Teorema fonamental del c??lcul

De Viquip??dia

El teorema fonamental del c??lcul integral consisteix en l'afirmaci?? de que la derivada i integral d'una funci?? matem??tica son operacions inverses. Aix?? significa que tota funci?? cont??nua integrable verifica que la derivada de la seva integral ??s ella mateixa. Aquest teorema ??s central en la branca de les matem??tiques anomenada c??lcul.

Una conseq????ncia directa d'aquest teorema, denominada ocasionalment segon teorema fonamental del c??lcul, permet calcular l'integral d'una funci?? utilitzant l'antiderivada de la funci?? que s'ha d'integrar.

Encara que els antic matem??tics grecs com Arqu??medes ja disposaven de m??todes aproximats per al c??lcul de volums, ??rees i longituds corbes va ser gr??cies a una idea originalment desenvolupada per el matem??tic angl??s Isaac Barrow i les aportacions de Isaac Newton i Gottfried Leibniz que aquest teorema va poder ser enunciat i demostrat.

Taula de continguts

1 Els teoremes fonamentals del c??lcul integral
- 1.1 Primer teorema fonamental
- 1.2 Segon teorema fonamental
2 Vegeu tamb??

[edita] Els teoremes fonamentals del c??lcul integral

[edita] Primer teorema fonamental

[edita] Declaraci??

Donada una funci?? $f$ integrable sobre l'interval $[a, b]$ , definim $F$ sobre $[a, b]$ per $F(x) = {\int_{\alpha}^x f(t)dt}$ amb $\alpha \in [a,b]$ fixe. El teorema diu que si $f$ ??s cont??nua a $c \in [a,b]$ , llavors $F$ ??s derivable a c i F'(c) = f(c).

[edita] Demostraci??

Lema important:

Suposem que $f$ ??s integrable sobre $[a, b]$ i que:

$m \leq f(x) \leq M \forall x \in [a,b]$

Llavors

$m(b-a) \leq {\int_a^b f(t)dt} \leq M(b-a)$

Comen??a la demostraci??

Hip??tesi:

Sigui $c \in (a,b)$ .

Sigui $f$ una funci?? integrable sobre l'interval

[a, b]

i cont??nua a c.

Sigui $F$ una funci?? sobre

[a, b]

definida aix??: $F(x)= \int_{\alpha}^x f(t)dt$ amb $\alpha \in [a,b]$

Tesi:

F'(c)=f(c)

Per definici?? tneim: $F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} }$ .

Suposem que h>0, llavors $F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt}$ .

Definim $m h$ y $M h$ com:

$m_h = \inf\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}$ ,

$M_h = \sup\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}$

Aplicant el 'lema' veim que:

$m_h \cdot h \leq {\int_c^{c+h} f(t)dt} \leq M_h \cdot h$ .

Por tant,

$m_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq M_h$

Ara suposem que $h < 0$ , siguin:

${m^*}_h = \inf \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}$ ,

${M^*}_h = \sup \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}$ .

Aplicant el 'lema' veim que:

${m^*}_h \cdot (-h) \leq {\int_{c+h}^c f(t)dt } \leq {M^*}_h \cdot (-h)$ .

Com:

$F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt} = -{\int_{c+h}^{c} f(t)dt}$ ,

Llavors:

${m^*}_h \cdot h \geq F(c+h)-F(c) \geq {M^*}_h \cdot h$ .

Posat que $h < 0$ , llavors tenim que:

${m^*}_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq {M^*}_h$ .

I com $f$ ??s cont??nua a c tenim que:

$\lim_{h \rightarrow 0} m_h = \lim_{h \rightarrow 0} M_h = \lim_{h \rightarrow 0} {m^*}_h = \lim_{h \rightarrow 0} {M^*}_h = f(c)$ ,

i aix?? porta a:

$F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} } = f(c)$ .

[edita] Exemples

$F(x) = \int_{0}^{x} t^2 dt \Rightarrow F'(x) = x^2$

$H(x) = \int_{10}^{\exp{3x}} sen(t) dt \Rightarrow H'(x) = sen(e^{3x}) e^{3x} 3$

$G(x) = \int_{0}^{x^2} arcsen(t) dt \Rightarrow G'(x) = arcsen(x^2) 2x$

[edita] Segon teorema fonamental

[edita] Declaraci??

Tamb?? se l'anomena Regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow.

Donada una funci?? $f$ cont??nua a l'interval $[a, b]$ i sigui $g (x)$ qualsevol funci?? primitiva de $f$ , ??s a dir g'(x)=f(x), llavors:

$\int_{a}^{b} f(x) dx = g(b) - g(a)$

Aquest teorema s'empra freq??entement per avaluar integrals definides.

[edita] Demostraci??

Hip??tesi:

Sigui

f

una funci?? cont??nua a l'interval

[a, b]

Sigui g una funci?? diferenciable en l'interval

[a, b]

tal que $g'(x)=f(x) {\ }\forall x \in [a,b]$

Tesi:

$\int_a^b f(x)dx = g(b)-g(a)$

Demostraci??:

Sigui

$F(x)= \int_a^x f(t)dt$ .

Tenim per el primer teorema fonamental del c??lcul que:

$F'(x)=f(x)=g'(x) {\ } \forall x \in [a,b]$ .

Per tant:

$\exists c \in \mathbb{R} {\ }$ tal que $\forall x \in [a,b], F(x)=g(x) + c$ .

Observam que:

0 = F (a) = g (a) + c

I d'aqui es segueix que $c = ??? g (a)$ ; per tant:

F (x) = g (x) ??? g (a)

I en particular si $x = b$ tenim que:

$\int_a^b f(t)dt = F(b) = g(b) - g(a)$

[edita] Exemples

$\int_0^{\pi} \cos(x)dx = \sin(\pi)-\sin(0)=0$

$\int_1^e \frac{dx}{x} = \ln(e)-\ln(1)=1$

[edita] Vegeu tamb??

Regla de Barrow
Integraci??
M??todes d'integraci??
Regla de Leibniz
Integral de Riemann

Categories: C??lcul | Teoremes

Teorema fonamental del c??lcul

De Viquip??dia

Taula de continguts

[edita] Els teoremes fonamentals del c??lcul integral

[edita] Primer teorema fonamental

[edita] Declaraci??

[edita] Demostraci??

[edita] Exemples

[edita] Segon teorema fonamental

[edita] Declaraci??

[edita] Demostraci??

[edita] Exemples

[edita] Vegeu tamb??

Views

Navegaci??

comunitat

Cerca

En altres lleng??es