Fibrato

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, e più precisamente in topologia, un fibrato è una particolare funzione

$\pi:E\to B\,\!$

che si comporta localmente come la proiezione di un prodotto su un fattore.

I fibrati sono utili in topologia differenziale e in topologia algebrica. Un esempio importante di fibrato è il fibrato tangente. Sono anche uno strumento importante nella teoria di gauge.

Indice

1 Definizione
2 Esempi
3 Proprietà
- 3.1 Mappa aperta
- 3.2 Sezioni
4 Voci correlate

[modifica] Definizione

Un fibrato è una funzione suriettiva continua fra spazi topologici

$\pi:E\to B\,\!$

che è localmente un prodotto. Più precisamente, ogni punto $x$ di $B$ ha un intorno aperto $U$ tale che la controimmagine $π - 1 (U)$ è omeomorfa ad un prodotto $U\times F$ (dove $F$ è un fissato spazio topologico), e la $π$ letta su questo prodotto è la proiezione sul primo fattore. In altre parole, il diagramma mostrato in figura commuta.

Lo spazio $B$ è la base, $F$ è la fibra, $E$ è lo spazio totale e $π$ la proiezione. Il fibrato è a volte descritto nel modo seguente:

Un fibrato è liscio se è definito nella categoria delle varietà differenziabili: $E, B$ e $F$ in questo caso sono varietà differenziabili e le $π,φ$ sono funzioni differenziabili.

[modifica] Esempi

[modifica] Prodotto

Uno spazio prodotto $E = F\times B$ è, con la proiezione sul secondo fattore, un fibrato su $B$ a fibra $F$ . Un tale fibrato è detto banale.

[modifica] Nastro di Möbius

Il nastro di Möbius è un fibrato non banale sulla circonferenza.

Il nastro di Möbius è forse l'esempio più semplice di fibrato non banale. La base $B$ consiste in una circonferenza, e la fibra $E$ è un segmento. Dato $x$ in $B$ , un piccolo arco $U$ della circonferenza contenente $x$ ha effettivamente come controimmagine un quadrato $U\times E$ . Globalmente, il nastro di Möbius non è però un prodotto $E\times B$ : un tale prodotto sarebbe infatti una corona circolare.

[modifica] Toro e bottiglia di Klein

Un toro.

La bottiglia di Klein immersa nello spazio tridimensionale.

Analogamente, il toro è un prodotto $S^1\times S^1$ fra due circonferenze $S 1$ , mentre la bottiglia di Klein è un altro fibrato, avente sempre base $S 1$ e fibra $S 1$ .

[modifica] Rivestimenti

Un rivestimento è un fibrato in cui la proiezione è un omeomorfismo locale. In particolare, la fibra è un insieme discreto di punti.

[modifica] Fibrati vettoriali

Un fibrato vettoriale è un fibrato la cui fibra $F$ è uno spazio vettoriale. I fibrati vettoriali occupano un ruolo centrale in topologia e in geometria algebrica. L'esempio più importante di fibrato vettoriale è il fibrato tangente.

[modifica] Proprietà

[modifica] Mappa aperta

La proiezione $π$ è sempre una funzione aperta.

[modifica] Sezioni

Una sezione di un fibrato è una funzione continua

$s:B\to E\,\!$

tale che $π(s (x)) = x$ per ogni $x$ in $B$ . Ad esempio, in un fibrato banale $B = F\times E$ , preso un punto $y 0$ in $F$ , si può definire la sezione

s (x) = (y 0, x).

Un generico fibrato può o non può ammettere sezioni. L'esistenza di una sezione conduce alla definizione delle classi caratteristiche.

Alcuni oggetti matematici e fisici comunemente usati possono essere definiti come sezioni di un particolare fibrato. Ad esempio, un campo vettoriale è una particolare sezione del fibrato tangente. Una forma differenziale o un più generico campo tensoriale (ad esempio, il tensore di Riemann) sono anch'essi interpretabili come sezioni di particolari fibrati.