Regla del quocient
De Viquipèdia
A càlcul, la regla del quocient és un mètode per a calcular la derivada de una funció que consisteix en el quocient de altres dues per a les quals la derivada existeix.
Si la funció que es vol derivar, f(x), es pot escriure com
i h(x) ≠ 0, llavors la regla diu que la derivada de g(x) / h(x) és igual a:
O de forma més precisa, per a tot x que pertany a algun conjunt obert que conté el nombre a, amb h(a) ≠ 0; i, tal que g'(a) i h'(a) existeixen totes dues; llavors, f'(a) també existeix:
Taula de continguts |
[edita] Exemples
La derivada de (4x − 2) / (x2 + 1) és
A l’exeple de dalt, s’ha triat:
- g(x) = 4x − 2
- h(x) = x2 + 1
De forma anàloga, la derivada de sin(x) / x2 (quan x ≠ 0) és:
Per a més informació referent a les derivades de les funcions trigonomètriques vegeu: derivada.
Un altre exemple és:
on g(x) = 2x2 i h(x) = x3, i g'(x) = 4x i h'(x) = 3x2.
La derivada de f(x) es determina tal com segueix:
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
|
![]() |
[edita] Demostracions
[edita] A partir de la definició de derivada
- Suposant que f(x) = g(x) / h(x)
- on h(x)≠ 0 i g i h són derivables.
[edita] A partir de la regla del producte
- Suposant que
La resta consisteix en aplicar les regles del àlgebra per a fer que f'(x) sigui l’únic terme del cantó esquerra de l’equació i per a eliminar f(x) del cantó dret de l’equació.
De forma alternativa, es pot aplicar la regla del producte directament, sense haver de fer ús de la substitució:
I tot seguit aplicar la regla de la cadena per a derivar h(x) − 1:
[edita] A partir de la regla de la cadena
Es considera la identitat
Llavors
Porta a
Operant s’obté
Per acabar, es treu comú denominador i en queda el resultat esperat
[edita] Emprant diferencials totals
Una demostració fins i tot més elegant és conseqüència de la llei referent als diferencials totals, que diu que el diferencial total,
De qualsevol funció a qualsevol conjunt de quantitats es pot descomposar de la següent forma, sense importat quines variables independents hi hagi a la funció (és a dir no importa quines variables es prenguin ja que no poden expresar-se com a funcions de altres variables). Això vol dir que, si N i D són totes dues funcions de una variable independent x, i F = N(x) / D(x), llavors han de ser veritat simultàniament que
- (*)
I que
.
Però sabent que dN = N'(x)dx i dD = D'(x)dx.
Substituint i fent aquest dos diferencials totals iguals a un tercer (donat que representen límits que es poden manipular), s’obté la equació
La qual requereix que
- (#)
.
Calculant les parcials de la dreta:
;
.
Si es substitueixen dins de (#),
La qual dona la regla del quocient, donat que, per a (*),
.
Aquesta demostració és forma més sistemàtica de demostrar el teorema en termes de límits, i per tant, és equivalent a la primera demostració – i fins i tot es redueix a ella si es fan les substitucions adequades als llocs adequats.