Regla del producte

De Viquip??dia

A c??lcul infinitesimal, la regla del producte anomenada tamb?? Llei de Leibniz (vegeu derivada), permet de calcular la derivada del producte de funci??ns. derivables.

Es pot definit aix??:

$(fg)'=f'g+fg' \,$

O en la notaci?? de Leibniz aix??:

${d\over dx}(uv)=u{dv\over dx}+v{du\over dx}.$

Taula de continguts

1 Descobriment fet per Leibniz
2 Exemples
3 Un error habitual
4 Demostraci?? de la regla del producte
5 Demostraci?? alternativa: emprant logaritmes
6 Demostraci?? alternativa: emprant la regla de la cadena
7 Generalitzacions
8 Una aplicaci??
9 Vegeu tamb??

[edita] Descobriment fet per Leibniz

El descobriment d???aquesta regla ??s atribu??t a Leibniz, que la va demostrat emprant el diferencials. D???acord amb l???argument de Leibniz's: Siguin u(x) i v(x) dues funcions diferenciables de x. Llavors el diferencial de uv ??s

$d(uv)\,$	$= (u + du)(v + dv) - uv\,$
	$= u(dv) + v(du) + (du)(dv) \,$

Com que el terme (du)(dv) ??s "negligible" (es a dir, un diferencial de segon ordre en du i dv), Leibniz va concloure que

$d(uv) = v(du) + u(dv) \,$

I aquesta ??s de fet la forma diferencial de la regla del producte. Si es divideixen tots dos cantons del = per diferencial de x: dx, s???obt??

$\frac{d}{dx} (uv) = v \left( \frac{du}{dx} \right) + u \left( \frac{dv}{dx} \right)$

La qual tamb?? pot ser escrita emprant la "notaci?? prima" com

$(uv)' = v u' + u v'. \,$

[edita] Exemples

Suposant que es vol obtenir la derivada de f(x) = x² sin(x). Emprant la regla del producte s???obt?? que la derivada ??s f'(x) = 2x sin(x) + x²cos(x) (donat que la derivada de x² ??s 2x i la derivada de sin(x) ??s cos(x)).
Un cas particular de la regla del producte ??s la regla del producte per una constant la qual diu que si c ??s un nombre real i f(x) ??s una funci?? derivable, llavors cf(x) tamb?? ??s derivable, i la seva derivada ??s (c ?? f)'(x) = c ?? f '(x). Aix?? ??s el que en resulta de aplicar la regla del producte donat que la derivada de qualsevol constant ??s zero. Aix??, combinat amb la regla de la suma de derivades , demostra que la derivaci?? ??s una aplicaci?? lineal.
La regla del producte ??s pot emprar per a obtenir la regla de la integraci?? per parts i la (versi?? feble)de la regla del quocient. (Aquesta ??s una versi?? "feble" en el sentit de que no demostra que el quocient sigui derivable, sin?? que nom??s diu quina ??s la seva derivada en cas que ho sigui).

[edita] Un error habitual

??s un error habitual, en estudiar c??lcul, de suposar que la derivada de (uv) ??s igual a (u???)(v???) (el mateix Leibniz va cometre aquest error al comen??ament); en canvi , ??s for??a f??cil de trobar-ne contraexemples. El m??s senzill de tots, s???agafa la funci?? f, la derivada de la qual ??s f '(x). Per?? aquesta funci?? tamb?? es pot escriure com a f(x) ?? 1, donat que 1 ??s l???element neutre per a la multiplicaci??. Suposant que el concepte erroni mencionat abans fos veritat, (u???)(v???) hauria de ser igual a 0. Aix?? ??s aix?? perqu?? la derivada d'una constant (com ho ??s 1) es zero i el producte de f '(x) ?? 0 tamb?? ??s zero.

[edita] Demostraci?? de la regla del producte

Una demostraci?? rigorosa de la regla del producte es pot obtenir emprant les propietats del l??mit i la definici?? de derivada.

Suposant

$h(x) = f(x)g(x),\,$

I que f i g s??n totes dues derivables al punt x. Llavors

$h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x}. \qquad\qquad(1)$

Per tant la difer??ncia

$f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2)$

??s l?????rea del rectangle gran menys l?????rea del rectangle petit de la figura.

La regi?? en forma de L es pot partir en dos rectangles, la suma de les seves ??rees es veu f??cilment que ??s

$f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3)$

(La figura pot estar en desacord amb alguna cassos especials, donat que f(w) no cal que sigui m??s gran que f(x) i g(w) no cal que sigui m??s gran que g(x). Ara b??, la igualtat de (2) 1 (3) es pot comprovar f??cilment per ??lgebra.)

Donat que l???expressi?? de (1) ??s igual a

$\lim_{w\to x}\left( f(x) \left( {g(w) - g(x) \over w - x} \right) + g(w)\left( {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \right).\qquad\qquad(4)$

Si tots quatre l??mits de (5) que hi ha m??s aball existeixen, Llavors l???expressi?? de (4) ??s igual a

$\left(\lim_{w\to x}f(x)\right) \left(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\right) + \left(\lim_{w\to x} g(w)\right) \left(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \right). \qquad\qquad(5)$

Ara

$\lim_{w\to x}f(x) = f(x)\,$

perqu?? f(x) es mant?? constant quant w ??? x;

$\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x)$

perqu?? g ??s derivable a x;

$\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x)$

Perqu?? f ??s derivable a x;

I ara la part "dura":

$\lim_{w\to x} g(w) = g(x)\,$

perqu?? g ??s cont??nua a x. Com se sap que g ??s cont??nua a x? Perqu?? un altre teorema diu que si una funci?? ??s derivable a un punt llavors ??s cont??nua en aquest punt.

Com a conclusi?? es t?? que l???expressi?? de (5) ??s igual a

$f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \,$

[edita] Demostraci?? alternativa: emprant logaritmes

Sia f = uv i suposant que u i v s??n positives. Llavors

$\ln f = \ln u + \ln v.\,$

Derivant als dos cantons:

${1 \over f} {d \over dx} f = {1 \over u} {d \over dx} u + {1 \over v} {d \over dx} v$

I ara, multiplicant el cant?? esquerre per f, i el cant?? dret per uv,

${d \over dx} f = v {d \over dx} u + u {d \over dx} v.$

Aquesta demostraci?? surt a [1]. Fixeu-vos que donat que u, v cal que siguin cont??nues, la suposici?? de que siguin positives no en disminueix la generalitat.

Aquesta demostraci?? descansa en la regla de la cadena i en les propietats de la funci?? logaritme natural, les dues s??n m??s profundes que la regla del producte. Des de cert punt de vista aix?? ??s un desavantatge d???aquesta demostraci??. Per altre banda, la senzillesa de l???algebra per a aquesta demostraci?? poder la fa m??s f??cil d???entendre que la demostraci?? emprant directament la definici?? de derivada.

[edita] Demostraci?? alternativa: emprant la regla de la cadena

Si es considera la identitat

$uv = \frac{1}{4}\left[ \left( u+v \right)^{2}\; -\; \left( u-v \right)^{2} \right].$

Llavors

$\begin{align} \frac{d\left( uv \right)}{dx} & {} = \frac{d}{dx}\frac{1}{4}\left[ \left( u+v \right)^{2}\; -\; \left( u-v \right)^{2} \right] \\ \\ & {} = \frac{1}{4}\left[ 2\left( u+v \right)\left( \frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}\; \right)\; -\; 2\left( u-v \right)\left( \frac{du}{dx}-\frac{dv}{dx} \right) \right] \\ \\ & {} = \frac{1}{4}\left[ 4u\frac{dv}{dx}\; +\; 4v\frac{du}{dx} \right]. \end{align}$

Per tant

$\frac{d\left( uv \right)}{dx}\; =\; u\frac{dv}{dx}\; +\; v\frac{du}{dx}.$

Aix?? no es basa en que u i v siguin positives, i ??s un resultat de la regla de la cadena igual que la demostraci?? logar??tmica.

[edita] Generalitzacions

[edita] Producte de m??s de dos factors

La regla del producte es pot generalitzar a productes de mes de dos factors. Per exemple pera tres factors es t??

$\frac{d(uvw)}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}$

Per a una fam??lia de fincios $f_1, \dots, f_k$ , es t??

$\frac{d}{dx} \prod_{i=1}^k f_i(x) = \left(\sum_{i=1}^k \frac{\frac{d}{dx} f_i(x)}{f_i(x)}\right) \prod_{i=1}^k f_i(x).$

[edita] Derivades d???ordre superior

La regla de Leibniz ??s la generalitzaci?? per a derivades d???ordre superior del producte de dos factors: si y = uv i y⁽ⁿ⁾ indica la derivada n-??ssima de y, llavors

$y^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} u^{(n-k)}(x)\; v^{(k)}(x).$

Vegeu coeficient binomial i el binomi de Newton, que formalment ??s for??a similar. Vegeu tamb?? Regla de Leibniz (regla del producte generalitzada).

[edita] Derivades parcials d???ordre superior

Per a les derivades parcials, es t??

${\partial^n \over \partial x_1\,\cdots\,\partial x_n} (uv) = \sum_S {\partial^{|S|} u \over \prod_{i\in S} \partial x_i} \cdot {\partial^{n-|S|} v \over \prod_{i\not\in S} \partial x_i}$

On l?????ndex S recorre la llista completa dels 2ⁿ subconjunts de {1, ..., n}. Si aix?? sembla dif??cil d???entendre, consideris el cas al qual n = 3:

$\begin{align} &{}\quad {\partial^3 \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} (uv) \\ \\ &{}= u \cdot{\partial^3 v \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_1}\cdot{\partial v \over \partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_2}\cdot{\partial v \over \partial x_1\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_1\,\partial x_2} \\ \\ &{}\qquad + {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_2}\cdot{\partial v \over \partial x_3} + {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_2} + {\partial^2 u \over \partial x_2\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_1} + {\partial^3 u \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3}\cdot v. \end{align}$

[edita] Regla del producte en els espais de Banach

Si X, Y, i Z s??n espai de Banach (els quals inclouen l??? espai Euclidi??) i B : X ?? Y ??? Z ??s un operador bilineal funci?? cont??nua. Llavors B ??s derivable, i la seva derivada al punt (x,y) de X ?? Y ??s la aplicaci?? lineal D_(x,y)B : X ?? Y ??? Z donata per

$(D_\left( x,y \right)\,B)\left( u,v \right) = B\left( u,y \right) + B\left( x,v \right)\qquad\forall (u,v)\in X \times Y.$

[edita] Derivades a ??lgebra abstracta

A ??lgebra abstracta, la regla del producte es fa servir per a definir el que es diu una derivada, no vice versa.

[edita] Una aplicaci??

Entre les aplicacions de la regla del producte hi ha una demostraci?? de que

${d \over dx} x^n = nx^{n-1}$

quan n ??s un nombre enter positiu (aquesta regla ??s veritat fins i tot si n no ??s positiu, diferent de -1, o si no ??s un enter, per?? la demostraci?? s???ha de basar en altres m??todes). La demostraci?? es una Prova per inducci?? sobre l???exponent n. Si n = 0 Llavors xⁿ ??s constant i nx^n ??? = 0. La regla ??s veritat en aquest cas perqu?? la derivada d???una funci?? constant es la funci?? zero. Suposant que la regla sigui veritat per a un exponent qualsevol n, llavors per al seg??ent valor, n + 1, es t??

$\begin{align} {d \over dx}x^{n+1} &{}= {d \over dx}\left( x^n\cdot x\right) \\ \\ &{}= x{d \over dx} x^n + x^n{d \over dx}x \qquad\mbox{(per la regla del producte)} \\ \\ &{}= x\left(nx^{n-1}\right) + x^n\cdot 1\qquad\mbox{(per la hipotesi de induccio)} \\ \\ &{}= (n + 1)x^n. \end{align}$

Per tant si la proposici?? ??s veritat per a n, tamb?? ho ha de ser per a n + 1.

[edita] Vegeu tamb??

Categoria: Derivaci??