 0} ^ n ^ k + a_kb \ sum_ {k = 1} ^ \ infty c_kb ^ {- k}.$

Le nombre b ^k et b ^{- k} sont les poids des chiffres correspondants. La position k est le logarithme du poids w correspondant, ce est- $k = \ log_ {b} w = \ log_ {b} b ^ k$ . La position la plus ??lev??e utilis??e est proche de la ordre de grandeur du nombre.

Le nombre de marques de pointage n??cessaires dans le Syst??me unaire pour d??crire le poids aurait ??t?? w. Dans le syst??me de localisation le nombre de chiffres n??cessaires pour d??crire ce ne est que $k + 1 =$ $\ Log_ {b} w$ $+ 1$ , Pour $k \ ge 0$ . Par exemple, pour d??crire le poids 1000 puis 4 chiffres sont n??cessaires, puisque $\ Log_ {10} 1000 + 1 = 3 + 1$ . Le nombre de chiffres n??cessaire pour d??crire la position est $\ Log_ {b} k + 1 = \ log_ {b} \ log_ {b} w + 1$ (En positions 1, 10, 100 ... seulement pour plus de simplicit?? dans l'exemple d??cimale).

Position	3	2	1	0	-1	-2	...
Poids	$b ^ 3$	$b ^ 2$	$b ^ 1$	$b ^ 0$	$b ^ {- 1}$	$b ^ {- 2}$	...
Chiffre	$A_3$	$a_2$	$a_1$	$a_0$	$c_1$	$c_2$	...
Exemple d??cimale poids	1000	100	10	1	0,1	0,01	...
Decimal exemple chiffres	4	3	2	7	0	0	...

Notez que un certain nombre a une expansion de terminaison ou de r??p??ter si et seulement si elle est rationnelle ; Cela ne d??pend pas de la base. Un certain nombre qui se termine par une base peut r??p??ter dans un autre (donc 0,3 = ₁₀ ,0100110011001 ... _2). Un nombre irrationnel reste unperiodic (quantit?? infinie de chiffres unrepeating) dans toutes les bases int??grales. Ainsi, par exemple en base 2, π = 3.1415926 ... ₁₀ peuvent ??tre d??pr??ci??s l'unperiodic 11,001001000011111 ... _2.

Si b = p est un nombre premier , on peut d??finir des num??ros de p sous-sols dont l'expansion vers la gauche ne se arr??te jamais; On les appelle les nombres p-adiques.

Changement de radix

Un simple algorithme pour convertir des nombres entiers entre bases de num??ration positive entier est r??p??t?? division par la racine cible; les restes donnent les "chiffres" ?? partir de la moins importante. Par exemple, 1020304 base 10 dans la base 7:

 1020304/7 = 145757 r 5
  145757/7 = 20822 r 3
   20822/7 = 2,974 r 4
    2974/7 = 424 r 6
     424/7 = 60 r 4
      60/7 = 8 r 4
       8/7 = 1 r 1
       1/7 = 0 r 1 => 11446435

Par exemple, 10110111 base 2 dans la base 5:

 10110111/101 = 100 100 r 11 (3)
   100100/101 111 r = 1 (1)
      111/101 = 1 r 10 (2)
        1/101 = 0 r 1 (1) => 1213

Pour convertir une "virgule" fraction, faire multiplication r??p??t??e, en prenant les parties enti??res saillantes que les "chiffres". Malheureusement une fraction de terminaison dans une base ne peut r??silier dans un autre. Par exemple, la base de 0.1A4C 16 dans la base 9:

 0.1A4C ?? 9 = 0.ECAC 0.ECAC ?? 9 = 8.520C 0.520C ?? 9 = 2.E26C 0.E26C ?? 9 = 7.F5CC 0.F5CC ?? 9 = 8.A42C 0.A42C ?? 9 = 5. C58C => 0,082785 ...

G??n??ralis??es entiers de longueur variable

Plus g??n??rale est en utilisant une notation (??crit ici little-endian) comme $a_0 a_1 a_2$ pour $a_0 + a_1 b_1 + a_2 b_1 b_2$ , Etc.

Il est utilis?? dans punycode, un aspect de qui est la repr??sentation d'une s??quence d'entiers non n??gatifs de taille arbitraire sous la forme d'une s??quence sans s??parateurs, des "chiffres" ?? partir d'une collection de 36: az et 0-9, 0-25 et repr??sentant 26 ?? 35 respectivement. Un chiffre inf??rieur ?? une valeur de seuil marque que ce est le chiffre le plus significatif, d'o?? la fin du num??ro. La valeur de seuil d??pend de la position du nombre. Par exemple, si la valeur de seuil pour le premier chiffre est b (ce est ?? dire 1) puis un (soit 0) marque la fin du num??ro (il a juste un chiffre), donc en nombre de plus d'un chiffre la gamme est seulement b -9 (1-35), donc le poids b ₁ est de 35 au lieu de 36. Supposons que les valeurs de seuil pour les deuxi??me et troisi??me chiffres sont c (2), puis le troisi??me chiffre a un poids 34 ?? 35 = 1190 et nous avons la s??quence suivante:

a (0), ba (1), ca (2), .., 9a (35), bb (36), cb (37), .., 9b (70), BCA (71), .., 99a (1260), bcb (1261), etc.

Notez que contrairement ?? un 35 syst??me de base num??rique r??guli??re, nous avons nombres comme 9b o?? 9 et B repr??sentent chacun 35; encore la repr??sentation est unique parce que ca et aca ne sont pas autoris??s.

La souplesse dans le choix des valeurs de seuil permet d'optimiser en fonction de la fr??quence d'occurrence des chiffres de tailles diff??rentes.

Le cas avec tous les valeurs de seuil ??gal ?? 1 correspond ?? bijective num??ration, o?? les z??ros correspondent ?? des s??parateurs de nombres avec des chiffres qui sont non nulle.

Propri??t??s des syst??mes num??riques avec des bases enti??res

Syst??mes de num??ration avec base A, o?? A est un entier positif, poss??der les propri??t??s suivantes:

Si A est encore et A / 2 est impair, toutes les puissances enti??res sup??rieur ?? z??ro du nombre (A / 2) 1 seront contiennent (A / 2) 1 comme leur dernier chiffre

Si A et A / 2 sont pairs, alors tous les puissances enti??res sup??rieure ou ??gale ?? z??ro du nombre (A / 2) alterne entre 1 comportant (A / 2) +1 et 1 comme dernier chiffre. (Pour puissances impaires il sera (A / 2) 1, m??me pour les pouvoirs qu'il aura 1)

Preuve de la premi??re propri??t??:

D??finir ${A \ over 2} + 1 = x$ Alors x est pair, et tout $x ^ p$ P sup??rieur ?? 0 doit ??tre encore. La propri??t?? est ??quivalente ??

$\! \ X ^ p \ equiv \ x \ (\ mbox {mod} \ A)$

Nous v??rifions d'abord le cas pour p = 1

$\! \ X \ equiv \ x \ (\ mbox {mod} \ A)$

x est inf??rieur ?? un, donc le r??sultat est trivial. Nous v??rifions ensuite pour p = 2:

$\! \ X ^ 2 = xx$

$\! \ X ^ 2 = x (x-1) + x$

Depuis $x-1 = ({A \ over 2} + 1) - 1 = {A \ over 2}$ , Alors pour tout, m??me N:

$\! \ {NA \ over 2} = N (x-1) \ equiv \ 0 \ (\ mbox {mod} \ A) \ (1)$

Parce que x est pair, alors $x (x-1)$ est congru ?? z??ro modulo A. Par cons??quent:

$\! \ X ^ 2 \ equiv \ x \ (\ mbox {mod} \ A)$

Par induction, en supposant que la propri??t?? est vraie pour p -1:

$\! \ X ^ p = {x ^ {p-1}} = {x x ^ {p-1}} (x-1) + x ^ {p-1}$

Depuis l'affaire tient pour p -1, ${X ^ {p-1}} \ equiv \ x \ (\ mbox {mod} \ A)$ . Depuis

$\! \ {X ^ {p-1}} (x-1)$

est un exemple de l'??quation 1, puis ${X ^ {p-1}} (x-1) \ equiv \ 0 \ (\ mbox {mod} \ A)$ . Cela laisse, pour tout p sup??rieur ?? 0,

$\! \ X ^ p \ equiv \ x \ (\ mbox {mod} \ A)$

CQFD

Preuve de la deuxi??me propri??t??:

D??finir ${A \ over 2} + 1 = x$ Alors x est impair, et tout $x ^ p$ pour p sup??rieur ou ??gal ?? 0 doit ??tre impair. La propri??t?? est ??quivalente ??

$! \ \ X ^ p \ equiv \ 1 \ (\ mbox {mod} \ A); \ \ mbox {if} \ p \ equiv \ 0 \ (\ mbox {mod} \ 2)$

$! \ \ X ^ p \ equiv \ x \ (\ mbox {mod} \ A); \ \ mbox {if} \ p \ equiv \ 1 \ (\ mbox {mod} \ 2)$

Depuis $x-1 = ({A \ over 2} + 1) - 1 = {A \ over 2}$ , Alors pour tout impair E:

$\! \ {EA \ over 2} = E (x-1) \ equiv \ {A \ over 2} \ (\ mbox {mod} \ A) \ (2)$

L'affaire est d'abord v??rifi?? pour p = 0:

$\! \ X ^ 0 = 1$

$\! \ 1 \ equiv \ 1 \ (\ mbox {mod} \ A)$

Ce r??sultat est trivial

Ensuite, pour p = 1:

$\! \ X ^ 1 = x$

$\! \ X \ equiv \ x \ (\ mbox {mod} \ A)$

Ce r??sultat est ??galement trivial

Ensuite, pour p = 2:

$\! \ X ^ 2 = x xx = (x-1) + x$

Parce que x est impair, alors x (x-1) est un cas de l'??quation 2,

$x (x-1) + x \ equiv \ {{A \ over 2} + x} \ (\ mbox {mod} \ A)$

$\! \ {A \ over 2} + x = {A \ over 2} + {A \ over 2} + 1 = A + 1$

$\! \ A + 1 \ equiv \ 1 \ (\ mbox {mod} \ A), (\ mbox {so} \ x (x-1) + x = x ^ 2 \ equiv \ 1 \ (\ mbox {mod } \ A)$

Ensuite, pour p = 3:

$\! \ X ^ 3 = {x ^ 2} x = {x ^ 2} (x-1) + x ^ 2$

Parce que $x ^ 2$ est impair, ${2} x ^ (x-1) + x ^ 2$ est un cas de l'??quation 2,

$\! \ {X} ^ 2 (x-1) + x ^ 2 \ equiv \ {{A \ over 2} + x ^ 2} \ (\ mbox {mod} \ A)$

Depuis $x ^ 2 \ equiv \ 1 \ (\ mbox {mod} \ A)$ ,

$\! \ {X} ^ 2 (x-1) + x ^ 2 \ equiv \ {{A \ over 2} + 1} \ (\ mbox {mod} \ A)$

${{A \ over 2}} + 1 = x$ Alors $x ^ 3 \ equiv \ x \ (\ mbox {mod} \ A)$ .

Par induction, en supposant que la propri??t?? est vraie pour p -1:

$\! \ X ^ p \ equiv \ {x ^ {p-1}} (x-1) + x ^ {p-1}$

Si p est impair:

$\! \ X ^ {p-1} \ equiv \ 1 \ (\ mbox {mod} \ A)$

Depuis ${X ^ {p-1}} (x-1)$ est un cas de l'??quation (2), ${X ^ {p-1}} (x-1) + x ^ {p-1} \ equiv \ {{A \ over 2} + 1} \ (\ mbox {mod} \ A)$ Alors

$x ^ p \ equiv \ x \ (\ mbox {mod} \ A)$

Si p est encore:

$\! \ X ^ {p-1} \ equiv \ x \ (\ mbox {mod} \ A)$

Depuis ${X ^ {p-1}} (x-1)$ est un cas de l'??quation (2), ${X ^ {p-1}} (x-1) + x ^ {p-1} \ equiv \ {{A \ over 2} + x} \ (\ mbox {mod} \ A)$ .

${A \ over 2} + x = {A \ over 2} + {A \ over 2} + 1 = A + 1$

$A + 1 \ equiv \ 1 \ (\ mbox {mod} \ A)$ Alors

$x ^ p \ equiv \ 1 \ (\ mbox {mod} \ A)$

CQFD

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