Teorema fonamental del càlcul

De Viquipèdia

El teorema fonamental del càlcul integral consisteix en l'afirmació de que la derivada i integral d'una funció matemàtica son operacions inverses. Això significa que tota funció contínua integrable verifica que la derivada de la seva integral és ella mateixa. Aquest teorema és central en la branca de les matemàtiques anomenada càlcul.

Una conseqüència directa d'aquest teorema, denominada ocasionalment segon teorema fonamental del càlcul, permet calcular l'integral d'una funció utilitzant l'antiderivada de la funció que s'ha d'integrar.

Encara que els antic matemàtics grecs com Arquímedes ja disposaven de mètodes aproximats per al càlcul de volums, àrees i longituds corbes va ser gràcies a una idea originalment desenvolupada per el matemàtic anglès Isaac Barrow i les aportacions de Isaac Newton i Gottfried Leibniz que aquest teorema va poder ser enunciat i demostrat.

Taula de continguts

1 Els teoremes fonamentals del càlcul integral
- 1.1 Primer teorema fonamental
- 1.2 Segon teorema fonamental
2 Vegeu també

[edita] Els teoremes fonamentals del càlcul integral

[edita] Primer teorema fonamental

[edita] Declaració

Donada una funció $f$ integrable sobre l'interval $[a, b]$ , definim $F$ sobre $[a, b]$ per $F(x) = {\int_{\alpha}^x f(t)dt}$ amb $\alpha \in [a,b]$ fixe. El teorema diu que si $f$ és contínua a $c \in [a,b]$ , llavors $F$ és derivable a c i F'(c) = f(c).

[edita] Demostració

Lema important:

Suposem que $f$ és integrable sobre $[a, b]$ i que:

$m \leq f(x) \leq M \forall x \in [a,b]$

Llavors

$m(b-a) \leq {\int_a^b f(t)dt} \leq M(b-a)$

Comença la demostració

Hipòtesi:

Sigui $c \in (a,b)$ .

Sigui $f$ una funció integrable sobre l'interval

[a, b]

i contínua a c.

Sigui $F$ una funció sobre

[a, b]

definida així: $F(x)= \int_{\alpha}^x f(t)dt$ amb $\alpha \in [a,b]$

Tesi:

F'(c)=f(c)

Per definició tneim: $F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} }$ .

Suposem que h>0, llavors $F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt}$ .

Definim $m h$ y $M h$ com:

$m_h = \inf\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}$ ,

$M_h = \sup\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}$

Aplicant el 'lema' veim que:

$m_h \cdot h \leq {\int_c^{c+h} f(t)dt} \leq M_h \cdot h$ .

Por tant,

$m_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq M_h$

Ara suposem que $h < 0$ , siguin:

${m^*}_h = \inf \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}$ ,

${M^*}_h = \sup \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}$ .

Aplicant el 'lema' veim que:

${m^*}_h \cdot (-h) \leq {\int_{c+h}^c f(t)dt } \leq {M^*}_h \cdot (-h)$ .

Com:

$F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt} = -{\int_{c+h}^{c} f(t)dt}$ ,

Llavors:

${m^*}_h \cdot h \geq F(c+h)-F(c) \geq {M^*}_h \cdot h$ .

Posat que $h < 0$ , llavors tenim que:

${m^*}_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq {M^*}_h$ .

I com $f$ és contínua a c tenim que:

$\lim_{h \rightarrow 0} m_h = \lim_{h \rightarrow 0} M_h = \lim_{h \rightarrow 0} {m^*}_h = \lim_{h \rightarrow 0} {M^*}_h = f(c)$ ,

i això porta a:

$F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} } = f(c)$ .

[edita] Exemples

$F(x) = \int_{0}^{x} t^2 dt \Rightarrow F'(x) = x^2$

$H(x) = \int_{10}^{\exp{3x}} sen(t) dt \Rightarrow H'(x) = sen(e^{3x}) e^{3x} 3$

$G(x) = \int_{0}^{x^2} arcsen(t) dt \Rightarrow G'(x) = arcsen(x^2) 2x$

[edita] Segon teorema fonamental

[edita] Declaració

També se l'anomena Regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow.

Donada una funció $f$ contínua a l'interval $[a, b]$ i sigui $g (x)$ qualsevol funció primitiva de $f$ , és a dir g'(x)=f(x), llavors:

$\int_{a}^{b} f(x) dx = g(b) - g(a)$

Aquest teorema s'empra freqüentement per avaluar integrals definides.

[edita] Demostració

Hipòtesi:

Sigui

f

una funció contínua a l'interval

[a, b]

Sigui g una funció diferenciable en l'interval

[a, b]

tal que $g'(x)=f(x) {\ }\forall x \in [a,b]$

Tesi:

$\int_a^b f(x)dx = g(b)-g(a)$

Demostració:

Sigui

$F(x)= \int_a^x f(t)dt$ .

Tenim per el primer teorema fonamental del càlcul que:

$F'(x)=f(x)=g'(x) {\ } \forall x \in [a,b]$ .

Per tant:

$\exists c \in \mathbb{R} {\ }$ tal que $\forall x \in [a,b], F(x)=g(x) + c$ .

Observam que:

0 = F (a) = g (a) + c

I d'aqui es segueix que $c = - g (a)$ ; per tant:

F (x) = g (x) - g (a)

I en particular si $x = b$ tenim que:

$\int_a^b f(t)dt = F(b) = g(b) - g(a)$

[edita] Exemples

$\int_0^{\pi} \cos(x)dx = \sin(\pi)-\sin(0)=0$

$\int_1^e \frac{dx}{x} = \ln(e)-\ln(1)=1$

[edita] Vegeu també

Regla de Barrow
Integració
Mètodes d'integració
Regla de Leibniz
Integral de Riemann

Categories: Càlcul | Teoremes

Teorema fonamental del càlcul

De Viquipèdia

Taula de continguts

[edita] Els teoremes fonamentals del càlcul integral

[edita] Primer teorema fonamental

[edita] Declaració

[edita] Demostració

[edita] Exemples

[edita] Segon teorema fonamental

[edita] Declaració

[edita] Demostració

[edita] Exemples

[edita] Vegeu també

Views

Navegació

comunitat

Cerca

En altres llengües