Curva (matematica)

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In matematica, una curva è un oggetto unidimensionale e continuo, come ad esempio la circonferenza e la retta. Una curva può giacere su un piano, nello spazio euclideo, o in uno spazio topologico più generale.

Una curva può essere pensata intuitivamente come la traiettoria descritta da un oggetto (puntiforme) che si muove con continuità in qualche spazio; non dovrebbe sorprendere quindi il fatto che per "catturare" nel linguaggio matematico quest'idea si faccia ricorso alle nozioni di funzione continua e funzione differenziabile.

Indice

1 Definizione topologica
- 1.1 Parametrizzazioni
2 Differenziabilità
- 2.1 Regolarità a tratti
3 Lunghezza della curva
4 Voci correlate

[modifica] Definizione topologica

Una curva (topologica) è una funzione continua $f:I \rightarrow X$ , dove $I$ è un intervallo della retta reale e $X$ è un qualsiasi spazio topologico. Se $X$ è il piano allora $f$ è una curva piana.

L'immagine di una curva viene anche chiamato supporto della curva. Spesso con un piccolo abuso di linguaggio si indica con la parola "curva" il supporto e non la funzione. Ad esempio, la circonferenza è il supporto della curva

$f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2$

$f(t) = e^{2\pi it} = (\cos(2\pi t), \sin(2\pi t)).\,\!$

In topologia, quando l'intervallo di partenza $I$ è quello unitario $[0,1]$ si usa spesso uno dei termini equivalenti cammino o arco. Una curva f iniettiva nei punti interni del suo dominio è detta semplice. Una curva $f:[a,b] \rightarrow X$ che coincide sui suoi estremi, cioè tale che $f (a) = f (b)$ , è una curva chiusa o un laccio. Quindi il cerchio è una curva piana chiusa e semplice.

Una curva piana è una curva

$f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2$

a valori in un piano. Una curva piana chiusa e semplice è anche detta curva di Jordan.

[modifica] Parametrizzazioni

Se $p:I \rightarrow I$ è un omeomorfismo crescente dell'intervallo (ad esempio, una funzione derivabile e bigettiva con derivata positiva), allora $g=f\circ p$ ottenuta componendo $p$ e $f$ è un'altra curva avente lo stesso supporto di $f$ . Si dice che $g$ è un'altra parametrizzazione della curva $f$ .

[modifica] Differenziabilità

Una curva topologica, per quanto sembri rispondere all'esigenza di rappresentare oggetti "filiformi" e "senza spessore", che localmente sembrano una retta incurvata, può essere molto bizzarra se non fissiamo delle condizioni aggiuntive.

Ad esempio, nel 1890 il matematico Giuseppe Peano scoprì una curva (nota ora come curva di Peano) avente come supporto un quadrato. La curva di Koch è invece un frattale con dimensione di Hausdorff maggiore di uno (un oggetto dimensionalmente intermedio tra la retta è il piano).

Una condizione aggiuntiva che garantisce l'aspetto "filiforme" del supporto è la differenziabilità: se X è il piano o un altro spazio euclideo, è possibile chiedere che f sia differenziabile in ogni punto, ed in questo caso parlare di curva differenziabile o regolare. In una curva differenziabile, per ogni t in I è definita una tangente alla curva in f(t): la tangente è il vettore delle derivate di f.

La lunghezza di una tangente è la velocità della curva nel punto. La velocità può cambiare tramite riparametrizzazione della curva: data una curva, c'è sempre un'unica parametrizzazione tale che la velocità sia costantemente uno. Una tale curva è parametrizzata dalla lunghezza d'arco.

[modifica] Regolarità a tratti

In molti contesti è utile parlare di curve "lisce" che formano però degli "angoli" in alcuni punti. Per questo scopo si definisce una curva regolare a tratti come una curva il cui dominio $I$ è unione di intervalli successivi, su ciascuno dei quali la curva è regolare. Formalmente, si chiede che esista una partizione di un intervallo $I$ in alcuni intervalli $I_1,\ldots,I_k$ tali che la restrizione della curva su ciascun $I j$ sia regolare.

[modifica] Lunghezza della curva

Per approfondire, vedi la voce lunghezza di un arco.

Se $(X, d)$ è uno spazio metrico (ad esempio, il piano o uno spazio euclideo) si può usare la metrica stessa per definire la lunghezza di una curva. Sia data una curva $\varphi:[a,b]\to X$ e una partizione dell'intervallo $[a, b]$ cioè un insieme finito di punti $\rho=\{t_k\}_k^n$ tale che:

$a = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = b\,\!$

Allora si può definire la poligonale, cioè una curva che è l'unione dei segmenti aventi vertici l'immagine degli elementi della partizione tramite $\varphi$ . In pratica la poligonale è una curva spezzata i cui vertici appartengono alla curva originale. Più i vertici della poligonale sono numerosi e più la sua lunghezza approssimerà quella della curva.

Possiamo definire la lunghezza della curva $f$ come estremo superiore della lunghezza della poligonale al variare della partizione $ρ$ :

$L(\varphi)$	$= \sup_\rho\left[d(\varphi(t_0), \varphi(t_1)) + ... + d(\varphi(t_{n-1}), \varphi(t_n))\right]=\sup_\rho\sum_{i=1}^n \left[d(\varphi(t_i)-\varphi(t_{i-1}))\right]$
	$=\sup \left\{ \sum_{i=1}^n d(\varphi(t_i),\varphi(t_{i-1})) : n \in \mathbb{N} \mbox{ e } a = t_0 < t_1 < \dots < t_n = b \right\} \,\!$

Se tale valore non è infinito, la curva si dice rettificabile. Le curve di Peano e di Koch non sono rettificabili.

La lunghezza di una curva non dipende dalla sua parametrizzazione, cioè non varia se si considerano parametrizzazioni equivalenti.

Una curva derivabile è rettificabile: per ogni punto t dell'intervallo è definita una velocità, e si può dimostrare che la lunghezza definita come sopra è uguale all'integrale di questa velocità su I:

$L(\varphi) = \int_I ||\dot \varphi(t)||\,dt$