Funció contínua

De Viquipèdia

Funció contínua és un terme utilitzat en matemàtiques i topologia.

Taula de continguts

1 Definició matemàtica per funcions de variables reals
2 Àlgebra de les funcions contínues i composició de funcions contínues
- 2.1 Àlgebra de les funcions contínues
- 2.2 Composició de funcions contínues
3 Funcions continues entre espais topològics
4 Enllaços externs

[edita] Definició matemàtica per funcions de variables reals

[edita] Funció contínua en un punt

Siguin $I$ un intèrval de $\mathbb R$ , $f$ una aplicació de $I$ a $\mathbb R$ , i $x 0$ un punt de $I$ . Es diu que $f$ és contínua en el punt $x 0$ si i només si:

$\forall \varepsilon >0,\exists \delta>0,\,x\in\,]x_0-\delta,x_0+\delta[\,\cap I\Longrightarrow |f(x)-f(x_0)|\le \varepsilon\,$

Si $f$ és contínua en $x 0$ , llavors $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ .

Si això és cert únicament per a $x > x 0$ , es diu que $f$ és contínua a la dreta de $x 0$ .

De la mateixa forma, si és contínua per a $x < x 0$ , $f$ és contínua a l'esquerra de $x 0$ .

Dir que $f$ és contínua en $x 0$ significa que aquesta aplicació és contínua a la dreta i a l'esquerra d'aquest punt.

[edita] Continuïtat en un interval

Es diu que $f$ és contínua en $[a, b]$ si és contínua en tots el punts d'aquest interval.

És a dir:

$\forall x\in[a,b],\,\forall \varepsilon >0,\exists \delta>0,\,y\in\,]x-\delta,x+\delta[\,\cap I\Longrightarrow |f(x)-f(y)|\le \varepsilon\,$ ,

que equival a què:

$f$ és contínua a $] a, b [$ .
El límit a la dreta de $f (x)$ quan $x \to a$ val $f (a)$ i el límit a l'esquerra quan $x \to b$ val $f (b)$ .

[edita] Derivabilitat i continuïtat

Qualsevol funció derivable en un punt o en un interval, és igualment contínua en aquest punt o interval.

El recíproc és fals.

Per exemple, la funció $f (x) = | x |$ (valor absolut de $x$ és una funció contínua a $\mathbb R$ , en canvi no és derivable en el punt $x = 0$ .

[edita] Funcions usuals

Les funcions polinòmiques, exponencials, logarítmiques, hiperbòliques, trigonomètriques són derivables en els intervals en què estan definides, i són, doncs, igualment contínues en aquests intervals.

[edita] Àlgebra de les funcions contínues i composició de funcions contínues

Per definició:

f

contínua a $a \Leftrightarrow \lim_{x \to a}f(x) = f(a)$ .

Dels teoremes obre els límits resulta:

[edita] Àlgebra de les funcions contínues

Siguin $f$ i $g$ dues funcions contínues en un mateix interval $I$ . Llavors:

$\alpha f + \beta g \quad \forall (\alpha, \beta) \in \R^2$ (combinació lineal)
$f\cdot g$ (producte)
$\frac{f}{g}\quad (g \ne 0)$ (quocient)

són funcions contínues a $I$ .

[edita] Composició de funcions contínues

Si $f$ és contínua a $I$ i $g$ és contínua a $f (I)$ llavors $g \circ f$ és contínua a $I$ .

[edita] Funcions continues entre espais topològics

Article principal: continuïtat (topologia)

La definició esmentada de funció continua es pot expressar de forma més general a les funcions entre dos espais topològics; donada una funció $f:A\longrightarrow B$ entre dos espais topològics, aquesta és continua si i només si per a tot obert $O\subseteq B$ es dóna que $f^{-1}\left[O\right]$ és un obert de $A$ .