Regola della somma

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Nell'analisi matematica, la regola della somma è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della somma di una serie di funzioni derivabili. Esso afferma che:

La derivata della somma (algebrica) di una serie di funzioni derivabili in x è uguale alla somma delle singole derivate.

$D[f_1(x)+ f_2(x)+ \cdots + f_n(x)]= f'_1(x)+ f'_2(x)+ \cdots + f'_n(x)$ ^[1]

Indice

1 Dimostrazione
2 Linearità della derivata
- 2.1 Dimostrazione
3 Note
4 Voci correlate

[modifica] Dimostrazione

Dimostriamo inizialmente il caso di una somma con solo due addendi.

Applicando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale:

$F'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{F(x+h) - F(x)}{h} \qquad\qquad (1)$

si deriva, ipotizzando entrambe le funzioni f(x) e g(x) derivabili in x, che:

$\lim_{h \to 0}\frac{[f(x+h) + g(x+h)] - [f(x) + g(x)]}{h}$

Riordinando emerge subito che:

$\lim_{h \to 0}\left(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \frac{g(x+h) - g(x)}{h}\right)$

Siccome per la (1) :

$\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x)$

$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)$

e quindi

$D[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x) \;$

Il caso generale di $n$ addendi si ottiene ora per induzione dal caso particolare appena dimostrato. cvd.

[modifica] Linearità della derivata

Più in generale, si può dire che la derivata è un operatore lineare. Infatti risulta che

La derivata di una funzione derivabile moltiplicata per una costante è uguale alla costante moltiplicata per la derivata della funzione originaria.

$D[\lambda \cdot f(x)]=\lambda \cdot f'(x)$

Dunque un enunciato equivalente ai due precedenti è che la derivata "conserva" le combinazioni lineari:

$D[\lambda_1 f_1(x)+ \lambda_2 f_2(x)+ \cdots + \lambda_n f_n(x)]= \lambda_1 f'_1(x)+ \lambda_2 f'_2(x)+ \cdots + \lambda_n f'_n(x)$

per ogni $λ 1,...,λ n$ reali. Infatti ponendo $λ 1 = ... = λ n = 1$ si ottiene la prima formula e per $λ 2 = ... = λ n = 0$ la seconda.

[modifica] Dimostrazione

Con il rapporto incrementale:

$(\lambda f)'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{(\lambda f)(x+h) - (\lambda f)(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\lambda(f(x+h) - f(x))}{h} = \lambda f'(x)$

Con la regola del prodotto:

$(\lambda f)' (x) = (\lambda)' f(x) + \lambda f'(x) = 0 + \lambda f'(x)=\lambda f'(x)\;$

[modifica] Note

^ D[f(x)] e f'(x) sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata

[modifica] Voci correlate

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Categoria: Calcolo differenziale

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[modifica] Dimostrazione

[modifica] Linearità della derivata

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Note

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