Spazio metrico

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Uno spazio metrico è un insieme dotato di una distanza (detta anche metrica). Lo spazio metrico più vicino alla nostra intuizione è lo spazio euclideo tridimensionale.

Qualsiasi oggetto contenuto nello spazio euclideo è esso stesso uno spazio metrico. Molti insiemi di funzioni sono dotati di una metrica: accade ad esempio se formano uno spazio di Hilbert o di Banach. Per questi motivi gli spazi metrici giocano un ruolo fondamentale in geometria e in analisi funzionale.

Uno spazio metrico è in particolare uno spazio topologico, e quindi eredita le nozioni di compattezza, connessione, insieme aperto e chiuso. Si applicano quindi agli spazi metrici gli strumenti della topologia algebrica, quali ad esempio il gruppo fondamentale.

Indice

1 Definizione
2 Esempi di spazi metrici
3 Proprietà
- 3.1 Struttura topologica
- 3.2 Spazi normati
4 Equivalenze
5 Distanza tra punti e insiemi e tra insiemi
6 Limitatezza
7 Spazi metrici prodotto
8 Voci correlate

[modifica] Definizione

Per approfondire, vedi la voce Distanza (matematica).

Uno spazio metrico è una struttura matematica costituita da una coppia $(X, d)$ di elementi, dove $X$ è un insieme e $d$ una funzione distanza (detta anche metrica), che associa a due punti $x$ e $y$ di $X$ un numero reale non negativo $d (x, y)$ .

[modifica] Esempi di spazi metrici

Lo spazio euclideo con la normale nozione di distanza;
Un insieme qualsiasi con la distanza definita nel modo seguente: la distanza tra due punti è 1 se i punti sono diversi, 0 altrimenti;
L'insieme delle funzioni continue nell'intervallo [0,1] è metrizzabile con la seguente metrica: date due funzioni f₁, f₂ della variabile x il numero $d = max | f 1 (x) - f 2 (x) |$ è la distanza tra esse.
Un sottoinsieme di uno spazio metrico si può considerare anch'esso in modo naturale uno spazio metrico: basta munirlo della opportuna restrizione della funzione distanza dello spazio di partenza. Quindi qualsiasi sottoinsieme dello spazio euclideo è un esempio di spazio metrico.
Ogni spazio normato è uno spazio metrico, dove la distanza tra due punti $x, y$ è data dalla norma del vettore $x - y$ . In questi casi si dice che la metrica è indotta dalla norma. Non vale però il viceversa, esistono cioè spazi metrici la cui metrica non può derivare da una norma, come mostra il prossimo esempio.
L'insieme $R$ dei numeri reali, con la distanza data da

$d(x,y)=\left|\arctan(x)-\arctan(y)\right|.$

Questa distanza, diversa da quella standard, non può essere indotta da una norma, in quanto non è invariante per traslazioni (ovvero $d (x + z, y + z)$ è in generale diversa da $d (x, y)$ ), mentre tutte le distanze indotte da norme lo sono.

Se $(X, d)$ è uno spazio metrico, allora è possibile definire una nuova metrica $d 1$ su X tale che qualunque coppia di punti di X abbia distanza minore o uguale a 1. Basta infatti prendere

$d_1(x,y)=\frac{d(x,y)}{d(x,y)+1}.$

Si può verificare che $d 1$ è ancora una metrica su X. Inoltre se X è illimitato rispetto alla metrica d, risulta avere diametro 1 nella metrica $d 1$ , ovvero risulta limitato nella metrica $d 1$ . La nozione di limitatezza di un insieme non è dunque un concetto "assoluto".

[modifica] Proprietà

[modifica] Struttura topologica

Uno spazio metrico possiede naturalmente anche una struttura topologica: l'insieme delle palle aperte centrate nei vari punti avente raggio variabile fornisce infatti una sua base topologica.

Esplicitamente, un insieme sarà aperto se è l'unione di un certo numero (finito o infinito) di palle. Uno spazio metrico è perciò, quasi per definizione, uno spazio metrizzabile.

Per una funzione definita in uno spazio metrico sarà possibile dunque parlare di continuità e la definizione generale (usando le controimmagini degli aperti) potrà essere riformulata in funzione di dischi:

$f:(X,d) \to (Y,d')$ è continua in

x 0

se per ogni

r > 0

esiste un

δ(r) > 0

tale che $x \in B_d(x_0,\delta(r))$ implica $f(x) \in B_{d'}(f(x_0),r)$ ,

dove $B d$ (risp. $B d'$ ) rappresenta la palla nella metrica $d$ (risp. $d'$ ). Scritta in un altro modo, questa definizione dice che:

$f:(X,d) \to (Y,d')$ è continua in

x 0

se per ogni

r > 0

esiste un

δ(r) > 0

tale che

d (x, x 0) < δ(r)

implica

d'(f (x), f (x 0)) < r

Tale definizione è già molto vicina a quella usuale per funzioni reali.

Addizionalmente, uno spazio metrico è anche uno spazio uniforme, definendo un sottoinsieme $V$ di $M \times M$ essere un entourage se e solo se esiste un $ε > 0$ tale che se $d (x, y) < ε$ allora $(x,y) \in V$ . La struttura uniforme generalizza quella topologica.

È possibile costruire esempi semplici di metriche topologicamente equivalenti ma con strutture uniformi distinte: basta prendere, in $\R$ , $d 1$ la metrica euclidea e $d 2 (x, y) = | e x - e y |$ ; allora $\{(x,y) \in \R^2 : |x-y| < 1\}$ è un entourage nella struttura uniforme data da $d 1$ ma non in quella data da $d 2$ . Intuitivamente, la difformità è data dalla distorsione della metrica usuale secondo una funzione non uniformemente continua.

[modifica] Spazi normati

Dato spazio vettoriale normato $(M,\|\cdot\|)$ è sempre possibile assoicare uno spazio metrico: infatti si verifica che la funzione $f(x,y)=\|x-y\|$ , per le proprietà della norma, soddisfa le quattro richieste della metrica. Per indicare che in uno spazio metrico la distanza è definita in questo modo dalla norma, si dice che la metrica è indotta dalla norma e in questo caso si dice anche che lo spazio metrico è indotto dallo spazio normato.

Uno spazio vettoriale munito di una seminorma genera invece una pseudometrica, cioè una funzione che può assegnare distanza nulla a punti diversi, e quindi non uno spazio metrico. Si può ovviare all'inconveniente introducendo la relazione di equivalenza ~, che identifica due punti se e solo se hanno distanza nulla. Passando dunque al quoziente $X^*=X_{/\sim} \,$ e definendo, se $d$ è la pseudometrica,

d * ([x],[y]) = d (x, y)

la funzione $d *$ risulta essere, oltre che ben definita, proprio una metrica per $X *$ . Il quoziente conserva la topologia che la pseudometrica induce su $X$ (esattamente nello stesso modo in cui lo fa una metrica), cioè $A$ è aperto in $X$ se e solo se $π(A) = [A]$ (ovvero i punti di A considerati a meno dell'equivalenza) è aperto in $X *$ .

[modifica] Equivalenze

Una biiezione $f$ tra due spazi metrici $(M 1, d 1)$ , $(M 2, d 2)$ si dice

una isometria se $d 2 (f (x)), f (y)) = d 1 (x, y)$ per ogni $x, y$ ( $M 1$ e $M 2$ sono isometrici).
una similitudine se $d 2 (f (x)), f (y)) = k d 1 (x, y)$ per qualche $k > 0$ , per ogni $x, y$ ( $M 1$ e $M 2$ sono simili).
una uniformità se è un isomorfismo tra $M 1$ e $M 2$ visti come spazi uniformi.
un omeomorfismo se è un isomorfismo tra $M 1$ e $M 2$ visti come spazi topologici ( $M 1$ e $M 2$ sono omeomorfi).

[modifica] Distanza tra punti e insiemi e tra insiemi

Oltre alla distanza tra punti, in uno spazio metrico si possono introdurre altri concetti accessori, come la distanza tra un punto e un insieme, definita come

$\delta(x,E)=\inf_{y \in E}d(x,y)$

È $δ(x, E) = 0$ se e solo se $x$ appartiene alla chiusura di $E$ . Per questa funzione vale una versione generale della disuguaglianza triangolare, cioè

$\delta(x,E) \leq d(x,y) + \delta(y,E)$ .

Si possono definire inoltre più distanze tra insiemi.

Una è definita come l'estremo inferiore della distanza tra due punti dei due insiemi:

$d(E,F)=\inf_{x \in E, y \in F}d(x,y)$

Questa definizione, che è molto intuitiva, si rivela però poco utile, perché è solo una prametrica simmetrica, cioè soddisfa solo la non negatività e l'"auto-distanza" nulla: due insiemi non coincidenti con intersezione non vuota o che si toccano (cioè per esempio $[1,2)$ e $(2,3]$ ) hanno distanza nulla.

Una definizione migliore è stata data da Felix Hausdorff ed è la seguente:

H (A, B) = m a x {e (A, B), e (B, A)}

dove per evitare notazioni pesanti si è indicato con $e(A,B)=\sup_{x \in A}\delta(a,B)$ l'eccedenza di $A$ su $B$ ; $H$ è detta proprio distanza di Hausdorff di $A$ da $B$ . In generale $H$ è solo una pseudometrica: la sua restrizione ai sottoinsiemi chiusi dello spazio metrico soddisfa però anche l'ultima proprietà mancante e la rende dunque una metrica su $P_f(X)=\{S \subseteq X : S \, \mbox{chiuso}\}$ , sottoclasse dell'insieme delle parti di $X$ .

[modifica] Limitatezza

Per approfondire, vedi la voce Insieme limitato.

Lo spazio metrico è la struttura più povera in cui si può cominciare a parlare di limitatezza di un insieme. Se $E \subseteq X$ , allora $E$ si dice limitato secondo la metrica presente d se esiste un raggio finito M tale che

$E \subset B_d(x,M)$ per qualche

x

X

Ci sono altre definizioni equivalenti, cioè:

ponendo per definizione $diam(E)=\sup_{x,y \in E}d(x,y)$ il diametro di $E$ , se esso è un numero finito;
se la sua chiusura è limitata.

La nozione è però ovviamente dipendente dalla distanza che si pone sull'insieme $X$ : se per esempio $X$ è uno spazio illimitato con distanza $d$ , esso ha diametro 1 nella distanza $d'={d \over 1+d}$ .

[modifica] Spazi metrici prodotto

Se $X 1,..., X n$ sono spazi metrici con distanze $g 1,..., g n$ rispettivamente allora si può definire una metrica nel prodotto cartesiano $X_1 \times ... \times X_n$ tra $\vec{x}=(x_1,...,x_n)$ e $\vec{y}=(y_1,...,y_n)$ come

$(g_1 \times ... \times g_n)(\vec{x},\vec{y}) := \sum_{i=1}^n{1 \over 2^i}{g_i(x_i,y_i) \over 1 + g_i(x_i,y_i)}$ .

La formula può essere estesa anche per prodotti numerabili.

In generale, se $N$ è una norma in $\R^n$ , allora si può definire la metrica normata nel prodotto cartesiano come

$N(d_1,...,d_n)\Big((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n)\Big) = N\Big(d_1(x_1,y_1),\ldots,d_n(x_n,y_n)\Big)$

e la topologia generata è coerente con la topologia prodotto.

Come caso particolare, se $n = 2$ , $X 1 = X 2 = X$ , $d 1 = d 2 = d$ allora viene fuori che la funzione distanza $d:X \times X \to \R^+$ è uniformemente continua rispetto ogni metrica normata e dunque è una funzione continua rispetto alla topologia prodotto su $X \times X$ .