Spazio metrizzabile
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In topologia, una branca della matematica, uno spazio topologico (X,τ) si dice metrizzabile se esiste su X una metrica d tale che la topologia indotta da d è proprio τ.
Gli spazi metrizzabili sono omeomorfi agli spazi metrici e ne inducono tutte le proprietà . Per esempio, sono spazi di Hausdorff, paracompatti e primo-contabili.
Esistono teoremi che assicurano condizioni sufficienti alla metrizzabilità di uno spazio:
- Teorema di Urysohn: Ogni spazio di Hausdorff, regolare e secondo-contabile è metrizzabile.
- Teorema di Nagata-Smirnov: Uno spazio è metrizzabile se e solo se è regolare e di Hausdorff ed ha una base finita σ-localmente.
- Teorema di Bing: Uno spazio è metrizzabile se e solo se è regolare e T0 ed ha una base σ-discreta.
Uno spazio si dice localmente metrizzabile se ogni punto ha un intorno metrizzabile. Sempre di Smirnov è il risultato che uno spazio localmente metrizzabile di Hausdorff è metrizzabile se e solo se è paracompatto
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