Regola del quoziente

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In analisi matematica, la regola del quoziente è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata del quoziente di due funzioni derivabili. Esso afferma che:

La derivata del rapporto fra due funzioni è un rapporto avente come numeratore la derivata del numeratore per il denominatore più la derivata del denominatore per il numeratore, e come denominatore il quadrato del denominatore originario.

$D\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$ ^[1]

È necessario che g(x), essendo al denominatore, non si annulli mai nell'intervallo o nel punto interessato dal calcolo per non rendere indefinito il risultato.

La regola del quoziente però può anche essere considerato un cosa particolare della regola del prodotto - anch'essa utilizzata per al derivazione - con secondo fattore 1/g(x), solo che spesso torna più facile ai fini del calcolo per la maggior complicanza della derivata dell'inversa.

Indice

1 Dimostrazione
- 1.1 con rapporto incrementale
- 1.2 con regola del prodotto
2 Note
3 Voci correlate

[modifica] Dimostrazione

[modifica] con rapporto incrementale

Applicando la definizione di derivata, come limite del rapporto incrementale:

$F'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{F(x+h) - F(x)}{h} \qquad\qquad (1)$

Si deriva, ipotizzando entrambe le funzioni f(x) e derivabili in x e g(x) non nulla, che:

$\lim_{h \to 0}\frac{ \frac{f(x+h)}{g(x+h)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{h} = \left[\frac{f(x+h)}{g(x+h)} - \frac{f(x)}{g(x)}\right] \cdot \frac{1}{h}$

Si riduce tutto al minimo comune multiplo:

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h)}{g(x)g(x+h)} \cdot \frac{1}{h}$

Ora aggiungiamo e togliamo f(x)g(x):

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x) \;{\color{Gray}- f(x)g(x) + f(x)g(x)}- f(x)g(x+h)}{g(x)g(x+h)} \cdot \frac{1}{h}$

Raccogliendo f(x) e g(x) e sistemando i numeratori si viene a

$\lim_{h\to 0} \frac{g(x) \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \; - \; f(x) \frac{g(x+h) - g(x)}{h}}{g(x)g(x+h)}$

Siccome g(x) è, per ipotesi, non nulla e derivabile in x, quindi è qui anche continua:

$\lim_{h\to 0} g(x+h) = g(x)$ .

Per la (1), si conclude che:

$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)$

$\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x)$

e quindi $\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$ cvd.

[modifica] con regola del prodotto

Applicando la regola del prodotto e la regola della funzione reciproca, si ha:

$D\frac{f(x)}{g(x)} \; = \; D \left[ f(x) \cdot \frac{1}{g(x)}\right] \;=\; f'(x) \cdot\frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \frac{-g'(x)}{g^2(x)}\; = \;\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}$