Funzione iniettiva

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Un esempio di funzione iniettiva

Una funzione si dice iniettiva (o ingettiva) se elementi distinti del dominio hanno un'immagine distinta, o equivalentemente se ogni elemento del codominio corrisponde al più ad un elemento del dominio; formalmente:

$f:X \rightarrow Y$ è iniettiva sse $\forall x_1, x_2 \in X, x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$

o equivalentemente:

$f:X \rightarrow Y$ è iniettiva sse $\forall x_1, x_2 \in X, f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$

Se abbiamo una funzione reale di una variabile reale che è iniettiva allora tracciando sul suo piano cartesiano una qualsiasi retta parallela all'asse x (corrispondente al dominio) questa intersecherà il grafico della funzione al più una volta.

L'iniettività di una funzione è una condizione necessaria ma non sufficiente affinché esista la funzione inversa. Se una funzione è iniettiva esiste sicuramente però una funzione inversa parziale, cioè non definita su tutto il codominio ma solo sull'insieme delle immagini:

$f^{-1}:f(X) \to X.$

Se una funzione iniettiva è anche suriettiva (si dice allora funzione biiettiva) allora ammette una funzione inversa. Viceversa se una funzione è invertibile allora è anche iniettiva e suriettiva.

La funzione composta ottenuta componendo due funzioni iniettive è a sua volta una funzione iniettiva; ma se $g \circ f$ è iniettiva, possiamo concludere solo che f è iniettiva, g potrebbe non esserlo.

[modifica] Esempi

Esempi molto generali di funzioni iniettive sono la funzione identità e la inclusione canonica.

Un esempio di funzione non iniettiva è dato da:

$f(x) \,=\, x^2$

definita per ogni x reale, infatti un numero reale e il suo opposto hanno lo stesso quadrato (ad esempio: f(2)=2² = f(-2)=(-2)² = 4). La restrizione della funzione f(x) ai soli numeri reali positivi è invece iniettiva.

Un caso non banale di funzione iniettiva su tutti i reali è questo:

$f(x) \,=\ x^3$