Integració

De Viquipèdia

La integral definida d'una funció representa l'àrea limitada per la gràfica de la funció amb signe positiu quant la funció té valors positius i negatiu quan en té de negatius.

El concepte d'Integració és un concepte fonamental de matemàtiques avançades, especialment en els camps del càlcul i de l'anàlisi matemàtica. Donada una funció f(x) d'una variable real x i un interval [a,b] de la recta real, la integral

$\int_a^b f(x)\,dx$

És igual a l'àrea de la regió del pla xy limitada entre la gràfica de f, l'eix x, i les línies verticals x = a i x = b, on les àrees per davall de l'eix x es resten.

La paraula "integral" també es pot referir a la noció de primitiva, d'una funció F la derivada de la qual és la funció donada f. En aquest cas se'n diu integral indefinida, en canvi, de les integrals que es discuteixen en aquest article se'n diu integrals definides. Alguns autors conserven una distinció entre primitives i integrals indefinides.

Els principis de la integració varen ser formulats per Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz a finals del segle disset. A través del teorema fonamental del càlcul, que varen desenvolupar tots dos de forma independent, la integració es connecta amb la derivació, i la integral definida d'una funció es pot calcular fàcilment un cop se'n coneix una antiderivada. Les integrals i les derivades esdevenen eines bàsiques del càlcul, amb nombroses aplicacions en ciència i enginyeria.

Bernhard Riemann va donar una definició rigorosa de la integral. Es basa en un límit que aproxima l'àrea d'una regió curvilínia a base de partir-la en petits bocins verticals. A començaments del segle dinou, varen començar a aparèixer nocions més sofisticades de la integral, on s'han generalitzat els tipus de les funcions i els dominis sobre els quals es fa la integració. La integral curvilínia es defineix per a funcions de dos o tres variables, i l'interval d'integració [a,b] se substitueix per una certa corba que connecta dos punts del pla o de l'espai. En una integral de superfície, la corba se substitueix per un bocí d'una superfície a l'espai de tres dimensions. Les integrals de les formes diferencials juguen un rol fonamental en geometria diferencial moderna. Aquestes generalitzacions de la integral varen sorgir primer a partir de les necessitats de la física, i juguen un paper important en la formulació de moltes lleis físiques, per exemple les de l'electromagnetisme. Els conceptes moderns d'integració es basen en la teoria matemàtica abstracta coneguda com integral de Lebesgue, que va ser desenvolupada per Henri Lebesgue.

[edita] Història

Vegeu també: Història del càlcul

[edita] Integració abans del càlcul

La integració es pot resseguir en el passat fins l'antic Egipte, circa 1800 AC, amb el Papir Matemàtic de Moscow on es demostra que es coneixia una fórmula per a calcular el volum d'un tronc piramidal. La primera tècnica sistemàtica documentada capaç de determinar integrals és el mètode d'exhaustió de Eudoxus (circa 370 AC), Que mirava de trobar àrees i volums a base de partir-los en un nombre infinit de formes per a les quals l'àrea o el volum fossin coneguts. Aquest mètode va ser desenvolupat i fet servir més endavant per Arquimedes i el va emprar per a calcular àrees de paràboles i una aproximació a l'àrea d'un cercle. Mètodes similars varen ser desenvolupats de forma independent a la Xina al voltants del segle III DC per Liu Hui, que els va fer servir per a trobar l'àrea del cercle. Més tard en Zu Chongzhi va fer servir aquest mètode per a trobar el volum d'una esfera. Algunes idees de càlcul integral es troben a Siddhanta Shiromani, un llibre d'astronomia del segle 12 del matemàtic indi Bhāskara II.

Fina al segle 16 no varen comença a aparèixer avenços significatius sobre el mètode d'exhaustió. En aquesta època, el treball de Cavalieri amb el seu mètode dels indivisibles, i els treballs de Fermat, varen començar a ficar els fonaments del càlcul modern. Més passos es varen donar als començaments del segle 17 per Barrow i Torricelli, que varen donar les primers pistes d'una connexió entre la integració i la derivació.

[edita] Newton i Leibniz

Els principals avenços en integració varen venir al segle 17 amb el descobriment fet de forma independent del teorema fonamental del càlcul per Newton i Leibniz. El teorema demostra una connexió entre la integració i la derivació. Aquesta connexió, combinada amb la facilitat, comparativament parlant, del càlcul de derivades, es pot explotar per a calcular integrals. En particular, el teorema fonamental del càlcul permet de resoldre una classe més ampla de problemes. D'igual importància és tot el marc estructural de matemàtiques que varen desenvolupar tots dos, Newton i Leibniz. Amb el nom de càlcul infinitesimal, va permetre d'analitzar de forma precisa funcions amb dominis continus. Aquest marc ha esdevingut el càlcul modern, la notació del qual per a les integrals procedeix directament del treball de Leibniz.

[edita] Formalització de les integrals

Encara que Newton i Leibniz varen subministrar un enfocament sistemàtic a la integració, el seu treball esta mancat d'un cert nivell de rigor. És memorable l'atac del bisbe Berkeley qualificant els infinitesimals com els "els fantasmes de les quantitats que s'esvaeixen". El càlcul va adquirir una posició més ferma amb el desenvolupament dels límits i va rebre una fonamentació adequada de Cauchy a la primera meitat del segle 19. La integració va ser formalitzada rigorosament per primera vegada, emprant límits, per en Riemann. Tot i que totes les funcions contínues a trossos i afitades són Riemann integrables en un interval afitat, posteriorment es varen considerar funcions més generals, per a les quals no s'aplica la definició de Riemann, i en Lebesgue va formular una definició diferent de la integral (en el cas de les funcions a les que s'aplica la definició de Riemen els resultats coincideixen), basada en la teoria de la mesura. També es varen proposar altres definicions d'integral, que estenen les definicions de Riemann's i de Lebesgue.

[edita] Notació

Isaac Newton feia servir una barra vertical petita damunt d'una variable per a indicar integració, o ficava la variable dins d'una caixa. La barra vertical es confonia fàcilment amb $\dot{x}$ o $x'\,\!$ , que en Newton feia servir per a indicar la derivació, i la notació "caixa" era difícil de reproduir pels impressors, per això aquestes notacions no varen ser adoptades abastament.

La notació moderna de les integrals indefinides va ser presentada per Gottfried Leibniz el 1675 (Burton 1988, p. 359; Leibniz 1899, p. 154). Va adaptar el símbol integral, "∫", a partir d'una lletra S allargada, per indicar summa (en Llatí "suma" o "total"). La notació moderna de la integral definida, amb els límits a dalt i a baix del signe integral, la va fer servir per primer cop en Joseph Fourier a Mémoires de l'Acadèmia Francesa al voltant de 1819–20, reimpresa en el seu llibre de 1822 (Cajori 1929, pp. 249–250; Fourier 1822, §231). En notació matemàtica en àrab modern que s'escriu de dreta a esquerra, es fa servir un signe integral invertit W3C 2006.

[edita] Terminologia i notació

Si una funció té una integral, es diu que és integrable. De la funció de la qual es calcula la integral es diu que és l'integrand. De la regió sobre el qual s'integra la funció se'n diu el domini d'integració. Si la integral no té un domini d'integració, es considera indefinida (la que té domini es considera definida). En general, l'integrand pot ser una funció de més d'una variable, i el domini d'integració pot ser un àrea, un volum, una regió de dimensió superior, o fins i tot un espai abstracte que no té estructura geomètrica en cap sentit usual.

El cas més senzill, la integral d'una funció real f d'una variable real x sobre l'interval [a, b], s'escriu

$\int_a^b f(x)\,dx .$

El signe ∫ una "S" allargada que , representa integració; a i b són el límit inferior i el límit superior de la integració i defineixen el domini d'integració; f és l'integrand, que s'ha d'avaluar en variar x sobre l'interval [a,b]; i dx pot tenir diferents interpretacions depenent de la teoria que es faci servir. Per exemple, pot ser vist simplement com una indicació de que x és la variable d'integració, com una representació dels pesos en la suma de Riemann, una mesura (en la integració de Lebesgue i les seves extensions), un infinitesimal (en anàlisi no standard) o com una quantitat matemàtica independent: una forma diferencial. Casos més complicats poden variar la notació lleugerament.

[edita] Introducció

Les integrals apareixen en moltes situacions pràctiques. Considereu una piscina. Si és rectangular, llavors, a partir de la seva longitud amplada i alçada, es pot determinar fàcilment el volum d'aigua que pot contenir (per a omplir-la), l'àrea de la superfície (per a cobrir-la), i la llargada de la seva vora (per a lligar-la). Però si és oval amb un fons arrodonit, totes aquestes quantitats demanen integrals. Al començament pot ser suficient amb aproximacions pràctiques, però al final caldran respostes exactes i rigoroses a aquesta mena de problemes.

Aproximacions a la integral de √x entre 0 i 1, amb ■ 5 mostres per l'esquerra (a dalt) i ■ 12 mostres per la dreta (davall)

Per començar, es considerarà la corba y = f(x) entre x = 0 i x = 1, amb f(x) = √x. La pregunta és:

Quina és l`àrea davall de la funció f, a l'interval des de 0 fins a 1?

D'aquesta àrea (encara desconeguda) se'n dirà la integral de f. La notació per aquesta integral serà

$\int_0^1 \sqrt x \, dx \,\!$ .

Com a primera aproximació, es mira al quadrat unitat donat pels costats x=0 fins a x=1 i y=f(0)=0 i y=f(1)=1. La seva àrea és exactament 1. Tal com es pot veure el verdader valor de la integral ha de ser d'alguna forma més petit. Reduint l'amplada dels rectangles emprats per a fer l'aproximació s'obtindrà un millor resultat; així,es parteix l'interval en cinc passos, emprant per l'aproximació els punts 0, ¹⁄₅, ²⁄₅, així fins a 1. S'ajusta una caixa cada pas emprant l'alçada del cantó dret de cada bocí de la corba, així √¹⁄₅, √²⁄₅, i així fins a √1 = 1. Sumant les àrees d'aquests rectangles, s'obté una aproximació millor de la integral que s'està buscant,

$\sqrt {\frac {1} {5}} \left ( \frac {1} {5} - 0 \right ) + \sqrt {\frac {2} {5}} \left ( \frac {2} {5} - \frac {1} {5} \right ) + \ldots + \sqrt {\frac {5} {5}} \left ( \frac {5} {5} - \frac {4} {5} \right ) \approx 0.7497\,\!$

Fixeu-vos que s'està sumant una quantitat finita de valors de la funció f, multiplicats per la diferència entre dos punts d'aproximació successius. Es pot veure fàcilment que l'aproximació continua donant un valor més gran que el de la integral. Emprant més passos s'obté una aproximació més ajustada, però no serà mai exacta: si en comptes de 5 subintervals se'n pren dotze i s'agafa el valor de l'esquerra, tal com es mostra al dibuix, s'obté un valor aproximat per a l'àrea, de 0.6203, que en aquest cas és massa petit. La idea clau és la transició des de la suma de una quantitat finita de diferencies de punts d'aproximació multiplicats pels respectius valors de la funció, cap a fer servir passos infinitament fins, o infinitesimals. La notació

$\int f(x) \, dx \,\!$

concep la integral com una suma ponderada (denotada per la "S" allargada), dels valors de la funció (com les alçades, y = f(x)) multiplicats per passos d'amplada infinitesimal, els anomenats diferencials (indicats per dx).

Pel que fa al càlcul d'integrals, el teorema fonamental del càlcul, degut a Newton i Leibniz, és el lligam fonamental entre les operacions de derivació i integració. Sota condicions adequades, el valor d'una integral sobre una regió, es pot determinar a base de mirar només a la frontera de la regió. Aplicat això a la corba arrel quadrada,s'ha de mirar la funció relacionada $F(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x^{3}}$ , i simplement agafar F(1)−F(0), on 0 i 1 són les fronteres de l'interval [0,1]. (Aquest és un exemple d'una regla general, que diu que per f(x) = x^q, amb q ≠ −1, la funció relacionada, l'anomenada primitiva és F(x) = (x^q+1)/(q+1).)

Històricament, desprès de que els primers esforços de definir rigorosament els infinitesimals no fructifiquessin, Riemann va definir formalment les integrals com el límit de sumes ponderades, de forma que el dx suggereix el límit d'una diferència (l'amplada del interval). Els efectes de la dependència de la definició de Riemann en els intervals i la continuïtat varen motivar noves definicions, especialment la integral de Lebesgue, que es basa en l'habilitat d'estendre la idea de "mesura" de formes molt més flexibles. Així la notació

$\int_A f(x) \, d\mu \,\!$

Es refereix a una suma ponderada del valors en que es divideix la funció, on μ mesura el pes que s'ha d'assignar a cada valor. (Aquí A indica la regió d'integració.) La geometria diferencial, amb el seu "càlcul de varietats", encara dóna una altra interpretació a aquesta notació familiar. Ara f(x) i dx esdevenen una forma diferencial, ω = f(x)dx, apareix un nou operador diferencial d, conegut com la derivada exterior, i el teorema fonamental esdevé el (més general) teorema de Stokes,

$\int_{A} \bold{d} \omega = \int_{\part A} \omega , \,\!$

A partir del qual se'n segueixen el teorema de Green, el teorema de la divergència, i el teorema fonamental del càlcul.

Recentment, els infinitesimals han reaparegut amb rigor, a través d'innovacions modernes com l'anàlisis no standard. Aquests mètodes no només reivindiquen la intuïció dels pioners, també porten cap a noves matemàtiques, i fan més intuïtiu i comprensible el treball amb càlcul infinitesimal.

Tot i que hi ha diferencies entre totes aquestes concepcions de la integral, hi ha un solapament considerable. Així, l'àrea de la piscina oval es pot trobar com una el•lipse geomètrica, com una suma d'infinitesimals, com una integral de Riemann, com una integral de Lebesgue, o com una varietat amb una forma diferencial. El resultat obtingut amb el càlcul serà el mateix en tots els casos.

[edita] Definicions formals

Hi ha moltes formes de definir formalment una integral, no totes són equivalents. Les diferències existeixen principalment per a tractar amb cassos especials que poden no ser integrables amb les altres definicions, però ocasionalment també per motius pedagògics. Les definicions d'integral que es fan servir més habitualment són les integrals de Riemann i les integrals de Lebesgue.

[edita] Integral de Riemannl

Article principal: Integral de Riemann

Integral amb el plantejament de Riemann fa una suma basada en una partició etiquetada, amb posicions de mostreig i amplades irregulars (el màxim en vermell). El verdader valor és 3.76; l'estimació obtinguda és 3.648.

La integral de Riemann es defineix en termes de sumatoris de Riemann de funcions respecte de particions etiquetades d'un interval. Sia [a,b] un interval tancat de la recta real; llavors una partició etiquetada de [a,b] és una seqüència finita

$a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b . \,\!$

Convergència de sumatoris de Riemann a mesura que els intervals es parteixen, quant es mostreja a ■ la dreta, ■ el mínim, ■ el màxim, o ■ l'esquerra.

Això divideix l'interval [a,b] en i subintervals [x_i−1, x_i], cada un dels quals és "etiquetat" amb un punt específicat t_i de; [x_i−1, x_i]. Sia Δ_i = x_i−x_i−1 l'amplada del subinterval i; el pas d'aquesta partició etiquetada és l'amplada del subinterval més gran obtingut per la partició, max_i=1…n Δ_i. Un sumatori de Riemann d'una funció f respecte d'aquesta partició etiquetada es defineix com

$\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta_i ;$

Així cada terme del sumatori és l'àrea del rectangle amb alçada igual al valor de la funció en el punt especificat del subinterval donat, i de la mateixa amplada que l'amplada del subinterval. La integral de Riemann d'una funció f sobre l'interval [a,b] és igual a S si:

Per a tot ε > 0 existeix δ > 0 tal que, per a qualsevol partició etiquetada [a,b] amb pas més petit que δ, es té

$\left| S - \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i \right| < \epsilon.$

Quan les etiquetes escollides donen el màxim (o mínim) valor de la funció en el respectiu integral, el sumatori de Riemann esdevé un sumatori de Darboux superior (o inferior), això suggereix l'estreta connexió que hi ha entre la ntegral de Riemann i la integral de Darboux.

[edita] Integral de Lebesgue

Article principal: Integral de Lebesgue

La integral de Riemann no està definida per a un ample ventall de funcions i situacions d'importància pràctica (i d'interès teòric). Per exemple, la integral de Riemann pot integrar fàcilment la densitat per tal d'obtenir la massa d'una biga d'acer, però no es pot adaptar a una bola d'acer que s'hi recolza al damunt. Això motiva la creació d'altres definicions, sota les quals es pot integrar un assortit més ample de funcions (Rudin 1987). La integral de Lebesgue, en particular, assoleix una gran flexibilitat a base de centrar l'atenció en els pesos de la suma ponderada.

Així la definició de la integral de Lebesgue comença amb una mesura, μ. En el cas més senzill, la mesura de Lebesgue μ(A) d'un interval A = [a,b] és la seva amplada, b − a, així la integral de Lebesgue coincideix amb la integral de Riemann quant les dues existeixen. En casos més complicats, els conjunts a mesurar poden estar altament fragmentats, sense continuïtat ni semblança a intervals.

Per explotar aquesta flexibilitat, la integral de Lebesgue inverteix l'enfocament de la suma ponderada. Com ho diu Plantilla:Harvtxt, "Per a calcular la integral de Riemann de f, es particiona el domini [a,b] en subintervals", mentre que en la integral de Lebesgue, "de fet el que s'està particionant és el recorregut de f".

Un enfocament habitual, primer defineix la integral de la funció característica d'un conjunt mesurable A per:

$\int 1_A d\mu = \mu(A)$ .

Això s'estén per linealitat a les funcions esglaonades simples, que només tenen un nombre finit n, de valors diferents no negatius:

$\begin{align} \int s \, d\mu &{}= \int\left(\sum_{i=1}^{n} a_i 1_{A_i}\right) d\mu \\ &{}= \sum_{i=1}^{n} a_i\int 1_{A_i} \, d\mu \\ &{}= \sum_{i=1}^{n} a_i \, \mu(A_i) \end{align}$

(on la imatge de A_i en aplicar-li la funció esglaonada s és el valor constant a_i). Així si E és un conjunt mesurable, es defineix

$\int_E s \, d\mu = \sum_{i=1}^{n} a_i \, \mu(A_i \cap E) .$

Llavors, per a qualsevol funció mesurable no negativa f es defineix

$\int_E f \, d\mu = \sup\left\{\int_E s \, d\mu\, \colon 0 \leq s\leq f\text{ i } s\text{ és una funció esglaonada}\right\};$

És a dir, s'estableix que la integral de f és el suprem de totes les integrals de funcions esglaonades que són més petites o iguals que f. Una funció mesurable qualsevol f, se separa entre els seus valors positius i negatius a base de definir

$\begin{align} f^+(x) &{}= \begin{cases} f(x), & \text{if } f(x) > 0 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \\ f^-(x) &{}= \begin{cases} -f(x), & \text{if } f(x) < 0 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \end{align}$

Finalment, f és Lebesgue integrable si

$\int_E |f| \, d\mu < \infty , \,\!$

I llavors es defineix la integral per

$\int_E f \, d\mu = \int_E f^+ \, d\mu - \int_E f^- \, d\mu . \,\!$

Quant l'espai mètric en el que estan definides les funcions és també un espai topològic localment compacte (com és el cas dels nombres reals R), les mesures compatibles amb la topologia en un sentit adequat (mesura de Radon, de les quals la mesura de Lebesgue n'és un exemple) una integral respecte d'elles es pot definir d'un altra manera, es comença a partir de les integrals de les funcions contínues amb suport compacte. De forma més precisa, les funcions compactament suportades formen un espai vectorial que comporta una topologia natural, i es pot definir una mesura (Radon) com a qualsevol funcional lineal continu d'aquest espai; llavors el valor d'una mesura a una funció compactament suportada, és també, per definició, la integral de la funció. Llavors es continua expandint la mesura (la integral) a funcions més generals per continuïtat, i es defineix la mesura d'un conjunt com la integral de la seva funció característica. Aquest és l'enfocament que agafa en Plantilla:Harvtxt i cert nombre d'altres autors. Per a més detalls vegeu mesures de Radon.

[edita] Altres integrals

Tot i que les integrals de Riemann i Lebesgue són les definicona més importants d'integral, n'hi ha unes quantes més, incloent-hi:

La integral de Riemann-Stieltjes, una extenssió de la integral de Riemann.
La integral de Lebesgue-Stieltjes, desenvolupada més per en Johann Radon, la qual generalitza les integrals de Riemann-Stieltjes i de Lebesgue.
La integral de Daniell, que inclou la integral de Lebesgue i la integral de Lebesgue-Stieltjes sense haver de dependre de cap mesura.
La integral de Henstock-Kurzwe, definida de forma variada per Arnaud Denjoy, Oskar Perron, i (de la forma més elegant, com la integral de calibre “gauge”) Jaroslav Kurzweil, i desenvolupada per Ralph Henstock.
La integral de Darboux, que és equivalent a la integral de Riemann.
La integral de Haar, que és la integral de Lebesgue amb la mesura de Haar.

[edita] Propietats de la integració

[edita] Linealitat

El conjunt de les funcions Riemann integrables en un interval tancat [a, b] formen un espai vectorial amb les operacions de suma (la funció suma d'altres dues és la funció que a cada punt li fa correspondre la suma de les imatges d'aquest punt per cada una de les altres dues) i la multiplicació per un escalar. L'operació integració

$f \mapsto \int_a^b f \; dx$

és un funcional lineal d'aquest espai vectorial. Així, en prier lloc, el conjunt de funcions integrables es tancat amb la combinació lineal, i en segon lloc, la integral d'una combinació lineal és la combinació lineal de les integrals,

$\int_a^b (\alpha f + \beta g)(x) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \,dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx. \,$

De forma semblant, el conjunt de les funcions reals Lebesgue integrables en un espai mètric E donat, amb la mesura μ és tancat respecte de les combinacions lineals i per tant formen un espai vectorial, la integral de Lebesgue

$f\mapsto \int_E f d\mu$

és un funcional lineal d'aquest espai vectorial, de forma que

$\int_E (\alpha f + \beta g) \, d\mu = \alpha \int_E f \, d\mu + \beta \int_E g \, d\mu.$

De forma més general, si s'agafa l'espai vectorial de toes les funcions mesurables sobre un espai mètric (E,μ), que prenen valors en un espai vectorial topològic complet localment compacte V sobre un camp topològic localment compacte K, f : E → V. Lla vors es pot definir una aplicació integració abstracta que a cada funció f li asigna un element de V o el símbol ∞,

$f\mapsto\int_E f d\mu, \,$

que és compatible amb les combinacions lineals. En aquesta situació, la sinealitat se sosté per al subespai de les funcions, la integral de les quals és un element de V (es a dir les integrals "finites"). Els cassos més importants sorgeixen quan K és R, C, o una extensió finita del camp Q_p de nombres p-adics, i V és un espai vectorial de dimensió finita sobre K, i quan K=C i V és un espai de Hilbert complex.

La linealitat, conjuntament amb algunes propietat naturals de continuïtat i la normalització per a certes classes de funcions "simples", es poden fer servir per a donar una definició alternativa d'integral. Aquest és l'enfocament d'en Daniell pel cas de funcions reals en un conjunt X, generalitzat per en Bourbaki a funcions que prenen valors en un espai vectorial tropològicament compacte. Vegeu (Hildebrandt 1953) per una caracterització axiomàtica de la integral.

[edita] Desigualtats amb integrals

Es verifiquen diverses desigualtats generals per a funcions Riemann integrables definnides en un interval tancat i afitat [a, b] i es poden generalitzar a altres nocions d'integral (Lebesgue i Daniell).

Fites superiors e inferiors. Una funció f integrable en [a, b], és necessàriament afitada a l'interval. Per tant hi ha dos nombres reals m i M tals que m ≤ f (x) ≤ M per a tot x de [a, b]. Donat que els sumatoris superior e inferior de f sobre [a, b] són també afitats per m(b − a) i M(b − a) respectivament, d'aquí en resulta que

$m(b - a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M(b - a).$

Desigualtats entre funcions. Si f(x) ≤ g(x) per a tot x de [a, b] llavors cada un dels sumatoris superior e inferior de f són afitats inferiorment i superiorment pels sumatoris superior e inferior de g respectivament. Així

$\int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx.$

Això és una generalització de les desigualtats anteriors, donat que M(b − a) és la integral de la funció constant amb valor M a l'interval [a, b].

Subintervals. Si [c, d] és un subinterval de [a, b] i f(x) és no negativa per a tot x, llavors

$\int_c^d f(x) \, dx \leq \int_a^b f(x) \, dx.$

Productes i valors absoluts de funcions. Si f i g emprant els seus producte, potències i valor absolut:

$(fg)(x)= f(x) g(x), \; f^2 (x) = (f(x))^2, \; |f| (x) = |f(x)|.\,$

Si f és Riemann integrable en [a, b] llavors el mateix és cert per |f|, i

$\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq \int_a^b | f(x) | \, dx.$

És més, si f i g són les dues Riemann integrables llavors f ², g ², i fgsón també Riemann integrables, i

$\left( \int_a^b (fg)(x) \, dx \right)^2 \leq \left( \int_a^b f(x)^2 \, dx \right) \left( \int_a^b g(x)^2 \, dx \right).$

Aquesta desigualtat es coneix com la desigualtat de Cauchy–Schwarz, juga un paper prominent en la teoria dels espais de Hilbert, on el cantó de la dreta s'interpreta com el producte escalar de dues funcions integrables f i g a l'interval [a, b].

Desigualtat de Hölder. Si p i q són dos nombres reals, 1 ≤ p, q ≤ ∞ amb 1/p + 1/q = 1, i f i g són dues funcions Riemann integrables. Llavors les funcions |f|^p i |g|^q també són integrables i es compleix la desigualtat de Hölder's inequality:

$\left|\int f(x)g(x)\,dx\right| \leq \left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} \left(\int\left|g(x)\right|^q\,dx\right)^{1/q}.$

Pel cas de p = q = 2, la desigualtat de Hölder esdevé la desigualtat de Cauchy–Schwarz.

Desigualtat de Minkowski. Si p ≥ 1 és un nombre real i f i g són funcions Riemann integrables. Llavors |f|^p, |g|^p and |f + g|^p són també Riemann integrables i es compleix la desigualtat de Minkowski:

$\left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} \leq \left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} + \left(\int \left|g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p}.$

Una desigualtat anàloga a aquesta per a la integral de Lebesgue es fa servir en la construcció dels espais L^p.

[edita] Convencions

En aquesta secció f és una funció real Riemann integrable. La integrals

$\int_a^b f(x) \, dx$

Sobre un interval [a, b] està definida si a < b. Això significa que els sumatoris superiors i inferiors de la funció f s'avaluen sobre una partició a = x₀ ≤ x₁ ≤ . . . ≤ x_n = b els valors de la qual x_i són creixents. Geomètricament això significa que la integració té lloc "d'esquerra a dreta", avaluant f dins d'intervals [x_i , x_i +1] on l'interval amb un índex més gran queda a la dreta de l'interval amb un índex més petit. Dels valors a i b, els punts extrems del interval, se'n diu els límits d'integració de f. Les integrals també es poden definir si a > b:

Inversió dels límits d'integració. si a > b llavors es defineix

$\int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx.$

Això, amb a = b, implica:

Integrals sobre intervals de longitud zero. si a és un nombre real llavors

$\int_a^a f(x) \, dx = 0.$

La primera convenció és necessària al calcular integrals sobre subintervals de [a, b]; la segona diu que una integral sobre un interval degenerat, o un punt, ha de serzero. Un motiu per a la primera convenció és que la integrabilitat de f sobre un interval [a, b] implica que f és integrable sobre qualsevol subinterval [c, d], peró en particular, les integrals tenen la propietat de que:

Additivitat de la integració sobre intervals. si c és qualsevol element de [a, b], llavors

$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx.$

Amb la primera convenció la relació resultant

$\begin{align} \int_a^c f(x) \, dx &{}= \int_a^b f(x) \, dx - \int_c^b f(x) \, dx \\ &{} = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx \end{align}$

Queda ben definida per a qualsevol permutació cíclica de a, b, i c.

En comptes de veure l'anterior com a convencions, també es pot adoptar el punt de vista de que la integració es fa només sobre varietats orientades. Si M és una tal forma m-dimensional orientada, i M' és la mateixa forma amb orientació oposada i ω és una m-forma, llavors es té (vegeu més avall per integració de formes diferencials):

$\int_M \omega = - \int_{M'} \omega \,.$

[edita] Teorema fonamental del càlcul

Article principal: Teorema fonamental del càlcul

El teorema fonamental del càlcul és l'afirmació de que la derivació i la integració són operacions inverses: si una funció contínua primer s'integra i llavors es deriva, es recupera la funció original. Una conseqüència important, de vegades anomenada el segon teorema fonamental del càlcul, permet de calcular integrals a base d'emprar una primitiva de la funció a integrar.

[edita] Enunciat dels teoremes

Teorema fonamental del càlcul. Sia f una funció real integrable definida en un interval tancat [a, b]. Si es defineix F a cada x de [a, b] per

$F(x) = \int_a^x f(t)\, dt.$

Llavors F és contínua a [a, b]. Si f és contínua a x de [a, b], llavors F és derivable a x, i F ′(x) = f(x).

Segon teorema fonamental del càlcul. Sia f una funció real, integrable definida en un interval tancat [a, b]. Si F és una funció tal que F ′(x) = f(x) per a tot x de [a, b] (es a dir, F és una primitiva de f), llavors

$\int_a^b f(t)\, dt = F(b) - F(a).$

Corolari. Si f és una funció contínua a [a, b], llavors f és integrable a [a, b], i F, definida per

$F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$

és una primitiva def a [a, b]. A demés,

$\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a).$

[edita] Extensions

[edita] Integrals impropies

Article principal: Integral impròpia

La integral impròpia
$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}} = \pi$
té interval no afitats tant al domini com al recorregut.

Una integral de Riemann "pròpia" suposa que l'integrand està definit i és finit en un interval tancat i afitat, els extrems del qual són els límits d'integració. Una integral impròpia apareix quant una o més d'aquestes condicions no se satisfà. En alguns cassos questes integrals es poden definir prenent el límit d'una successió d'integrals de Riemann pròpies sobre intervals successivament més llargs.

Si l'interval no és afitat, per exemple al seu extrem superior, llavors la integral impròpia és el límit quant el punt final tendeix a infinit.

$\int_{a}^{\infty} f(x)dx = \lim_{b \to \infty} \int_{a}^{b} f(x)dx$

Si l'integrand només està definida en un interval finit semiobert, per exemple (a,b], llavors, altre cop el límit pot subministrar un resultat finit.

$\int_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{a+\epsilon}^{b} f(x)dx$

Això és, la integral impròpia és el límit d'integrals pròpies qun un dels punts extrems del interval d'integració s'aproxima, ja sigui a un nombre real especificat o a −∞. EN cassos més complicats, calen límits aIs dos punts extrems o a punts interiors.

Per exemple, la funció $\tfrac{1}{(x+1)\sqrt{x}}$ integrada des de 0 a ∞ (imatge de la dreta). A l'extrem inferior, a mesura que x s'apropa a 0 la funció tendeix a ∞, i l'extrem superior és ell mateix ∞, tot i que la funció tendeix a 0. Així aquesta és una integral doblement impròpia. Integrada, per exemple, des de 1 fins a 3, amb un sumatori de Riemann ordinari n'hi ha prou per a obtenir un resultat de $\tfrac{\pi}{6}$ . Per integrar des de 1 fins a ∞, un sumatori de Riemann no és possible. Ara bé, qualsevol límit superior finit, per exemple t (amb t > 1), dóna un resultat ben definit, $\tfrac{\pi}{2} - 2\arctan \tfrac{1}{\sqrt{t}}$ . Aquest resultat té un límit finit quan t tendeix a infinit, que és $\tfrac{\pi}{2}$ . De forma semblant, la integral des de ¹⁄₃ fins a 1 admet també un sumatroi de Riemann, que per casualitat dóna altre cop $\tfrac{\pi}{6}$ . Substituint ¹⁄₃ per un valor positiu arbitrari s (amb s < 1) resulta igualemnt un resultat definit i dóna $-\tfrac{\pi}{2} + 2\arctan\tfrac{1}{\sqrt{s}}$ . Aquest, també té un límit finit quan s tendeix a zero, que és $\tfrac{\pi}{2}$ . Combinant els límits dels dos fragments, el resultat d'aquesta integral impròpia és

$\begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}} &{} = \lim_{s \to 0} \int_{s}^{1} \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}} + \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}} \\ &{} = \lim_{s \to 0} \left( - \frac{\pi}{2} + 2 \arctan\frac{1}{\sqrt{s}} \right) + \lim_{t \to \infty} \left( \frac{\pi}{2} - 2 \arctan\frac{1}{\sqrt{t}} \right) \\ &{} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \\ &{} = \pi . \end{align}$

Aquest procés no té l'èxit garantit; un límit pot no existir, o pot ser infinit. Per exemple, sobre l'interval tancat de 0 a 1 la integral de $\tfrac{1}{x^2}$ no convergeix; i sobre l'interval obert del 1 a ∞ la integral de $\tfrac{1}{\sqrt{x}}$ no convergeix.

La integral impròpia
$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} = 6$
no està afitada internament, però tots dos límits (per la dreta i per l'esquerra) existeixen.

També pot passar que un integrand no estigui afitat en un punt interior, en aquest cas la integral s'ha de partir en aquest punt, i el límit de les integrals de tots dos cantons han d'existir i han de ser afitats. Així

$\begin{align} \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} &{} = \lim_{s \to 0} \int_{-1}^{-s} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} + \lim_{t \to 0} \int_{t}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} \\ &{} = \lim_{s \to 0} 3(1-\sqrt[3]{s}) + \lim_{t \to 0} 3(1-\sqrt[3]{t}) \\ &{} = 3 + 3 \\ &{} = 6. \end{align}$

En a la integral similar

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x} \,\!$

No se li pot assignar un valor d'aquesta forma, donat que les integrals per damunt i per davall de zero no convergeixen independentment l'una de l'altre. (En canvi vegeu valor principal de Cauchy.)

[edita] Integració múltiple

Article principal: Integral múltiple

Integral doble com el volum limitat per una superfície.

Les integrals es poden calcular sobre regions diferents dels intervals. En general, una integral sobre un conjunt E d'una funció f s'escriu:

$\int_E f(x) \, dx$

Aquí x no cal que sigui necessàriament un nombre real, sinó que pot ser qualsevol altre quantitat adequada, per exemple, un vector de R³. El teorema de Fubini demostra que aquestes integrals poden ser reescrites com a una integral iterada. En altres paraules, la integral es pot calcular a base d'integrar les coordenades una per una.

Igual com en el cas de la integral definida d'una funció positiva representa l'àrea de la regió tancada entre la gràfica de la funció i l'eix x, la integral doble d'una funció positiva de dues variables representa el volum de la regió compresa entre la superfície definida per la funció i el pla que conté el seu domini. (El mateix volum es pot obtenir a través d'una integral triple — la integral de la funció de tres variables — de la funció constant f(x, y, z) = 1 sobre la regió esmentada abans entre la superfície i el pla, el mateix es pot fer amb una integral doble per calcular una superfície.) Si el nombre de variables és més gran, llavors la integral representa un hipervolum, el volum d'un sòlid de més de tres dimensions que no es pot representar gràficament.

Per exemple, el volum del paral·lelepípede de cares 4 × 6 × 5 es pot obtenir de dues maneres:

Amb la integral doble

$\iint_D 5 \ dx\, dy$

de la funció f(x, y) = 5 calculada a la regió D del pla xy que és la base del paral·lelepípede.

Per la integral triple

$\iiint_\mathrm{paral.lelepipede} 1 \, dx\, dy\, dz$

de la funció constant 1 calculada sobre el paral·lelepípede mateix (tot i que aquest segon mètode també es pot interpretar com l'hipervolum d'un hiperparal·lelepípede de quatre dimensions que té com a base el paral·lelepípede en qüestió i una altura constat de 1, com que l'altura és 1 el volum coincideix amb l'àrea de la base).

[edita] Integrals curvilínies

Article principal: Integral curvilínia

Una integral curvilínia acumula elements al llarg d'una corba.

El concepte d'integral es pot estendre a dominis d'integració més generals, tals com les linies corbes i les superfícies. Aquestes integrals es coneixen com integrals curvilínies i integrals de superfície respectivament. Tenen importants aplicacions a física quan es tracta amb camps vectorials.

Una integral curvilínia (anomenada de vegades integral de camí) és una integral on la funció a integrar és avaluada al llarg d'una corba. Es fan servir varies integrals curvilínies diferents. En el cas d'una corba tancada també se'n diu una integral de contorn.

La funció a integrar pot ser un camp escalar o un camp vectorial. El valor de la integral curvilínia és la suma dels valors del camp als punts de la línia, ponderats per alguna funció escalar de la corba (habitualment la longitud del arc o, pel cas d'un camp vectorial, el producte escalar del camp vectorial per un vector diferencial de la corba). Aquesta ponderació distingeix les integrals curvilínies de les integrals més senzilles definides sobre intervals.

Moltes fórmules senzilles de la física tenen de forma natural anàlogues contínues en termes d'integrals curvilínies; per exemple, el fet de que el treball sigui igual a la força multiplicada per la distància es pot expressar (en termes de quantitats vectorials) com:

$W=\vec F\cdot\vec d$

Que té el seu paral·lel en integral curvilínia:

$W=\int_C \vec F\cdot d\vec s$

Que acumula els components vectorials al llarg d'un camí continu, i així troba el treball fet per un objecte en moure's a través d'un camp, com ara un camp elèctric o un camp gravitatori.

[edita] Integrals de superfície

Article principal: Integral de superfície

La definició de les integrals de superfície La definició de les integrals de superfície descansa en la divisió de la superfície en petits elements de superfície.

Una integral de superfície és una integral definida calculada sobre una superfície (que pot ser un conjunt corbat a l'espai; es pot entendre com la integral doble anàloga a la integral curvilínia. La funció a integrar pot ser un camp escalar o un camp vectorial. El valor de la integral de superfície és la suma ponderada dels valors del camp a tots els punts de la superfície. Això es pot aconseguir a base de dividir la superfície en elements de superfície, els quals proporcionen la partició per als sumatoris de Riemann.

Com a exemple de les aplicacions de les integrals de superfície, es pot considerar un camp vectorial v sobre una superfície S; és a dir, per a cada punt x de S, v(x) és un vector. Imagineu que es té un fluid fluint a través de S, de forma que v(x) determina la velocitat del fluid al punt x. El cabal es defineix com la quantitat de fluid que flueix a través de S en una unitat de temps. Per a trobar el cabal, cal calcular el producte escalar de v pel vector unitari normal a la superfície S a cada punt, això donarà un camp escalar, integrant aquest camp escalar sobre la superfície:

$\int_S {\mathbf v}\cdot \,d{\mathbf {S}}$ .

El cabal de fluid d'aquest exemple pot ser d'un fluid físic com l'aigua o l'aire, o d'un flux elèctric o magnètic (en aquest cas rep el nom de flux en comptes de cabal). Així les integrals de superfície tenen aplicacions a la física, en particular a la teoria clàssica del electromagnetisme.

[edita] Integrals de formes diferencials

Article principal: forma diferencial

Una forma diferencial és un concepte matemàtic en els camps del càlcul multivariable, topologia diferencial i tensors. La notació moderna de les formes diferencials, així com la idea de les formes diferencials com el producte exterior de derivades exteriors formant un algebra exterior, va se presentada per Élie Cartan.

Es comença treballant en un conjunt obert de Rⁿ. Una 0-forma es defineix com una funció infinitament derivable f. Quan s'integra una funció f sobre un subespai de m-dimensional S de Rⁿ, s'escriu com

$\int_S f\,dx^1 \cdots dx^m.$

(Els superíndex són, índex no exponents.) Es pot considerar que dx¹ fins a dxⁿ són objectes formals ells mateixos, més que no pas etiquetes afegides per a fer que la integral s'assembli als sumatoris de Riemann. De forma alternativa es poden veure com a covectors, i així una mesura de la "densitat" (per tant integrable en un sentit general). Es diu als dx¹, …,dxⁿ formes diferencials de grau u basiques.

Es defineix el producte exterior, "∧", un operador "multiplicació" bilineal sobre aquests elements, amb la propietat alternant de

$dx^a \wedge dx^a = 0 \,\!$

Per a tots els index a. Fixeu-vos que l'alternança juntament amb la linealitat implica dx^b∧dx^a = −dx^a∧dx^b. Això també assegura que el resultat del producte exterior té una orientació.

Es defineix el conjunt de tots aquests productes com les 2-formes bàsiques, i de forma similar es defineix el conjunt dels productes de la forma dx^a∧dx^b∧dx^c com les 3-formes bàsiques. Una k-forma general ès per tant una suma ponderada de k-formes, bàsiques on els pesos són les funcions infinitament derivables f. Totes juntes formen un espai vectorial amb les k-formes bàsiques com els vectors base, i les 0-formes (funcions infinitament derivables) com el camp d'escalars. El producte exterior s'estén a les k-formes de la forma natural. Sobre Rⁿ com a màxim n covectors poden ser linealment independents, així una k-forma amb k > n serà sempre zero per la propietat alternant.

A demés del producte exterior, també hi ha l'operador derivada exterior d. Aquest operador fa correspondre a les k-formes (k+1)-formes. Per una k-forma ω = f dx^a sobre Rⁿ, es defineix l'acció de d per:

${\bold d}{\omega} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx^i \wedge dx^a.$

Amb extensió a les k-formes generals de linealment.

Aquest plantejament més general permet un enfocament de la integració sobre varietats lliure de coordenades. També permet una generalització natural del teorema fonamental del càlcul, anomenada el teorema de Stokes, que es pot establir com

$\int_{\Omega} {\bold d}\omega = \int_{\partial\Omega} \omega \,\!$

on ω és una k-forma general, i ∂Ω indica la frontera de la regió Ω. Així en el cas que ω és una 0-forma i Ω és un interval tancat de la recta real, el teorema de Stokes es redueix al teorema fonamental del càlcul. En el cas de que ω sigui una 1-forma i Ω sigui una regió de dimensió 2 en el pla, el teorema es redueix al teorema de Green. De forma similar, emprant, 2-formes, i 3-forms i la dualitat de Hodge, es pot arribar al teorema de Stoke i al teorema de la divergència. D'aquesta forma es pot veure que les formes diferencials subministren una potent visió unificadora de la integració.

[edita] Mètodes i aplicacions

[edita] Càlcul d'integrals

La tècnica més bàsica per a calcular integrals d'una variable real es basa en el teorema fonamental del càlcul. Es procedeix de la següent forma:

Escollir una funció f(x) i un interval [a, b].
Trobar una primitiva de f, és a dir, una funció F tal que F' = f.
Emprant el teorema fonamental del càlcul, suposant que ni l'integrand ni la integral tenen singularitats en el camí d'integració,

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$
Per tant el valor de la integral és F(b) − F(a).

Fixeu-vos que la integral no és exactament la primitiva, sinó que el teorema fonamental permet emprar les primitives per avaluar les integrals definides.

El pas difícil d'aquest procés és sovint el de trobar una primitiva de f. Rarament és possible de donar un cop d'ull a una funció i escriure directament la seva primitiva. Molt sovint, és necessari emprar una de les moltes tècniques que s'han desenvolupat per avaluar integrals. La majoria d'aquestes tècniques transformen una integral en un altre que s'espera que sigui més tractable. Aquestes tècniques inclouen:

Fins i tot si aquestes tècniques fallen, encara pot ser posible d'avaluar una integral donada. La següent tècnica més comú és el càlcul del residu, mentre que la sèrie de Taylor es pot fer servir de vegades per a torbar la primitiva de les integrals no elementals és el que es coneix com el mètode d'integració per sèries. També hi ha moltes formes menys habituals per a calcular integrals definides; per exemple la, identitat de Parseval es pot fer servir per a transformar una integral sobre una regió rectangular en una suma infinita. En algunes ocasions, una integral es pot avaluar emprant un truc; un exemple d'aquest tipus es pot veure a la integral de Gauß.

Els càlculs de volums de sòlids de revolució normalment es pot fer amb la integració per discs o la integració per capes.

Els resultats específics que s'han trobat emprant les diferents tècniques es recullen a la taula d'integrals.

[edita] Algoritmes simbòlics

Article principal: Integració simbòlica

Molts problemes de matemàtiques, física, i enginyeria impliquen integració on es desitja una fórmula explícita per a la integral. Amb aquesta finalitat, al llarg dels anys s'han publicat extenses taules d'integrals. Amb l'expansió dels ordinadors, molts professionals, educadors, i estudiants s'han fixat en els sistemes de càlcul algebraic per ordinador que han estat dissenyats específicament per a desenvolupar tasques tedioses o difícils, incloent integració. La integració simbòlica presenta un repte especial en el desenvolupament d'aquest tipus de sistemes.

Una dificultat matemàtica important de la integració simbòlica és que, en molts casos, una fórmula tancada per la primitiva d'una funció aparentment innocent, simplement no existeix. Per exemple, se sap que les primitives de les funcions exp ( x²), x^x i sin (x /x) no es poden expressar amb una fórmula tancada que impliqui només fraccions racionals, exponencials funcions, logarítmiques, funcions trigonomètriques, inverses de les funcions trigonomètriques, i les operacions de suma, multiplicació i composició; en altres paraules, cap d'aquestes tres funcions donades és integrable amb funcions elementals. La teoria diferencial de Galois dóna els criteris generals per a determinar quan la primitiva d'una funció elemental és elemental. Desgraciadament, resulta que les funcions amb expressions tancades per a les seves primitives són l'excepció en comptes de la regla. En conseqüència, els sistemes de càlcul algebraic per ordinador, no poden tenir cap esperança de poder trobar una primitiva per a una funció elemental qualsevol construïda de forma aleatòria. Al cantó positiu, si els blocs constructius de les primitives són fixats d'antuvi, encara és possible de decidir si la primitiva d'una funció donada es pot expressar emprant aquests blocs i les operacions de multiplicació i composició, i de trobar la resposta simbòlica en el cas de que existeixi. L'algorisme de Risch, implementat a Mathematica i al Maple, fan precisament això per a funcions i primitives construïdes a partir de fraccions racionals, radicals, logaritmes i funcions exponencials.

Alguns integrands especials apareixen amb prou freqüència per a garantir un estudi especial. En particular, pot ser útil de tenir, en el conjunt de primitives, les funcions especials de la física (com les funcions de Legendre, la funció hipergeomètrica, la funció Gamma i així). Estendre l'algoritme de Risch-Norman de forma que inclogui aquestes funcions és possible però és tot un repte.

La majoria dels humans no són capaços d'integrar aquestes fórmules generals, així en cert sentit els ordinadors són més hàbils integrant fórmules altament complicades. Les fórmules molt complexes és poc probable que tinguin primitives de forma tancada, per tant fins a quin punt això és un avantatge és una qüestió filosòfica oberta al debat.

[edita] Quadratura numèrica

Article principal: Integració numèrica

Les integrals que es troben en els curssos bàsics de càlcul han estat triades deliberadament per la seva simplicitat; les que es troben en aplicacions reals no sempre són tan avinents. Algunes integrals no es poden trobar exactament, algunes necessiten funcions especials que elles mateixes són tot un repte per a calcular-les, i d'altres són tan complexes que trobar la resposta exacta és massa lent. Això motiva l'estudi i l'aplicació de mètodes numèrics per aproximar integrals, els quals, avui en dia fan servir aritmètica de coma flotant en ordinadors electrònics. Moltes de les idees varen sorgir molt abans, per a les calculadores manuals; però la velocitat dels ordinadors de propòsit general han creat la necessitat de millores.

Els objectius de la integració numèrica són exactitud, fiabilitat, eficiència i generalitat. Els mètodes sofisticats poden millorar molt un mètode ingenu en totes quatre mesures (Dahlquist & Björck forthcoming; Kahaner, Moler & Nash 1989; Stoer & Bulirsch 2002). Per exemple, la integral

$\int_{-2}^{2} \tfrac15 \left( \tfrac{1}{100}(322 + 3 x (98 + x (37 + x))) - 24 \frac{x}{1+x^2} \right) dx ,$

Que té la resposta exacta de ⁹⁴⁄₂₅ = 3.76. (en la pràctica ordinària, la resposta no és coneguda per endavant, per tant una tasca impotant — que no s'explora aquí — és decidir en quin moment una aproximació ja és prou bona.) Un enfocament de “llibre de càlcul” divideix l'interval d'integració en, per exemple, 16 bocins iguals, i calcula els valors de la funció.

Valors de la funció en les posicions
x	−2.00		−1.50		−1.00		−0.50		0.00		0.50		1.00		1.50		2.00
f(x)	2.22800		2.45663		2.67200		2.32475		0.64400		−0.92575		−0.94000		−0.16963		0.83600
x		−1.75		−1.25		−0.75		−0.25		0.25		0.75		1.25		1.75
f(x)		2.33041		2.58562		2.62934		1.64019		−0.32444		−1.09159		−0.60387		0.31734

Mètodes numèrics de quadratura methods: ■ Rectangle, ■ Trapezoide, ■ Romberg, ■ Gauss

Emprant el cantó esquerra de cada bocí, el mètode rectangular suma 16 valors de la funció i multiplica per l'amplada del pas, h, en aquest cas 0.25, i obté una valor aproximat de 3.94325 per a la integral. L'exactitud no és impressionant, però formalment el càlcul empra bocins d'amplada infinitesimal, per tant d'entrada això no sembla que hagi de ser motiu de preocupació. Efectivament, doblant repetidament el nombre de passos s'arriba a obtenir una aproximació de 3.76001. Ara bé, han fet falta 2¹⁸ bocins, un cost computacional gran per a una exactitud tan petita; i buscar precisions més grans pot forçar a fer passos tan petits que la precisió aritmètica esdevé un obstacle.

Una aproximació millor substitueix les parts superiors dels rectangles per segments inclinats que toquen la funció als extrems de cada bocí. Aquest mètode trapezial és gairebé igual de fàcil de calcular; suma els 17 valors de la funció, pero al primer i al últim els dóna un pes de la meitat, i altre cop multiplica per l'amplada del pas. Això millora l'aproximació de forma immediata a 3.76925, que és notablement més exacte. És més, només calen 2¹⁰ bocins per assolir una exactitud de 3.76000, substancialment menys potència de càlcul per obtenir una exactitud comparable.

El mètode de Romberg construeix el mètode del trapezoide amb un efecte més gran. Primer, la longitud dels passos es parteix de forma incremental, donades les aproximacions trapezoïdals indicades per T(h₀), T(h₁), i així, on h_k+1 és la meitat de h_k. Per a cada nova mida de pas, només cal calcular la meitat dels valors de la funció; els altres s'agafen de la partició amb la mida prèvia (tal com es mostra a la taula de més amunt). Però la idea realment potent és la de interpolar un polinomi a través de les aproximacions, i extrapolar a T(0). Amb aquest mètode una resposta numèricament exacta només requereix quatre bocins (cins valors de la funció)! El polinomi de Lagrange que interpola {h_k,T(h_k)}_k=0…2 = {(4.00,6.128), (2.00,4.352), (1.00,3.908)} is 3.76+0.148h², produeix el valor extrapolat exacte 3.76 a h = 0.

Quadratura de Gauss sovint requereix notablement menys feina per a una exactitud superior. En aquest exemple, pot calcular els valors de la funció només a dos posicions de x, ±²⁄_√3, llavors dobla cada valor i els suma per a obtenir la resposta numèrica exacta. L'explicació d'aquest èxit dramàtic recau en l'anàlisi del error i en una mica de sort. Un mètode de Gaus de n punts és exacte per a polinomis de fina a grau n−1. La funció d'aquest exemple és un polinomi de grau 3, més un terme que s'anul·la perquè els punts finals escollits són simètrics entorn a zero. (L'anulació d'aquest terme també beneficia al mètode de Romberg.)

Desplaçant l'interval a l'esquerra en deixa una mica, si la integral és des de −2.25 fins a 1.75, s'elimina la simetria. De totes formes, el mètode trapezoïdal és més aviat lent, el mètode d'interpolació polinòmica de Romberg és acceptable — Si el nombre de punts és conegut per endavant. La interpolació racional, també pot fer servir les mateixes avaluacions trapezoïdals del mètode de Romberg per tal d'obtenir un efecte més gran.

Conparació del cost computacions dels mètodes de quadratura
Method	Trapezoide	Romberg	Racional	Gauss
Points	1048577	257	129	36
Rel. Err.	−5.3×10⁻¹³	−6.3×10⁻¹⁵	8.8×10⁻¹⁵	3.1×10⁻¹⁵
Value	$\textstyle \int_{-2.25}^{1.75} f(x)\,dx = 4.1639019006585897075\ldots$

A la pràctica, cada mètode ha d'utilitzar avaluacions extra per tal s'asegurar una fita del error en una funció desconeguda; això tendeix a el•liminar algunes avantatges del mètode de Gauss pur, i motiva el popular mètode híbrid de Gauss–Kronrod. La simetria encara es pot explotar a base de dividir la integral en dos intervals, des de −2.25 fins a −1.75 (no simètric), i des de −1.75 fins a 1.75 (simètric). De forma més ampla, la quadratura adaptativa parteix un interval entre bocins basant-se en les propietats de la funció, així els punts de dades es concentren on són més necessaris.

Aquesta introducció breu omet les integrals de dimensió superior (per exemple, càlculs d'àrea i de volum), on alternatives tals com el mètode de integració de Montecarlo tenen gran importància.

Un text de càlcul no es pot substituir pel anàlisi numèric, però la inversa també és certa. Fins i tos el millor codi numèric adaptatiu de vegades requereix que l'usuari ajudi amb les integrals que necessiten més potència de càlcul. Per exemple, les integrals impròpies poden requerir un canvi de variable o mètodes que pugin evitar que la funció presenti valors infinits; i propietats conegudes com la simetria i la periodicitat poden subministrar avantatges crítiques.

[edita] Vegeu també

Taula d'integrals – integrals de les funcions més comuns.
Integral múltiple
Primitiva
Integració numèrica
Equació integral
Integral de Riemann
Sumatori de Riemann
Derivació sota el signe integral
Integral multiplicativa

[edita] Referències

Apostol, Tom M. (1967). Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, 2nd, Wiley. ISBN 978-0-471-00005-1.
Bourbaki, Nicolas (2004). Integration I, Springer Verlag. ISBN 3-540-41129-1. . En particular els capitols III i IV.
Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction, 6^th, McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-305189-5.
Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II, Open Court Publishing, 247–252. ISBN 978-0-486-67766-8.
(forthcoming) “Chapter 5: Numerical Integration”, Numerical Methods in Scientific Computing, Philadelphia: SIAM.
Folland, Gerald B. (1984). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 1st, Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-80958-6.
Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur, Chez Firmin Didot, père et fils.
Disponible en anglès com Fourier, Joseph (1878). The analytical theory of heat, Freeman, Alexander (trans.), Cambridge University Press, pp. 200–201.
(2002) The Works of Archimedes, Dover.
(Originalment publicat per Cambridge University Press, 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)
Hildebrandt, T. H. (1953). Integration in abstract spaces, 111–139.
(1989) “Chapter 5: Numerical Quadrature”, Numerical Methods and Software, Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-627258-8.
Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899). Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band, Mayer & Müller.
Miller, Jeff. Earliest Uses of Symbols of Calculus.
(1996) A history of the calculus.
Rudin, Walter (1987). “Chapter 1: Abstract Integration”, Real and Complex Analysis, International, McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-100276-9.
Saks, Stanisław (1964). Theory of the integral, English translation by L. C. Young. With two additional notes by Stefan Banach. Second revised, Dover.
(2002) “Chapter 3: Topics in Integration”, Introduction to Numerical Analysis, 3rd, Springer. ISBN 978-0-387-95452-3. .
W3C (2006). Arabic mathematical notation.

[edita] Enllaços externs

The Integrator de Wolfram Research
Function Calculator de WIMS
P.S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) - a cookbook of definite integral techniques
Definite Integrals

[edita] Llibres online

Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin
Stroyan, K.D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, University of Iowa
Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook
Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus
Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook
Kowalk, W.P., Integration Theory, University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook
Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, an introduction to calculus
Wikibook of Calculus
Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute

Integració

Càlcul de primitives
$\int_a^b f(x)\,dx$ Integració simbòlica · Integral de Gauß · Integral no elemental · Constant d’integració · Algorisme de Risch · Funcions elementals · Teorema de Fubini · Mètode d'exhaustió
De fraccions racionals · Per canvi de variable · Per parts · Per substitució trigonomètrica · Per sèries · Integral de la secant al cub
Taules d'integrals
Integrals de funcions racionals · Integrals de funcions irracionals · Integrals de funcions exponencials · Integrals de funcions logarítmiques · Integrals de funcions trigonomètriques · Integrals inverses de funcions trigonomètriques · Integrals de funcions hiperbòliques · Integrals de funcions inverses de les funcions hiperbòliques
Definicions d'integració
Integral de Bochner · Integral de Darboux · Integral de Henstock-Kurzwe · Integral de Lebesgue · Integral de Lebesgue-Stieltjes · Sumatori de Riemann · Integral de Riemann · Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral
Integral impròpia · Integral múltiple · Integral multiplicativa · Integral de superfície · Integral curvilínia · Teorema de Fubini
Integració numèrica
Mètode de Simpson · Mètode trapezial · Mètode rectangular · Mètode de Romberg · Integració de Montecarlo · Fórmules de Newton-Cotes · Sumatori de Riemann · Quadratura de Gauss · Quadratura adaptativa

Categoria: Càlcul integral