Regole di derivazione

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In matematica, le regole di derivazione e le derivate fondamentali sono regole studiate per evitare di dover calcolare ogni volta il limite del rapporto incrementale di funzioni "semplici" e utilizzate al fine di facilitare la derivazione di funzioni di maggiore complessità.

[modifica] Regole di derivazione

Regole	Derivazione
Regola della somma (linearità)	$D[\alpha f(x)+ \beta g(x)] = \alpha f'(x) + \beta g'(x)\,$ ^[1] $\qquad \alpha, \beta \in \R$
Regola del prodotto (o di Leibniz)	$D [ {f(x)g(x)}] = D [ f(x) ] \cdot g(x) + f(x) \cdot D [ g(x) ]$
Regola del quoziente	$D {f(x) \over g(x)} = {f'(x)g(x) - f(x)g'(x) \over g(x)^2}$
Regola della funzione reciproca	$D{1 \over f(x)} = -{f'(x) \over f(x)^2}$
Regola della funzione inversa	$D \left( f^{-1} (x) \right) = {1 \over f'( f^{-1}(x))}$
Regola della catena	$D \left[ f \left( g(x) \right) \right] = f' \left( g(x) \right) \cdot g'(x)$

^ D[f(x)] e f'(x) sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata

[modifica] Derivate fondamentali

Ognuna di queste funzioni, se non altrimenti scritto, è derivabile in tutto il suo dominio.

Funzioni polinomiali

$D (a) = 0$
$D (a x) = a$
$D (x 2) = 2 x$

Dimostrazione

$\lim_{h\to 0}{{f(x+h) - f(x)}\over{h}} = \lim_{h\to 0}{{(x+h)^2 - x^2 }\over{h}}= \lim_{h\to 0}{{x^2 + 2hx + h^2 - x^2}\over{h}} = \lim_{h\to 0} (2x + h) = 2x.$

$D (x n) = n x n - 1$

Dimostrazione

$\lim_{x \to x_0} { \frac {x^n - x_0^n}{x - x_0}}= \lim_{x \to x_0} {\frac {e^{n \cdot \ln x} - e^{n \cdot \ln x_0} }{x - x_0} }$
Adesso poniamo $t =n \cdot \ln x$ e $t_0 =n \cdot \ln x_0$ e quindi otteniamo:
$\lim_{x \to x_0}{ \frac {e^t - e^{t_0} }{x - x_0}}= \lim_{x \to x_0}{ \frac {e^t - e^{t_0} }{x - x_0} \cdot \frac {t - t_0}{t - t_0}}=$
$\lim_{t \to t_0}{ \frac {e^t - e^{t_0}}{t - t_0}} \cdot \lim_{x \to x_0}{ \frac {t - t_0}{x - x_0}}= e^{t_0} \cdot \lim_{x \to x_0}{ \frac {n \cdot \ln x - n \cdot \ln x_0}{x - x_0}}$

$e^{t_0} \cdot n \cdot \lim_{x \to x_0}{ \frac {\ln x - \ln x_0}{x - x_0}}= e^{t_0} \cdot \frac {n}{x_0}= e^{n \cdot \ln x_0} \cdot \frac {n}{x_0}= n \cdot \frac {x_0^n}{x_0} =nx_0^{n-1}$

Altre funzioni algebriche

$D(\sqrt[n]{x}) = { 1 \over n \sqrt[n]{x^{n-1}} }\, \mbox{se }x > 0$
$D(x^\alpha) = \alpha x^{\alpha-1}, \alpha \in \R$
$D(|x|) = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{se }x>0 \\-1 & \mbox{se }x<0\\\mbox{non derivabile} & \mbox{se } x=0 \end{matrix}\right.$

Funzioni esponenziali e logaritmiche

$D (e x) = e x$

Dimostrazione

$\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{e^xe^h-e^x}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{e^x(e^h-1)}{h}=e^x\lim_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h}=e^x$

dal limite notevole $\lim_{a\to 0} \frac{e^a-1}{a}=1$

$D (a x) = a x ln a$

Dimostrazione

$\lim_{x\to x_0} {\frac {a^x - a^{x_0}} {x- x_0}} = \lim_{x\to x_0} { \frac { a^{x_0} \cdot \left ( a^{x-x_0} - 1 \right ) } {x- x_0}}=$
$\lim_{x\to x_0} { \frac { a^{x_0} \cdot \left ( a^{x-x_0} - 1 \right ) } {x- x_0} \cdot \frac {\ln a}{\ln a} } =\lim_{x\to x_0} {\frac {\ln a \cdot a^{x_0} \cdot { \left ( e^{ \left ( x-x_0 \right ) \left ( \ln a \right )}- 1\right )}} {\left ( x-x_0 \right ) \left ( \ln a \right )}}$
Adesso poniamo $t = \left ( x-x_0 \right ) \left ( \ln a \right )$ e sviluppiamo il limite :

$\lim_{t \to 0} {\frac {\ln a \cdot a^{x_0} \cdot \left ( e^t -1 \right ) }{t}= } = \ln a \cdot a^{x_0} \cdot \lim_{t \to 0} { \frac {\left ( e^t -1 \right )}{t} } = \ln a \cdot a^{x_0} \cdot 1 = \ln a \cdot a^{x_0}$

$D( \ln x ) = \frac 1 x$
$D( \log_b x ) = \frac{1}{x \ln b} = \frac{\log_b e}{x}$

Funzioni trigonometriche

$D (sin x) = cos x$

Dimostrazione

Per prima cosa scriviamo il limite del rapporto incrementale, per l'incremento che tende a 0, della funzione:
$\lim_{h \to 0} {\frac{\sin(x_0 + h)-\sin(x_0)}{h}}$
Adesso sfruttiamo le proprietà trigonometriche di addizione: $\lim_{h \to 0} {\frac{\sin(x_0 + h)-\sin(x_0)}{h}} = \lim_{h \to 0} {\frac{\sin(x_0) \cos(h)+ \cos(x_0) \sin(h)-\sin(x_0)}{h}} =$
$\lim_{h \to 0} {\frac{-\sin(x_0) \cdot \left (1-\cos(h) \right ) +\cos(x_0) \sin(h)}{h}}$
A questo punto ricordiamo che la formula di bisezione del seno ci garatisce che
$\sin ( \frac{x}{2})= \pm \ \sqrt{ \frac{1- \cos(x)}{2}}$
da quest'ultima espressione ricaviamo
$1- \cos(x) = 2 \sin^2 (\frac{x}{2})$
che sostituiamo nello sviluppo del limite:
$\lim_{h \to 0} {\frac{- \sin(x_0) \cdot \left (1-\cos(h) \right ) +\cos(x_0) \sin(h)}{h}}= \lim_{h \to 0} {\frac{- \sin(x_0) \cdot \left ( 2 \sin^2 (\frac{h}{2})\right ) }{h}} + \lim_{h \to 0} {\frac{ \cos(x_0) \sin(h)}{h}} =$
$- \lim_{h \to 0} { \sin(x_0)} \cdot \lim_{h \to 0} {\frac {\sin^2 (\frac{h}{2})} {\frac{h}{2}}} + \cos(x_0) \cdot \lim_{h \to 0} {\frac{\sin(h)}{h}}=$ $- \sin(x_0) \cdot \lim_{h \to 0} {\sin (\frac{h}{2})} \cdot \frac{\sin(\frac{h}{2})} {\frac{h}{2}} + \cos(x_0) \cdot 1 =$

$- \sin(x_0) \cdot 0 \cdot 1 + \cos(x_0)=\cos(x_0)$

$D (cos x) = - sin x$
$D( \tan x ) = 1 + \tan^2 x = {1 \over \cos^2 x}$
$D( \cot x ) = -(1+\cot^2 x) = -\frac 1{\sin^2 x}$
$D (sec x) = tan x sec x$
$D (csc x) = - cot x csc x$
$D( \arcsin x ) = \frac 1{\sqrt {1 - x^2}}$
$D( \arccos x ) = \frac 1{ - \sqrt {1 - x^2}}$
$D( \arctan x ) = \frac 1 { 1 + x^2}$
$D( \arccot x )= {-1 \over 1 + x^2}$
$D( \arcsec x )= { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}$
$D( \arccsc x )= {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}$

Funzioni iperboliche

$D (sinh x) = cosh x$
$D (cosh x) = sinh x$
$D( \tanh x ) = \frac 1 {\cosh^2 x}$
$D (coth x) = - csch 2 x$
$D (sech x) = - tanh x sech x$
$D (csch x) = - coth x csch x$
$D( \mbox{arcsinh} x )= { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}$
$D( \mbox{arccosh} x )= {1 \over \sqrt{x^2 - 1}}$
$D( \mbox{arctanh} x )= { 1 \over 1 - x^2}$
$D( \mbox{arccoth} x )= {-1 \over 1 - x^2}$
$D( \mbox{arcsech} x )= { 1 \over x\sqrt{1 - x^2}}$
$D( \mbox{arccsch} x )= {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}$

[modifica] Derivate di funzioni composte

$D ([f (x)] n) = n f (x) n - 1 f'(x)$
$D(\sqrt [n] {f(x)} ) = {f'(x) \over n \sqrt[n]{f(x)^{n-1}} }$
$D( \ln f(x) ) = {f'(x) \over f(x)}$
$D (e f (x)) = e f (x) f'(x)$
$D (sin f (x)) = f'(x)cos f (x)$
$D (cos f (x)) = - f'(x)sin f (x)$
$D(\arctan f(x)) = {f'(x) \over 1 + [f(x)]^2 }$
$D( f(x)^{g(x)} ) = f(x)^{g(x)} \left\{ g'(x)\ln f(x) + g(x){f'(x) \over f(x)} \right\}$