Similitudine (geometria)

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Gli oggetti aventi lo stesso colore sono simili.

La similitudine è una particolare trasformazione geometrica, contenuti nel piano o nello spazio, che conserva i rapporti tra le distanze. Questo vuol dire che, per ogni similitudine f, esiste un numero reale positivo k tale che

$d(A,B)=k\cdot d(A,B)$

per ogni coppia di punti (A,B).

Ogni similitudine si può ottenere dalla composizione di una omotetia ed una isometria, o viceversa.

Queste trasformazioni mantengono la "forma" dell'oggetto, pur cambiandone la posizione, l'orientazione o la grandezza; quindi due oggetti simili hanno la stessa "forma".

Indice

1 Esempi
2 Poligoni
- 2.1 Triangoli simili
- 2.2 Poligoni simili
3 Numeri complessi e figure auto-similari
- 3.1 Numeri complessi
- 3.2 Frattali

[modifica] Esempi

Due circonferenze nel piano sono sempre simili. Tutti i quadrati sono simili: più in generale, tutti i poligoni regolari con un numero fissato di lati sono simili.

Tutte le parabole sono simili fra loro, mentre ellissi ed iperboli non lo sono necessariamente.

Quando due oggetti $P$ e $Q$ sono simili, si scrive generalmente

$P\sim Q\,\!.$

[modifica] Poligoni

[modifica] Triangoli simili

Esistono alcuni criteri che permettono di determinare se due triangoli sono simili, il primo è il più noto:

Due triangoli sono simili se e solo se hanno ordinatamente due angoli congruenti.
- - Corollario 1. Due triangoli equilateri sono simili
  - Corollario 2. Due triangoli rettangoli, con un angolo acuto congruente, sono simili.
  - Corollario 3. Due triangoli isosceli, con gli angoli al vertice congruenti, sono simili.
Due triangoli ABC e DEF tali che:
- ${AB \over DE} = {BC \over EF},$
- gli angoli in $B$ e in $E$ sono uguali,
sono simili.
- Corollario. Due triangoli rettangoli sono simili se hanno i cateti in proporzione
Due triangoli $A B C$ e $D E F$ tali che:

$\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF} \!$

sono simili.

[modifica] Poligoni simili

Esistono criteri analoghi per due poligoni arbitrari nel piano. Il più importante è il seguente:

Due poligoni sono simili se hanno lo stesso numero di lati, gli angoli corrispondenti congruenti e i lati corrispondenti proporzionali.

In verità, non è necessario effettuare la verifica su tutti gli angoli e tutti i lati: è possibile escludere

due lati qualsiasi consecutivi e l'angolo compreso tra essi, oppure
due angoli qualsiasi consecutivi e il lato compreso tra essi, oppure
tre angoli consecutivi.

Se il poligono non è un triangolo, non è vero che due poligoni aventi gli angoli interni uguali sono simili: ad esempio, due rettangoli hanno sempre gli stessi angoli interni, ma sono simili soltanto se hanno lo stesso rapporto fra i lati.

[modifica] Numeri complessi e figure auto-similari

[modifica] Numeri complessi

Per approfondire, vedi la voce Rotazione nel piano complesso.

Il triangolo di Sierpinski è un frattale.

Ogni similitudine fra due oggetti nel piano può essere elegantemente espressa tramite l'uso dei numeri complessi. È sufficiente descrivere il piano come piano complesso: in questo modo, ogni similitudine è esprimibile tramite una trasformazione lineare del tipo

$z\mapsto az+b$