Derivada

De Viquip??dia

A cada punt, la derivada ??s el pendent de la recta que ??s tangent a la corba. La recta de color vermell ??s sempre tangent a la corba blava; el seu pendent ??s la derivada.

En c??lcul infinitesimal, la derivada ??s una mesura de com canvia una funci?? al canviar el valor de les seves variables. Intu??tivament pot dir-se que la derivada ??s la rapidesa en que varia una quantitat en un punt donat. Per exemple, la derivada de la posici?? d'un cotxe en un moment donat, ??s la velocitat instant??nia a que va el cotxe en aquell moment. (rec??procament, la integral de la velocitat del cotxe ??s la seva posici??).

La derivada de la funci?? en un punt donat descriu la millor aproximaci?? lineal de la funci?? en el punt. Per a una funci?? real d'una variable real, la derivada en un punt ??s igual al pendent de la recta tangent a la gr??fica de la funci?? en el punt. En varies dimensions, la derivada d'una funci?? en un punt ??s una aplicaci?? lineal anomenada la linealitzaci?? de la funci?? en el punt.^[1]

Del proc??s de trobar una derivada se'n diu derivaci??. El teorema fonamental del c??lcul estableix que la derivaci?? ??s el proc??s invers de la integraci??.

Taula de continguts

1 Derivaci?? i la derivada
2 Notacions de la derivada
3 C??lcul de la derivada
4 Aplicacions
5 Derivades en dimensions superiors
6 Generalitzacions
7 Notes
8 Refer??ncies
- 8.1 Impreses
- 8.2 Llibres Online
9 Vegeu tamb??
10 Enlla??os externs

[edita] Derivaci?? i la derivada

Pendent de la corba f(x) en el punt

x 0

??s igual al pendent de la recta tangent a la corba en el punt

x 0

i ??s tamb?? igual a la derivada de la corba en aquest punt.???

La Derivaci?? ??s un m??tode per a calcular el ritme al qual varia una quantitat, y, respecte del canvi d'un altre quantitat, x, respecte de la qual n'??s una variable dependent. D'aquest ritme de canvi se'n diu la derivada de y respecte de x. Parlant amb m??s precisi??, la depend??ncia de y respecte de x significa que y ??s una funci?? de x. Si x e y s??n nombres reals, i si la gr??fica de y es dibuixa respecte de x, la derivada mesura el pendent d'aquesta gr??fica en cada punt. Aquesta relaci?? funcional sovint s'indica y = f(x), on f indica la funci??.

El cas m??s senzill ??s quan y ??s una funci?? lineal de x, aix?? vol dir que la gr??fica de y respecte de x ??s una l??nia recta. En aquest cas, y = f(x) = m x + c, on m i c, s??n nombres reals, i el pendent m ve donat per

$m={\mbox{canvi de } y \over \mbox{canvi de } x} = {\Delta y \over{\Delta x}}$

On el s??mbol ?? (una lletra grega delta en maj??scules) ??s la abreviaci?? de "canvi de" o "increment de." Aquesta f??rmula ??s veritat perqu??

y + ??y = f(x+ ??x) = m (x + ??x) + c = m x + c + m ??x = y + m??x.

D'aqu?? en resulta que ??y = m ??x.

Aix?? dona un valor exacte per al pendent d'una l??nia recta. En canvi, si la funci?? f no ??s lineal (es a dir, si la seva gr??fica no ??s una l??nia recta), Llavors el canvi de y dividit pel canvi de x varia: la derivaci?? ??s un m??tode per a trobar un valor exacte per a aquest ritme de canvi a qualsevol valor donat de x.

Figura 1. La recta tangent a (x, f(x))

Figura 2. La secant a la corba y= f(x) determinada pels punts (x, f(x)) i (x+h, f(x+h)).

Figura 3. La recta tangent com a l??mit de secants.

La idea, tal com s'il??lustra a les figures 1,2 i 3, ??s de calcular el ritme de canvi com el valor l??mit del quocient de difer??ncies ??y / ??x a mesura que ??x esdev?? infinitament petit.

En la notaci?? de Leibniz, aquest canvi infinitesimal de x s'escriu dx, i la derivada de y respecte de x s'escriu

$\frac{dy}{dx} \,\!$

Suggerint el quocient entre dues quantitats infinitesimals. (L'expressi?? anterior es llegeix: diferencial de y partit per diferencial de x.)

L'enfocament m??s com?? ^[2] per a transformar questa idea intu??tiva en una definici?? precisa fa servir l??mits, per?? hi ha altres m??todes com ara l'an??lisi no Standard que utilitza directament nombres infinitesimals.^[3]

[edita] Definici?? via quocient de difer??ncies

Sia y=f(x) una funci?? de x. La derivada de y respecte de x a a ??s, geom??tricament parlant, el pendent de la recta tangent a la gr??fica de f a a. El pendent de la tangent ??s molt proper al pendent de la recta que passa per (a, f(a)) i un punt molt proper en la gr??fica, per exemple (a + h, f(a + h)). D'aquestes rectes se'n diu rectes secants. Un valor de h proper a zero donar?? una bona aproximaci?? al pendent de la recta tangent, i valors m??s petits (en valor absolut) de h donaran, en general, millors aproximacions. El pendent de la recta secant ??s la diferencia entre els valors de y en aquest dos punts dividida entre la diferencia entre els valors de x, ??s a dir,

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

Aquesta expressi?? ??s el quocient de defer??ncies de Newton. La derivada ??s el valor del quocient de defer??ncies a mesura que la secant es fa m??s i m??s propera a la tangent. Formalment, la derivada de la funci?? f a a ??s el l??mit

$f'(a)=\lim_{h\to 0}{f(a+h)-f(a)\over h}$

Del quocient de difer??ncies quan h tendeix a zero, si aquest l??mit existeix. Si el l??mit existeix, llavors f ??s derivable a a. Aqu?? f??? (a) ??s una de les m??ltiples notacions de la derivada (vegeu m??s avall).

De forma equivalent, la derivada satisf?? la propietat de que

$\lim_{h\to 0}{f(a+h)-f(a) - f'(a)\cdot h\over h} = 0,$

Que t?? la interpretaci?? intu??tiva (vegeu Figura 1) de que la recta tangent a f per a dona la millor aproximaci?? lineal

$f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h$

a f a prop de a (es a dir, per a valors de h petits). Aquesta interpretaci?? ??s la que despr??s dona el cam?? m??s f??cil per a generalitzar el concepte de derivada (vegeu m??s avall).

Si es substitueix h per zero al quocient de difer??ncies apareix una divisi?? entre zero, per tant el pendent de la recta tangent no es pot trobar directament amb aquesta f??rmula. En comptes d'aix??, es defineix Q(h) el quocient de la difer??ncia com una funci?? de h:

$Q(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ .

Q(h) ??s el pendent de la secant que passa per (a, f(a)) i (a + h, f(a + h)). Si f ??s una funci?? cont??nua, que vol dir que la seva gr??fica ??s una corba no trencada sense salts, llavors Q ??s una funci?? cont??nua fora del punt h = 0. Si el l??mit $\textstyle\lim_{h\to 0} Q(h)$ existeix, vol dir que hi ha una manera de triar un valor per a Q(0) que fa que la gr??fica de Q sigui una funci?? cont??nua, llavors la funci?? f ??s derivable al punt a, i la seva derivada a a ??s igual as Q(0).

A la pr??ctica, l'exist??ncia de la extensi?? cont??nua del quocient de difer??ncies Q(h) a h = 0 es mostra a base de modificar el numerador de forma que es pugui cancel??lar la h del denominador. Aquest proc??s pot ser llarg i tedi??s per a funcions complicades, normalment es fan servir moltes dreceres per a simplificar el proc??s.

[edita] Exemple

La funci?? x quadrat f(x) = x?? ??s derivable al punt x = 3, i el valor de la seva derivada en aquest punt ??s 6. Aix?? es demostra a base d'escriure el quocient de les difer??ncies tal com segueix:

${f(3+h)-f(3)\over h} = {(3+h)^2 - 9\over{h}} = {9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} = {6h + h^2\over{h}} = 6 + h.$

Lllavors es calcula el valor de la funci?? simplificada en el l??mit:

$\lim_{h\to 0} 6 + h = 6 + 0 = 6.$

La expressi?? anterior mostra que el quocient de les difer??ncies ??s igual a 6 + h quan h ??s diferent de zero i ??s indefinit quan h ??s zero. (Cal recordar que, degut a la seva definici??, el quocient de les difer??ncies sempre ??s indefinit quant h ??s zero.) Per?? hi ha una forma natural d'omplir la gr??fica del quocient de les difer??ncies al punt zero amb un valor, en aquest cas 6. Per tant el pendent de la gr??fica de la funci?? x quadrat al punt (3, 9) ??s 6, i per tant la seva derivada a x = 3 ??s f '(3) = 6.

De forma m??s general, un c??lcul similar mostra que la derivada de la funci?? x quadrat a x = a ??s f '(a) = 2a.

[edita] Continu??tat i derivabilitat

Aquesta funci?? no t?? derivada el punt assenyalat, donat que la funci?? no ??s cont??nua en aquest punt.

Si y = f(x) ??s derivable a a, llavors f tamb?? ha de ser cont??nua a a. Per exemple, en un punt qualsevol a sia f la funci?? gra?? que dona un valor, per exemple1, per a tot x m??s petit que a, i dona un valor diferent, per exemple 10, per a tot x m??s gran o igual que a. La funci?? f no pot tenir derivada a a. Si h ??s negativa, llavors a + h ??s a la part baixa del gra??, per tant la recta secant entre a i a + h ser?? molt pendent, i a mesura que h tendeix a zero, l pendent tendeix a infinit. Si h ??s positiva, llavors a + h ??s a la part alta del gra??, per tant la secant entre a i a + h ser?? horitzontal i tindr?? pendent zero. En conseq????ncia la recta secant no s'aproxima a un unic pendent, per tant el l??mit del quocient de les difer??ncies no existeix.^[4]

La funci?? valor absolut ??s cont??nua, per?? no ??s derivable a x = 0 donat que t?? un canto agut.

En canvi, fins i tot si una funci?? ??s cont??nua en un punt, pot ser que no sigui derivable en aquest punt. Per exemple, la funci?? valor absolut y = |x| ??s cont??nua a x = 0, per?? no hi ??s derivable. Si h ??s positiva, llavors el pendent de la secant des de 0 a h ??s 1, mentre que si h ??s negativa, llavors el pendent de la secant des de 0 a h ??s -1. Aix?? es pot veure gr??ficament com un "plec" a la gr??fica a x = 0. Fins i tot una funci?? amb una gr??fica suau no ??s derivable en un punt quant la tangent en aquest punt ??s vertical: Per exemple, la funci?? y = ³???x no ??s derivable a x = 0.

La majoria de les funcions que apareixen a la pr??ctica tenen derivada a tots els punts o gaireb?? a tots els punts. En canvi, un resultat de Stefan Banach estableix que el conjunt de que tenen derivada en algun punt ??s un conjunt magre en l'espai de totes les funcions cont??nues(es a dir, no hi ha cap entorn en el conjunt de les funcions cont??nues on el subconjunt de les funcions derivables en algun unt sigui dens).^[5] De manera informal, aix?? significa que les funcions derivables son molt rares entre les funcions cont??nues. El primer exemple conegut d'una funci?? que ??s cont??nua a tot arreu per?? que no ??s derivable enlloc, ??s la funci?? de Weierstrass.

[edita] La derivada com a funci??

Sia f una funci?? que t?? derivada a cada punt a del seu domini. Com que a cada punt a t?? una derivada, hi ha una funci?? que ca cada punt a li fa correspondre la derivada de f al punt a. Aquesta funci?? s'escriu f???(x) i es diu la funci?? derivada o la derivada de f. La derivada de f recull totes les derivades de f a tots els punts del domini de f.

De vegades f t?? derivada a molts, per?? no a tots, el punts del seu domini. La funci?? que a cada punt a per al que f???(a) est?? definida li fa correspondre f???(a) i que no est?? definida en la resta de punts, tamb?? es diu la derivada de f. Aquesta funci?? encara ??s una funci??, per?? el seu domini ??s estrictament m??s petit que el domini de f.

Fent servir aquesta idea, la derivaci?? esdev?? una funci?? de funcions: La derivada ??s un operador el domini del qual ??s el conjunt de totes les funcions que tenen derivades a tots els punts del seu domini i el recorregut de l'operador ??s un conjunt de funcions. Si s'indica aquest operador per D, llavors D(f) ??s la funci?? f???(x). Com que D(f) ??s una funci??, es pot avaluar al punt a. Per la definici?? de la funci?? derivada, D(f)(a) = f???(a).

A tall de comparaci??, es considera la funci?? f(x) =2x; f que ??s una funci?? real sobre els nombres reals, aix?? vol dir que agafa nombres com a arguments i que dona nombres com a resultats:

$\begin{align} 1 &{}\mapsto 2,\\ 2 &{}\mapsto 4,\\ 3 &{}\mapsto 6. \end{align}$

L'operador D, en canvi, no est?? definit sobre nombres individuals. Nom??s est?? definit sobre funcions:

$\begin{array}{l} \left( {y = 1} \right) \to \left( {y = 0} \right) \\ \left( {y = x} \right) \to \left( {y = 1} \right) \\ \left( {y = x^2 } \right) \to \left( {y = 2x} \right) \\ {\rm{ }} \\ \end{array}$

Com que el resultat de D ??s una funci??, el resultat de D es pot avaluar en un punt. Per exemple, quant D s'aplica a la funci?? de elevar al quadrat,

$D\left( {y = x^2 } \right) = \left( {y = 2x} \right)$

Dona la funci?? duplicar, de la qual en diem f'(x). Llavors aquesta funci?? resultat es pot avaluar per a obtenir f(1) = 2, f(2) = 4, i aix??.

[edita] Derivades d'ordre superior

Sia f una funci?? derivable, i sia f???(x) la seva derivada. La derivada de f???(x) (si en t?? una) s'escriu f??????(x) i es diu la derivada segona def. De forma similar, la derivada de la segona derivada, si existeix, s'escriu f?????????(x) i es diu la derivada tercera def. D'aquestes derivades repetides se'n diu derivades d'ordre superior.

Una funci?? f no t?? perqu?? tenir derivada, per exemple, si no ??s cont??nua. De forma similar, fins i tot si f t?? derivada, pot ser que no tingui derivada segona. Per exemple, sia

$f(x) = \begin{cases} x^2, & \mbox{si }x\ge 0 \\ -x^2, & \mbox{si}x \le 0\end{cases}$ .

Un c??lcul elemental mostra que f ??s una funci?? derivable que t?? com a funci?? derivada

$f'(x) = \begin{cases} 2x, & \mbox{si }x\ge 0 \\ -2x, & \mbox{si }x \le 0\end{cases}$ .

f???(x) ??s el dobre de la funci?? valor absolut, i aquesta no t?? derivada al punt zero. Exemples similars mostren que hi ha funcions que tenen k derivades per a qualsevol nombre k no negatiu per?? no tenen derivada d'ordre (k + 1). De una funci?? que t?? k derivades successives es diu que ??s k vegades derivable. Si a dem??s la derivada d'ordre k ??s cont??nua, llavors es diu que la funci?? ??s de classe C^k. De una funci?? que t?? infinites derivades se'n diu infinitament derivable .

En la recta real, totes les funcions polin??miques s??n infinitament derivables. Aplicant les regles de derivaci??, si un polinomi de grau n es deriva n cops, esdev?? una funci?? constant. Totes les seves subseq??ents derivades s??n id??nticament zero. Per tant els polinomis s??n funcions infinitament derivables.

Les derivades d'una funci?? f en un punt x subministren aproximacions polin??miques a la funci?? en la proximitat del punt x. Per exemple, si f ??s derivable dos cops, llavors

$f(x+h) \approx f(x) + f'(x)h + \tfrac12 f''(x) h^2$

En el sentit de que

$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x) - f'(x)h - \frac12 f''(x) h^2}{h^2}=0.$

Si f ??s infinitament derivable, llavors aquest ??s el comen??ament de la s??rie de Taylor de f.

[edita] Notacions de la derivada

Article principal: Notaci?? de la derivada

[edita] Notaci?? de Leibniz

Article principal: Notaci?? de Leibniz

La notaci?? de les derivades introdu??da per Gottfried Leibniz ??s una de les primeres. Encara es fa servir habitualment quant l'equaci?? y=f(x) ??s vista com una relaci?? funcional entre variables dependents i independents . Llavors la derivada primera es denota per

$\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),\;\;\mathrm{o}\;\; \frac{d}{dx}f(x).$

Les derivades d'ordre superior s'expressen fent servir la notaci??

$\frac{d^ny}{dx^n}, \quad\frac{d^nf}{dx^n}(x), \;\;\mathrm{o}\;\; \frac{d^n}{dx^n}f(x)$

Per a la derivada n??ssima de y = f(x) (respecte de x).

Amb la notaci?? de Leibniz, es pot escriure la derivada de y al punt x = a de dues formes diferents:

$\frac{dy}{dx}\left.{\!\!\frac{}{}}\right|_{x=a} = \frac{dy}{dx}(a).$

La notaci?? de Leibniz permet de especificar la variable respecte a la qual s'est?? derivant en el denominador. Aix?? ??s especialment rellevant en les derivades parcials. Aix?? tamb?? fa m??s f??cil de recordar la regla de la cadena:^[6]

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.$

[edita] Notaci?? de Lagrange

Una de les notacions modernes m??s habituals per a la derivada ??s deguda a Joseph Louis Lagrange i fa servir el s??mbol prima, de forma que la derivada d'una funci?? f(x) es denota com f???(x) o simplement f???. De forma similar les derivades segona i tercera es denoten

$(f')'=f''\,$ ??? and ??? $(f'')'=f'''\,.$

M??s enll?? d'aquest punt, alguns autors fan servir nombres romans com ara

$f^{\mathrm{iv}}\,$

Per a la derivada quarta, mentre que d'altres posen el nombre de la derivada entre par??ntesi:

$f^{(4)}\,$

Aquesta ??ltima notaci?? es generalitza per donar la notaci?? f ⁽ⁿ⁾ per a la derivada n??ssima de f ??? aquesta notaci?? ??s m??s ??til quan es vol parlar de les derivades com una funci?? en si mateixes, donat que en aquest cas la notaci?? de Leibniz pot resultar inc??moda.

[edita] Notaci?? de Newton

Article principal: notaci?? de Newton

La notaci?? de Newton per a la derivada, consisteix en col???locar un punt damunt del nom de la funci?? per indicar una derivada. Si y = f(t), llavors

$\dot{y}$ ??? i ??? $\ddot{y}$

Indiquen, respectivament, la primera i segona derivades de y respecte de t. Aquesta notaci?? es fa servir per derivades temporals, aix?? vol dir que la variable independent de la funci?? representa el temps. ??s molt habitual en f??sica i en disciplines matem??tiques connectades amb la f??sica com ara en equacions diferencials. Encara que la notaci?? esdev?? immanejable per a derivades d'ordre superior, a la pr??ctica normalment nom??s calen derivades de segon o tercer ordre.

[edita] Notaci?? d'Euler

La notaci?? d'Euler fa servir l'operador diferencial D, que en aplicar-lo a una funci?? f dona la derivada primera Df. La derivada segona es denota D²f, i la derivada n??ssima es denota Dⁿf.

Si y = f(x) ??s una variable dependent, llavors sovint s'afegeix el sub??ndex x a la D per aclarir que la variable dependent ??s x. La notaci?? d'Euler llavors s'escriu

$D_x y\,$ ??? or ??? $D_x f(x)\,$ ,

Tot i que aquest sub??ndex sovint s'omet quant la variable x queda sobreentesa, per exemple quant ??s la ??nica variable present a l'expressi??.

La notaci?? d'Euler ??s ??til per establir i resoldre equacions diferencials lineals.

[edita] C??lcul de la derivada

La derivada d'una funci??, en principi, es pot calcular a partir de la definici?? a base de plantejar el quocient de difer??ncies i calculant el seu l??mit. Fer alguns exemples, vegeu Derivada (exemples). A la pr??ctica, un cop es coneixen les derivades d'unes quantes funcions senzilles, les derivades d'altres funcions es calcules m??s f??cilment fent servir regles d'obtenci?? de les derivades de funcions m??s complicades a partir de funcions m??s senzilles.

[edita] Derivades de funcions elementals

Article principal: Taula de derivades

??s ??til saber les derivades d'algunes funcions habituals.

Funci?? F: primitiva de f	funci?? f: derivada de F
$f\left(x\right) = k$	$f'\left(x\right) = 0$
$f\left(x\right) = x$	$f'\left(x\right) = 1$
$f\left(x\right) = x^n$	$f'\left(x\right) = nx^{n-1}$
$f\left(x\right) = \sqrt{x}$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$f\left(x\right) = e^x$	$f'\left(x\right) = e^x$
$f\left(x\right) = \ln(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{x}$
$f\left(x\right) = a^x (a > 0)$	$f'\left(x\right) = a^x \ln(a)$
$f\left(x\right) = \log_{b}(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{ln{b}}\frac{1}{x}$
$f\left(x\right) = \frac{1}{x^n} = (x^n)^{-1} = x^{-n}$	$f'\left(x\right) = -nx^{-n-1}$
$f\left(x\right) = \sin(x)$	$f'\left(x\right) = \cos(x)$
$f\left(x\right) = \cos(x)$	$f'\left(x\right) = -\sin(x)$
$f\left(x\right) = \tan(x)$	$f'\left(x\right) = \sec^2(x)$
$f\left(x\right) = \csc(x)$	$f'\left(x\right) = -\csc(x)\cot(x)$
$f\left(x\right) = \sec(x)$	$f'\left(x\right) = \sec(x)\tan{x}$
$f\left(x\right) = \cot(x)$	$f'\left(x\right) = -\csc^2(x)$
$f\left(x\right) = \arcsin(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f\left(x\right) = \arccos(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f\left(x\right) = \arctan(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{1+x^2}$

[edita] Regles per al c??lcul de derivades

Article principal: regles de derivaci??

En molts cassos, es poden evitar els c??lculs complicats que dona la aplicaci?? directa del quocient de difer??ncies de Newton a base de fer servir diferents regles de derivaci??. Algunes de les m??s b??siques s??n les seg??ents.

Nom	Regla
Linealitat de la derivaci??	??? $D[\alpha f(x)+ \beta g(x)] = \alpha f'(x) + \beta g'(x)\,$ ^[7] $\qquad \alpha, \beta \in \R$
Regla del producte (o de Leibniz)	??? $D [ {f(x)g(x)}] = D [ f(x) ] \cdot g(x) + f(x) \cdot D [ g(x) ]$
Regla de Leibniz (o del producte generalitzada)	??? $(f \cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}$
Regla del quocient	??? $D {f(x) \over g(x)} = {f'(x)g(x) - f(x)g'(x) \over g(x)^2}$
Regla de la ra?? inversa d'una funci??	??? $D{1 \over f(x)} = -{f'(x) \over f(x)^2}$
Regla de la funci?? inversa	??? $D \left( f^{-1} (x) \right) = {1 \over f'( f^{-1}(x))}$
Regla de la cadena	??? $D \left[ f \left( g(x) \right) \right] = f' \left( g(x) \right) \cdot g'(x)$
Regla de la funci?? impl??cita	??? $\frac{dy}{dx}=-\frac{{\partial F}/{\partial x}\;}{{\partial F}/{\partial y}\;}\quad F\left( x,y \right)=0$

[edita] Exemple de c??lcul

La derivada de

$f(x) = x^4 + \sin (x^2) - \ln(x) e^x + 7\,$

??s

$\begin{align} f'(x) &= 4 x^{(4-1)}+ \frac{d\left(x^2\right)}{dx}\cos (x^2) - \frac{d\left(\ln {x}\right)}{dx} e^x - \ln{x} \frac{d\left(e^x\right)}{dx} + 0 \\ &= 4x^3 + 2x\cos (x^2) - \frac{1}{x} e^x - \ln(x) e^x. \end{align}$

Aqu?? la derivada del segon terme s'ha calculat fent servir la regla de la cadena i la del tercer fent servir la regla del producte: tamb?? s'han utilitzat les derivades conegudes de les funcions x??, x⁴, sin(x), ln(x) i exp(x) = e^x.

[edita] Aplicacions

[edita] C??lcul de m??xims i m??nims

Article principal: M??xims i m??nims

Una de les aplicacions m??s importants del c??lcul de derivades ??s per a trobar els valors extrems (m??xims i m??nims) normalment per als processos d'optimitzaci??. Els extrems normalment estan als punts on la derivada ??s zero. Una funci?? pot tenir un extrem en un punt i no ser derivable en el punt, per?? si ??s derivable llavors la derivada ??s zero, en el que segueix es fa refer??ncia nom??s a les funcions que s??n localment derivables. Tamb?? pot ser que la derivada sigui zero i la funci?? no tingui un extrem al punt, per aix?? per trobar els extrems a m??s de trobar els punts on la derivada ??s zero, tamb?? cal verificar si al punt la funci?? presenta efectivament un extrem. Com a exemple es cosidera el seg??ent polinomi:

$\begin{align} f\left( x \right) &=\frac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x \\ f^{'}\left( x \right) &=x^{2}-4x+3 \\ f^{''}\left( x \right) &=2x-4 \end{align}$

La figura mostra les gr??fiques de $f (x)$ , $f'(x)$ i $f''(x)$ .

[edita] Tangents horitzontals

Si una funci?? $f\colon (a,b) \to \mathbb{R}$ amb $(a,b) \subset \mathbb{R}$ t?? un m??xim al punt $x_0 \in (a,b)$ i ??s derivable en tot punt $x$ d'aquest interval, com que $f(x_0) \ge f(x)$ , la derivada de $f$ en el punt $x 0$ nom??s pot ser zero: $f'(x 0) = 0$ (els quocients de difer??ncies dels punts m??s petits que $x 0$ s??n tots positius i els de punts m??s grans s??n tots positius). Una afirmaci?? equivalent es pot establir en el cas que $f$ presenti un m??nim a $x 0$ .

La interpretaci?? geom??trica d'aix?? donada per Fermat ??s que al punt $x 0$ la funci?? t?? una tangent paral???lela a l???eix x o tamb?? es pot dir una tangent horitzontal.

Per tant, pel cas de funcions derivables, una condici?? necess??ria per que la funci?? tingui un extrem en un punt, ??s que la derivada de la funci?? valgui 0 al punt: $f^{\prime}(x_0)=0$

El rec??proc no ??s cert, encara que la derivada tingui un zero a l'interval, no es pot afirmar que la funci?? hi tingui un extrem, per exemple, podria ser, que hi hagu??s un punt de sella. A l'article valors extrems es dona una llista de condicions suficients tals que el seu compliment permet assegurar que es tracta d'un extrem. Aquestes condicions fan servir la derivada segona o fins i tot derivades d'ordre superior.

[edita] Condicions necess??ries i suficients a l'exemple

A l'exemple

$f'(x) = x^2 - 4 \cdot x + 3.$

D'aqu?? resulta que la condici?? de que $f^{\prime}(x)=0$ , per als punts $x = 1$ i $x = 3$ es compleix exactament. Els valors de la funci?? en aquests punts ??s $f (1) = 4 / 3$ i $f (3) = 0$ respectivament, per tant, la corba t?? tangents horitzontals a $(1\mid 4/3)$ i $(3\mid 0)$ , i nom??s en aquests punts.

A dem??s com que es dona la seg??ent successi?? de valors

$f(0)=0,\quad f(1)=\frac{4}{3},\quad f(3)=0,\quad f(4)=\frac{4}{3}$

On la funci?? creix i decreix, hi ha d'haver necess??riament un m??xim i un m??nima i com que els punts trobars s??n els ??nic que hi ha que compleixen amb la condici?? de tenir tangents horitzontals, han de ser: hi ha un m??xim a $(1\mid 4/3)$ i un m??nim a $(3\mid 0)$ .

[edita] Tra??at de corbes

Amb la ajuda de les derivades encara es poden analitzar m??s caracter??stiques de la funci??, com ara punts d'inflexi??, punts de sella i convexitat o la monotonia. L'estudi d'aquestes caracter??stiques es descriu a l'article tra??at de corbes.

[edita] Equacions diferencials

Article principal: Equaci?? diferencial

Un altre aplicaci?? important del c??lcul diferencial es dona en la modelitzaci?? matem??tica processos. El creixement, el moviment o les forces troben tots relaci?? amb les derivades, la formulaci?? on apareixen ha de contenir derivades. T??picament, aix?? condueix a la formulaci?? d'[equacions diferencials]] on apareixen les derivades de la funci?? inc??gnita.

Per exemple, la llei de Newton del moviment,

$\mathbf{F}(t) = m \mathbf{a}(t) = m \ddot \mathbf{s} = m\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{s}} {\mathrm{d}t^2}$

Enlla??a la acceleraci?? d'un cos $\mathbf{a}$ amb la seva massa $m$ i la for??a aplicada Kraft $\mathbf{F}$ . Llavors el problema b??sic de la mec??nica consisteix en obtenir la posici?? del cos a partir de la seva acceleraci??. Aquesta tasca, la inversa de una doble derivaci??, t?? la forma matem??tica d'una equaci?? diferencial de segon ordre. La dificultat matem??tica d'aquest problema ve de que la posici??, la velocitat i la acceleraci??, s??n vectors que no tenen sempre la mateixa direcci?? i que la for??a, de vegades, ??s una funci?? del temps i/o de la posici??.

Com que molts models s??n multidimensionals, sovint s??n molt importants les derivades parcials que s'expliquen m??s endavant, amb les quals es formules equacions en derivades parcials.

[edita] Un exemple d'aplicaci?? del c??lcul diferencial

Per exemple en macroeconomia s'analitzen diferents models de funcions de producci?? per millorar el coneixement de les relacions macroecon??miques. Aquests s??n tots els comportaments t??pics d'una funci?? macroecon??mica d'inter??s: C??m reacciona la variable dependent de sortida (producci?? d'un b??) si la entrada (factor productiu, per exemple treball o capital augmenta) s'augmenta una unitat (infinitesimalment) petita?

Un tipus b??sic de funci?? de producci??, ??s per exemple, la funci?? de producci?? neocl??ssica. Es caracteritza perqu?? la producci?? augmenta per a cada augment addicional del factor de producci??, per?? l'augment disminueix progressivament. Per exemple, una empresa te la funci?? de producci??

$y = f(x) = \sqrt{400x-4}\ \mathrm{per}\ x \ge 100$

La derivada primera d'aquesta funci??, obtinguda aplicant la regla de la cadena ??s

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2}({400x-4})^{-\frac{1}{2}} \cdot 400 = \frac{200}{\sqrt{400x-4}}$ .

Com que la arrel quadrada nom??s pot tenir valor positiu, es veu que la producci?? nom??s pot cr??ixer per a cada augment addicional del factor de producci??. La derivada segona ??s: $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = 200 \left(-\frac{1}{2} \right) ({400x-4})^{-\frac{3}{2}} \cdot 400 = -\frac{40.000}{\sqrt{(400x-4)^3}}$ .

Que esdev?? negativa a tot arreu, per tant, el ritme d'augment disminueix. Per tant, es pot afirmar, que en augmentar els inputs, els outputs augmenten de forma menys que proporcional.

[edita] Derivades en dimensions superiors

Vegeu tamb??: c??lcul vectorial i c??lcul multivariable

[edita] Derivades de funcions vectorials

Una funci?? vectorial y(t) d'una variable real ??s una funci?? que a cada nombre real li fa correspondre un vector d'algun espai vectorial Rⁿ. Una funci?? vectorial es pot partir en les seves funcions coordenades y₁(t), y₂(t), ???, y_n(t), aix?? vol dir que y(t) = (y₁(t), ..., y_n(t)). Aix?? inclou, per exemple, corves param??triques a R² o R³. Les funcions coordenades s??n funcions reals, per tant es pot aplicar la definici?? de derivada de m??s amunt. La derivada de y(t) es defineix com el vector, anomenat vector tangent, que t?? com a coordenades les derivades de les funcions coordenades. Es a dir,

$\mathbf{y}'(t) = (y'_1(t), \ldots, y'_n(t)).$

El que ??s equivalent a

$\mathbf{y}'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{y}(t+h) - \mathbf{y}(t)}{h},$

Si el l??mit existeix. La resta del numerador ??s una resta de vectors, no de escalars. Si la derivada de y existeix per a cada valor de t, llavors y??? ??s un altre funci?? vectorial.

Si e₁, ???, e_n ??s la base est??ndard de Rⁿ, llavors y(t) tamb?? es pot escriure com y₁(t)e₁ + ??? + y_n(t)e_n. Si s'assumeix que la derivda d'una funci?? vectorial mant?? la propietat de la linealitat, llavors la derivada de y(t) ha de ser

$y'_1(t)\mathbf{e}_1 + \cdots + y'_n(t)\mathbf{e}_n$

Perqu?? cada un dels vectors de la base ??s una constant.

Aquesta generalitzaci?? ??s ??til, per exemple, si y(t) ??s el vector posici?? d'una part??cula a l'instant t; llavors la derivada y???(t) ??s el vector velocitat de la part??cula a l'instant t.

[edita] Derivades parcials

Article principal: Derivada parcial

Suposant que f ??s una funci?? que dep??n de m??s d'una variable. Per exemple,

$f(x,y) = x^2 + xy + y^2.\,$

f es pot reinterpretar com una fam??lia de funcions d'una variable indexades per les altres variables:

$f(x,y) = f_x(y) = x^2 + xy + y^2.\,$

En altres paraules, cada valor de x selecciona una funci??, escrita com f_x, que ??s funci?? nom??s de un nombre real.^[8] Aix?? ??s,

$x \mapsto f_x,\,$

$f_x(y) = x^2 + xy + y^2.\,$

Un co s'ha riat un valor de x, per exemple a, llavors f(x,y) determina una funci?? f_a que fa correspondre a?? + ay + y?? a y:

$f_a(y) = a^2 + ay + y^2.\,$

En aquesta expressi??, a ??s una constant, no una variable, per tant f_a ??s una funci?? nom??s de una variable real. En conseq????ncia es pot aplicar la definici?? de la derivada d'una funci?? d'una variable:

$f_a'(y) = a + 2y.\,$

El proc??s anterior es pot repetir per a qualsevol valor de a. Ajuntant totes aquestes derivades s'obt?? una funci?? que descriu la variaci?? de f en la direcci?? y:

$\frac{\part f}{\part y}(x,y) = x + 2y.$

Aquesta ??s la derivada parcial de f respecte de y. Aqu?? ???, una d arrodonida ??s el s??mbol derivada parcial. Per a distingir-lo de la lletra d, ??? es pronuncia "derivada parcial".

En general, la derivada parcial d'una funci?? f(x₁, ???, x_n) en la direcci?? x_i al punt (a₁ ???, a_n) es defineix com:

$\frac{\part f}{\part x_i}(a_1,\ldots,a_n) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,\ldots,a_i+h,\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots,a_n)}{h}.$

En el quocient de difer??ncies de dalt, totes les variables tret de x_i es mantenen fixes. Aquesta selecci?? de valors fixos determina una funci?? d'una variable

$f_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}(x_i) = f(a_1,\ldots,a_{i-1},x_i,a_{i+1},\ldots,a_n)$

I, per definici??,

$\frac{df_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}}{dx_i}(a_1,\ldots,a_n) = \frac{\part f}{\part x_i}(a_1,\ldots,a_n).$

En altres paraules, les diferents eleccions de a indexen una fam??lia de funcions d'una variable precisament com a l'exemple de m??s amunt. Aquesta expressi?? tamb?? mostra que el c??lcul de derivades parcials es redueix al c??lcul de derivades de funcions d'una variable.

Un exemple important d'una funci?? de varies variables ??s el cas d'una funci?? escalar f(x₁,...x_n) sobre un domini a l'espai euclidi?? Rⁿ (per exemple, sobre R?? o R??). En aquest cas f t?? una derivada parcial ???f/???x_j respecte de cada variable x_j. Al punt a, aquestes derivades parcials defineixen el vector

$\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right).$

D'aquest vector se'n diu el gradient de f a a. Si f ??s derivable a tots els punts en algun domini, llavors el gradient ??s una funci?? vectorial ???f que assigna al punt a el vector ???f(a). En conseq????ncia, el gradient determina un camp vectorial.

[edita] Derivades direccionals

Article principal: Derivada direccional

Si f ??s una funci?? real en Rⁿ, llavors les derivades parcials de f mesuren la seva variaci?? en la direcci?? dels eixos de coordenades. Per exemple, si f ??s una funci?? de x i de y, llavors les seves derivades parcials mesuren la variaci?? de f en la direcci?? x i la direcci?? y. En canvi, no mesuren directament la variaci?? de f en cap altre direcci??, com ara al llarg de la diagonal y = x. Aquestes variacions es mesuren fent servir les derivades direccionals. Donat un vector

$\mathbf{v} = (v_1,\ldots,v_n).$

La derivada direccional de f en la direcci?? de v al punt x ??s el l??mit

$D_{\mathbf{v}}{f}(\boldsymbol{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\boldsymbol{x} + h\mathbf{v}) - f(\boldsymbol{x})}{h}}.$

Sia ?? un escalar. Si en l'expressi?? anterior, es substitueix h per ??h, el l??mit quan h tendeix a zero ??s el mateix, per tant:

$\text{D}_{\mathbf{v}}f\left( \mathbf{x} \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( \mathbf{x}+\lambda h\mathbf{v} \right)-f\left( \mathbf{x} \right)}{\lambda h}$

I multiplicant per ?? als dos cantons queda:

$\begin{align} \lambda \left( \text{D}_{\mathbf{v}}f\left( \mathbf{x} \right) \right)& =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( \mathbf{x}+\lambda h\mathbf{v} \right)-f\left( \mathbf{x} \right)}{h} \\ & =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( \mathbf{x}+h\left( \lambda \mathbf{v} \right) \right)-f\left( \mathbf{x} \right)}{h} \\ & =\text{D}_{\lambda \mathbf{v}}f\left( \mathbf{x} \right) \end{align}$

Per tant, la derivada direccional en la direcci?? ??v ??s ?? cops la derivada direccional en la direcci?? v. Degut a aix??, sovint les derivades direccionals nom??s es calculen per a vectors unitaris v.

Si les derivades parcials de f existeixen i s??n cont??nues a x, llavors determinen la derivada direccional de f en la direcci?? v per la f??rmula:

$D_{\mathbf{v}}{f}(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^n v_j \frac{\partial f}{\partial x_j}.$

Aix?? ??s conseq????ncia de la definici?? de la derivada total. D'aix?? resulta que la derivada direccional ??s lineal en v.

La mateixa definici?? tamb?? funciona quan f ??s una funci?? amb valors a R^m. No m??s es fa servir la definici?? de dalt en cada component dels vectors. En aquest cas, la derivada direccional ??s un vector de R^m.

[edita] La derivada total, el diferencial total i el Jacobi??

Article principal: Derivada total

Sia f des de un domini de R en R. La derivada de f en un punt a del seu domini, ??s la millor aproximaci?? lineal de f en aquest punt. Tal com s'ha explicat m??s amunt ??s un nombre. Geom??tricament, si v ??s un vector unitari amb origen a a, llavors f??? (a) , la millor aproximaci?? lineal de f a a, ha de ser la longitud del vector que s'obt?? a base de moure v a l'espai dest??, fent servir f. En altres paraules, si v es mesura en termes de dist??ncies a l'espai dest??, llavors, degut a que v nom??s es pot mesurar a trav??s de f, v ja no sembla que sigui un vector unitari perqu?? f no preserva els vectors unitaris. En comptes d'aix??, v aparenta tenir longitud f??? (a). Si m ??s m??s gran que u, llavors al escriure f fent servir funcions coordenades, la longitud de v en cada una de les direccions coordenades es pot mesurar per separat.

Ara se suposa que f ??s una funci?? d'un domini en Rⁿ a R^m i que a ??s un punt en el domini de f. La derivada de f a a encara hauria de ser la millor aproximaci?? lineal de f a a. En altres paraules, si v ??s un vector de Rⁿ, llavors f??? (a) hauria de ser la transformaci?? lineal que millor aproxima f. La traformaci?? lineal hauria de contenir tota la informaci?? sobre com f transforma vectors a a en vectors a f(a), i en simbols, aix?? significa que ha de ser la transformaci?? lineal f??? (a) tal que

$\lim_{||\mathbf{h}||\rightarrow 0} \frac{||f(\mathbf{a}+\mathbf{h}) - f(\mathbf{a}) - f'(\mathbf{a})\mathbf{h}||}{||\mathbf{h}||} = 0.$

Aqu?? h ??s un vector de Rⁿ, per tant la norma en el denominador ??s la longitud est??ndard de Rⁿ. Ara b??, f??? (a)h ??s un vector de R^m, i la norma en el numerador ??s la longitud est??ndard en R^m. La transformaci?? lineal f??? (a), si existeix, es diu la derivada total de f a a o el diferencial(total) de f a a.

Si la derivada total existeix a a, llavors totes les derivades parcials de f existeixen a a. Si s'escriu f fent servir funcions coordenades, de forma que f = (f₁, f₂, ..., f_m), llavors la derivada total es pot expressar com una matriu anomenada el Jacobi?? de f a a:

$f'(\mathbf{a}) = \text{Jac}_{\mathbf{a}} = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)_{ij}.$

L'exist??ncia del jacobi?? ??s estrictament m??s forta que l'exist??ncia de les derivades parcials, per?? si les derivades parcials existeixen i satisfan unes condicions moderades de suavitat, llavors la derivada total existeix i ve donada pel jacobi??.

La definici?? de la derivada total subsumeix la definici?? de la derivada en una variable. En aquest cas, la derivada total existeix si i nomes si la derivada la derivada usual existeix. La matriu jacobiana es redueix a una matriu de 1??1 l'??nic coeficient de la qual ??s la derivada f??? (x). Aquesta matriu de 1??1 satisf?? la propietat de que f(a + h) ??? f(a) ??? f???(a)h ??s aproximadament zero, en altres paraules que

$f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h.$

Tret del canvi de variables, aquesta ??s la afirmaci?? de que la funci?? $x \mapsto f(a) + f'(a)(x-a)$ ??s la millor aproximaci?? lineal de f a a.

La derivada total d'una funci?? no dona un altre funci?? de la mateixa forma que en el cas d'una variable. Aix?? ??s degut a que la derivada total d'una funci?? multivariable ha d'enregistrar molta m??s informaci?? que la derivada d'una funci?? d'una sola variable. En comptes d'aix??, la derivada total dona una funci?? del fibrat tangent de l'origen en el fibrat tangent del dest??.

[edita] Generalitzacions

Article principal: Derivada (generalitzacions)

El concepte de derivada es pot estendre a molts altres plantejaments. El fil conductor com?? ??s que la derivada d'una funci?? en un punt serveix com a aproximaci?? lineal de la funci?? al punt.

Una generalitzaci?? important de la derivada afecta a les funcions complexes de variable complexa, aquestes funcions, com a funcions de (domini en) els nombres complexos C en (recorregut en) C. La noci?? de la derivada d'aquesta mena de funcions s'obt?? substituint les variables reals per variables complexes en la definici?? de derivada. Ara b??, aquesta identificaci?? innocent amaga algunes propietats molt profundes. Si C s'identifica amb R?? a base d'escriure els nombres complexos z com a x + i y, llavors una funci?? derivable de C en C ??s, certament, derivable com una funci?? de R?? en R?? (en el sentit de que totes les seves derivades parcials existeixen), per??, el general, el rec??proc no ??s cert: la derivada complexa nom??s existeix si la derivada real ??s complex lineal i aix?? imposa relacions entre les derivades parcials anomenades les Equacions de Cauchy-Riemann ??? vegeu Funci?? holomorfa.

un altre generalitzaci?? afecta a les funcions entre varietats diferenciables. Intu??tivament parlant una varietat M ??s un espai que al voltant de cada punt x es pot aproximar pe un espai vectorial anomenat el seu espai tangent: l'exemple prototipus ??s una superf??cie derivable de R??. Llavors la derivada (o diferencial) d'una funci?? (derivable) f: M ??? N entre varietats, en un punt x de M, ??s una aplicaci?? lineal de l'espai tangent de M ax en l'espai tangent de N a f(x). La funci?? derivada esdev?? una aplicaci?? entre els fibrats tangents de M i N. Aquesta definici?? ??s fonamental en geometria diferencial i t?? moltes aplicacions.

La derivaci?? tamb?? es pot definir per a funcions entre espais vectorials de [[dimensi??] infinita com ara els espais de Banach i els espais de Fr??chet . Hi ha una generalitzaci?? tant de la derivada direccional, anomenada la derivada de G??teaux, com de la diferencial, anomenada la derivada de Fr??chet.

Una defici??ncia de la derivada cl??ssica ??s que no hi ha gaires funcions que siguin derivables. No obstant aix??, hi ha una forma d'estendre la noci?? de derivada de forma que totes les funcions cont??nues (i moltes altres funcions) s??n derivables fent servir el concepte conegut com la derivada feble . La idea ??s incloure les funcions cont??nues en un espai m??s gran anomenat l'espai de les distribucions i nomes exigir que una funci?? sigui derivable "en promig".

Les propietats de les derivades han inspirat la introducci?? i l'estudi de molts objectes similars en ??lgebra i topologia ??? vegeu, per exemple, ??lgebra diferencial.

Vegeu tamb?? derivada aritm??tica.

[edita] Notes

??? Differential calculus, as discussed in this article, is a very well-established mathematical discipline for which there are many sources. Almost all of the material in this article can be found in Apostol 1967, Apostol 1969, and Spivak 1994.
??? Spivak 1994, chapter 10.
??? See Differential (infinitesimal) for an overview. Further approaches include the Radon-Nikodym theorem, and the universal derivation (see K??hler differential).
??? Tot i aix??, encara ??s possible calcular la derivada en el sentit de les distribucions. El resultat ??s nou cops la Delta de Dirac centrada a a.
??? Banach, S. (1931). ??Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen??. Studia. Math. (3): pp. 174- 179.. Cited by Hewitt, E and Stromberg, K (1963). Real and abstract analysis, Springer-Verlag, Theorem 17.8.
??? En la formulaci?? del c??lcul infinitesimal en termes de l??mits, al s??mbol du se li han assignat diversos significats pel diferents autors. Alguns autors no li assignen significat a du per si mateix, sin?? com a par del s??mbol du/dx. Altres defineixen "dx" com una variable independent, i defineixen du per du = dx???f??? (x). En an??lisi no est??ndard du es defineix com un infinitesimal. Aix?? tamb?? s'interpreta com la derivada exterior du d'una funci?? u. Vegeu diferencial (infinitesimal) per a m??s informaci??.
??? D[f(x)] e f'(x) sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata
??? This can also be expressed as the adjointness between the product space and function space constructions.

[edita] Refer??ncies

[edita] Impreses

Anton, Howard; Bivens, Irl & Davis, Stephen (February 2, 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8th ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0471472445
Apostol, Tom M. (June 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0471000051
Apostol, Tom M. (June 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0471000075
Eves, Howard (January 2, 1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0030295584
Larson, Ron; Hostetler, Robert P. & Edwards, Bruce H. (February 28, 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4th ed.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0618606245
Spivak, Michael (September 1994), Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, ISBN 978-0914098898
Stewart, James (December 24, 2002), Calculus (5th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0534393397
Thompson, Silvanus P. (September 8, 1998), Calculus Made Easy (Revised, Updated, Expanded ed.), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0312185480

[edita] Llibres Online

Crowell, Benjamin (2003), Calculus, <http://www.lightandmatter.com/calc/>
Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus, <http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/>
Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus, <http://www.understandingcalculus.com/>
Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, <http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html>
Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, <http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html>
Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations, <http://math.furman.edu/~dcs/book/>
Strang, Gilbert (1991), Calculus, <http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm>
Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, <http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm>
Wikibooks, Calculus, <http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus>

[edita] Vegeu tamb??

C??lcul infinitesimal
Derivaci?? autom??tica
Funci?? cont??nuament derivable
Integral
Linealitzaci??
Derivaci?? num??rica
Taula de derivades

[edita] Enlla??os externs

WIMS Calculadora de funcions fa c??lculs online de derivades; aquest software tamb?? permet exercicis interactius.
Calculadora online de derivades.
Suport Matem??tic a la Xarxa c??lcul online de derivades, incloent-hi l'explicaci?? dels passos per trobar la soluci??.
Proving Derivatives from First Principles.
Pr??ctiques de c??lcul de derivades de funcions generades aleat??riament

Categories: Derivaci?? | Viquip??dia:Articles destacats en llombard

Categories ocultes: Viquip??dia:Articles destacats en alemany | Viquip??dia:Articles destacats en maced??nic