Tensore di Riemann

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In relatività generale, se calcoliamo il commutatore di due derivate covarianti applicate su di un vettore, otteniamo

$\left[ {\nabla _\mu ,\nabla _\nu } \right]A_\sigma = \left( {\partial _\nu \Gamma ^\rho _{\sigma \mu } - \partial _\mu \Gamma ^\rho _{\sigma \nu } + \Gamma ^\rho _{\alpha \nu } \Gamma ^\alpha _{\sigma \mu } - \Gamma ^\rho _{\alpha \mu } \Gamma ^\alpha _{\sigma \nu } } \right)A_\rho ,$

dove $\Gamma ^\rho _{\sigma \mu }$ è il simbolo di Christoffel. La quantità fra parentesi è detta tensore di Riemann:

$R^\rho _{\sigma \mu \nu } = {\partial _\nu \Gamma ^\rho _{\sigma \mu } - \partial _\mu \Gamma ^\rho _{\sigma \nu } + \Gamma ^\rho _{\alpha \nu } \Gamma ^\alpha _{\sigma \mu } - \Gamma ^\rho _{\alpha \mu } \Gamma ^\alpha _{\sigma \nu } },$

cioè

$\left[ {\nabla _\mu ,\nabla _\nu } \right]A_\sigma = R^\rho _{\sigma \mu \nu } A_\rho$

Il tensore di Riemann mette in luce le proprietà di curvatura dello spazio: infatti la variazione che subisce un vettore durante il trasporto parallelo lungo un percorso chiuso che è il bordo di una supeficie Σ è pari a

$\Delta A^\mu = \frac{1} {2}\int_\Sigma {dS^{\beta \sigma } R^\mu _{\nu \beta \sigma } A^\nu } .$

Pertanto, se ${R^\mu _{\nu \beta \sigma } }=0$ lo spazio è piatto.

Questo concetto può essere anche visto da un altro punto di vista: il principio di equivalenza afferma che gli effetti di un campo gravitazionale sono localmente equivalenti a quelli di un sistema di riferimento non inerziale (accelerato). Ad esempio due gravi in caduta libera nel campo gravitazionale terrestre appaiono fermi se osservati in un sistema di riferimento in caduta libera assieme a loro (come un ascensore): tuttavia ciò è vero solo localmente, in quanto i due gravi, a lungo andare, tendono ad avvicinarsi, poiché puntano antrambi verso il centro della terra. Questo avviene perché i due gravi percorrono due geodetiche, e le godetiche in uno spazio curvo non sono parallele. Per vedere ciò si definisce una derivata totale

$\frac{{DV^\mu }} {{Ds}} = \frac{{dx^\nu }} {{ds}}V^\mu _{;\nu }$

dove s è l'ascissa curvilinea. Se abbiamo due geodetiche infinitamente vicine che differiscono per $δ x σ$ , si ottiene

$\frac{{D^2 }} {{Ds^2 }}\left( {\delta x^\mu } \right) = R^\mu _{v\sigma \rho } \frac{{dx^\nu }} {{ds}}\frac{{dx^\rho }} {{ds}}\delta x^\sigma .$

Anche qui notiamo che se le geodetiche non modificano la loro distanza possiamo concludere che lo spazio è piatto, e viceversa.

Se consideriamo il tensore di Riemann in forma completamente covariante, esso è antisimmetrico rispetto allo scambio dei primi due indici:

$R ρσμν = - R σρμν,$

è antisimmetrico rispetto allo scambio degli ultimi due indici:

$R ρσμν = - R ρσνμ,$

ed è simmetrico rispetto allo scambio delle due coppie di indici:

$R ρσμν = R μνρσ,$

Il tensore di Riemann soddisfa la seguente identità:

$R^\rho _{\sigma \mu \nu } + R^\rho _{\nu \sigma \mu } + R^\rho _{\mu \nu \sigma } = 0.$

Inoltre esso soddisfa l'identità di Bianchi:

$R^\rho _{\sigma \mu \nu ;\alpha } + R^\rho _{\sigma \alpha \mu ;\nu } + R^\rho _{\sigma \nu \alpha ;\mu } = 0,$

da cui si ottiene

$\left( {R^{\mu \nu } - \frac{1} {2}g^{\mu \nu } R} \right)_{;\mu } = 0.$

Poiché anche il tensore energia impulso ha derivata covariante nulla, concludiamo che possiamo porre

$R^{\mu \nu } - \frac{1} {2}g^{\mu \nu } R - g^{\mu \nu } \Lambda = \frac{8\pi G}{c^4} T^{\mu \nu } ,$

ovvero l'equazione di Einstein, dove G è la costante di gravitazione universale e $Λ$ è la costante cosmologica.

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