Derivada

De Viquipèdia

A cada punt, la derivada és el pendent de la recta que és tangent a la corba. La recta de color vermell és sempre tangent a la corba blava; el seu pendent és la derivada.

En càlcul infinitesimal, la derivada és una mesura de com canvia una funció al canviar el valor de les seves variables. Intuïtivament pot dir-se que la derivada és la rapidesa en que varia una quantitat en un punt donat. Per exemple, la derivada de la posició d'un cotxe en un moment donat, és la velocitat instantània a que va el cotxe en aquell moment. (recíprocament, la integral de la velocitat del cotxe és la seva posició).

La derivada de la funció en un punt donat descriu la millor aproximació lineal de la funció en el punt. Per a una funció real d'una variable real, la derivada en un punt és igual al pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció en el punt. En varies dimensions, la derivada d'una funció en un punt és una aplicació lineal anomenada la linealització de la funció en el punt.^[1]

Del procés de trobar una derivada se'n diu derivació. El teorema fonamental del càlcul estableix que la derivació és el procés invers de la integració.

Taula de continguts

1 Derivació i la derivada
2 Notacions de la derivada
3 Càlcul de la derivada
4 Aplicacions
5 Derivades en dimensions superiors
6 Generalitzacions
7 Notes
8 Referències
- 8.1 Impreses
- 8.2 Llibres Online
9 Vegeu també
10 Enllaços externs

[edita] Derivació i la derivada

Pendent de la corba f(x) en el punt

x 0

és igual al pendent de la recta tangent a la corba en el punt

x 0

i és també igual a la derivada de la corba en aquest punt.‎

La Derivació és un mètode per a calcular el ritme al qual varia una quantitat, y, respecte del canvi d'un altre quantitat, x, respecte de la qual n'és una variable dependent. D'aquest ritme de canvi se'n diu la derivada de y respecte de x. Parlant amb més precisió, la dependència de y respecte de x significa que y és una funció de x. Si x e y són nombres reals, i si la gràfica de y es dibuixa respecte de x, la derivada mesura el pendent d'aquesta gràfica en cada punt. Aquesta relació funcional sovint s'indica y = f(x), on f indica la funció.

El cas més senzill és quan y és una funció lineal de x, això vol dir que la gràfica de y respecte de x és una línia recta. En aquest cas, y = f(x) = m x + c, on m i c, són nombres reals, i el pendent m ve donat per

$m={\mbox{canvi de } y \over \mbox{canvi de } x} = {\Delta y \over{\Delta x}}$

On el símbol Δ (una lletra grega delta en majúscules) és la abreviació de "canvi de" o "increment de." Aquesta fórmula és veritat perquè

y + Δy = f(x+ Δx) = m (x + Δx) + c = m x + c + m Δx = y + mΔx.

D'aquí en resulta que Δy = m Δx.

Això dona un valor exacte per al pendent d'una línia recta. En canvi, si la funció f no és lineal (es a dir, si la seva gràfica no és una línia recta), Llavors el canvi de y dividit pel canvi de x varia: la derivació és un mètode per a trobar un valor exacte per a aquest ritme de canvi a qualsevol valor donat de x.

Figura 1. La recta tangent a (x, f(x))

Figura 2. La secant a la corba y= f(x) determinada pels punts (x, f(x)) i (x+h, f(x+h)).

Figura 3. La recta tangent com a límit de secants.

La idea, tal com s'il·lustra a les figures 1,2 i 3, és de calcular el ritme de canvi com el valor límit del quocient de diferències Δy / Δx a mesura que Δx esdevé infinitament petit.

En la notació de Leibniz, aquest canvi infinitesimal de x s'escriu dx, i la derivada de y respecte de x s'escriu

$\frac{dy}{dx} \,\!$

Suggerint el quocient entre dues quantitats infinitesimals. (L'expressió anterior es llegeix: diferencial de y partit per diferencial de x.)

L'enfocament més comú ^[2] per a transformar questa idea intuïtiva en una definició precisa fa servir límits, però hi ha altres mètodes com ara l'anàlisi no Standard que utilitza directament nombres infinitesimals.^[3]

[edita] Definició via quocient de diferències

Sia y=f(x) una funció de x. La derivada de y respecte de x a a és, geomètricament parlant, el pendent de la recta tangent a la gràfica de f a a. El pendent de la tangent és molt proper al pendent de la recta que passa per (a, f(a)) i un punt molt proper en la gràfica, per exemple (a + h, f(a + h)). D'aquestes rectes se'n diu rectes secants. Un valor de h proper a zero donarà una bona aproximació al pendent de la recta tangent, i valors més petits (en valor absolut) de h donaran, en general, millors aproximacions. El pendent de la recta secant és la diferencia entre els valors de y en aquest dos punts dividida entre la diferencia entre els valors de x, és a dir,

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

Aquesta expressió és el quocient de deferències de Newton. La derivada és el valor del quocient de deferències a mesura que la secant es fa més i més propera a la tangent. Formalment, la derivada de la funció f a a és el límit

$f'(a)=\lim_{h\to 0}{f(a+h)-f(a)\over h}$

Del quocient de diferències quan h tendeix a zero, si aquest límit existeix. Si el límit existeix, llavors f és derivable a a. Aquí f′ (a) és una de les múltiples notacions de la derivada (vegeu més avall).

De forma equivalent, la derivada satisfà la propietat de que

$\lim_{h\to 0}{f(a+h)-f(a) - f'(a)\cdot h\over h} = 0,$

Que té la interpretació intuïtiva (vegeu Figura 1) de que la recta tangent a f per a dona la millor aproximació lineal

$f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h$

a f a prop de a (es a dir, per a valors de h petits). Aquesta interpretació és la que després dona el camí més fàcil per a generalitzar el concepte de derivada (vegeu més avall).

Si es substitueix h per zero al quocient de diferències apareix una divisió entre zero, per tant el pendent de la recta tangent no es pot trobar directament amb aquesta fórmula. En comptes d'això, es defineix Q(h) el quocient de la diferència com una funció de h:

$Q(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ .

Q(h) és el pendent de la secant que passa per (a, f(a)) i (a + h, f(a + h)). Si f és una funció contínua, que vol dir que la seva gràfica és una corba no trencada sense salts, llavors Q és una funció contínua fora del punt h = 0. Si el límit $\textstyle\lim_{h\to 0} Q(h)$ existeix, vol dir que hi ha una manera de triar un valor per a Q(0) que fa que la gràfica de Q sigui una funció contínua, llavors la funció f és derivable al punt a, i la seva derivada a a és igual as Q(0).

A la pràctica, l'existència de la extensió contínua del quocient de diferències Q(h) a h = 0 es mostra a base de modificar el numerador de forma que es pugui cancel·lar la h del denominador. Aquest procés pot ser llarg i tediós per a funcions complicades, normalment es fan servir moltes dreceres per a simplificar el procés.

[edita] Exemple

La funció x quadrat f(x) = x² és derivable al punt x = 3, i el valor de la seva derivada en aquest punt és 6. Això es demostra a base d'escriure el quocient de les diferències tal com segueix:

${f(3+h)-f(3)\over h} = {(3+h)^2 - 9\over{h}} = {9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} = {6h + h^2\over{h}} = 6 + h.$

Lllavors es calcula el valor de la funció simplificada en el límit:

$\lim_{h\to 0} 6 + h = 6 + 0 = 6.$

La expressió anterior mostra que el quocient de les diferències és igual a 6 + h quan h és diferent de zero i és indefinit quan h és zero. (Cal recordar que, degut a la seva definició, el quocient de les diferències sempre és indefinit quant h és zero.) Però hi ha una forma natural d'omplir la gràfica del quocient de les diferències al punt zero amb un valor, en aquest cas 6. Per tant el pendent de la gràfica de la funció x quadrat al punt (3, 9) és 6, i per tant la seva derivada a x = 3 és f '(3) = 6.

De forma més general, un càlcul similar mostra que la derivada de la funció x quadrat a x = a és f '(a) = 2a.

[edita] Continuïtat i derivabilitat

Aquesta funció no té derivada el punt assenyalat, donat que la funció no és contínua en aquest punt.

Si y = f(x) és derivable a a, llavors f també ha de ser contínua a a. Per exemple, en un punt qualsevol a sia f la funció graó que dona un valor, per exemple1, per a tot x més petit que a, i dona un valor diferent, per exemple 10, per a tot x més gran o igual que a. La funció f no pot tenir derivada a a. Si h és negativa, llavors a + h és a la part baixa del graó, per tant la recta secant entre a i a + h serà molt pendent, i a mesura que h tendeix a zero, l pendent tendeix a infinit. Si h és positiva, llavors a + h és a la part alta del graó, per tant la secant entre a i a + h serà horitzontal i tindrà pendent zero. En conseqüència la recta secant no s'aproxima a un unic pendent, per tant el límit del quocient de les diferències no existeix.^[4]

La funció valor absolut és contínua, però no és derivable a x = 0 donat que té un canto agut.

En canvi, fins i tot si una funció és contínua en un punt, pot ser que no sigui derivable en aquest punt. Per exemple, la funció valor absolut y = |x| és contínua a x = 0, però no hi és derivable. Si h és positiva, llavors el pendent de la secant des de 0 a h és 1, mentre que si h és negativa, llavors el pendent de la secant des de 0 a h és -1. Això es pot veure gràficament com un "plec" a la gràfica a x = 0. Fins i tot una funció amb una gràfica suau no és derivable en un punt quant la tangent en aquest punt és vertical: Per exemple, la funció y = ³√x no és derivable a x = 0.

La majoria de les funcions que apareixen a la pràctica tenen derivada a tots els punts o gairebé a tots els punts. En canvi, un resultat de Stefan Banach estableix que el conjunt de que tenen derivada en algun punt és un conjunt magre en l'espai de totes les funcions contínues(es a dir, no hi ha cap entorn en el conjunt de les funcions contínues on el subconjunt de les funcions derivables en algun unt sigui dens).^[5] De manera informal, això significa que les funcions derivables son molt rares entre les funcions contínues. El primer exemple conegut d'una funció que és contínua a tot arreu però que no és derivable enlloc, és la funció de Weierstrass.

[edita] La derivada com a funció

Sia f una funció que té derivada a cada punt a del seu domini. Com que a cada punt a té una derivada, hi ha una funció que ca cada punt a li fa correspondre la derivada de f al punt a. Aquesta funció s'escriu f′(x) i es diu la funció derivada o la derivada de f. La derivada de f recull totes les derivades de f a tots els punts del domini de f.

De vegades f té derivada a molts, però no a tots, el punts del seu domini. La funció que a cada punt a per al que f′(a) està definida li fa correspondre f′(a) i que no està definida en la resta de punts, també es diu la derivada de f. Aquesta funció encara és una funció, però el seu domini és estrictament més petit que el domini de f.

Fent servir aquesta idea, la derivació esdevé una funció de funcions: La derivada és un operador el domini del qual és el conjunt de totes les funcions que tenen derivades a tots els punts del seu domini i el recorregut de l'operador és un conjunt de funcions. Si s'indica aquest operador per D, llavors D(f) és la funció f′(x). Com que D(f) és una funció, es pot avaluar al punt a. Per la definició de la funció derivada, D(f)(a) = f′(a).

A tall de comparació, es considera la funció f(x) =2x; f que és una funció real sobre els nombres reals, això vol dir que agafa nombres com a arguments i que dona nombres com a resultats:

$\begin{align} 1 &{}\mapsto 2,\\ 2 &{}\mapsto 4,\\ 3 &{}\mapsto 6. \end{align}$

L'operador D, en canvi, no està definit sobre nombres individuals. Només està definit sobre funcions:

$\begin{array}{l} \left( {y = 1} \right) \to \left( {y = 0} \right) \\ \left( {y = x} \right) \to \left( {y = 1} \right) \\ \left( {y = x^2 } \right) \to \left( {y = 2x} \right) \\ {\rm{ }} \\ \end{array}$

Com que el resultat de D és una funció, el resultat de D es pot avaluar en un punt. Per exemple, quant D s'aplica a la funció de elevar al quadrat,

$D\left( {y = x^2 } \right) = \left( {y = 2x} \right)$

Dona la funció duplicar, de la qual en diem f'(x). Llavors aquesta funció resultat es pot avaluar per a obtenir f(1) = 2, f(2) = 4, i així.

[edita] Derivades d'ordre superior

Sia f una funció derivable, i sia f′(x) la seva derivada. La derivada de f′(x) (si en té una) s'escriu f′′(x) i es diu la derivada segona def. De forma similar, la derivada de la segona derivada, si existeix, s'escriu f′′′(x) i es diu la derivada tercera def. D'aquestes derivades repetides se'n diu derivades d'ordre superior.

Una funció f no té perquè tenir derivada, per exemple, si no és contínua. De forma similar, fins i tot si f té derivada, pot ser que no tingui derivada segona. Per exemple, sia

$f(x) = \begin{cases} x^2, & \mbox{si }x\ge 0 \\ -x^2, & \mbox{si}x \le 0\end{cases}$ .

Un càlcul elemental mostra que f és una funció derivable que té com a funció derivada

$f'(x) = \begin{cases} 2x, & \mbox{si }x\ge 0 \\ -2x, & \mbox{si }x \le 0\end{cases}$ .

f′(x) és el dobre de la funció valor absolut, i aquesta no té derivada al punt zero. Exemples similars mostren que hi ha funcions que tenen k derivades per a qualsevol nombre k no negatiu però no tenen derivada d'ordre (k + 1). De una funció que té k derivades successives es diu que és k vegades derivable. Si a demés la derivada d'ordre k és contínua, llavors es diu que la funció és de classe C^k. De una funció que té infinites derivades se'n diu infinitament derivable .

En la recta real, totes les funcions polinòmiques són infinitament derivables. Aplicant les regles de derivació, si un polinomi de grau n es deriva n cops, esdevé una funció constant. Totes les seves subseqüents derivades són idènticament zero. Per tant els polinomis són funcions infinitament derivables.

Les derivades d'una funció f en un punt x subministren aproximacions polinòmiques a la funció en la proximitat del punt x. Per exemple, si f és derivable dos cops, llavors

$f(x+h) \approx f(x) + f'(x)h + \tfrac12 f''(x) h^2$

En el sentit de que

$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x) - f'(x)h - \frac12 f''(x) h^2}{h^2}=0.$

Si f és infinitament derivable, llavors aquest és el començament de la sèrie de Taylor de f.

[edita] Notacions de la derivada

Article principal: Notació de la derivada

[edita] Notació de Leibniz

Article principal: Notació de Leibniz

La notació de les derivades introduïda per Gottfried Leibniz és una de les primeres. Encara es fa servir habitualment quant l'equació y=f(x) és vista com una relació funcional entre variables dependents i independents . Llavors la derivada primera es denota per

$\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),\;\;\mathrm{o}\;\; \frac{d}{dx}f(x).$

Les derivades d'ordre superior s'expressen fent servir la notació

$\frac{d^ny}{dx^n}, \quad\frac{d^nf}{dx^n}(x), \;\;\mathrm{o}\;\; \frac{d^n}{dx^n}f(x)$

Per a la derivada nèssima de y = f(x) (respecte de x).

Amb la notació de Leibniz, es pot escriure la derivada de y al punt x = a de dues formes diferents:

$\frac{dy}{dx}\left.{\!\!\frac{}{}}\right|_{x=a} = \frac{dy}{dx}(a).$

La notació de Leibniz permet de especificar la variable respecte a la qual s'està derivant en el denominador. Això és especialment rellevant en les derivades parcials. Això també fa més fàcil de recordar la regla de la cadena:^[6]

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.$

[edita] Notació de Lagrange

Una de les notacions modernes més habituals per a la derivada és deguda a Joseph Louis Lagrange i fa servir el símbol prima, de forma que la derivada d'una funció f(x) es denota com f′(x) o simplement f′. De forma similar les derivades segona i tercera es denoten

$(f')'=f''\,$ and $(f'')'=f'''\,.$

Més enllà d'aquest punt, alguns autors fan servir nombres romans com ara

$f^{\mathrm{iv}}\,$

Per a la derivada quarta, mentre que d'altres posen el nombre de la derivada entre parèntesi:

$f^{(4)}\,$

Aquesta última notació es generalitza per donar la notació f ⁽ⁿ⁾ per a la derivada nèssima de f — aquesta notació és més útil quan es vol parlar de les derivades com una funció en si mateixes, donat que en aquest cas la notació de Leibniz pot resultar incòmoda.

[edita] Notació de Newton

Article principal: notació de Newton

La notació de Newton per a la derivada, consisteix en col•locar un punt damunt del nom de la funció per indicar una derivada. Si y = f(t), llavors

$\dot{y}$ i $\ddot{y}$

Indiquen, respectivament, la primera i segona derivades de y respecte de t. Aquesta notació es fa servir per derivades temporals, això vol dir que la variable independent de la funció representa el temps. És molt habitual en física i en disciplines matemàtiques connectades amb la física com ara en equacions diferencials. Encara que la notació esdevé immanejable per a derivades d'ordre superior, a la pràctica normalment només calen derivades de segon o tercer ordre.

[edita] Notació d'Euler

La notació d'Euler fa servir l'operador diferencial D, que en aplicar-lo a una funció f dona la derivada primera Df. La derivada segona es denota D²f, i la derivada nèssima es denota Dⁿf.

Si y = f(x) és una variable dependent, llavors sovint s'afegeix el subíndex x a la D per aclarir que la variable dependent és x. La notació d'Euler llavors s'escriu

$D_x y\,$ or $D_x f(x)\,$ ,

Tot i que aquest subíndex sovint s'omet quant la variable x queda sobreentesa, per exemple quant és la única variable present a l'expressió.

La notació d'Euler és útil per establir i resoldre equacions diferencials lineals.

[edita] Càlcul de la derivada

La derivada d'una funció, en principi, es pot calcular a partir de la definició a base de plantejar el quocient de diferències i calculant el seu límit. Fer alguns exemples, vegeu Derivada (exemples). A la pràctica, un cop es coneixen les derivades d'unes quantes funcions senzilles, les derivades d'altres funcions es calcules més fàcilment fent servir regles d'obtenció de les derivades de funcions més complicades a partir de funcions més senzilles.

[edita] Derivades de funcions elementals

Article principal: Taula de derivades

És útil saber les derivades d'algunes funcions habituals.

Funció F: primitiva de f	funció f: derivada de F
$f\left(x\right) = k$	$f'\left(x\right) = 0$
$f\left(x\right) = x$	$f'\left(x\right) = 1$
$f\left(x\right) = x^n$	$f'\left(x\right) = nx^{n-1}$
$f\left(x\right) = \sqrt{x}$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$f\left(x\right) = e^x$	$f'\left(x\right) = e^x$
$f\left(x\right) = \ln(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{x}$
$f\left(x\right) = a^x (a > 0)$	$f'\left(x\right) = a^x \ln(a)$
$f\left(x\right) = \log_{b}(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{ln{b}}\frac{1}{x}$
$f\left(x\right) = \frac{1}{x^n} = (x^n)^{-1} = x^{-n}$	$f'\left(x\right) = -nx^{-n-1}$
$f\left(x\right) = \sin(x)$	$f'\left(x\right) = \cos(x)$
$f\left(x\right) = \cos(x)$	$f'\left(x\right) = -\sin(x)$
$f\left(x\right) = \tan(x)$	$f'\left(x\right) = \sec^2(x)$
$f\left(x\right) = \csc(x)$	$f'\left(x\right) = -\csc(x)\cot(x)$
$f\left(x\right) = \sec(x)$	$f'\left(x\right) = \sec(x)\tan{x}$
$f\left(x\right) = \cot(x)$	$f'\left(x\right) = -\csc^2(x)$
$f\left(x\right) = \arcsin(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f\left(x\right) = \arccos(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f\left(x\right) = \arctan(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{1+x^2}$

[edita] Regles per al càlcul de derivades

Article principal: regles de derivació

En molts cassos, es poden evitar els càlculs complicats que dona la aplicació directa del quocient de diferències de Newton a base de fer servir diferents regles de derivació. Algunes de les més bàsiques són les següents.

Nom	Regla
Linealitat de la derivació	$D[\alpha f(x)+ \beta g(x)] = \alpha f'(x) + \beta g'(x)\,$ ^[7] $\qquad \alpha, \beta \in \R$
Regla del producte (o de Leibniz)	$D [ {f(x)g(x)}] = D [ f(x) ] \cdot g(x) + f(x) \cdot D [ g(x) ]$
Regla de Leibniz (o del producte generalitzada)	$(f \cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}$
Regla del quocient	$D {f(x) \over g(x)} = {f'(x)g(x) - f(x)g'(x) \over g(x)^2}$
Regla de la raó inversa d'una funció	$D{1 \over f(x)} = -{f'(x) \over f(x)^2}$
Regla de la funció inversa	$D \left( f^{-1} (x) \right) = {1 \over f'( f^{-1}(x))}$
Regla de la cadena	$D \left[ f \left( g(x) \right) \right] = f' \left( g(x) \right) \cdot g'(x)$
Regla de la funció implícita	$\frac{dy}{dx}=-\frac{{\partial F}/{\partial x}\;}{{\partial F}/{\partial y}\;}\quad F\left( x,y \right)=0$

[edita] Exemple de càlcul

La derivada de

$f(x) = x^4 + \sin (x^2) - \ln(x) e^x + 7\,$

és

$\begin{align} f'(x) &= 4 x^{(4-1)}+ \frac{d\left(x^2\right)}{dx}\cos (x^2) - \frac{d\left(\ln {x}\right)}{dx} e^x - \ln{x} \frac{d\left(e^x\right)}{dx} + 0 \\ &= 4x^3 + 2x\cos (x^2) - \frac{1}{x} e^x - \ln(x) e^x. \end{align}$

Aquí la derivada del segon terme s'ha calculat fent servir la regla de la cadena i la del tercer fent servir la regla del producte: també s'han utilitzat les derivades conegudes de les funcions x², x⁴, sin(x), ln(x) i exp(x) = e^x.

[edita] Aplicacions

[edita] Càlcul de màxims i mínims

Article principal: Màxims i mínims

Una de les aplicacions més importants del càlcul de derivades és per a trobar els valors extrems (màxims i mínims) normalment per als processos d'optimització. Els extrems normalment estan als punts on la derivada és zero. Una funció pot tenir un extrem en un punt i no ser derivable en el punt, però si és derivable llavors la derivada és zero, en el que segueix es fa referència només a les funcions que són localment derivables. També pot ser que la derivada sigui zero i la funció no tingui un extrem al punt, per això per trobar els extrems a més de trobar els punts on la derivada és zero, també cal verificar si al punt la funció presenta efectivament un extrem. Com a exemple es cosidera el següent polinomi:

$\begin{align} f\left( x \right) &=\frac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x \\ f^{'}\left( x \right) &=x^{2}-4x+3 \\ f^{''}\left( x \right) &=2x-4 \end{align}$

La figura mostra les gràfiques de $f (x)$ , $f'(x)$ i $f''(x)$ .

[edita] Tangents horitzontals

Si una funció $f\colon (a,b) \to \mathbb{R}$ amb $(a,b) \subset \mathbb{R}$ té un màxim al punt $x_0 \in (a,b)$ i és derivable en tot punt $x$ d'aquest interval, com que $f(x_0) \ge f(x)$ , la derivada de $f$ en el punt $x 0$ només pot ser zero: $f'(x 0) = 0$ (els quocients de diferències dels punts més petits que $x 0$ són tots positius i els de punts més grans són tots positius). Una afirmació equivalent es pot establir en el cas que $f$ presenti un mínim a $x 0$ .

La interpretació geomètrica d'això donada per Fermat és que al punt $x 0$ la funció té una tangent paral•lela a l’eix x o també es pot dir una tangent horitzontal.

Per tant, pel cas de funcions derivables, una condició necessària per que la funció tingui un extrem en un punt, és que la derivada de la funció valgui 0 al punt: $f^{\prime}(x_0)=0$

El recíproc no és cert, encara que la derivada tingui un zero a l'interval, no es pot afirmar que la funció hi tingui un extrem, per exemple, podria ser, que hi hagués un punt de sella. A l'article valors extrems es dona una llista de condicions suficients tals que el seu compliment permet assegurar que es tracta d'un extrem. Aquestes condicions fan servir la derivada segona o fins i tot derivades d'ordre superior.

[edita] Condicions necessàries i suficients a l'exemple

A l'exemple

$f'(x) = x^2 - 4 \cdot x + 3.$

D'aquí resulta que la condició de que $f^{\prime}(x)=0$ , per als punts $x = 1$ i $x = 3$ es compleix exactament. Els valors de la funció en aquests punts és $f (1) = 4 / 3$ i $f (3) = 0$ respectivament, per tant, la corba té tangents horitzontals a $(1\mid 4/3)$ i $(3\mid 0)$ , i només en aquests punts.

A demés com que es dona la següent successió de valors

$f(0)=0,\quad f(1)=\frac{4}{3},\quad f(3)=0,\quad f(4)=\frac{4}{3}$

On la funció creix i decreix, hi ha d'haver necessàriament un màxim i un mínima i com que els punts trobars són els únic que hi ha que compleixen amb la condició de tenir tangents horitzontals, han de ser: hi ha un màxim a $(1\mid 4/3)$ i un mínim a $(3\mid 0)$ .

[edita] Traçat de corbes

Amb la ajuda de les derivades encara es poden analitzar més característiques de la funció, com ara punts d'inflexió, punts de sella i convexitat o la monotonia. L'estudi d'aquestes característiques es descriu a l'article traçat de corbes.

[edita] Equacions diferencials

Article principal: Equació diferencial

Un altre aplicació important del càlcul diferencial es dona en la modelització matemàtica processos. El creixement, el moviment o les forces troben tots relació amb les derivades, la formulació on apareixen ha de contenir derivades. Típicament, això condueix a la formulació d'[equacions diferencials]] on apareixen les derivades de la funció incògnita.

Per exemple, la llei de Newton del moviment,

$\mathbf{F}(t) = m \mathbf{a}(t) = m \ddot \mathbf{s} = m\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{s}} {\mathrm{d}t^2}$

Enllaça la acceleració d'un cos $\mathbf{a}$ amb la seva massa $m$ i la força aplicada Kraft $\mathbf{F}$ . Llavors el problema bàsic de la mecànica consisteix en obtenir la posició del cos a partir de la seva acceleració. Aquesta tasca, la inversa de una doble derivació, té la forma matemàtica d'una equació diferencial de segon ordre. La dificultat matemàtica d'aquest problema ve de que la posició, la velocitat i la acceleració, són vectors que no tenen sempre la mateixa direcció i que la força, de vegades, és una funció del temps i/o de la posició.

Com que molts models són multidimensionals, sovint són molt importants les derivades parcials que s'expliquen més endavant, amb les quals es formules equacions en derivades parcials.

[edita] Un exemple d'aplicació del càlcul diferencial

Per exemple en macroeconomia s'analitzen diferents models de funcions de producció per millorar el coneixement de les relacions macroeconòmiques. Aquests són tots els comportaments típics d'una funció macroeconòmica d'interès: Cóm reacciona la variable dependent de sortida (producció d'un bé) si la entrada (factor productiu, per exemple treball o capital augmenta) s'augmenta una unitat (infinitesimalment) petita?

Un tipus bàsic de funció de producció, és per exemple, la funció de producció neoclàssica. Es caracteritza perquè la producció augmenta per a cada augment addicional del factor de producció, però l'augment disminueix progressivament. Per exemple, una empresa te la funció de producció

$y = f(x) = \sqrt{400x-4}\ \mathrm{per}\ x \ge 100$

La derivada primera d'aquesta funció, obtinguda aplicant la regla de la cadena és

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2}({400x-4})^{-\frac{1}{2}} \cdot 400 = \frac{200}{\sqrt{400x-4}}$ .

Com que la arrel quadrada només pot tenir valor positiu, es veu que la producció només pot créixer per a cada augment addicional del factor de producció. La derivada segona és: $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = 200 \left(-\frac{1}{2} \right) ({400x-4})^{-\frac{3}{2}} \cdot 400 = -\frac{40.000}{\sqrt{(400x-4)^3}}$ .

Que esdevé negativa a tot arreu, per tant, el ritme d'augment disminueix. Per tant, es pot afirmar, que en augmentar els inputs, els outputs augmenten de forma menys que proporcional.

[edita] Derivades en dimensions superiors

Vegeu també: càlcul vectorial i càlcul multivariable

[edita] Derivades de funcions vectorials

Una funció vectorial y(t) d'una variable real és una funció que a cada nombre real li fa correspondre un vector d'algun espai vectorial Rⁿ. Una funció vectorial es pot partir en les seves funcions coordenades y₁(t), y₂(t), …, y_n(t), això vol dir que y(t) = (y₁(t), ..., y_n(t)). Això inclou, per exemple, corves paramètriques a R² o R³. Les funcions coordenades són funcions reals, per tant es pot aplicar la definició de derivada de més amunt. La derivada de y(t) es defineix com el vector, anomenat vector tangent, que té com a coordenades les derivades de les funcions coordenades. Es a dir,

$\mathbf{y}'(t) = (y'_1(t), \ldots, y'_n(t)).$

El que és equivalent a

$\mathbf{y}'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{y}(t+h) - \mathbf{y}(t)}{h},$

Si el límit existeix. La resta del numerador és una resta de vectors, no de escalars. Si la derivada de y existeix per a cada valor de t, llavors y′ és un altre funció vectorial.

Si e₁, …, e_n és la base estàndard de Rⁿ, llavors y(t) també es pot escriure com y₁(t)e₁ + … + y_n(t)e_n. Si s'assumeix que la derivda d'una funció vectorial manté la propietat de la linealitat, llavors la derivada de y(t) ha de ser

$y'_1(t)\mathbf{e}_1 + \cdots + y'_n(t)\mathbf{e}_n$

Perquè cada un dels vectors de la base és una constant.

Aquesta generalització és útil, per exemple, si y(t) és el vector posició d'una partícula a l'instant t; llavors la derivada y′(t) és el vector velocitat de la partícula a l'instant t.

[edita] Derivades parcials

Article principal: Derivada parcial

Suposant que f és una funció que depèn de més d'una variable. Per exemple,

$f(x,y) = x^2 + xy + y^2.\,$

f es pot reinterpretar com una família de funcions d'una variable indexades per les altres variables:

$f(x,y) = f_x(y) = x^2 + xy + y^2.\,$

En altres paraules, cada valor de x selecciona una funció, escrita com f_x, que és funció només de un nombre real.^[8] Això és,

$x \mapsto f_x,\,$

$f_x(y) = x^2 + xy + y^2.\,$

Un co s'ha riat un valor de x, per exemple a, llavors f(x,y) determina una funció f_a que fa correspondre a² + ay + y² a y:

$f_a(y) = a^2 + ay + y^2.\,$

En aquesta expressió, a és una constant, no una variable, per tant f_a és una funció només de una variable real. En conseqüència es pot aplicar la definició de la derivada d'una funció d'una variable:

$f_a'(y) = a + 2y.\,$

El procés anterior es pot repetir per a qualsevol valor de a. Ajuntant totes aquestes derivades s'obté una funció que descriu la variació de f en la direcció y:

$\frac{\part f}{\part y}(x,y) = x + 2y.$

Aquesta és la derivada parcial de f respecte de y. Aquí ∂, una d arrodonida és el símbol derivada parcial. Per a distingir-lo de la lletra d, ∂ es pronuncia "derivada parcial".

En general, la derivada parcial d'una funció f(x₁, …, x_n) en la direcció x_i al punt (a₁ …, a_n) es defineix com:

$\frac{\part f}{\part x_i}(a_1,\ldots,a_n) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,\ldots,a_i+h,\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots,a_n)}{h}.$

En el quocient de diferències de dalt, totes les variables tret de x_i es mantenen fixes. Aquesta selecció de valors fixos determina una funció d'una variable

$f_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}(x_i) = f(a_1,\ldots,a_{i-1},x_i,a_{i+1},\ldots,a_n)$

I, per definició,

$\frac{df_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}}{dx_i}(a_1,\ldots,a_n) = \frac{\part f}{\part x_i}(a_1,\ldots,a_n).$

En altres paraules, les diferents eleccions de a indexen una família de funcions d'una variable precisament com a l'exemple de més amunt. Aquesta expressió també mostra que el càlcul de derivades parcials es redueix al càlcul de derivades de funcions d'una variable.

Un exemple important d'una funció de varies variables és el cas d'una funció escalar f(x₁,...x_n) sobre un domini a l'espai euclidià Rⁿ (per exemple, sobre R² o R³). En aquest cas f té una derivada parcial ∂f/∂x_j respecte de cada variable x_j. Al punt a, aquestes derivades parcials defineixen el vector

$\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right).$

D'aquest vector se'n diu el gradient de f a a. Si f és derivable a tots els punts en algun domini, llavors el gradient és una funció vectorial ∇f que assigna al punt a el vector ∇f(a). En conseqüència, el gradient determina un camp vectorial.

[edita] Derivades direccionals

Article principal: Derivada direccional

Si f és una funció real en Rⁿ, llavors les derivades parcials de f mesuren la seva variació en la direcció dels eixos de coordenades. Per exemple, si f és una funció de x i de y, llavors les seves derivades parcials mesuren la variació de f en la direcció x i la direcció y. En canvi, no mesuren directament la variació de f en cap altre direcció, com ara al llarg de la diagonal y = x. Aquestes variacions es mesuren fent servir les derivades direccionals. Donat un vector

$\mathbf{v} = (v_1,\ldots,v_n).$

La derivada direccional de f en la direcció de v al punt x és el límit

$D_{\mathbf{v}}{f}(\boldsymbol{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\boldsymbol{x} + h\mathbf{v}) - f(\boldsymbol{x})}{h}}.$

Sia λ un escalar. Si en l'expressió anterior, es substitueix h per λh, el límit quan h tendeix a zero és el mateix, per tant:

$\text{D}_{\mathbf{v}}f\left( \mathbf{x} \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( \mathbf{x}+\lambda h\mathbf{v} \right)-f\left( \mathbf{x} \right)}{\lambda h}$

I multiplicant per λ als dos cantons queda:

$\begin{align} \lambda \left( \text{D}_{\mathbf{v}}f\left( \mathbf{x} \right) \right)& =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( \mathbf{x}+\lambda h\mathbf{v} \right)-f\left( \mathbf{x} \right)}{h} \\ & =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( \mathbf{x}+h\left( \lambda \mathbf{v} \right) \right)-f\left( \mathbf{x} \right)}{h} \\ & =\text{D}_{\lambda \mathbf{v}}f\left( \mathbf{x} \right) \end{align}$

Per tant, la derivada direccional en la direcció λv és λ cops la derivada direccional en la direcció v. Degut a això, sovint les derivades direccionals només es calculen per a vectors unitaris v.

Si les derivades parcials de f existeixen i són contínues a x, llavors determinen la derivada direccional de f en la direcció v per la fórmula:

$D_{\mathbf{v}}{f}(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^n v_j \frac{\partial f}{\partial x_j}.$

Això és conseqüència de la definició de la derivada total. D'això resulta que la derivada direccional és lineal en v.

La mateixa definició també funciona quan f és una funció amb valors a R^m. No més es fa servir la definició de dalt en cada component dels vectors. En aquest cas, la derivada direccional és un vector de R^m.

[edita] La derivada total, el diferencial total i el Jacobià

Article principal: Derivada total

Sia f des de un domini de R en R. La derivada de f en un punt a del seu domini, és la millor aproximació lineal de f en aquest punt. Tal com s'ha explicat més amunt és un nombre. Geomètricament, si v és un vector unitari amb origen a a, llavors f′ (a) , la millor aproximació lineal de f a a, ha de ser la longitud del vector que s'obté a base de moure v a l'espai destí, fent servir f. En altres paraules, si v es mesura en termes de distàncies a l'espai destí, llavors, degut a que v només es pot mesurar a través de f, v ja no sembla que sigui un vector unitari perquè f no preserva els vectors unitaris. En comptes d'això, v aparenta tenir longitud f′ (a). Si m és més gran que u, llavors al escriure f fent servir funcions coordenades, la longitud de v en cada una de les direccions coordenades es pot mesurar per separat.

Ara se suposa que f és una funció d'un domini en Rⁿ a R^m i que a és un punt en el domini de f. La derivada de f a a encara hauria de ser la millor aproximació lineal de f a a. En altres paraules, si v és un vector de Rⁿ, llavors f′ (a) hauria de ser la transformació lineal que millor aproxima f. La traformació lineal hauria de contenir tota la informació sobre com f transforma vectors a a en vectors a f(a), i en simbols, aixó significa que ha de ser la transformació lineal f′ (a) tal que

$\lim_{||\mathbf{h}||\rightarrow 0} \frac{||f(\mathbf{a}+\mathbf{h}) - f(\mathbf{a}) - f'(\mathbf{a})\mathbf{h}||}{||\mathbf{h}||} = 0.$

Aquí h és un vector de Rⁿ, per tant la norma en el denominador és la longitud estàndard de Rⁿ. Ara bé, f′ (a)h és un vector de R^m, i la norma en el numerador és la longitud estàndard en R^m. La transformació lineal f′ (a), si existeix, es diu la derivada total de f a a o el diferencial(total) de f a a.

Si la derivada total existeix a a, llavors totes les derivades parcials de f existeixen a a. Si s'escriu f fent servir funcions coordenades, de forma que f = (f₁, f₂, ..., f_m), llavors la derivada total es pot expressar com una matriu anomenada el Jacobià de f a a:

$f'(\mathbf{a}) = \text{Jac}_{\mathbf{a}} = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)_{ij}.$

L'existència del jacobià és estrictament més forta que l'existència de les derivades parcials, però si les derivades parcials existeixen i satisfan unes condicions moderades de suavitat, llavors la derivada total existeix i ve donada pel jacobià.

La definició de la derivada total subsumeix la definició de la derivada en una variable. En aquest cas, la derivada total existeix si i nomes si la derivada la derivada usual existeix. La matriu jacobiana es redueix a una matriu de 1×1 l'únic coeficient de la qual és la derivada f′ (x). Aquesta matriu de 1×1 satisfà la propietat de que f(a + h) − f(a) − f′(a)h és aproximadament zero, en altres paraules que

$f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h.$

Tret del canvi de variables, aquesta és la afirmació de que la funció $x \mapsto f(a) + f'(a)(x-a)$ és la millor aproximació lineal de f a a.

La derivada total d'una funció no dona un altre funció de la mateixa forma que en el cas d'una variable. Això és degut a que la derivada total d'una funció multivariable ha d'enregistrar molta més informació que la derivada d'una funció d'una sola variable. En comptes d'això, la derivada total dona una funció del fibrat tangent de l'origen en el fibrat tangent del destí.

[edita] Generalitzacions

Article principal: Derivada (generalitzacions)

El concepte de derivada es pot estendre a molts altres plantejaments. El fil conductor comú és que la derivada d'una funció en un punt serveix com a aproximació lineal de la funció al punt.

Una generalització important de la derivada afecta a les funcions complexes de variable complexa, aquestes funcions, com a funcions de (domini en) els nombres complexos C en (recorregut en) C. La noció de la derivada d'aquesta mena de funcions s'obté substituint les variables reals per variables complexes en la definició de derivada. Ara bé, aquesta identificació innocent amaga algunes propietats molt profundes. Si C s'identifica amb R² a base d'escriure els nombres complexos z com a x + i y, llavors una funció derivable de C en C és, certament, derivable com una funció de R² en R² (en el sentit de que totes les seves derivades parcials existeixen), però, el general, el recíproc no és cert: la derivada complexa només existeix si la derivada real és complex lineal i això imposa relacions entre les derivades parcials anomenades les Equacions de Cauchy-Riemann — vegeu Funció holomorfa.

un altre generalització afecta a les funcions entre varietats diferenciables. Intuïtivament parlant una varietat M és un espai que al voltant de cada punt x es pot aproximar pe un espai vectorial anomenat el seu espai tangent: l'exemple prototipus és una superfície derivable de R³. Llavors la derivada (o diferencial) d'una funció (derivable) f: M → N entre varietats, en un punt x de M, és una aplicació lineal de l'espai tangent de M ax en l'espai tangent de N a f(x). La funció derivada esdevé una aplicació entre els fibrats tangents de M i N. Aquesta definició és fonamental en geometria diferencial i té moltes aplicacions.

La derivació també es pot definir per a funcions entre espais vectorials de [[dimensió] infinita com ara els espais de Banach i els espais de Fréchet . Hi ha una generalització tant de la derivada direccional, anomenada la derivada de Gâteaux, com de la diferencial, anomenada la derivada de Fréchet.

Una deficiència de la derivada clàssica és que no hi ha gaires funcions que siguin derivables. No obstant això, hi ha una forma d'estendre la noció de derivada de forma que totes les funcions contínues (i moltes altres funcions) són derivables fent servir el concepte conegut com la derivada feble . La idea és incloure les funcions contínues en un espai més gran anomenat l'espai de les distribucions i nomes exigir que una funció sigui derivable "en promig".

Les propietats de les derivades han inspirat la introducció i l'estudi de molts objectes similars en àlgebra i topologia — vegeu, per exemple, àlgebra diferencial.

Vegeu també derivada aritmètica.

[edita] Notes

↑ Differential calculus, as discussed in this article, is a very well-established mathematical discipline for which there are many sources. Almost all of the material in this article can be found in Apostol 1967, Apostol 1969, and Spivak 1994.
↑ Spivak 1994, chapter 10.
↑ See Differential (infinitesimal) for an overview. Further approaches include the Radon-Nikodym theorem, and the universal derivation (see Kähler differential).
↑ Tot i això, encara és possible calcular la derivada en el sentit de les distribucions. El resultat és nou cops la Delta de Dirac centrada a a.
↑ Banach, S. (1931). «Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen». Studia. Math. (3): pp. 174- 179.. Cited by Hewitt, E and Stromberg, K (1963). Real and abstract analysis, Springer-Verlag, Theorem 17.8.
↑ En la formulació del càlcul infinitesimal en termes de límits, al símbol du se li han assignat diversos significats pel diferents autors. Alguns autors no li assignen significat a du per si mateix, sinó com a par del símbol du/dx. Altres defineixen "dx" com una variable independent, i defineixen du per du = dx•f′ (x). En anàlisi no estàndard du es defineix com un infinitesimal. Això també s'interpreta com la derivada exterior du d'una funció u. Vegeu diferencial (infinitesimal) per a més informació.
↑ D[f(x)] e f'(x) sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata
↑ This can also be expressed as the adjointness between the product space and function space constructions.

[edita] Referències

[edita] Impreses

Anton, Howard; Bivens, Irl & Davis, Stephen (February 2, 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8th ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0471472445
Apostol, Tom M. (June 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0471000051
Apostol, Tom M. (June 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0471000075
Eves, Howard (January 2, 1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0030295584
Larson, Ron; Hostetler, Robert P. & Edwards, Bruce H. (February 28, 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4th ed.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0618606245
Spivak, Michael (September 1994), Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, ISBN 978-0914098898
Stewart, James (December 24, 2002), Calculus (5th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0534393397
Thompson, Silvanus P. (September 8, 1998), Calculus Made Easy (Revised, Updated, Expanded ed.), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0312185480

[edita] Llibres Online

Crowell, Benjamin (2003), Calculus, <http://www.lightandmatter.com/calc/>
Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus, <http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/>
Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus, <http://www.understandingcalculus.com/>
Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, <http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html>
Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, <http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html>
Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations, <http://math.furman.edu/~dcs/book/>
Strang, Gilbert (1991), Calculus, <http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm>
Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, <http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm>
Wikibooks, Calculus, <http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus>

[edita] Vegeu també

Càlcul infinitesimal
Derivació automàtica
Funció contínuament derivable
Integral
Linealització
Derivació numèrica
Taula de derivades

[edita] Enllaços externs

WIMS Calculadora de funcions fa càlculs online de derivades; aquest software també permet exercicis interactius.
Calculadora online de derivades.
Suport Matemàtic a la Xarxa càlcul online de derivades, incloent-hi l'explicació dels passos per trobar la solució.
Proving Derivatives from First Principles.
Pràctiques de càlcul de derivades de funcions generades aleatòriament

Categories: Derivació | Viquipèdia:Articles destacats en llombard

Categories ocultes: Viquipèdia:Articles destacats en alemany | Viquipèdia:Articles destacats en macedònic