Funció contínua
De Viquipèdia
Funció contínua és un terme utilitzat en matemàtiques i topologia.
Taula de continguts |
[edita] Definició matemàtica per funcions de variables reals
[edita] Funció contínua en un punt
Siguin I un intèrval de , f una aplicació de I a
, i x0 un punt de I. Es diu que f és contínua en el punt x0 si i només si:
Si f és contínua en x0, llavors .
Si això és cert únicament per a x > x0, es diu que f és contínua a la dreta de x0.
De la mateixa forma, si és contínua per a x < x0, f és contínua a l'esquerra de x0.
Dir que f és contínua en x0 significa que aquesta aplicació és contínua a la dreta i a l'esquerra d'aquest punt.
[edita] Continuïtat en un interval
Es diu que f és contínua en [a,b] si és contínua en tots el punts d'aquest interval.
És a dir:
-
,
que equival a què:
- f és contínua a ]a,b[.
- El límit a la dreta de f(x) quan
val f(a) i el límit a l'esquerra quan
val f(b).
[edita] Derivabilitat i continuïtat
Qualsevol funció derivable en un punt o en un interval, és igualment contínua en aquest punt o interval.
El recíproc és fals.
Per exemple, la funció f(x) = | x | (valor absolut de x és una funció contínua a , en canvi no és derivable en el punt x = 0.
[edita] Funcions usuals
Les funcions polinòmiques, exponencials, logarítmiques, hiperbòliques, trigonomètriques són derivables en els intervals en què estan definides, i són, doncs, igualment contínues en aquests intervals.
[edita] Àlgebra de les funcions contínues i composició de funcions contínues
Per definició:
-
f contínua a .
Dels teoremes obre els límits resulta:
[edita] Àlgebra de les funcions contínues
Siguin f i g dues funcions contínues en un mateix interval I. Llavors:
(combinació lineal)
(producte)
(quocient)
són funcions contínues a I.
[edita] Composició de funcions contínues
Si f és contínua a I i g és contínua a f(I) llavors és contínua a I.
[edita] Funcions continues entre espais topològics
La definició esmentada de funció continua es pot expressar de forma més general a les funcions entre dos espais topològics; donada una funció entre dos espais topològics, aquesta és continua si i només si per a tot obert
es dóna que
és un obert de A.