Regola del prodotto

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Nell'analisi matematica, la regola del prodotto o regola di Leibniz è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata del prodotto di due funzioni derivabili. Esso afferma che:

la derivata del prodotto di due funzioni derivabili in x è uguale al prodotto della prima per la derivata della seconda più il prodotto della seconda funzione per la derivata della prima.

$D\left[g(x) f(x)\right] = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$ ^[1]

Indice

1 Dimostrazione
2 La scoperta di Leibniz
3 Caso particolare
4 Generalizzazioni
- 4.1 Prodotto multiplo
  - 4.1.1 Applicazione: ax^a-1
- 4.2 Alle derivate successive
5 Note
6 Voci correlate

[modifica] Dimostrazione

Applicando la definizione di derivata, come limite del rapporto incrementale:

$F'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{F(x+h) - F(x)}{h} \qquad\qquad (1)$

si deriva, ipotizzando entrambe le funzioni f(x) e g(x) derivabili in x, che:

$\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$

Ora aggiungiamo e togliamo f(x+h)g(x):

$\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) {\color{Gray}- f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x)} - f(x)g(x)}{h}$

Raccogliendo f(x+h) e g(x) si ottiene

$\lim_{h\to 0} f(x+h) \left[ \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \right] \; + \; g(x) \left[ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \right]$

Siccome f(x) è, per ipotesi, derivabile in x, quindi è qui anche continua: $\lim_{h\to 0} f(x+h) = f(x)$ . Si conclude per la (1) che:

$\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x)$

$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)$

e quindi $f (x) g'(x) + f'(x) g (x)$ cvd.

[modifica] La scoperta di Leibniz

La scoperta di questa regola è stata attribuita al matematico Gottfried Leibniz - da cui il nome - che la dimostrò utilizzando il differenziale, utilizzando una sua particolare notazione, come di seguito riprotata, in cui u(x) and v(x) sono due differenziali di x. Allora il differenziale di uv è

$d(uv)\,$	$= (u + du)(v + dv) - uv\,$
	$= u(dv) + v(du) + (du)(dv) \,$

Siccome il temine (du)(dv) è "trascurabile" , Leibniz concluse che

$d(uv) = v(du) + u(dv) \,$

Questo è identico alla forma differenziale della regola del prodotto. Se si divide entrambi per il differenziale dx, si ottiene

$\frac{d}{dx} (uv) = v \left( \frac{du}{dx} \right) + u \left( \frac{dv}{dx} \right)$

che può anche essere scritto come:

$(uv)' = v u' + u v'. \,$

[modifica] Caso particolare

Un caso particolare è la derivata di una funzione f(x) per una costante k:

$D\left[k f(x)\right] = k\cdot f'(x) + k' \cdot f(x)$

ma k', derivata di una costante, è uguale a 0, per cui, per l'annullamento del prodotto, rimane solo il primo termine; quindi

$D\left[k f(x)\right]= k f'(x)$

[modifica] Generalizzazioni

[modifica] Prodotto multiplo

La regole può essere generalizzata anche per un collezione di n funzioni derivabili, $f_1, \dots, f_k$ ,e dimostrabile con un processo simile a quello già visto ottenendo la regola generale:

La derivata del prodotto di n funzioni è uguale alla sommatoria di n addendi ognuno dei quali contenente la derivata dell'n-esima funzione e le restanti non derivate.

$D[f_1(x)f_2(x)\ldots f_n(x)] = f_1'(x)f_2(x)\ldots f_n(x)\;+\;f_1(x)f_2^{\prime}(x) \ldots f_n(x) \;+\; \ldots \;+\; f_1(x)f_2(x) \ldots f_n^{\prime}(x)$

più succintamente si può riscrivere:

$\frac{d}{dx} \prod_{i=1}^k f_i(x) = \left(\sum_{i=1}^k \frac{\frac{d}{dx} f_i(x)}{f_i(x)}\right) \prod_{i=1}^k f_i(x)$

[modifica] Applicazione: ax^a-1

Dall'applicazione della precedente si può dimostrare, attraverso un processo di induzione matematica, che

${d \over dx} x^n = nx^{n-1}$

per n intero positivo:^[2] $n \in \mathbb{N}^+$

xⁿ in fondo è una produttoria di n funzioni uguali: x₁, x₂, ..., x_n per cui per la generalizzazione, si otterrà una sommatoria di n elementi tutti uguali tra loro:

$= n[x_1 x_2 \ldots x_{n-1}] \cdot x'$

ora applicando il principio di induzione (ovvero nx^n-1) per x' e ricordando che x è uguale a x₁, possiamo riscrivere:

$= nx^{n-1} \cdot (1 \cdot x^{1-1}) = nx^{n-1} \cdot x^0$

siccome x⁰ = 1 l'equazione è dimostrata.

[modifica] Alle derivate successive

La generalizzazione può anche essere scritte per le derivate successive; il questo caso per la generica n-sima derivazione di un prodotto di funzioni si ha:

$D^{(n)}[f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(n-k)}(x)\;g^{(k)}(x)$ ^[3]

Il primo elemento è il coefficiente binomiale.

Esempio

Proviamo a derivare 2 volte la funzione x³e^x

$D (2) [x 3 e x]$	$= {2 \choose 0} 6xe^x + {2 \choose 1} 3x^2e^x + {2 \choose 2}x^3e^x$	(la derivata di e^x è sempre uguale a se stessa)
	$= 1 \cdot 6xe^x + 2 \cdot 3x^2e^x + 1 \cdot x^3e^x$
	$= 6 x e x + 6 x 2 e x + x 3 e x$

come prima, per quanto riguarda la derivazione di una funzione a esponente naturale:

${d^n \over dx^n} x^a = \frac{a!}{(a-n)!}x^{a-n}$

[modifica] Note

^ D[f(x)] e f'(x) sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata
^ per n non intero e positivo occorre ricorrere ad altre dimostrazioni
^ Il riferimento apicale tra parentesi non indica una potenza ma il numero della derivata successiva

[modifica] Voci correlate

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Categoria: Calcolo differenziale

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