Espai m??tric

De Viquip??dia

En Matem??tiques, un espai m??tric ??s un cas particular d'espai topol??gic, on est?? definida una dist??ncia.

[edita] Definici?? formal

Formalment, un espai m??tric ??s un conjunt $M\,$ amb una funci?? dist??ncia associada, (tamb?? anomenada m??trica) $d:M\times M\rightarrow \mathbb R\,$ .

$\mathbb R\,$ ??s el conjunt dels n??meros reals.
Als elements del conjunt, se'ls anomena punts.
Una funci?? $d\,$ compleix les condicions d'una dist??ncia en $M\,$ si $\forall x,y,z \in M\,$ :

$d(x,y) \ge 0\,$ .
$d(x,x)=0\,$ '
si $d(x,y)=0 \Rightarrow x=y\,$
$d(x,y)=d(y,x)\,$
$d(x,y) \le d(x,z)+d(y,z)\,$

[edita] Sistemes axiom??tics alternatiuus

La condici?? 1 $d(x,y) \ge 0\,$ no ??s necess??ria, ja que tamb?? es pot veure com una conseq????ncia de les condicions 4 i 5.
Qualsevol m??trica, per tal d'evitar els valors $\infty\,$ , permet una reescalaci?? a una m??trica finita, definint, per exemple, $\delta (x,y)= \frac {d(x,y)}{1+d(x,y)}\,$ , els dos espais m??trics s??n equivalents des d'un punt de vista topol??gic.

[edita] Exemples

En qualsevol conjunt existeix la m??trica discreta: $d(x,y)=\left\{\begin{matrix}0,&\mbox{si } x=y\\ 1&\mbox{si } x\ne y\end{matrix}\right.\,$ .
En el n??meros reals, la funci?? d??st??ncia $d(x,y)=|x-y|\,$ . Dist??ncia euclidiana.
La dist??ncia euclidiana, a $\mathbb {R}^n\,$ , o sigui $d(\mathbf {x} ,\mathbf {y})=\sqrt{(y_{1}-x_{1})^{2}+...+(y_{n}-x_{n})^{2}}\,$ .
Qualsevol espai vectorial normat ??s un espai m??tric si definim $d(x,y)=||y-x||\,$ .