L'in??galit?? (math??matiques)

?? propos de ce ??coles s??lection Wikipedia

SOS Enfants a fait cette s??lection Wikipedia aux c??t??s d'autres ??coles des ressources . enfants SOS est le plus grand don de charit?? du monde enfants orphelins et abandonn??s la chance de la vie familiale.

Le r??gions possibles de programmation lin??aire sont d??finis par un ensemble d'in??galit??s.

En math??matiques , une in??galit?? est une d??claration au sujet de la taille relative ou cet ordre de deux objets. (Voir aussi: l'??galit??)

La notation $<b \! \$ un moyen qui est inf??rieur ?? b, et
La notation $a> b \! \$ signifie que a est sup??rieur ?? b.

Ces relations sont connus comme in??galit?? stricte; en revanche

$un \ le b$ signifie que a est inf??rieur ou ??gal ?? b;
$a \ b ge$ signifie que a est sup??rieur ou ??gal ?? b;
$\ not> b$ signifie que a ne est pas plus grand que b et
$\ not <b$ signifie que a ne est pas inf??rieur ?? b.

Une utilisation suppl??mentaire de la notation est de montrer que l'on est beaucoup plus grande quantit?? que l'autre, habituellement par plusieurs ordres de grandeur.

La notation $a \ b gg$ signifie que A est beaucoup plus grand que b.
La notation $un \ ll b$ signifie que A est beaucoup inf??rieur ?? b.

Si le sens de l'in??galit?? est la m??me pour toutes les valeurs des variables pour lesquelles ses membres sont d??finis, puis l'in??galit?? est appel??e une in??galit?? ??absolue?? ou ??inconditionnel??. Si le sens d'une in??galit?? ne vaut que pour certaines valeurs des variables impliqu??es, mais est renvers??e ou d??truit d'autres valeurs des variables, il est appel?? une in??galit?? conditionnelle. Le sens d'une in??galit?? ne est pas modifi?? si les deux c??t??s sont augment??s ou diminu??s par le m??me nombre, ou si les deux c??t??s sont multipli??s ou divis??s par un nombre positif; le sens d'une in??galit?? est invers?? si les deux membres sont multipli??s ou divis??s par un nombre n??gatif .

Propri??t??s

Les in??galit??s sont r??gies par les suivantes propri??t??s . Notez que, pour la transitivit??, inversion, addition et la soustraction, multiplication et division et propri??t??s, la propri??t?? est ??galement titulaire si des signes d'in??galit?? stricte (<et>) sont remplac??s par leur signe correspondant non stricte in??galit?? (≤ et ≥).

Trichromie

Le Etats propri??t?? Trichotomy:

Pour toute nombres r??els , a et b, exactement une des conditions suivantes est remplie:
- <b
- a = b
- a> b

Transitivit??

Le transitivit?? des in??galit??s d??clare:

Pour toute nombres r??els , a, b, c:
- Si a> b et b> c; puis a> c
- Si a <b et b <c; alors un <c

Renversement

Les relations d'in??galit?? sont relations inverses:

Pour toute nombres r??els , a et b:
- Si a> b puis b <a
- Si un <b puis b> un

Addition et soustraction

Les propri??t??s qui traitent de plus et la soustraction Etat:

Pour toute nombres r??els , a, b, c:
- Si a> b, alors a + c> b + c et un - c> b - c
- Si a <b, alors a + c <b + c et un - c <b - c

ce est ?? dire, les chiffres r??els sont un groupe ordonn??.

Multiplication et division

Les propri??t??s qui traitent de la multiplication et de la division Etat:

Pour toute nombres r??els, a, b, c:
- Si c est positif et un <b, puis ac <bc
- Si c est n??gative et un <b, puis ac> bc

Plus g??n??ralement cela se applique pour un corps ordonn??, voir ci-dessous.

Oppos??

Les propri??t??s de la additif ??tat inverse:

Pour toute nombres r??els a et b
- Si un <b puis - a> - b
- Si a> b alors - un <- b

Inverse multiplicatif

Les propri??t??s de la multiplicatif ??tat inverse:

Pour tout nombre r??el a et b qui sont ?? la fois positifs ou les deux n??gatif
- Si un <b puis 1 / a> 1 / b
- Si a> b puis 1 / a <1 / b

L'application d'une fonction ?? deux c??t??s

Nous consid??rons deux cas de fonctions: monotone et strictement monotone.

Toute strictement monotone croissante fonction peut ??tre appliqu??e aux deux c??t??s de l'in??galit?? et il va encore tenir. L'application d'une fonction strictement monotone d??croissante de part et d'autre d'une in??galit?? signifie l'in??galit?? inverse est maintenant. Les r??gles d'additif et inverses multiplicatifs sont deux exemples de l'application d'une fonction d??croissante monotone.

Si vous avez une in??galit?? non stricte (a ≤ b, a ≥ b) puis:

Appliquer une fonction croissante monotone pr??serve la relation (≤ reste ≤, ≥ reste ≥)
L'application d'une fonction d??croissante monotone inverse la relation (≤ devient ≥, ≤ ≥ devient)

Il ne deviendra jamais strictement in??gale, puisque, par exemple, 3 ≤ 3 ne implique pas que 3 <3.

Champs command??s

Si F, +, * ??tre un ≤ champ et un ordre total sur F, alors F, +, *, ≤ est appel?? champ si et seulement si command??:

si un ≤ b alors a + c ≤ b + c
si 0 ≤ a et 0 ≤ b ≤ 0 alors ab

On notera que les deux $\ Mathbb {Q}$ , +, *, Et ≤ $\ Mathbb {R}$ , +, *, Sont ≤ champs command??s.

≤ ne peut ??tre d??finie afin de rendre $\ Mathbb {C}$ , +, *, Un ≤ corps ordonn??.

Les in??galit??s non strictes ≤ et ≥ sur nombres r??els sont commandes totales. Les in??galit??s strictes <et> sur nombres r??els sont Module: Total_order ( parler ?? ?? hist ?? ?? liens ?? sous-pages essais - r??sultats).

Notation Encha??n??

La notation <b <c signifie "a <b et b <c", ?? partir de laquelle, par la propri??t?? de transitivit?? ci-dessus, il se ensuit ??galement que <c. De toute ??vidence, par les lois ci-dessus, on peut ajouter / soustraire le m??me nombre ?? tous les trois termes, ou multiplier / diviser les trois termes par m??me nombre diff??rent de z??ro et inverser les in??galit??s selon le signer. . Mais il faut prendre soin de sorte que vous utilisez vraiment le m??me nombre dans tous les cas, par exemple, une <b + e <c est ??quivalent ?? un - e <b <c - e.

Cette notation peut ??tre g??n??ralis?? ?? tout nombre de termes: par exemple, un ₁ ≤ ₂ ≤ ... ≤ a _n signifie qu'un _i ≤ a _{i 1} pour i = 1, 2, ..., n - 1. Par transitivit??, cette condition est ??quivalent ?? un _i ≤ a _j pour tout 1 ≤ i ≤ j ≤ n.

Lors de la r??solution des in??galit??s en utilisant la notation en cha??ne, il est possible et parfois n??cessaire d'??valuer les termes ind??pendamment. Par exemple, pour r??soudre l'in??galit?? 4 x <2 x + 1 ≤ 3 x + 2, vous ne serez pas en mesure d'isoler x une quelconque partie de l'in??galit?? par l'addition ou la soustraction. Au lieu de cela, vous pouvez r??soudre 4 x <2 x + 1 et 2 + 1 x ≤ 3 x + 2 ind??pendamment, ce qui donne x <1/2 et x ≥ -1 respectivement, qui peuvent ??tre combin??s dans la solution finale -1 ≤ x < 2.1.

Parfois, la notation encha??n?? est utilis?? avec les in??galit??s dans des directions diff??rentes, auquel cas le sens est le conjonction logique des in??galit??s entre les termes adjacents. Par exemple, un <b> c ≤ d signifie que <b, b> c et c ≤ d. En plus de l'utilisation rare dans les math??matiques, cette notation existe dans quelques langages de programmation tels que Python .

Repr??senter les in??galit??s sur la ligne de nombre r??el

Chaque in??galit??s (sauf ceux qui impliquent nombres imaginaires) peuvent ??tre repr??sent??s sur le r??el num??ro de ligne montrant des r??gions sombres sur la ligne.

Les in??galit??s entre les moyens

Il existe de nombreuses in??galit??s entre les moyens. Par exemple, pour des nombres positifs $a_1$ , $a_2$ , ..., $a_n$

$H \ le G \ le A \ le Q$ O??

$H = \ frac {n} {\ frac {1} {} a_1 + \ frac {1} {} a_2 + ... + \ frac {1} {}} a_n$ ( moyenne harmonique),

$G = \ sqrt [n] {a_1 \ cdot a_2 \ cdot ... \ cdot a_n}$ ( moyenne g??om??trique),

$A = \ frac {a_1 + a_2 + ... + a_n} {n}$ ( moyenne arithm??tique ),

$Q = \ sqrt {\ frac {a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2 + ... + a_n ^ 2} {n}}$ ( moyenne quadratique).

Les in??galit??s de pouvoir

Parfois avec la notation "l'in??galit?? de pouvoir" comprendre les in??galit??s qui contiennent $un b ^$ expressions de type cas $une$ et $b$ sont des nombres r??els positifs ou expressions de certaines variables. Elles peuvent appara??tre ?? des exercices de olympiades math??matiques et des calculs.

Exemples

Si $x> 0$ , Puis $x ^ x \ ge \ left (\ frac {1} {e} \ right) ^ \ frac {1} {e}$
Si $x> 0$ , Puis $x ^ {x ^ x} \ ge x$
Si $x, y, z> 0$ , Puis $(X + y) ^ z + (x + z) ^ y + (y + z) ^ x> 2$ .
Pour toute nombres r??els distincts $une$ et $b$ , $\ Frac {e ^ b-e ^ a} {b-a}> e ^ {\ frac {a + b} {2}}$
Si $x, y> 0$ et $0 <p <1$ , Puis $(X + y) ^ p <x + y ^ p ^ p$
Si $x$ , $y$ et $z$ sont positifs, alors $x ^ x ^ y y z ^ z \ ge (xyz) ^ \ frac {x + y + z} {3}$
Si $une$ et $b$ sont positifs, alors $a ^ b + b ^ a> 1$ . Ce r??sultat a ??t?? g??n??ralis?? par R. Ozols en 2002 qui a prouv?? que si $a_1$ , $a_2$ , ..., $a_n$ sont des nombres r??els positifs, puis $a_1 ^ {} + a_2 a_2 ^ {} A_3 + ... + a_n ^ {} a_1> 1$ (R??sultat est publi?? dans trimestrielle vulgarisation scientifique lettone le ciel ??toil??, voir les r??f??rences).

In??galit??s bien connus

Voir ??galement liste des in??galit??s.

Les math??maticiens utilisent souvent les in??galit??s ?? des quantit??s consolid??s pour lesquels les formules exactes ne peuvent pas ??tre calcul??s facilement. Certaines in??galit??s sont utilis??s si souvent qu'ils ont des noms:

In??galit?? d'Azuma
In??galit?? de Bernoulli
In??galit?? de Boole
In??galit?? de Cauchy-Schwarz
L'in??galit?? de Tchebychev
In??galit?? de Chernoff
Cram??r-Rao in??galit??s
In??galit?? de Hoeffding
L'in??galit?? de H??lder
In??galit?? arithm??tico-g??om??trique
L'in??galit?? de Jensen
L'in??galit?? de Kolgomorov
L'in??galit?? de Markov
Minkowski in??galit??s
In??galit?? de Nesbitt
L'in??galit?? de Pedoe
Triangle in??galit??s

Les mn??moniques pour les ??tudiants

Les jeunes ??tudiants confondent parfois la moins-que et de signes sup??rieur, qui sont des images miroir l'une de l'autre. Un moyen mn??motechnique couramment enseign??e est que le signe repr??sente la bouche d'une faim alligator qui essaie de manger le plus grand nombre; ainsi, il se ouvre ?? la fois vers 8 3 <8 et 8> 3. Une autre m??thode est de remarquer la quantit?? de points de plus grandes ?? la plus petite quantit?? et dit, "ha-ha, je suis plus grand que vous."

En outre, sur une ligne num??rique horizontale, le signe sup??rieur est la fl??che qui est ?? l'extr??mit?? la plus grande de la ligne num??ro. De m??me, le symbole est inf??rieure ?? la fl??che ?? l'extr??mit?? la plus petite de la num??ro de ligne (<--- 0--1--2--3--4--5--6--7--8--9 --->).

Les symboles peuvent aussi ??tre interpr??t??s directement ?? partir de leur forme - le c??t?? avec une grande s??paration verticale indique une grande (r) la quantit??, et le c??t?? qui est un point indique un petit (er) la quantit??. De cette mani??re, les symboles d'in??galit?? sont semblables ?? la musique crescendo et decrescendo. Les symboles pour l'??galit??, moins-que ou ??gal ??, et sup??rieur ou ??gal ?? peuvent aussi ??tre interpr??t??s avec cette perspective.

Les nombres complexes et les in??galit??s

En introduisant un ordre lexicographique sur les nombres complexes , ce est un ensemble totalement ordonn??. Toutefois, il est impossible de d??finir ≤ sorte que $\ Mathbb {C}$ , +, *, Devient un ≤ corps ordonn??. Si $\ Mathbb {C}$ , +, *, ≤ ??taient une corps ordonn??, il doit satisfaire les deux propri??t??s suivantes:

si un ≤ b alors a + c ≤ b + c
si 0 ≤ a et 0 ≤ b ≤ 0 alors ab

Parce ≤ est un total de la commande, pour un certain nombre a, a ≤ 0 ou 0 ≤ a. Dans les deux cas 0 ≤ a ^2; cela signifie que $i ^ 2> 0$ et $1 ^ 2> 0$ ; si $1> 0$ et $-1> 0$ , Contradiction.

Cependant ≤ peut ??tre d??fini afin de satisfaire la premi??re propri??t??, ce est ?? dire si un ≤ b alors a + c ≤ b + c. Une d??finition qui est parfois utilis?? est l'ordre alphab??tique:

a ≤ b si $Re (a)$ < $Re (b)$ ou ( $Re (a) = Re (b)$ et $Im (a)$ ≤ $Im (b)$ )

Il peut facilement ??tre prouv?? que cette d??finition a ≤ b alors a + c ≤ b + c

R??cup??r?? ?? partir de " http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Inequality_(mathematics)&oldid=197603071 "