Matemàtiques
De Viquipèdia
 |
Articles relacionats amb Matemàtiques |
La matemàtica (encara que, per a referir-se a l'estudi i ciència, s'acostuma a utilitzar el plural matemàtiques) és aquella ciència que estudia patrons en les estructures de cossos abstractes i en les relacions que s'estableixen entre ells (del mot derivat del grec μάθημα, máthema: ciència, coneixement, aprenentatge, μαθηματικoς).
Malgrat que tingui múltiples usos en altres ciències i disciplines (molt particularment en la Física), i tracti relacions que poden semblar evidents, les matemàtiques primer postulen (veure axiomes matemàtics), i després dedueixen i demostren. Les matemàtiques no són una ciència experimental, sinó una ciència formal. Els matemàtics acostumen a definir i investigar estructures i conceptes abstractes per raons purament internes a la matemàtica, ja que tals estructures poden proveir, per exemple, una generalització elegant, o una útil eina per a càlculs freqüents. A més, molts matemàtics estudien les seves àrees de preferència simplement per raons estètiques, veient així la matemàtica com una forma d'art en comptes d'una ciència pràctica o aplicada (encara que les estructures que els matemàtics investiguen tenen molt sovint el seu origen en observacions de la natura).
La matemàtica és un art, però també una ciència d'estudi. Informalment, es pot afirmar que la matemàtica és l'estudi dels «nombres i símbols», és a dir, la investigació d'estructures abstractes definides axiomàticament utilitzant la lògica i la notació matemàtica. És també la ciència de les relacions espacials i quantitatives. Es tracta de relacions exactes que existeixen entre quantitats i magnituds, i dels mètodes pels quals, d'acord amb aquestes relacions, les quantitats buscades són deduïbles a partir d'altres quantitats conegudes o pressuposades. Altres punts de vista poden trobar-se en la Filosofia de les matemàtiques.
És freqüent trobar qui descriu la matemàtica com una simple extensió dels llenguatges naturals humans, que utilitza una gramàtica i un vocabulari definits amb extrema precisió, el propòsit de la qual és la descripció i exploració de relacions conceptuals i físiques. Recentment, això no obstant, els avanços en l'estudi del llenguatge humà apunten cap una altra forma d'analitzar-los: els llenguatges naturals (com el català i el francès) i els llenguatges formals (com la matemàtica i els llenguatges de programació) són estructures de naturalesa bàsicament diferent.
Taula de continguts |
[edita] Etimologia
La paraula "matemàtiques" (del grec μαθηματικά) prové de dues paraules gregues μάθημα (máthēma), que significa aprenentatge, estudi, ciència i, amb el pas del temps, el seu significat va quedar reduït el que avui coneixem com l'estudi matemàtic. L'adjectiu és μαθηματικός (mathēmatikós), que significa relacionat amb l'aprenentatge, estudiós i que també, amb el pas del temps, va quedar reduït a "matemàtic". En especial, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), en llatí, ars mathematica, significava "art matemàtic". La forma plural del català prové del plural neutre llatí mathematica (Ciceró) basat en el plural grec τα μαθηματικά (ta mathēmatiká) utilitzat per primera vegada per Aristòtil en referència a "totes les coses matemàtiques".
[edita] Història
- Vegeu també l'article principal sobre Història de les matemàtiques
Històricament, la matemàtica va sorgir amb la finalitat de fer els càlculs en el comerç, per a amidar la terra i per a predir els esdeveniments astronòmics. Aquestes tres necessitats poden ser relacionades en certa forma amb la subdivisió àmplia de les matemàtiques en l'estudi de l'estructura, l'espai i el canvi. L'estudi de l'estructura comença amb els nombres, inicialment els nombres naturals i els nombres enters.
Les regles que dirigeixen les operacions aritmètiques s'estudien en l'àlgebra elemental, i les propietats més profundes dels nombres enters s'estudien en la teoria de nombres. La investigació de mètodes per a resoldre equacions duu al camp de l'àlgebra abstracta. L'important concepte de vector, generalitzat a espai vectorial, és estudiat en l'àlgebra lineal, i pertany a les dues branques de l'estructura i l'espai. L'estudi de l'espai origina la geometria, primer la geometria euclidiana i després la trigonometria.
La comprensió i descripció del canvi en variables mesurables és el tema central de les ciències naturals, i el càlcul. Per a resoldre problemes que es dirigeixen en forma natural a relacions entre una quantitat i la seva taxa de canvi, i de les solucions a aquestes equacions, s'estudien les equacions diferencials.
Els nombres usats per a representar les quantitats contínues són els nombres reals. Per a estudiar els processos de canvi s'utilitza el concepte de funció matemàtica. Els conceptes de derivada i integral, introduïts per Isaac Newton i Leibniz, representen un paper clau en aquest estudi, que es denomina Anàlisi.
Per raons matemàtiques, és convenient per a moltes fins introduir els nombres complexos, el que dóna lloc a l'anàlisi complexa. L'anàlisi funcional, per contra, consisteix a estudiar problemes la incògnita dels quals és una funció, pensant-la com un punt d'un espai funcional abstracte.
Un camp important en matemàtiques aplicades és la probabilitat i l'estadística, que permeten la descripció, l'anàlisi i la predicció de fenòmens que tenen variables aleatòries i que s'usen en totes les ciències.
L'anàlisi numèrica investiga els mètodes per a realitzar els càlculs en computadores.
[edita] Notació, llenguatge i rigor
La major part de la notació matemàtica no seria inventada sinó fins el segle XVI. Abans, les matemàtiques s'escrivien en lletres i enunciats, un procés difícil que va limitar el desenvolupament de la disciplina. La notació moderna ha facilitat l'estudi de les matemàtiques. És extremadament comprimida: uns pocs símbols contenen molta d'informació. Com la notació musical, la notació matemàtica moderna té una sintaxi estricta que codifica la informació que seria molt difícil d'escriure d'una altra manera.
El llenguatge matemàtic és difícil per als novençans. Les paraules o o només hi tenen significats molt més precisos que no en l'ús quotidià. Altres conceptes, com ara camp obert i conjunt, tenen significats matemàtics especialitzats, i de l'estudi matemàtic han sorgit nous conceptes com ara l"homeomorfisme" i la "integrabilitat". Les matemàtiques requereixen un llenguatge molt més precís que el llenguatge quotidià. Aquesta precisió i lògica es coneix com a "rigor".
El rigor tracta de la prova matemàtica. Els matemàtics volen que llurs teoremes siguin derivats dels axiomes per mitjà del raonament sistemàtic per tal d'evitar "teoremes" erronis, basats en intuïcions fal·libles. El nivell del rigor que s'espera de les matemàtiques ha evolucionat amb el temps: els grecs antics demanaven arguments detallats, però, durant l'època de Newton, els mètodes que s'utilitzaven eren menys rigorosos. Els problemes inherents a les definicions de Newton van produir un ressorgiment de l'anàlisi acurada i de la prova formal.
[edita] Camps de les matemàtiques
Les principals disciplines que abasta les matemàtiques varen sorgir de la necessitat per a fer càlculs en el comerç, per a entendre les relacions entre els nombres, per a mesurar la terra, i per a predir fets astronòmics. Aquestes quatre necessitats es poden relacionar si fa o no fa amb la amb la subdivisió de les matemàtiques en l'estudi de la quantitat, l'estructura, l'espai, i el canvi (es a dir, aritmètica, àlgebra, geometria, i l'Anàlisi matemàtica). Afegides a aquestes qüestions principals, també hi ha subdivisions dedicades a explorar lligams entre el cor de les matemàtiques i altres camps: la lògica, els fonaments de la teoria de conjunts, o les matemàtiques empíriques d'altres ciències (matemàtiques aplicades), i més recentment dedicades a l'estudi rigorós de la incertesa.
[edita] Quantitat
L'estudi de la quantitat comença amb els nombres, primer els més familiars, que són els nombres naturals i els nombres enters i les operacions aritmètiques entre ells, que s'estudien en aritmètica. Les propietats més profundes dels enters s'estudien en teoria de nombres, d'on surten resultats tan populars com l'Últim teorema de Fermat. La teoria de nombres també manté dos problemes abastament coneguts i no resolts (al 2008): la conjectura dels nombres primers bessons i la conjectura de Goldbach.
A mesura que el sistema de nombres es va desenvolupant, els enters s'identifiquen com un subconjunt dels nombres racionals. Aquests, a l'hora, resulten continguts dins dels nombres reals, que són els que es fan servir per a representar quantitats contínues. Els nombres reals es generalitzen en els nombres complexos. Aquests són els primers passos d'una jerarquia de nombres que continua fins incloure els quaternions i els octonions. L'estudi dels nombres naturals també porta cap als nombres transfinits, que formalitzen el concepte de comptar fins a l'infinit. Un altre àrea d'estudi és la mida, que porta cap a els nombres cardinals i llavors cap a un altre concepció de la infinitud: els nombres aleph, que permeten comparar de forma significativa la mida de conjunts infinitament grans.
[edita] Estructura
Molts objectes matemàtics, com ara els conjunts de nombres i les funcions presenten una estructura interna. Les propietats estructurals d'aquests objectes s'investiguen en l'estudi dels grups, anells, cossos i altres sistemes abstractes, que són en si mateixos objectes d'aquests. Aquest és el camp de l'àlgebra abstracta. Aquí un concepte important és el de vector, que es generalitza en els espais vectorials i s'estudia en àlgebra lineal. L'estudi dels vectors combina tres de las àrees fonamentals de les matemàtiques: la quantitat, l'estructura, i l'espai. El Càlcul vectorial expandeix el camp en una quarta àrea fonamentals, la del canvi.
-
Teoria de nombres Àlgebra abstracta Teoria de grups Teoria de l'ordre
[edita] Espai
L'estudi de l'espai comença amb la geometria – en particular, amb la geometria euclidiana. La trigonometria combina l'espai i els nombres, i abasta el ben conegut teorema de Pitàgores. L'estudi modern de l'espai generalitza aquestes idees per a incloure geometria de més de tres dimensions, geometries no euclidianes (que juguen un paper central en relativitat general) i en topologia. La quantitat i l'espai conjuntament juguen un paper important en la geometria analítica, la geometria diferencial, i la geometria algebraica. Dins de la geometria diferencial hi ha els conceptes de fibrat vectorial i càlcul de varietats. Dins de la geometria algebraica hi ha la descripció d'objectes geomètrics com a conjunts solució d'equacions polinòmiques de forma que es combinen els conceptes de quantitat i d'espai, i també l'estudi dels grups topològics, que combinen l'estructura i l'espai. Els grups de Lie es fan servir per a estudiar l'espai, l'estructura, i el canvi. La Topologia eamb totes les ramificacions que té, potser ha estat l'àrea amb més creixement de les matemàtiques del segle XX, inclou la conjectura de Poincaré (que ja fa molt de temps que es manté) i el controvertit teorema dels quatre colors, la demostració del qual, feta per ordinador, no ha estat verificada mai per un humà.
[edita] Matemàtica del canvi
Entendre i descriure el canvi és un tema comú de les ciències naturals, i el càlcul infinitesimal va ser desenvolupat com a una eina potent per a investigar-lo. Les funcions sorgeixen aquí, com un concepte central que descriu una quantitat que canvia amb el temps. L'estudi rigorós dels nombres reals i de les funcions reals es coneix com a anàlisis real, junt amb l'anàlisi complexa que és el camp equivalent per als nombres complexos. La hipòtesis de Riemann, una de les qüestions obertes més fonamentals en matemàtiques, es planteja a partir de l'anàlisi complex. L'anàlisi Funcional fixa la atenció en els espais de funcions (que típicament són de dimensió infinita). Una de les moltes aplicacions de l'anàlisi funcional és la mecànica quàntica. Molts problemes porten de forma natural a una relació entre una quantitat i el canvi d'aquesta mateixa quantitat, i aquestes relacions s'estudien com a equacions diferencials. Molts fenòmens naturals es poden descriure coma a sistemes dinàmics; la teoria del caos precisa la forma en que molts d'aquests sistemes exhibeixen un comportament impredictible tot i que continua sent determinista.
 |
 |
 |
 |
 |
| Càlcul infinitesimal | Càlcul vectorial | Equacions diferencials | Sistemes dinàmics | Teoria del caos |
[edita] Fonaments i filosofia
Amb l'objectiu de clarificar els fonaments de les matemàtiques, es varen desenvolupar els camps de la lògica matemàtica i de la teoria de conjunts, i també la teoria de categories que encara està sent desenvolupada.
La lògica matemàtica es preocupa de ficar les matemàtiques en un marc rígid d'axiomes i estudiar els resultats d'aquest marc. Com a tal, és la llar del segon teorema d' incompletesa de Gödel, potser el resultat de la lògica més abastament reconegut, el qual (parlant informalment) implica que cap sistema formal que contingui la aritmètica bàsica, si és raonable (això vol dir que tots els teoremes que es poden demostrar són veritat), és necessariament incomplert (això vol dir que hi ha teoremes verdaders que no es poden demostrar en aquest sistema). Sigui quina sigui la col·lecció d'axiomes de la teoria de nombres, en Gödel va mostrar la forma de construir una afirmació en lògica formal que és un fet verdader en teoria de nombres, però que no és el resultat d'aquells axiomes. Per tant, cap sistema formal és una verdadera axiomatització de tota la teoria de nombres. La lògica moderna es divideix en Teoria de la recurrència, la teoria de models, i la teoria de la demostració, i està lligada estretament a la informàtica teòrica.
[edita] Matemàtiques discretes
Matemàtica discreta és el nom comú que es dona a un conjunt de camps de les matemàtiques que es fan servir principalment en informàtica teòrica. Això inclou la Teoria de la computabilitat , la teoria de la complexitat, i la teoria de la informació. La teoria de la computabilitat examina les limitacions de diversos models d'ordinador, incloent-hi el model conegut més potent - la màquina de Turing. La teoria de la complexitat és l'estudi de la tractabilitat per ordinador; alguns problemes, tot i ser teòricament resolubles per ordinador, són tant costosos en termes de temps o d'espai de memòria que és probable que resoldre'ls continuï sense ser factible pràcticament, fins i tot amb el ràpid avenç en el hardware dels ordinadors. Finalment, la teoria de la informació estudia temes com la quantitat de dades que es poden emmagatzemar en un medi donat, i per tant conceptes tals com la compressió de dades i la entropia en termodinàmica i teoria de la informació.
Com a camp relativament nou, la matemàtica discreta té una quantitat de problemes fonamentals oberts. El més famós és el problema P versus NP , un dels problemes del premi del mileni.[1]
-
Combinatòria Teoria de la computació Criptografia Teoria de grafs
[edita] Matemàtiques aplicades
Le matemàtiques aplicades tracten de l'ús d'eines matemàtiques abstractes per a resoldre problemes concrets en les ciències , l'economia, i altres àrees. Un camp important de les matemàtiques aplicades és l'estadística, que fa servir la teoria de la probabilitat com a eina i permet la descripció, l'anàlisi i la predicció de fenòmens on la sort hi juga un paper. La majoria d'experiments, enquestes i estudis d'observació requereixen l'ús de l'estadística. L'anàlisi numèrica recerca els mètodes informàtics per a resoldre eficientment una ampla gamma de problemes matemàtics que típicament són massa grans per a la capacitat numèrica humana; inclou l'estudi de l'error d'arrodoniment o altres fonts d'error en càlcul numèric.
 |
 |
 |
|
 |
| Assignatures a l'ESO | ||
|
Matemàtiques · Llengua catalana · Llengua castellana · Llengua anglesa · Ciències naturals · Ciències socials |
||
[edita] Enllaços externs
| Podeu trobar més informació en els projectes germans de Wikimedia: |
|
 |
Commons. |
|
|
[{{localurl:Commons:Category:{{{Commonscat}}}|uselang=ca}} Commons]. |
 |
Viccionari. |
 |
Viquidites. |
 |
Viquiespècies. |
 |
Viquillibres. |
 |
Viquinotícies. |
 |
Viquitexts. |
 |
Viquiversitat. |
- Societat Catalana de Matemàtiques
- Aportaciones de Terradas a las matemàticas (pdf), article a la revista Quark, número especial dedicat al matemàtic català Esteve Terradas (castellà)
- European Mathematical Society (anglès)
- Societat Balear de Matemàtiques
- FEEMCAT Federació d'Entitats per a l'Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya: ADEMGI, APMCM, APaMMs i ABEAM.
