Regola della funzione reciproca
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In analisi matematica, la regola della funzione reciproca è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata del reciproco di una funzione derivabile. Essa afferma che:
- La derivata del reciproco di una funzione è un rapporto avente come numeratore l'opposto della derivata della funzione e come denominatore il quadrato della funzione.
![D\frac{1}{f(x)} = \frac{-f'(x)}{[f(x)]^2}](../../../../math/9/1/d/91dccd6afbbd7c4fbca1647e6ca05f48.png) [1] |
È necessario che nel punto in cui si calcola la derivata la funzione non sia nulla.
Indice |
[modifica] Dimostrazione
[modifica] Con il rapporto incrementale
Scrivendo il rapporto incrementale della funzione 
otteniamo:
Ora, l'argomento del primo limite è l'opposto del rapporto incrementale di g,
mentre il secondo fattore per la continuità della g "commuta" con l'operazione di limite, dunque si ha:
Alternativamente, utilizzando la regola della catena, ponendo f(x) = x − 1 possiamo determinare la derivata come: 
[modifica] Con la regola del quoziente
Applicando la regola del quoziente, consideriamo f(x) = 1 e dunque
![D\left({1 \over g(x)}\right)={D[1] \cdot g(x) - 1 \cdot g'(x) \over [g(x)]^2} = {0 \cdot g(x) - g'(x) \over [g(x)]^2}={-g'(x) \over [g(x)]^2}](../../../../math/b/b/7/bb7fd4bf693650aa5c98078c3f6c16fb.png)
[modifica] Note
- ^ D[f(x)] e f'(x) sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata
[modifica] Voci correlate
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