Regola della funzione inversa
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In analisi matematica, la regola della funzione inversa è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione inversa di una funzione derivabile, quando essa esiste. Essa afferma che:
- La derivata della funzione inversa è il reciproco della derivata della funzione calcolata nella controimmagine del punto
![D[f^{-1}(x)] = {1 \over f'(f^{-1}(x))}](../../../../math/f/c/3/fc392c683f3a5060dc419750f25934f6.png) [1] |
È sufficiente, per l'esistenza della funzione inversa, che la funzione sia strettamente monotona e continua nel suo dominio. Inoltre deve ovviamente essere 
.
Indice |
[modifica] Dimostrazione
Poniamo y: = f(x), y0: = f(x0) per semplicità. Allora:
![D[f^{-1}(y_0)]=\lim_{y \to y_0}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0) \over y - y_0}=\lim_{x \to x_0}{x - x_0 \over f(x) - f(x_0)} = {1 \over f'(x_0)}](../../../../math/5/a/a/5aa816cbba82ef8a377e6390f631e928.png)
.
[modifica] Esempio
Sia f(x) = tan(x), con 
. Dunque f − 1(y) = arctan(y) e
![D[\arctan(y)]={1 \over D[\tan(x)]}= {1 \over 1 + (\tan x)^2} = {1 \over 1 + y^2}](../../../../math/d/d/f/ddf5f4f7d4297345aafed87b9095336e.png)
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[modifica] Note
- ^ D[f(x)] e f'(x) sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata
[modifica] Voci correlate
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