Spazio connesso

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Due sottoinsiemi del piano uno connesso (in verde) l'altro non connesso (in viola) costituito da 4 componenti connesse

Uno spazio topologico non vuoto si dice connesso se l'unica coppia di sottoinsiemi aperti disgiunti la cui unione sia X è {Ø,X}. Questa definizione è equivalente alle seguenti:

L'unica coppia di sottoinsiemi chiusi disgiunti la cui unione sia X è {Ø,X}

Gli unici sottoinsiemi di X che siano contemporaneamente sia aperti che chiusi sono Ø e X

In maniera poco formale ma abbastanza intuitiva, possiamo dire che la connessione è la proprietà topologica di un insieme di essere formato da un solo "pezzo"

Un sottoinsieme di uno spazio topologico si dice connesso se è uno spazio connesso con la topologia di sottospazio.

I sottoinsiemi connessi massimali di uno spazio topologico X sono le componenti connesse di X. In altre parole, un sottoinsieme di X è una componente connessa se è connesso e non è contenuto in nessun altro sottoinsieme connesso. Le componenti connesse di X sono disgiunte e la loro unione è X: formano cioè una partizione di X. Nella maggior parte dei problemi è sufficiente considerare soltanto spazi connessi, perché sono i "blocchi fondamentali" con cui sono fatti tutti gli spazi topologici.

Ogni componente connessa di X è un sottoinsieme chiuso di X, ma non necessariamente aperto: ad esempio, le componenti connesse dei numeri razionali sono i punti. Uno spazio le cui componenti connesse sono i suoi punti viene chiamato totalmente disconnesso.

Indice

1 Esempi
2 Proprietà
3 Connessione per archi
4 Generalizzazioni
- 4.1 Connessione locale
- 4.2 Connessione di ordine superiore

[modifica] Esempi

I numeri reali con la loro topologia usuale sono un insieme connesso.
Un sottoinsieme dei numeri reali è connesso se e solo se è un intervallo, in cui ciascun estremo può essere infinito e può (ma non deve) appartenere all'insieme.
Il piano, e più in generale lo spazio euclideo, è connesso.
L'unione di alcune rette nel piano è uno spazio connesso se ce ne sono almeno due che non sono parallele.
Un insieme con la topologia discreta è totalmente disconnesso.
L'insieme di Cantor è totalmente disconnesso.

[modifica] Proprietà

Data una famiglia qualsiasi di insiemi connessi che hanno un punto in comune, la loro unione è un insieme connesso.

Il prodotto di spazi connessi è uno spazio connesso.

L'immagine di uno spazio connesso tramite una funzione continua è uno spazio connesso.

[modifica] Connessione per archi

Uno spazio topologico X è connesso per archi se per ogni coppia di punti x e y dello spazio esiste un arco che li collega. In altre parole, esiste una funzione continua f dall'intervallo [0, 1] in X tale che f(0)=x e f(1)=y.

Uno spazio connesso per archi è connesso. Le due nozioni però non coincidono, perché esistono spazi connessi ma non connessi per archi. Un esempio è dato dal seguente sottospazio topologico del piano

$Y = \left\{(0,y)\ \big|\ |y| \leq 1\right\} \cup \left\{\left(x,\sin\frac 1x\right)\ \big|\ x>0\right\}$

che è l'unione di un segmento verticale e di un "serpente" di lunghezza infinita che gli si avvicina oscillando sempre di più come illustrato in figura.

Per classi di spazi topologici che siano "sufficientemente regolari", le due nozioni coincidono. Ad esempio, coincidono per tutti gli aperti di uno spazio euclideo.

[modifica] Generalizzazioni

[modifica] Connessione locale

Uno spazio localmente connesso è uno spazio che è connesso "nel piccolo": ogni punto dello spazio ha cioè un sistema di intorni connessi. La definizione di spazio localmente connesso per archi è analoga.

La locale connessione è normalmente una proprietà minima di regolarità locale che viene richiesta affinché siano validi dei teoremi molto generali. Ad esempio, è spesso richiesta nella teoria dei rivestimenti.

Uno spazio totalmente connesso non è mai localmente connesso.

[modifica] Connessione di ordine superiore

Per approfondire, vedi le voci spazio semplicemente connesso e gruppi di omotopia.

La connessione per archi può essere vista come la "connessione di ordine 0", in un contesto più generale di "connessione di ordine n", che intuitivamente misura la presenza di "buchi n-dimensionali" nello spazio topologico. Tra queste, la più usata è la connessione di ordine 1, o semplice connessione: questo concetto fondamentale in topologia risulta particolarmente utile anche in analisi, per verificare ad esempio l'esattezza di una forma differenziale definita su un aperto del piano o dello spazio.

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