Conjunt obert

De Viquipèdia

En matemàtiques, intuïtivament parlant, es diu que un conjunt és obert quan tots els seus punts són punts interiors. O sigui, qualsevol punt d'un conjunt obert té un cert entorn, que conté aquest punt, que està contingut en el conjunt.

Per exemple, a $\mathbb R\,$ , diem que $(0,1)\,$ és un conjunt obert, perquè per qualsevol valor $x\,$ tal que $0<x<1\,$ sempre podrem trobar un valor $\varepsilon >0\,$ tal que $(x-\varepsilon , x+\varepsilon ) \sub (0,1)\,$ .

En el cas anterior, si s'hagués agafat el conjunt $(0,1]\,$ , no podríem dir el mateix, ja que per $x=1\,$ no existeix cap $\varepsilon >0\,$ que compleixi la condició.

El fet que un cert conjunt sigui obert o no, també pot dependre del conjunt continent. Així per exemple, el conjunt dels nombres racionals, entre 0 i 1, sense el 0 ni el 1, és obert a $\mathbb Q\,$ (conjunt de tots el números racionals), en canvi no és obert a $\mathbb R\,$ (conjunt de tots el números reals).

[edita] Definicions

[edita] Espais topològics

La topologia és l'àmbit més general en què trobem els conjunts oberts. En aquest context, el concepte de conjunt obert és fonamental.

Donat un conjunt $\mathrm X\,$ , sigui $\mathbf T\,$ un conjunt qualsevol de subconjunts de $\mathrm X\,$ , que compleix les següents propietats.

La unió arbitrària de conjunts de $\mathbf T\,$ és un conjunt de $\mathbf T\,$ .
La intersecció finita de conjunts de $\mathbf T\,$ , és un conjunt de $\mathbf T\,$ .
Els conjunts $\mathrm X\,$ i $\emptyset \,$ pertanyen a $\mathbf T\,$ .

Amb aquestes condicions, $\mathrm X\,$ és un espai topològic, i a $\mathbf T\,$ se l'anomena topologia de $\mathrm X\,$ , i per definició, els conjunts de $\mathbf T\,$ són conjunts oberts.

L'espai topològic ve especificat per la parella $(\mathrm {X}, \mathbf {T})\,$ .

Cal observar que si es considera un conjunt $\mathrm X\,$ amb dues topologies diferents, $\mathbf T\,$ i $\mathbf {T'}\,$ , es tenen dos espais topològics diferents.

[edita] Espais mètrics

En el cas dels espais mètrics, la definició de conjunt obert, es pot fer de la següent forma:

Sigui $U\,$ un subconjunt d'un espai mètric $(M,d)\,$ , es dirà que $U\,$ és obert si:

$\forall x \in U, \exists \varepsilon >0\;|\;\forall y,d(x,y)<\varepsilon \Rightarrow y\in M\,$

[edita] Espais euclidians

En el cas dels espais euclidians, com espais mètrics que són, és pot dir que un conjunt $U\sub \mathbb{R}^n\,$ és obert si:

$\forall x \in U, \exists \varepsilon >0\;|\; \forall y\in B_\varepsilon (x )\Rightarrow y\in U\,$

on $B_\varepsilon (x )\,$ és la bola centrada a $x\,$ i de radi $\varepsilon\,$

Un conjut obert a $\mathbb{R}\,$ , té la propietat de ser una unió numerable d'intervals oberts. ( $\mathbb{R}\,$ i $\emptyset\,$ també són oberts).

[edita] Propietats

Cada subconjunt $A\,$ d'un espai topològic $X\,$ conté a un conjunt obert, tal vegada el conjunt buit. El més gran d'aquests conjunt obert, s'anomena interior de $A\,$ , que es pot construir buscant la unió de tots els conjunts oberts continguts en $A\,$ .

Donats dos espais topològics, $X, Y\,$ , una funció $f:X\rightarrow Y\,$ és contínua si la preimatge de cada conjunt obert en $Y\,$ és oberta en $X\,$ .